18.2.3

正方形回顧：平行四邊形,矩形與菱形有哪些性質?平行四邊形邊:角:對角線:對邊平行且相等對角相等,鄰角互補對角線互相平分矩形角:四個角是直角對角線:對角線相等且互相平分邊：對邊平行且相等具有平行四邊形所有性質菱形的性質菱形的性質邊:四條邊相等對角線:互相垂直平分分別平分兩組對角

對角相等,鄰角互補具有平行四邊形一切性質角：平行四邊形情境一：觀察體會有一個直角有一個直角矩形有一個直角矩形有一個直角一組鄰邊相等矩形菱形有一個直角一組鄰邊相等矩形菱形平行四邊形有一個直角一組鄰邊相等矩形菱形平行四邊形有一個直角一組鄰邊相等矩形菱形平行四邊形有一個直角一組鄰邊相等矩形菱形一組鄰邊相等平行四邊形有一個直角一組鄰邊相等矩形菱形一組鄰邊相等平行四邊形有一個直角一組鄰邊相等矩形菱形一組鄰邊相等有一個直角正方形平行四邊形你能給正方形下一個定義嗎？問題:

情景二圖中CD在平移時，這個圖形始終是怎樣的圖形？當CD移動到C

D

位置，此時AD

＝AB，四邊形ABCD還是矩形嗎？ABCDABC

D

正方形是特殊的矩形兩組互相垂直的平行線圍成矩形ABCD矩形正方形〃〃矩形一組鄰邊相等時變成怎樣的圖形呢?探究（一）

菱形∟∟∟∟正方形探究（二）菱形有一個角是直角時變成怎樣的圖形呢?探究小結矩形〃〃正方形鄰邊相等〃〃發(fā)現：

一組鄰邊相等的矩形叫正方形

菱形一個角是直角正方形∟發(fā)現：

一個角為直角的菱形叫正方形如何來給正方形下定義？正方形定義1、有一個角是直角且鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形；2、有一個角是直角的菱形是正方形；3、有一組鄰邊相等的矩形是正方形

正方形是特殊的平行四邊形，又是特殊的菱形，特殊的矩形，你能猜出它具有怎樣的性質？邊對角線角正方形的性質正方形對邊平行四邊相等正方形的四個角都是直角正方形的對角線相等，互相垂直平分，每條對角線平分一組對角。ABCDO正方形是中心對稱圖形，它也是軸對稱圖形正方形是一個完美的圖形為什么說正方形是一個完美的圖形？對稱性討論3特征正方形是中心對稱圖形,對稱中心為點O它也是軸對稱圖形,有4條對稱軸(1)它具有平行四邊形的一切性質兩組對邊分別平行且相等，兩組對角相等，對角線互相平分(2)具有矩形的一切性質四個角都是直角，對角線相等(3)具有菱形的一切性質四條邊相等；對角線互相垂直，每條對角線平分一組對角OABCD(A)(B)(C)(D)總結：平行四邊形、矩形、菱形、正方形的對稱性平行四邊形

中心對稱圖形（對角線的交點）即是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形（兩條）即是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形（兩條）即是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形（四條）正方形、矩形、菱形以及平行四邊形四者之間的關系：有一個角是直角有一組鄰邊相等有一組鄰邊相等有一個角是直角有一組鄰邊相等且有一個角是直角(1)(2)(3)(4)四邊形平行四邊形矩形菱形正方形平行四邊形矩形四邊形菱形正方形平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間關系正方形具有而矩形不一定具有的性質是()A、四個角相等.B、對角線互相垂直平分.C、對角互補.D、對角線相等.選一選2.正方形具有而菱形不一定具有的性質（）

A、四條邊相等.

B、對角線互相垂直平分.

C、對角線平分一組對角.

D、對角線相等.

BD例題解析例題學一學

OABCD例.求證：正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形。分析分析：這是一道幾何命題的證明,該怎么做?你會做嗎?第一步:根據題意畫出圖形第二步:寫出已知第三步：寫出求證第四步:進行證明圖中共有多少個等腰直角三角形？例題學一學

例1.如圖，在正方ABCD中，對角線AC、BD相交于O，1)圖中有多少個等腰直角三角形2)說出圖中相等的線段、相等的角。3)求∠ABD、∠DAC、∠DOC的度數。OABCD答案：1、八個△ABC△BCD△CDA△DAB△AOB△AOD△BOC△COD2

AB=BC=CD=DAAC=BDOA=OB=OC=OD3答案見課本107頁例2.如圖四邊形ABCD和DEFG都是正方形，試說明AE=CG解：因為四邊形ABCD是正方形根據正方形的四邊相等，得AD=CD又知四邊形DEFG也是正方形所以DE=DG又因為正方形的每個內角為90°所以∠ADE＋∠EDC＝∠CDG＋∠EDC所以∠ADE＝∠CDG所以三角形ADE可以看成是由三角形CDG繞著點D順時針旋轉90°

得到。⊿AED≌⊿CGD所以AE=CGABCDEFG已知：如圖，點E是正方形ABCD的邊CD上一點，點F是CB的延長線上一點，且DE=BF．求證：（1）AE=AF；（2）EA⊥AF．123練一練證明：（1）∵ABCD是正方形∴AD=AB，∠ADE=∠ABF=90°在△ABF與△ADC中AD=AB∠ADE=∠ABF=90°DE=BF∴△ABF≌△ADE（SAS）∴FA=EA,∠1=∠3（2）∵∠2+∠3=90°∴∠1+∠2=90°∴EA⊥FA

123ACBDE１．若O點移動至E點時，連接AE、CE，你有那些結論？想一想：該怎樣證明這些結論？O

變一變如圖所示，正方形ABCD中，P為BD上一點，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F。試說明：AP=EFABCDPEF解:連接PC∵PE⊥BC，PF⊥DC而四邊形ABCD是正方形∴∠FCE=90°∴四邊形PECF是矩形∴PC=EF又∵四邊形BAPC是以BD為軸的軸對稱圖形∴AP=PC∴AP=EF3.一正方形對角線長為4,則它的面積為

．8ABCD1．正方形的兩條對角線把正方形分成四個全等的__________________嘗試練習2.一正方形邊長為4,則它的面積為

．16等腰直角三角形4.正方形ABCD的面積是9cm2。則AB=________AC=___________3cm3.如圖，正方形ABCD中，點E是CD邊上一點，連接AE交對角線BD于點F，則圖中全等三角形共有（）ABCDEFCA.1對B.2對C.3對D.4對

（4）

ABCD是一塊正方形場地，小華和小芳在AB邊上取定了一點E，經測量EC=30m，EB=10m，這塊場地的面積和對角線長分別是多少？ADABCE課本課堂練習P101解：連接AC.∵四邊形ABCD是正方形∴∠B=90°，AB=BC∵EC=30m，EB=10m∴S正方形ABCD=()2=800(m2)∴∴練習5．如圖(5)，在AB上取一點C，以AC、BC為正方形的一邊在同一側作正方形AEDC和BCFG連結AF、BD延長BD交AF于H。

求證：(1)△ACF≌△DCB(2)BH⊥AF

證明：

6.如圖，正方形OPQR的一個頂點O是邊長為2的正方形ABCD對角線AC與BD的交點，則兩正方形重合部分的面積是ADBCOPQR大顯身手7、如圖，四邊形ABCD.DEFG都是正方形，連接AE.CG。（1）求證：AE=CG（2）觀察圖形，猜想AE與CG的位置關系，并證明你的猜想。ABDECGF8、如圖,以△ABC的邊AB、AC向形外作正方形ABDE和ACFG，M是BC的中點．求證：⑴CE=BG；⑵EG=2AM．HMEDFGBCA歸納1.正方形是中心對稱圖形，軸對稱圖形。2.正方形的四條邊都相等。3.正方形的四個角都相等。4.正方形的對角線互相垂直平分且相等，且每一條對角線平分一組對角。OABCD有一組鄰邊相等并且有一個角是直角平行四邊形是正方形的對邊平行且相等每條對角線平分一組對角對角線相等對角線互相垂直對角線互相平分四個角都是直角對角相等四條邊都相等性質正方形菱形矩形平行四邊形圖形小結√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√ABDCO四邊形平行四邊形矩形正方形菱形18.2.3正方形一個角是直角有一個角是直角且一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形正方形平行四邊形正方形的

兩條對角線互相垂直平分且相等,每條對角線平分一組對角正方形的對邊平行且相等正方形的四個角都是直角邊對角線角正方形的定義正方形的性質一組鄰邊相等對稱性正方形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形；正方形矩形有一組鄰邊相等菱形有一個角是直角平行四邊形有一組鄰邊相等有一個角是直角正方形常見的判定法先正是矩形再證是菱形或先正是菱形再證是矩形例3．已知：如圖(4)在正方形ABCD中，F為CD延長線上一點，CE⊥AF于E，交AD于M，求證：∠MFD＝45°

分析：欲證∠MFD＝45°，由于△MDF是直角三角形,只須證△MDF是等腰三角形,即只要證_____=_____要證MD＝FD，大家只須證得哪兩個三角形全等?

△CMD≌△ADF正方形ABCD中∠DAF=25°,AF交對角線BD于E,交CD于F,求∠BEC的度數.ABCDEF若∠FEC=30°則∠DAF=30°∠BEC=∠BEA=∠DAF+∠ADE=30°+45°=75°活動與探索ABCDEF如圖正方形ABCD的邊長為1，E、F分別為BC、CD上的點，若BE+DF=EF，求證：∠EAF=450G變式：如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E、F分別在BC、CD上，∠EAF=450，△CEF的面積為，求△AEF的面積。83練習．如圖(5)，在AB上取一點C，以AC、BC為正方形的一邊在同一側作正方形AEDC和BCFG連結AF、BD延長BD交AF于H。

求證：(1)△ACF≌△DCB(2)BH⊥AF

證明：

7777為什么下列三個個圖形都是正方形？55555555

有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形。

既是矩形又是菱形的四邊形是正方形。

兩條對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形。

①、對角線相等的菱形是正方形

②、對角線互相垂直的矩形是正方形③、對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形④四條邊都相等的四邊形是正方形⑤、四個角都相等的四邊形是正方形⑥、四邊相等，有一個角是直角的四邊形是正方形.（）（）（）（）（）（）判斷下列命題哪些是真命題、哪些是假命題？

真真假假假真1、選擇題：①、下列判斷中正確的是（）A、四邊相等的四邊形是正方形B、四角相等的四邊形是正方形C、對角線垂直的平行四邊形是正方形D、對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形②、在四邊形ABCD中O是對角線的交點，能判定這個四邊形是正方形的是（）A、AC=BD，AB∥CD，AB=CDB、AD∥BC，∠A=∠CC、AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD、AO=CO，BO=DO，AB=BC（1）正方形一定是矩形。（）（2）正方形一定是菱形。（）（3）菱形一定是正方形。（）（4）矩形一定是正方形。（）（5）正方形、矩形、菱形都是平行四邊形。（）