2012.41第五節(jié)一、有向曲面及曲面元素的投影二、對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)

三、對坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法四、兩類曲面積分的聯(lián)系對坐標(biāo)的曲面積分

第十一章5*6*7*習(xí)2012.42一、有向曲面及曲面元素的投影?曲面分類雙側(cè)曲面單側(cè)曲面莫比烏斯帶曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面分左側(cè)和右側(cè)(單側(cè)曲面的典型)2012.43其方向用法向量指向方向余弦>0為前側(cè)<0為后側(cè)封閉曲面>0為右側(cè)<0為左側(cè)>0為上側(cè)<0為下側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè)?設(shè)

為有向曲面,側(cè)的規(guī)定

指定了側(cè)的曲面叫有向曲面,表示:其面元在xOy面上的投影記為的面積為則規(guī)定類似可規(guī)定2012.44二、對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)

1.引例設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的速度場為求單位時(shí)間流過有向曲面

的流量

.分析:若

是面積為S

的平面,則流量法向量:

流速為常向量:

2012.45對一般的有向曲面

,用“大化小,常代變,近似和,取極限”

對穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的速度場進(jìn)行分析可得,則2012.46設(shè)

為光滑的有向曲面,在

上定義了一個(gè)意分割和在局部面元上任意取點(diǎn),分,記作P,Q,R

叫做被積函數(shù);

叫做積分曲面.或第二類曲面積分.下列極限都存在向量場若對

的任

則稱此極限為向量場A在有向曲面上對坐標(biāo)的曲面積2.定義：2012.47引例中,流過有向曲面

的流體的流量為稱為Q

在有向曲面

上對

z,x

的曲面積分;稱為R

在有向曲面

上對

x,

y

的曲面積分.稱為P

在有向曲面

上對

y,z

的曲面積分;若記

正側(cè)的單位法向量為令則對坐標(biāo)的曲面積分也常寫成如下向量形式2012.483.性質(zhì)(1)若之間無公共內(nèi)點(diǎn),則(2)用

ˉ

表示

的反向曲面,則2012.49三、對坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法定理:

設(shè)光滑曲面取上側(cè),是

上的連續(xù)函數(shù),則證:∵

取上側(cè),2012.410

?

若則有?若則有(前正后負(fù))(右正左負(fù))說明:如果積分曲面

取下側(cè),則2012.411例1.

計(jì)算其中

是以原點(diǎn)為中心,邊長為

a

的正立方體的整個(gè)表面的外側(cè).解:

利用對稱性.原式

的頂部取上側(cè)

的底部取下側(cè)2012.412解:

把

分為上下兩部分根據(jù)對稱性

思考:

下述解法是否正確:例2.計(jì)算曲面積分其中

為球面外側(cè)在第一和第八卦限部分.2012.4132012.414例3.設(shè)S是球面的外側(cè),計(jì)算解:

利用輪換對稱性,有2012.415四、兩類曲面積分的聯(lián)系曲面的方向用法向量的方向余弦刻畫2012.416令向量形式(A在

n上的投影)2012.417例4.

位于原點(diǎn)電量為q的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場為解:。求E

通過球面

:r=R外側(cè)的電通量

.2012.418例5.設(shè)是其外法線與z軸正向夾成的銳角,計(jì)算解:2012.419例6.

計(jì)算曲面積分其中

解:

利用兩類曲面積分的聯(lián)系,有∴原式=旋轉(zhuǎn)拋物面介于平面z=0及z=2之間部分的下側(cè).2012.4202012.421∴原式=原式=2012.422內(nèi)容小結(jié)定義:1.兩類曲面積分及其聯(lián)系

2012.423性質(zhì):聯(lián)系:思考:的方向有關(guān),上述聯(lián)系公式是否矛盾?兩類曲面積分的定義一個(gè)與

的方向無關(guān),一個(gè)與

2012.4242.常用計(jì)算公式及方法面積分第一類(對面積)第二類(對坐標(biāo))二重積分(1)統(tǒng)一積分變量代入曲面方程(方程不同時(shí)分片積分)(2)積分元素投影第一類：面積投影第二類：有向投影(4)確定積分域把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面注：二重積分是第一類曲面積分的特殊情況.轉(zhuǎn)化2012.425當(dāng)時(shí)，（上側(cè)取“+”,下側(cè)取“

”)類似可考慮在yOz面及zOx面上的二重積分轉(zhuǎn)化公式.2012.426思考與練習(xí)1.P167題22

當(dāng)為xOy面內(nèi)的一個(gè)閉區(qū)域時(shí)

曲面積分與二重積分有什么關(guān)系？解

設(shè)則

取上側(cè)時(shí),

取下側(cè)時(shí),2012.4272.P184題12012.4283.P167題3(3)礦業(yè)1版幻燈片有解答2012.429是平面在第四卦限部分的上側(cè),計(jì)算提示:求出

的法方向余弦,轉(zhuǎn)化成第一類曲面積分P227題3(3).

設(shè)2012.430備用題求取外側(cè).解:注意±號其中2012.4312012.432利用輪換對稱性2012.43310-5對坐標(biāo)的曲面積分作業(yè)P167:3(1,2,3,4),4(1,2)2012.434第六節(jié)Green公式Gauss公式推廣一、高斯公式*二、沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件*三、通量與散度高斯公式*通量與散度

第十一章2012.435一、高斯(Gauss)公式定理1.設(shè)空間閉區(qū)域

由分片光滑的閉曲

上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),下面先證:函數(shù)P,Q,R在面

所圍成,則有(Gauss公式)

的方向取外側(cè),2012.436例1.用Gauss

公式計(jì)算其中

為柱面閉域

的整個(gè)邊界曲面的外側(cè).解:

這里利用Gauss公式,得原式=及平面z=0,z=3

所圍空間思考:

若

改為內(nèi)側(cè),結(jié)果有何變化?若

為圓柱側(cè)面(取外側(cè)),如何計(jì)算?利用質(zhì)心公式,注意2012.437例2.利用Gauss公式計(jì)算積分其中

為錐面解:作輔助面取上側(cè)介于z=0及z=h之間部分的下側(cè),

,

,

為法向量的方向角.所圍區(qū)域?yàn)?/p>

,則2012.438利用質(zhì)心公式,注意思考:計(jì)算曲面積分提示:作取上側(cè)的輔助面介于平面z=0及z=2之間部分的下側(cè).先二后一2012.439例3.設(shè)

為曲面取上側(cè),求解:

作取下側(cè)的輔助面用柱坐標(biāo)用極坐標(biāo)2012.440例3.設(shè)

為曲面取上側(cè),求解:

作取下側(cè)的輔助面柱標(biāo)計(jì)算過程用極坐標(biāo)2012.441例3.設(shè)

為曲面取上側(cè),求解:

作取下側(cè)的輔助面用定積分加入y22012.442在閉區(qū)域

上具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),證明格林(Green)第一公式例4.

設(shè)函數(shù)其中

是整個(gè)

邊界面的外側(cè).注意:高斯公式2012.443注意:高斯公式證:令由高斯公式得移項(xiàng)即得所證公式.2012.444*二、沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件1.連通區(qū)域的類型設(shè)有空間區(qū)域

G,

若G

內(nèi)任一閉曲面所圍成的區(qū)域全屬于G,則稱G

為空間二維單連通域;

若G

內(nèi)任一閉曲線總可以張一片全屬于G

的曲面,則稱G

為空間一維單連通域

.例如,球面所圍區(qū)域環(huán)面所圍區(qū)域立方體中挖去一個(gè)小球所成的區(qū)域不是二維單連通區(qū)域.既是一維也是二維單連通區(qū)域;是二維但不是一維單連通區(qū)域;是一維但2012.4452.閉曲面積分為零的充要條件定理2.在空間三維單連通域G內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),

為G內(nèi)任一閉曲面,則①證:“充分性”.

根據(jù)高斯公式可知②是①的充分條件.的充要條件是:②“必要性”.用反證法.已知①成立,2012.446因P,Q,R

在G內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),則存在鄰域則由與①矛盾,故假設(shè)不真.因此條件②是必要的.取外側(cè),高斯公式得2012.447三、通量與散度引例.設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的密度為1,速度場為理意義可知,設(shè)

為場中任一有向曲面,單位時(shí)間通過曲面

的流量為則由對坐標(biāo)的曲面積分的物由兩類曲面積分的關(guān)系,流量還可表示為2012.448若

為方向向外的閉曲面,

當(dāng)

>0時(shí),說明流入

的流體質(zhì)量少于當(dāng)

<0時(shí),說明流入

的流體質(zhì)量多于流出的,則單位時(shí)間通過

的流量為當(dāng)

=0時(shí),說明流入與流出

的流體質(zhì)量相等.流出的,表明

內(nèi)有泉;表明

內(nèi)有洞;根據(jù)高斯公式,流量也可表為

2012.449

方向向外的任一閉曲面

,

記

所圍域?yàn)?/p>

,設(shè)

是包含點(diǎn)

M且為了揭示場內(nèi)任意點(diǎn)M處的特性,在

式兩邊同除以

的體積V,并令

以任意方式縮小至點(diǎn)M則有此式反應(yīng)了流速場在點(diǎn)M的特點(diǎn):其值為正,負(fù)或0,分別反映在該點(diǎn)有流體涌出,吸入,或沒有任何變化.2012.450定義:設(shè)有向量場其中P,Q,R

具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),

是場內(nèi)的一片有向則稱曲面,其單位法向量n,為向量場A

通過有向曲面

的通量(流量).在場中點(diǎn)M(x,y,z)處稱為向量場A

在點(diǎn)M

的散度.記作divergence2012.451表明該點(diǎn)處有正源,表明該點(diǎn)處有負(fù)源,表明該點(diǎn)處無源,散度絕對值的大小反映了源的強(qiáng)度.若向量場A

處處有,則稱A

為無源場.例如,

勻速場故它是無源場.說明:由引例可知,散度是通量對體積的變化率,且2012.452例5.求向量場解:

記穿過曲面

流向上側(cè)的通量,其中

為柱面被平面截下的有限部分.則

上側(cè)的單位法向量為在

上故所求通量為2012.4532012.454內(nèi)容小結(jié)1.高斯公式及其應(yīng)用公式:應(yīng)用:(1)計(jì)算曲面積分(非閉曲面時(shí)注意添加輔助面的技巧)(2)推出閉曲面積分為零的充要條件:2012.4552.通量與散度設(shè)向量場P,Q,R,在域G內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則向量場通過有向曲面

的通量為G內(nèi)任意點(diǎn)處的散度為(n為

的單位法向量）2012.456思考與練習(xí)所圍立體,判斷下列演算是否正確?(1)(2)

為

2012.457備用題

設(shè)

是一光滑閉曲面,所圍立體

的體

是

外法線向量與點(diǎn)(x,y,z)的向徑試證證:

設(shè)

的單位外法向量為則的夾角,積為V,2012.45810-6高斯公式作業(yè)P174:1(1,2,3,4,5),2(1,2,3)2012.459高斯(1777–1855)德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家,是與阿基米德,牛頓并列的偉大數(shù)學(xué)家,他的數(shù)學(xué)成就遍及各個(gè)領(lǐng)域,在數(shù)論、級數(shù)、復(fù)變函數(shù)及橢圓函數(shù)論等方面均有一系列開創(chuàng)性的貢獻(xiàn),他還十分重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用,地測量學(xué)和磁學(xué)的研究中發(fā)明和發(fā)展了最小二乘法、曲面論和位勢論等.他在學(xué)術(shù)上十分謹(jǐn)慎,原則:代數(shù)、非歐幾何、微分幾何、超幾何在對天文學(xué)、大恪守這樣的“問題在思想上沒有弄通之前決不動(dòng)筆”.2012.460第10章112教學(xué)計(jì)劃20學(xué)時(shí)1674月6日五§10.1對弧長的曲線積分1784月9日一§10.2對坐標(biāo)曲線積分184月11日三雙周3沒課194月13日五§10.3格林公式2094月16日一§10.4對面積曲面積分214月18日三§10.5對坐標(biāo)曲面積分224月20日五§10.6高斯公式通量散度23104月23日一§10.7斯托克斯公式旋度244月27日五習(xí)題課3254月28日六上星期一課(29日,30一,1二放假)高數(shù)§11.1級數(shù)；代數(shù)第3章習(xí)題課2012.461三、環(huán)流量與旋度斯托克斯公式環(huán)流量與旋度第七節(jié)一、斯托克斯公式*二、空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件

第十一章2012.462一、斯托克斯公式

定理1.

設(shè)光滑曲面

的邊界

是分段光滑曲線,(斯托克斯公式)個(gè)空間域內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),

的側(cè)與

的正向符合右手法則,在包含

在內(nèi)的一證:情形1.

與平行z

軸的直線只交于一點(diǎn),

設(shè)其方程為為確定起見,不妨設(shè)

取上側(cè)(如圖).則有2012.463則(利用格林公式)2012.464因此同理可證三式相加,即得斯托克斯公式;2012.465情形2

曲面

與平行z

軸的直線交點(diǎn)多于一個(gè),則可通過作輔助線把

分成與z

軸只交于一點(diǎn)的幾部分,在每一部分上應(yīng)用斯托克斯公式,然后相加,由于沿輔助曲線方向相反的兩個(gè)曲線積分相加剛好抵消,所以對這類曲面斯托克斯公式仍成立.注意:

如果

是xOy

面上的一塊平面區(qū)域,則斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.證畢2012.466為便于記憶,斯托克斯公式還可寫作:或用第一類曲面積分表示:2012.467例1.

利用斯托克斯公式計(jì)算積分其中

為平面x+y+z=1被三坐標(biāo)面所截三角形的整解:記三角形域?yàn)?/p>

,取上側(cè),則個(gè)邊界,方向如圖所示.利用對稱性2012.468例2.

為柱面與平面y=z

的交線,從

z

軸正向看為順時(shí)針,解:設(shè)

為平面z=y

上被

所圍橢圓域,且取下側(cè),利用斯托克斯公式得則其法線方向余弦計(jì)算注意到z=y2012.469三、環(huán)流量與旋度斯托克斯公式設(shè)曲面

的法向量為曲線

的單位切向量為則斯托克斯公式可寫為2012.470令,引進(jìn)一個(gè)向量記作向量rotA

稱為向量場A的稱為向量場A定義:沿有向閉曲線

的環(huán)流量.或①于是得斯托克斯公式的向量形式:旋度.rotation2012.471設(shè)某剛體繞定軸l

轉(zhuǎn)動(dòng),M為剛體上任一點(diǎn),建立坐標(biāo)系如圖,則角速度為

,點(diǎn)M

的線速度為(此即“旋度”一詞的來源)旋度的力學(xué)意義:2012.472向量場A

產(chǎn)生的旋度場穿過

的通量注意

與

的方向形成右手系!

向量場A沿

的環(huán)流量斯托克斯公式①的物理意義:例4.求電場強(qiáng)度的旋度.解:(除原點(diǎn)外)這說明,在除點(diǎn)電荷所在原點(diǎn)外,整個(gè)電場無旋.2012.473的外法向量,計(jì)算解:

例5.設(shè)2012.47410720二、計(jì)算其中

是球面x2+y2+z2=a2和圓柱面x2+y2=ax的交線(a>0,z0)從x軸正向看去,曲線為逆時(shí)針方向.解：設(shè)P

=

y2,Q

=z2,R=x2,則z=0axyzoD

1取球面x2+y2+z2=a2上由閉曲線

所圍的曲面為

,并取上(前)側(cè),其在xoy坐標(biāo)面上的投影區(qū)域D：x2+y2

ax;由Stokes公式得2012.475球面x2+y2+z2=a2上任一點(diǎn)的法向量為(x,y,z),則其單位法向量為=(cosα,cosβ,cosγ),2012.476ar=acos

Dxy0y

x2012.477內(nèi)容小結(jié)1.斯托克斯公式也可寫成:其中A

的旋度A在

的切向量

上投影在

的法向量n

上投影2012.478在

內(nèi)與路徑無關(guān)在

內(nèi)處處有在

內(nèi)處處有2.空間曲線積分與路徑無關(guān)的充要條件設(shè)P,Q,R在

內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則2012.4793.場論中的三個(gè)度設(shè)

梯度:則散度:旋度:數(shù)u點(diǎn)A叉A2012.480思考與練習(xí)則提示:三式相加即得2012.481由于u(x,y,z)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則相應(yīng)的各二階混合偏導(dǎo)數(shù)相等，故，rot(gradu(x,y,z))=2012.48210-7斯托克斯公式作業(yè)P183:1(1,2,3),2(1),3(1),4(2)2012.483斯托克斯(1819-1903)英國數(shù)學(xué)物理學(xué)家.他是19世紀(jì)英國數(shù)學(xué)物理學(xué)派的重要代表人物之一,其主要興趣在于尋求解重要數(shù)學(xué)物理問題的有效且一般的新方法,在1845年他導(dǎo)出了著名的粘性流體運(yùn)動(dòng)方程(后稱之為納維–斯托克斯方程),1847年先于柯西提出了一致收斂的概念.他提出的斯托克斯公式是向量分析的基本公式.他一生的工作先后分五卷出版.2012.484習(xí)題課一、曲線積分的計(jì)算法二、曲面積分的計(jì)算法線面積分的計(jì)算

第十一章2012.485一、曲線積分的計(jì)算法1.基本方法曲線積分第一類(對弧長)第二類(對坐標(biāo))(1)選擇積分變量轉(zhuǎn)化定積分用參數(shù)方程用直角坐標(biāo)方程用極坐標(biāo)方程(2)確定積分上下限第一類:下小上大第二類:下始上終練習(xí)題:P244題3(1),(3),(6)2012.486解答提示:

計(jì)算其中L為圓周提示:

利用極坐標(biāo),原式=說明:若用參數(shù)方程計(jì)算,則總十.P1843(1)2012.487解答提示:

計(jì)算其中L為圓周P1843(1)原式=2012.488P184

3(3).計(jì)算其中L為擺線上對應(yīng)t從0到2

的一段弧.提示:2012.489P1843(6).計(jì)算其中

由平面y=z

截球面提示:

因在

上有故原式=從z軸正向看沿逆時(shí)針方向.2012.490(1)利用對稱性及重心公式簡化計(jì)算;(2)利用積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件;(3)利用格林公式(注意加輔助線的技巧);(4)利用斯托克斯公式;(5)利用兩類曲線積分的聯(lián)系公式.2.基本技巧2012.491例2.

計(jì)算其中L

是沿逆時(shí)針方向以原點(diǎn)為中心、解法1令則這說明積分與路徑無關(guān),故a

為半徑的上半圓周.2012.492解法2

它與L所圍區(qū)域?yàn)镈,(利用格林公式)思考:(2)若L同例2,如何計(jì)算下述積分:(1)若L改為順時(shí)針方向,如何計(jì)算下述積分:則添加輔助線段2012.493思考題解答:(1)(2)2012.494計(jì)算其中L為上半圓周提示:沿逆時(shí)針方向.練習(xí)題:P184題3(5);P185題6;11.3(5).用格林公式:2012.495P185

6

.設(shè)在右半平面x>0內(nèi),力構(gòu)成力場,其中k為常數(shù),證明在此力場中場力所作的功與所取的路徑無關(guān).提示:令易證F

沿右半平面內(nèi)任意有向路徑L

所作的功為2012.496P185

11.求力沿有向閉曲線

所作的其中

為平面x+y+z=1

被三個(gè)坐標(biāo)面所截成三提示:方法1從

z

軸正向看去沿順時(shí)針方向.利用對稱性角形的整個(gè)邊界,功,2012.497設(shè)三角形區(qū)域?yàn)?/p>

,方向向上,則方法2利用斯托克斯公式2012.498例4.設(shè)L是平面與柱面的交線從z

軸正向看去,L為逆時(shí)針方向,計(jì)算解:

記

為平面上

L

所圍部分的上側(cè),D為

在xOy

面上的投影.由斯托克斯公式2012.4992012.4100D

的形心2012.4101二、曲面積分的計(jì)算法1.基本方法曲面積分第一類(對面積)第二類(對坐標(biāo))轉(zhuǎn)化二重積分(1)選擇積分變量—代入曲面方程(2)積分元素投影第一類:始終非負(fù)第二類:有向投影(3)確定二重積分域—把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面2012.4102思考題1)二重積分是哪一類積分?答:

第一類曲面積分的特例.2)設(shè)曲面問下列等式是否成立?

不對!

對坐標(biāo)的積分與

的側(cè)有關(guān)2012.41032.基本技巧(1)利用對稱性及重心公式簡化計(jì)算(2)利用高斯公式注意公式使用條件添加輔助面的技巧(輔助面一般取平行坐標(biāo)面的平面)(3)兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化2012.4104練習(xí):P184題4(3)

其中

為半球面的上側(cè).且取下側(cè),原式=P184題4(2),P185題9

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