數(shù)學(xué)

本試卷分第1卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，共6頁(yè)，20小題.試卷滿150

分，考試用時(shí)120分鐘.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.祝各位考生考試順利！

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫在

答題卡上.

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑，如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位

置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按

以上要求作答的答案無效.

第I卷（選擇題共45分）

一、選擇題：共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

合題目要求的.

1設(shè)全集U=<十2.-W”{T°R,則（）

A.B.{°』D.

【答案】c

【解析】

【分析】利用集合的補(bǔ)、并運(yùn)算求'G'lu"即可.

【詳解】由題設(shè)，QM={O?D,而3={T°』，

...SLDTCLI；

故選：c

2.設(shè)\wR,則“x'-3x>0喝“卜一1|>1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】先解出兩個(gè)不等式的解集，再根據(jù)兩個(gè)解集的關(guān)系結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷即可

【詳解】由/-3.T>°,得IV0或1>3,

由卜一】b1,得0或1>2,

因?yàn)榧希ń?lt;°或，,可是集合3、<°或-2的真子集，

所以，，f-3A>0”是小一心l”的充分不必要條件,

故選：A

出將，（1=InI?+1i的圖像大致是.、

3.函數(shù).］，］'（）

【解析】

【詳解】由于函數(shù)為偶函數(shù)又過（0,0）,排除B,C,D,所以直接選A.

【考點(diǎn)定位】對(duì)圖像的考查其實(shí)是對(duì)性質(zhì)的考查，注意函數(shù)的特征即可，屬于簡(jiǎn)單題.

4.某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間（單位：小時(shí)），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自

習(xí)時(shí)間的范圍是口7530］,樣本數(shù)據(jù)分組為口75,刈，［20.2”）,仁5,約，［25:75,

根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是（）

A.120B.140C.160D.180

【答案】B

【解析】

【分析】由直方圖，根據(jù)各組樣本量等于總體容量乘以各組對(duì)應(yīng)頻率，即可求結(jié)果.

【詳解】由直方圖知：若200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)為

、二200?（016+008+004）>25=140人

故選：B

5.已知a="g：°"=2°晨=0"，則

A.a<b<cB.?<?<bc.c<a<-bD.b<c<a

【答案】B

【解析】

【分析】運(yùn)用中間量0比較0運(yùn)用中間量1比較b4

OJ

【詳解】a=log302<logjl=0.6=2>2°=1.0<0嚴(yán)<02°=1.貝”0<cv—故選

B.

【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)和對(duì)數(shù)大小的比較，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取中間變量法，利用轉(zhuǎn)化

與化歸思想解題.

6.棱長(zhǎng)為1的正方體的頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，則該球的表面積為（）

An

A.B.3c.3xD.471r

【答案】c

【解析】

【分析】由正方體外接球的性質(zhì)確定直徑的長(zhǎng)度，利用球的表面積公式求表面積即可.

【詳解】由題設(shè)，正方體的體對(duì)角線為球體的直徑且為>=后,

球的表面積為4m二=3萬.

故選：c

fy2

atrC—■-=l（a>O,b>0）

7.已知拋物線J=161的焦點(diǎn)與雙曲線n-的焦點(diǎn)尸重合，°的漸近線恰為矩

形0"?的邊Q4,所在直線（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線°的方程是（）

X2V2.yV3.

A.124B,3232

x2y2.V3y2

C.412D.88

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)四邊形OAEff為矩形以及雙曲線的漸近線關(guān)于''軸對(duì)稱，可得a=b,利用拋物線方程求出

c=再根據(jù)a：+9可求得a：=V=5,從而可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)樗倪呅?。⑷生為矩形，所以。一即雙曲線的兩條漸近線垂直，

乙4。9=4。尸"

根據(jù)雙曲線的漸近線關(guān)于x軸對(duì)稱，可得4,

WA

所以a,即（：=b,

又拋物線F'=16》的焦點(diǎn)尸（4.0）,

所以雙曲線中。

所以由a'+b'=c'可得=16,所以a'=b'=8,

―=I

所以雙曲線「的方程為ss.

故選：D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)四邊形Q4EB為矩形以及雙曲線的漸近線關(guān)于x軸對(duì)稱，得到a=6是解題關(guān)

鍵.

8.已知函數(shù)〃x)=21mxe?！?2小in'+g判斷下列給出的四個(gè)命題，其中正確的命題有

()個(gè).

①‘'的最小正周期為；

JT

②將函數(shù)4="的圖象向左平移13個(gè)單位后，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；

一(Cl

③函數(shù)'=)在區(qū)間口二上是減函數(shù)；

.X

④“函數(shù)-v="、?取得最大值”的一個(gè)充分條件是“-12”

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

/(x)=2sia(2x+—)

【分析】利用二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)得-3,求出最小正周期；

利用左加右減得出g"'=為偶函數(shù)，關(guān)于「軸對(duì)稱；

2x+^e(-.—)

322,函數(shù)單調(diào)遞減；

AAr

一T?一=—卜1k”

令32,求出函數(shù)取最大值時(shí)x的集合.

【詳解】由題意，

=x+=2sinxcosx+73(l-2sm:x)

=sm2x+y/3cos2x=2(：￡in2x+cos2x)=2sxn(2x+-^-)

2/r

1/r

①最小正周期為2,正確;

r

②尸M的圖象向左平移12個(gè)單位得到

2sjn[2(r+y^)+y]=2sin(2x+^)=2

g(T)=cos2x

g(-.Vi=2COS(-2AI=2cos2.1=g(c,

所以苧C為偶函數(shù)，關(guān)于y軸對(duì)稱，正確;

,nn34

T6(.—.^+y6(-.—)

③當(dāng)時(shí),

(￡當(dāng)

j.=sm,在?：?jiǎn)握{(diào)遞減,

*-J=2sin(2x+—).—)

所以函數(shù).3在1212上單調(diào)遞減;

-X+—=^―+^kjr{xIx=^―+k冗、七w乙J

④令32,得到i12

{x|x=*){X|T=*+E.ZWZ)

并且

“函數(shù)】?=/(AI取得最大值，，的一個(gè)充分條件是“*12，，

故選：D

3x>0.

/(*)="X<6若函數(shù)g⑴=/(")-卜‘一3("R)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則上的取值范

9.已知函數(shù)一工

圍是()

-00,一口11(2￡楨)-xx>,-l|U(0,2^)

A.B.\-)

c-oo.O)U(0.2^)D(-?.0)11(2^5.+00)

【答案】D

【解析】

、3)=3

【分析】由即山=°,結(jié)合己知，將問題轉(zhuǎn)化為1'=1仆-一一|與IV有3個(gè)不同交點(diǎn)，分

‘="''*'三種情況，數(shù)形結(jié)合討論即可得到答案.

2-半3

【詳解】注意到中一二°,所以要使g'—'恰有4個(gè)零點(diǎn)，只需方程恰有3個(gè)實(shí)根

即可，

/(X)

Mx)=

令Mx)=IW,即4=|石-2|與11I的圖象有3個(gè)不同交點(diǎn).

了⑴Jx1.x>0

A(x)=-T-I-=

x<0

因?yàn)镸1.

g)=3

當(dāng)￡=口時(shí)，此時(shí)丁=',如圖1,「=’與111有1個(gè)不同交點(diǎn)，不滿足題意;

當(dāng)D時(shí)，如圖2,此時(shí)】與'］、|恒有3個(gè)不同交點(diǎn)，滿足題意;

當(dāng)上＞0時(shí)，如圖3,當(dāng)j=?與J=T'相切時(shí)，聯(lián)立方程得1：一履+二=0,

令△二（）得二一￡一0,解得々=2石（負(fù)值舍去），所以匕＞2盧.

綜上，上的取值范圍為（―°）U（-V2,-wo）.

故選：D.

【點(diǎn)晴】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，是一道中檔題.

第n卷（非選擇題共105分）

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.

10.已知（-+“二=i（i為虛數(shù)單位），則-仁.

由

【答案】—

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)「，除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再由復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算得答案.

__?l+2i

【詳解】因?yàn)樗?+,5,

所以

75

故答案為：

11.在I1'的展開式中，1的系數(shù)是.

【答案】-40

【解析】

【分析】寫出二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)，確定含1項(xiàng)的，值，代入通項(xiàng)公式求系數(shù)即可.

r.=q(2x3)w(-ly=(-iyAc;產(chǎn)”

【詳解】由題設(shè)，展開式通項(xiàng)為、，

當(dāng)r=3時(shí),刀=-401，

'的系數(shù)是一4°.

故答案為：一40

12.已知直線L&V+8=。和圓x'+jJ=r'(r>5相交于AB兩點(diǎn).若|45卜6,則，的值為

【答案】5

【解析】

【分析】根據(jù)圓的方程得到圓心坐標(biāo)和半徑，由點(diǎn)到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離，九進(jìn)而

利用弦長(zhǎng)公式卜即可求得r.

【詳解】因?yàn)閳A心9°)到直線L禹'+8=0的距離Vi+3,

由|ZB|=可得6=2Jr'_4,,解得r=5.

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的弦長(zhǎng)問題，涉及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.

13.甲、乙兩人進(jìn)行投籃比賽，設(shè)兩人每次投籃是否命中相互之間不受影響，已知甲、乙兩人每次投籃命中

的概率分別是0.7,06若甲、乙各投籃一次，則甲命中且乙未命中的概率為；若甲、乙各投籃

兩次，則甲比乙多命中一次的概率是.

【答案】①.028②.03024

【解析】

【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式可求得結(jié)果.

【詳解】甲、乙各投籃一次，則甲命中且乙未命中的概率為°7Y1-°61=C7、°』=028；

甲、乙各投籃兩次，則甲比乙多命中一次分兩類：

①甲命中2次,乙命中1次，此時(shí)概率為07'xCxQ6x(1-0.?=0.2352；

②甲命中1次，乙命中。次，此時(shí)概率為°：'°7"=0067］，

所以甲、乙各投籃兩次，則甲比乙多命中一次的概率是0二35二+。0672=03024.

故答案為：028；03024

14.已知實(shí)數(shù)三?」?jié)M足:一、二+、'=I,貝p十丁的最大值為.

【答案】2

【解析】

【詳解】試題分析：因?yàn)樾?『??！?1,所以/+/=1+「，所以

(x+y)=l+3xvSl+3x——/d//會(huì)

V-J,即C+W,4,解得：-A-Sx+yS_,所以的最大值為

考點(diǎn)：基本不等式.

15.如圖，在平面四邊形MCD中，^B-LBC,AD1CD,2^42)=120,,AB^AD=1.若點(diǎn)3為

工上的動(dòng)點(diǎn)，則云云的最小值為.

21

【答案】16

【解析】

(3⑸

—.BE=――--^―

【分析】建立直角坐標(biāo)系，得出檢?一-，利用向量的數(shù)量積公式即可得出

---*［。3

AEBE=t-■--

2,結(jié)合得出zl￡BE的最小值.

【詳解】因?yàn)?D~LCD,所以以點(diǎn)D為原點(diǎn)，方為、，軸正方向，皮為J軸正方向，建立如圖所示的

平面直角坐標(biāo)系，

又因?yàn)?8=1：!(),,所以直線，必的斜率為易得I2

因?yàn)樗灾本€BC的斜率為3,

所以直線的方程為

令x=0,解得"6所以。(°，6,

設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為E(0/)，則yO.VJ],

l立_____21

又因?yàn)樗援?dāng)‘了時(shí)，屈而取得最小值為T?.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量基本定理及坐標(biāo)表示、平面向量的數(shù)量積以及直線與方程.

jD==2.5=—

16.在△ABC中，內(nèi)角凡°工的對(duì)邊分別是。，b,C,

(1)求。；

(2)求A.

(3)求皿3+2#的值.

3751

【答案】⑴6(2)14

4"

(3)

【解析】

【分析】(1)利用余弦定理列方程求得

(2)利用正弦定理求得sin4.

(3)結(jié)合二倍角公式、兩角和的正弦公式求得s"5+1用.

【小問1詳解】

由余弦定理得/=。'+。'-%。8$3,aJ-2a-24=(a-6)(a+4i=0

解得a=6.

【小問2詳解】

ab6277,3733VH

=?."=l.sinA="—=1

費(fèi)ndsin3sinV327714

由正弦定理得~

【小問3詳解】

，b'+c'-a'28+4-3628+4-36。

由余弦定理得次2x2V7*22x277x214,

所以sin(B+24)=sinBco$24+cosBsm2A

17.如圖，在多面體幺8CDEF中，ZR_L平面4所。是平行四邊形，且⑷)"5C,

ABI.AD,AD=AE-2,AB-BC=1.

(1)求證：CD1EF.

(2)求二面角力-DE-B的余弦值；

豈

(3)若點(diǎn)尸在棱。尸上，直線與平面BOE所成角的正弦值為3,求線段CP的長(zhǎng).

而

【答案】(1)見解析；(2)3；(3)CP=l.

【解析】

【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

(1)求出CL■￡尸的坐標(biāo)后計(jì)算它們的數(shù)量積為零，從而可證明「0-LEF.

(2)求出平面二EE的法向量后求出兩個(gè)平面的法向量的夾角的余弦值，從而可得二面角的余弦值.

(3)設(shè)尸(LlciOw’三求出而的坐標(biāo)后求出而與平面D3E的法向量的夾角的余弦值后結(jié)合已

知的線面角的正弦值可得關(guān)于：的方程，求出，的值后可得°尸的長(zhǎng).

【詳解】因?yàn)?EJ■平面?奶8,4Du平面H3CD,故4EJ_4D,同理

而4B1XD,故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

苴-01小0,1。Cfl.lO)2,0.0)￡(0,0,2)

(1)麗=(LT0),而=(LLO),故麗而”，

故。。_LE尸.

⑵55=1-2.0.2)麗=(-2A0)

平面的法向量為翡，而‘45=1°，01,

設(shè)平面OBE的法向量為"=1vv'-?,

元麗=0J-2x+2==0

由必瓦=°可得14+】'=°,取1=1,則卜=”=1,

故'

/-Tn飛ABn2J6

廣河＞雨飛=T

述

因?yàn)槎娼枪?DE-5的平面角為銳角，故其余弦值為3.

故CP=”1=1.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：線線垂直的判定可由線面垂直得到，也可以由兩條線所成的角為二得到，而線面垂

直又可以由面面垂直得到，解題中注意三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化.空間中的角的計(jì)算，可以建立空間直角坐標(biāo)

系把角的計(jì)算歸結(jié)為向量的夾角的計(jì)算，也可以構(gòu)建空間角，把角的計(jì)算歸結(jié)平面圖形中的角的計(jì)算.

CJ+==l（a>b>0）—

18.已知橢圓ab的短半軸長(zhǎng)為1,離心率為-.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)「的上、下頂點(diǎn)分別為B、Q,動(dòng)點(diǎn)尸（橫坐標(biāo)不為0）在直線丁='上，直線28交0于點(diǎn)A1,記直

線DM,DF的斜率分別為占，弓，求用與的值.

—+=1——

【答案】（1）4（2）4

【解析】

【分析】（1）根據(jù)短半軸長(zhǎng)和離心率求出a’，可得橢圓。的方程;

（2）設(shè)入”"「"'’求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，利用斜率公式求出匕和生>,再相乘可得結(jié)果.

+1=a

【詳解】（1）依題意可知b=l,a2,所以I',解得a

不r=1

所以橢圓c的方程為4

(2)依題意可知B(O.l),a0,-D,

與》="二］x=?

設(shè)M%..%）,則°”小，直線即：.％令F=-',得3o-I,即

產(chǎn)盧沙

.'?-I

k-k-？+】.七'。?1)

kDU=ki=止!二一一0X。

、。，了。7,

J'。+[3。丁1)_30i-l)_3X(3

小￡叼k----------------=j_-----~5--T-一\—二

所以A0Ao4'o4.

19.己知14｝為等差數(shù)列，但｝為等比數(shù)列，/=4=M=5(&-&)&=4(4-&I.

(1)求1％;和佳」的通項(xiàng)公式；

(2)令G=7①，求數(shù)列：J；門前11項(xiàng)和7；

(3)記4=7(7.血(4*°).是否存在實(shí)數(shù)4,使得對(duì)任意的"6N,恒有心＞4?若存

在，求出彳的取值范圍；若不存在，說明理由.

【答案】⑴4=",?=

(2)n-("-D丁+1

(3)見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式，結(jié)合題設(shè)求基本量，進(jìn)而寫出I。」和1°*；的通項(xiàng)公式；

(2)由(1)得:’-,應(yīng)用錯(cuò)位相減法求前〃項(xiàng)和,；

(3)由⑴得4=-7一二”,要使題設(shè)不等式恒成立即'在"6N上恒成立，討論”

的奇偶性，判斷是否存在I使之成立.

【小問1詳解】

若(4；的公差為結(jié)合題設(shè)可得：=：記，又％=1,故1=1,

若色；的公比為q且＞結(jié)合題設(shè)可得：如'=4地、。-丁1,又句=1,故《=],

【小問2詳解】

由(1)知：J-"一，

.T=f,+c++c,=l7+2?+32;++ny'

:

A27；=1?+22+32'++(?-0?'+M2\

-Z=l+T+2'+.+T'->i2"=(1-冷T-1

以上兩式相減，得：1-?

【小問3詳解】

由題設(shè)，4=3*-(?？).X,要使任意”eN恒有d-i>d,,

則(-2)z4<3""恒成立

M攣■-1

N1r

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，恒成立，而(d4,故當(dāng)Nv1且4Ho時(shí)，存在"eN使其成立;

I2

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，c恒成立，而故當(dāng)？且2工。時(shí)，存在"€N使其成

立;

--.0u(OJi

，使得對(duì)任意的"eN,恒有dz>口

綜上，存在實(shí)數(shù)

/(X)=alnx+—xJ-(a+3)i.a€R

20.已知函數(shù).2

(1)若曲線J―仆)在點(diǎn)OJO'處的切線的斜率為4,求。的值；

(2)當(dāng)。>