考向09函數(shù)的圖象

1.(2022年甲卷理科第5題文科第7題)函數(shù)y=(3,-37)cosx在區(qū)間［-四,工］的圖象大致為

22

【解析】設(shè)/(x)=(3*-37)COSX,f(-x)=(3^JΓ-3')cos(-x)=-/(x),所以f(x)為奇函數(shù)，排除BD,

令x=l,則/⑴=(3-3T)COSl>0,排除C,故選A.

2.(2022年乙卷文科第8題)右圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間［-3,3］的大致圖象，則函數(shù)是

【答案】A

【解析】由圖象可知函數(shù)是奇函數(shù)，Rx=I.yX),排除B.由x=3,yV0,排除。.由x=-3,y>2,

排除C.故選A.

3.(2022年浙江卷第6題)為了得到y(tǒng)=2sin3x的圖象，只要把函數(shù)y=2sin圖象上所有點(diǎn)

A.向左平移工個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移工個(gè)單位長(zhǎng)度

55

C.向左平移三個(gè)單位長(zhǎng)度D.向右平移三個(gè)單位長(zhǎng)度

1515

【答案】D

【解析】函數(shù)圖象平移滿足左加右減，y=2sin(3x+()=2sin3卜+:)］，因此需要將函數(shù)圖象向右

平移,個(gè)單位長(zhǎng)度，可以得到y(tǒng)=2sin3x的圖象。故本題選D.

1.函數(shù)圖象的識(shí)辨：

(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置.

(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì).

(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性.

(4)從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù).

(5)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.

2.函數(shù)圖象的畫法

(1)直接法：函數(shù)解析式(或變形后的解析式)是熟悉的基本函數(shù)時(shí)，就可根據(jù)這些函數(shù)的特征找出圖象

的關(guān)鍵點(diǎn)直接作出圖象；

(2)轉(zhuǎn)化法：含有絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)，可脫掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來(lái)畫圖象；

(3)變換法：若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)平移、翻折、對(duì)稱得到，可利用圖象變換作出，但

要注圖象變換順序，對(duì)不能直接找到熟悉的基本函數(shù)的要先變形，并應(yīng)注意平移變換的順序?qū)ψ儞Q單位及

解析式的影響。

3.函數(shù)圖象的識(shí)別

(1)抓住函數(shù)的性質(zhì)，定性分析

①?gòu)暮瘮?shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象上下位置；

②從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；

③從周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)；

④從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性.

(2)抓住函數(shù)的特征，定量計(jì)算

利用函數(shù)的特征點(diǎn)、特殊值的計(jì)算，分析解決問(wèn)題.

1.函數(shù)圖象平移變換的八字方針

(D"左加右減”，要注意加減指的是自變量.(2)“上加下減”，要注意加減指的是函數(shù)值.

2.函數(shù)圖象自身的軸對(duì)稱

(1)式—x)=y(x)u函數(shù)y=∕(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.

(2)函數(shù)y=∕(x)的圖象關(guān)于x=4對(duì)稱5a+x)=∕(α-x)毋X)=*2。一x)弓(一x)=∕(2α+x).

(3)若函數(shù)y=y(x)的定義域?yàn)镽,且有y(α+x)=√S-x),則函數(shù)y="r)的圖象關(guān)于直線X="”對(duì)稱.

3.函數(shù)圖象自身的中心對(duì)稱

(1加-X)=一/)U函數(shù)y=Ax)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

(2)函數(shù)y=∕U)的圖象關(guān)于(ɑ,0)對(duì)稱可n+x)=-√(α-χ)弓(X)=-/(2α-χ)弓(一x)=-∕(20+x)?

(3)函數(shù)y=∕(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(α,切成中心對(duì)稱f4+x)=2b一刈一X)4&)=2b—A2a—x).

4.兩個(gè)函數(shù)圖象之間的對(duì)稱關(guān)系

h-d

⑴函數(shù)y=∕(α+x)與y=√g-x)的圖象關(guān)于直線X=-^-對(duì)稱(由α+x=。一X得對(duì)稱軸方程)；

(2)函數(shù)y=∕(x)與y=fi2a—%)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱；

(3)函數(shù)y=∕(x)與＞=23一八一的的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,4對(duì)稱.

【易錯(cuò)點(diǎn)1】函數(shù)圖象的左右變換都針對(duì)自變量"X”而言，如從八一2x)的圖象到#—2x+l)的圖

象是向右平移T個(gè)單位長(zhǎng)度，其中是把X變成X-；.

【易錯(cuò)點(diǎn)1】要注意一個(gè)函數(shù)的圖象自身對(duì)稱和兩個(gè)不同的函數(shù)圖象對(duì)稱的區(qū)別.

L已知函數(shù)兀r)的圖象如圖所示，則,*x)的解析式可以是()

Inljde?|]

A.Λ%)=-B.∕x)=yC.XX)=F-ID.f(x)=x~~

【答案】A

【解析】由函數(shù)圖象可知，函數(shù)yu)為奇函數(shù)，應(yīng)排除B,c.若函數(shù)為/U)=X—",則X—十

8時(shí)，穴χ)f+8,排除D,故選A.

￥，x20，

2.已知函數(shù)段)=hg(x)=-∕(-r),則函數(shù)g(x)的圖象大致是()

-，x<0，

【答案】D

X2>XeO，

【解析】先畫出函數(shù)八X)=F的圖象，如圖(1)所示，再根據(jù)函數(shù)人X)與一外一x)的圖象

-，x<0

關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，即可畫出函數(shù)一7(一x)的圖象，即g(x)的圖象，如圖(2)所示.故選D.

3.函數(shù)/x)=-(x+c，)-￡的圖象如圖所示,則下列結(jié)論成立的是()

∣y

J'一

0I?

A.a>0,b>0,CVo

B.o<0,b>Q,c>Q

C.α<0,b>0,c<0

D.αV0,b<0,c<0

【答案】C

cιχ^?~b-c>0,則CV0；當(dāng)χ=0時(shí)，/(O)=A

［解析］選C.由.於)=_(｛不(,)F及圖象可知，JC≠—C,

b

>0,所以b>0;當(dāng)y=0時(shí)，ax+b=0,所以x=-7>-0,所以αV0.故αV0,b>0,c<0.

4.將函數(shù)yU)=ln(l-χ)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后的大致圖

象為()

【答案】C

【解析】將函數(shù)./(X)=In(I—x)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=ln[l-(九-l)]=ln(2

一x)的圖象，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y=ln(2-χ)+2.根據(jù)復(fù)合函數(shù)

的單調(diào)性可知y=ln(2-χ)+2在(-8,2)上為減函數(shù)，且y=ln(2—x)+2的圖象過(guò)點(diǎn)(1,2),

故C正確，選C.

5.函數(shù)y=5[(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的圖象大致是()

【答案】D

【解析】y=曲是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.當(dāng)x20時(shí)，函數(shù)y=],y'='e,v'>當(dāng)m口0,

2)時(shí)，y'≥O,y=，在[0，2)上單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(2,+∞)Ht,y'<0,.y=，在(2,+8)上單

調(diào)遞減，所以y=，在[0,+8)上有且只有一個(gè)極大值點(diǎn)是χ=2,故選D.

6.已知函數(shù)7U)=∣χ-2∣+l,g(x)=依.若方程兀r)=g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)R的取值

范圍是.

【答案】《，1)

【解析】先作出函數(shù)KX)=IA—2|+1的圖象，如圖所示，當(dāng)直線g(x)=依與直線AB平行時(shí)

斜率為1,當(dāng)直線g(x)=任過(guò)點(diǎn)A時(shí)斜率為3，故當(dāng)7(x)=g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根時(shí)，k的取

值范圍為七,1).

Iogzx,x>0'

7.已知函數(shù)yu）="?關(guān)于X的方程√（x）+x—α=0有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)α的

3jf,XWO,

取值范圍是,

【答案】（1,+∞）

【解析】問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)y=∕U）的圖象與y=-χ+a的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，如圖，結(jié)合函

數(shù)圖象可知a>?.

8.已知函數(shù)Kx）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)尤20時(shí)，/U）=/-X.若IAa）<4+√（-α）,則實(shí)數(shù)

a的取值范圍是.

【答案】（-8,2）

【解析】因?yàn)閥u）為奇函數(shù),所以—x)=—fix)，所以√(4)<4÷∕(一α)可轉(zhuǎn)化為./(α)<2,

作出y（x）的圖象，如圖:

由圖易知tz<2.

1.（2022?吉林市教育學(xué)院模擬預(yù)測(cè)（理））下列各個(gè)函數(shù)圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式序號(hào)為（)

①F(X)=炭sinx②g(x)=X-InlXl(3)r(x)=x2sinx④∕?(X)==

X

A.④②①③B.②④①③C.②④③①D.④②③①

【答案】A

【解析】/U),Q)的定義域?yàn)镽,g(x),力(X)的定義域?yàn)閧χ∣χ≠o}

∕z(x)=?ζ>O在定義域內(nèi)恒成立，則前兩個(gè)對(duì)應(yīng)函數(shù)分別為④②

JT

當(dāng)X∈(O,π)時(shí),則/(x)=e?sinx

f,(x)=ev(Sinx+cosx)=V2evsin(X+：)，令/'(x)>0,則0<x<1兀

/(X)在(0,司上單調(diào)遞增，在序,π)上單調(diào)遞減，則/(χ)≤埠)=與+>5

①對(duì)應(yīng)的為第三個(gè)函數(shù)

故選：A.

2.（2021?安徽淮北?二模（文））《九章算術(shù)?商功》中有這樣一段話：“斜解立方，得兩遭堵.斜解遭堵,

其一為陽(yáng)馬，一為鱉嚅.陽(yáng)馬居二，鱉席居一，不易之率也."意思是：如圖，沿正方體對(duì)角面A4CO截正

方體可得兩個(gè)凄堵，再沿平面旦CQ截凄堵可得一個(gè)陽(yáng)馬（四棱錐。-AUGR）,一個(gè)鱉麻（三個(gè)棱錐

D-BlCtO,若P為線段CD上一動(dòng)點(diǎn)，平面ɑ過(guò)點(diǎn)P,Co_L平面α,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,PD=x,α與

圖中鱉膈截面面積為S,則點(diǎn)P從點(diǎn)。移動(dòng)到點(diǎn)C的過(guò)程中，S關(guān)于X的函數(shù)圖象大致是（）

Bi

【解析】設(shè)M、N分別為截面與。片、Oa的交點(diǎn)，DP=x,0≤x≤l,

CD，平面V,CO_L平面8CG，所以，平面PMN〃平面片CG，

因?yàn)槠矫鍰CC1\平面PMN=PN,平面DCCt）平面B1CC1=CC1,

所以,PNHCCi,同理可得MV/∕8∣G,PMHBxC,

PNDNMNDMPMDP

所以,-------------=----=----=---=X.

CC1DC1B1C1DBlBcDC

△PMN?CB,C,易知Smz=g耳G?CG=g,

所以,lw

因此,SAPMN=XS4CB1C?=5X'

B.

3.（2021?陜西?西安中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））如圖所示是一個(gè)無(wú)水游泳池，MeD-AB'CD'是一個(gè)四棱柱,

游泳池是由一個(gè)長(zhǎng)方體切掉一個(gè)三棱柱得到的.現(xiàn)在向泳池注水，如果進(jìn)水速度是均勻的（單位時(shí)間內(nèi)注

入的水量不變），水面與AB的交點(diǎn)為M,則AM的高度A隨時(shí)間，變化的圖象可能是（）

【答案】A

【解析】由題意可知，當(dāng)往游泳池內(nèi)注水時(shí)，游泳池內(nèi)的水呈“直棱柱”狀，且直棱柱的高不變，

剛開(kāi)始水面面積逐漸增大，水的高度增長(zhǎng)得越來(lái)越慢，當(dāng)水面經(jīng)過(guò)。點(diǎn)后，水面的面積為定值，水的高度

勻速增長(zhǎng)，故符合條件的函數(shù)圖象為A選項(xiàng)中的圖象.

故選：A.

4.(2021?廣東?珠海市第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè))意大利畫家列奧納多?達(dá)?芬奇的畫作《抱銀鼠的女子》(如圖所

示)中，女士頸部的黑色珍珠項(xiàng)鏈與她懷中的白貂形成對(duì)比.光線和陰影襯托出人物的優(yōu)雅和柔美.達(dá)?芬奇提

出：固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問(wèn)題后

人研究得出，懸鏈線并不是拋物線，而是與解析式為＞=笥二的“雙曲余弦函數(shù)”相關(guān).下列選項(xiàng)為“雙曲余

弦函數(shù)”圖象的是()

【答案】C

【解析】令〃X)=W二，則該函數(shù)的定義域?yàn)镽,八-x)=±/="x),

所以，函數(shù)"力=W二為偶函數(shù)，排除B選項(xiàng).

由基本不等式可得/(x)≥gx2√T丁7=1,當(dāng)且僅當(dāng)X=O時(shí)，等號(hào)成立，

所以，函數(shù)/(x)的最小值為/(XL=/⑼=1,排除AD選項(xiàng).

故選：C.

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手:

(I)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置：

(2)從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置.

(3)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)：

(4)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；

(5)函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.

5.(2022?山東?煙臺(tái)市教育科學(xué)研究院二模)聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的.我們平時(shí)聽(tīng)到的聲音幾乎都是復(fù)

合音.復(fù)合音的產(chǎn)生是由于發(fā)音體不僅全段在振動(dòng)，它的各部分如二分之一、三分之一、四分之一等也同

時(shí)在振動(dòng).不同的振動(dòng)的混合作用決定了聲音的音色，人們以此分辨不同的聲音.已知刻畫某聲音的函數(shù)

^?y=sinx+?sin2x+∣sin3x,則其部分圖象大致為()

【答案】C

【解析】令y=?(?)=SinX+；Sin2x+gsin3x,

求導(dǎo)得/'(X)=COSX+cos2x+cos3x=cosX+cos2x+cosIxcosX-Sin2xsinx

=COSX(I-2sin,??+cos2x(1+cos?)=(1+2cosx)cos2x,

所以，當(dāng)Xe(0,￡|時(shí)，∕,(x)>0,函數(shù)"x)單調(diào)遞增；

當(dāng)力時(shí)，函數(shù)”H單調(diào)遞減；

π2π

當(dāng)Xe時(shí)，∕,(x)<0,函數(shù)”χ)單調(diào)遞減;

2,3

2π3π

當(dāng)無(wú)e時(shí)，∕,(χ)>0,函數(shù)F(X)單調(diào)遞增;

34

”仔,萬(wàn))時(shí)，∕,(x)<O,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減;

π2√21.2乃√3/3吟2√2I

由于/(O)=OJ+fJ----->OJS)=O，

3T34432

所以,Xe(O㈤時(shí)，/(x)>0,且單調(diào)區(qū)間變化不具有對(duì)稱的性質(zhì),

所以,只有C選項(xiàng)滿足.

故選:C

6.如圖，點(diǎn)P在邊長(zhǎng)為1的正方形邊上運(yùn)動(dòng)，M是Co的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P

沿A-B-C-M運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路程X與AAPM的面積y的函數(shù)y=∕(x)

【答案】A

7.(2022?廣東佛山?三模)箕舌線因意大利著名的女?dāng)?shù)學(xué)家瑪麗亞?阿涅西的深入研究而聞名于世.如圖所

示，過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線交定圓f+V-αy=0(a>0)于點(diǎn)P,交直線卜=。于點(diǎn)。，過(guò)尸和。分別作X軸和y軸

的平行線交于點(diǎn)M,則點(diǎn)M的軌跡叫做箕舌線.記箕舌線函數(shù)為/(x),設(shè)NAOQ=O,下列說(shuō)法正確的是

)

A.y(x)是奇函數(shù)B.點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為XM=一―

tan。

C.點(diǎn)Λ/的縱坐標(biāo)為為=αcos*D./(x)的值域是(-∞,1]

【答案】C

【解析】連接AP，則A—QP,圓/+/一紗=0(4>0)的標(biāo)準(zhǔn)方程為*2+[一2=?，

該圓的直徑為。，

設(shè)點(diǎn)Q(XoH)，當(dāng)點(diǎn)。不與點(diǎn)A重合時(shí)，直線。Q的方程為y二巴X,

?

a

y=——X

/3

22

聯(lián)立X+y-ay=Of解得y=~Λ~τ

?X：+?

y≠0°

當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)A重合時(shí)'點(diǎn)A的坐標(biāo)也滿足方程y二鳥(niǎo)’所以’/(力=當(dāng)

對(duì)任意的XER,x2+α2>0,即函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,

/(r)=器二T=U■涓="x),故函數(shù)〃x)為偶函數(shù)，A錯(cuò);

當(dāng)點(diǎn)Q在第一-象限時(shí),XQ=XM，因?yàn)镠=tane,此時(shí)XO=XM=αtan。，B錯(cuò);

a

當(dāng)點(diǎn)。不與點(diǎn)A重合時(shí)，加=%>。，

2

因?yàn)镼PI=acos6,則yM=yp=?OP?cosθ=6ΓCOSθ,

當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)?也與點(diǎn)A重合,此時(shí)C=O,點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)也滿足yp=acos2。,

綜上所述，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為為=αcos*,C對(duì)；

對(duì)于D選項(xiàng)，=丁+/.2,所以，/(x)=√^-∈(0,d,D錯(cuò).

%+α

故選：C.

二、多選題

2_<

8.(2021?遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=2'-'(即FG)=X2+卜-啦x∈R)則()

XΛ-x-a,x>a

A.當(dāng)α=0i?,/(x)是偶函數(shù)B."6在區(qū)間(；,+/)上是增函數(shù)

C.設(shè)/(x)最小值為N,則N≤}D.方程/(x)=l可能有2個(gè)解

【答案】ABD

【解析】A：當(dāng)α=0時(shí),/(X)={二：：；：，BIJ∕ω=χ2+H,

所以/(-x)=(-x)2+r∣=/+W=F(X),所以F(X)是偶函數(shù)，故正確；

B-.當(dāng)x≤α?xí)r，f(x)=x2-x+a,/(x)的對(duì)稱軸為x=g,開(kāi)口向上，此時(shí)/(%)在(；，+8)上是增函數(shù)，

當(dāng)x>α?xí)r，f(χ)=χ2+χ-a,F(X)的對(duì)稱軸為x=-g,開(kāi)口向上，此時(shí)f(x)在(g，+8)卜.是增函數(shù)，

綜上，AX)在(；，+8)上是增函數(shù)，故5正確；

C：當(dāng)x≤α?xí)r，∕U)min?/(?)?ɑ-?.當(dāng)x>“時(shí)，f(x)mm=/(-；)=-；-"，

因?yàn)椴荒艽_定。的大小，所以最小值N無(wú)法判斷，故C錯(cuò)誤；

D：??∕(x)=l=>Λ2-x+a=kx2+x-α=l,當(dāng)α=0時(shí)，/⑶=，O/(x)=l有2個(gè)解，故。正確.

9.(2022?福建?莆田二中模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)g(x)=log.(x+k)(α>0且α*l)的圖象如下所示.函數(shù)

/(x)=(%-1)，-的圖象上有兩個(gè)不同的點(diǎn)A(XQ),B[x2,y2),則()

A.a>?,k>2B."x)在R上是奇函數(shù)

C./(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù)D.當(dāng)x≥0時(shí)，2∕(x)<∕(2x)

【答案】BCD

【解析】對(duì)于A,由圖象可知，函數(shù)g(x)=k‰(x+A)(a>0且.1)在(-2,4W)上單調(diào)遞增，所以α>l,

因?yàn)間(x)經(jīng)過(guò)(T,0)，所以g(—l)=k‰(T+A)=0,所以4。=一1+%,k=2,故A錯(cuò)誤.

對(duì)于B,f{x)=a'-ax,定義域R關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f[-x)=ax-ax=-f[x},所以“x)在R上是奇函數(shù),

故B正確.

對(duì)于C,對(duì)于/(力="一廣，由題意不妨令X-NgeRwwR,則

/(XJ-〃々)=卜

xl>x2,xteR,x2≡R,a>?,所以。*計(jì)弓+l>0,a"?>0,α*'-a&>0,BP/(J?)>/(Λ2),所以/(x)在R上是

單調(diào)遞增函數(shù)，故C正確.

對(duì)于D,

2∕(x)-∕(2x)=2(αx-ax)-(a2x-a2x)=2(優(yōu)-ax)-(ax-ax)(ax+ax)=(優(yōu)-ax)(2-ax-ax)

因?yàn)棣?gt;l,x≥0,所以

所以一(優(yōu)+優(yōu)〈當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即當(dāng)時(shí),

?t+1>0,(WΛ-1)3>0,a2x>01)(T)0,X=Ox≥0

?2x-v

2∕(x)4∕(2x)成立，故D正確.

故選：BCD

a，aWb，

10.(2021?福建廈門雙十中學(xué)月考)對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b,定義min{α,人}=，，,若/U)

[Z?,a>b,

=2—Λ2,g(x)=x2,下列關(guān)于函數(shù)∕7(x)=min伏X),g(x)}的說(shuō)法正確的是()

A.函數(shù)RX)是偶函數(shù)

B.方程F(X)=O有三個(gè)解

C.函數(shù)E(X)在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞增

D.函數(shù)F(X)有4個(gè)單調(diào)區(qū)間

【答案】ABD

【解析】根據(jù)函數(shù).*x)=2—Λ2與g(尤)=Λ2,畫出函數(shù)∕7(x)=min伏X),g(x)｝的圖象，如圖.由

圖象可知，函數(shù)E(x)=min｛./(x),g(x)｝關(guān)于y軸對(duì)稱，

所以A項(xiàng)正確：函數(shù)F(X)的圖象與無(wú)軸有三個(gè)交點(diǎn)，所以方程F(X)=O有三個(gè)解，所以B

項(xiàng)正確：函數(shù)F(X)在(一8,一］］上單調(diào)遞增，在［-1,0］上單調(diào)遞減，在［0,1］上單調(diào)遞增，

在［1,+8)上單調(diào)遞減，所以C項(xiàng)錯(cuò)誤，D項(xiàng)正確.

三、填空題

11.(2022?北京?景山學(xué)校模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)y=∕(x),x∈O,若存在實(shí)數(shù)，"，使得對(duì)于任意的XWr>,

都有/(χ)≥機(jī)，則稱函數(shù)y=f(x),xe。有下界，機(jī)為其一個(gè)下界；類似的，若存在實(shí)數(shù)M,使得對(duì)于任

意的x∈O,都有/(x)≤M,則稱函數(shù)y=∕(x),Xe。有上界，M為其一個(gè)上界.若函數(shù)y=∕(x),XWD

既有上界，又有下界，則稱該函數(shù)為有界函數(shù).對(duì)于下列4個(gè)結(jié)論中正確的序號(hào)是.

①若函數(shù)y=∕(χ)有下界，則函數(shù)y=∕(χ)有最小值；

②若定義在R上的奇函數(shù)y=∕(χ)有上界，則該函數(shù)是有界函數(shù)；

③對(duì)于函數(shù)y=∕(χ),若函數(shù)y=∣∕(χ)∣有最大值，則該函數(shù)是有界函數(shù)；

④若函數(shù)y=∕(χ)的定義域?yàn)殚]區(qū)間［α,句，則該函數(shù)是有界函數(shù).

【答案】②③

【解析】①當(dāng)χ>0時(shí)，f(χ)=~,則/(χ)?.0恒成立，則函數(shù)y=f(χ)有下界，但函數(shù)y=f(χ)沒(méi)有最小值,

X

故①錯(cuò)誤；

②若定義在R上的奇函數(shù)y=F(X)有上界，不妨設(shè)當(dāng)"0時(shí)，/(x?,M成立，則當(dāng)x<0時(shí)，-x>0,則

/(T),,M,

即-/(X),,M,則F(X)…-M,該F(X)的下界是—M,則函數(shù)是有界函數(shù)，故②正確；

③對(duì)于函數(shù)y=∕(χ),若函數(shù)y="(χ)l有最大值，設(shè)I/(X)I,,M,貝卜加期⑶M,該函數(shù)是有界函數(shù)，故③

正確；

?TT

④函數(shù)/(χ)=,則函數(shù)y=∕(χ)的定義域?yàn)殚]區(qū)間。，彳,

八萬(wàn)2

OX=—

2

則函數(shù)/(X)的值域?yàn)閇0，+8),則F(X)只有下界，沒(méi)有上界，即該函數(shù)不是有界函數(shù).故④錯(cuò)誤；

故答案為：②③.

12.(2021.北京通州.一模)已知函數(shù)f(x)=1,設(shè)曲線y=f(x)在第一象限內(nèi)的部分為E,過(guò)。點(diǎn)作斜率

X

為1的直線交E于用，過(guò)片點(diǎn)作斜率為T的直線交X軸于4,再過(guò)A點(diǎn)作斜率為1的直線交E于層，過(guò)生

點(diǎn)作斜率為T的直線交X軸于4,…，依這樣的規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列等腰直角三角形，如圖所示.給

出下列四個(gè)結(jié)論：

Om的長(zhǎng)為爭(zhēng)

②點(diǎn)Aj的坐標(biāo)為(26,0)；

③Z?A∕H與.,AiB4A4的面積之比是(√3-√2)ι(2-λ^);

④在直線x=5與y軸之間有6個(gè)三角形.

其中，正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】②④

【解析】由F=I可得4(1,1)，4(2,0)，?Γ=x可得約(1+√Σ,0-1),A(2√2,O),

y=x[?=x-2

所以.因="1一&了+(0-1)2=2-√i,故①錯(cuò)誤

由“一提可得用(百+我,6-亞)，A3(2^,0),故②正確

y=x-2?∣2

?

由「一嚏可得名(2+6,2—6),4(4,0)

y=x-2?∣3

所以S年蹴=；(26-2夜)(6-應(yīng))=(退一應(yīng)F

5

M4A1=^(4-2√3)(2-√3)=(2-√3)?故③錯(cuò)誤

同理可求A(2√5,o),4(2√6,0),4(2√7,0)

l?l^2√6<5<2√7.所以共有6個(gè)三角形，故④正確

故答案為：②④

【解析】設(shè)y=∕(χ)=與號(hào)，則函數(shù)/(x)的定義域?yàn)閧x∣xxθ},關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

又〃T)=SE+="x),所以函數(shù)“X)為偶函數(shù)，排除AC

當(dāng)XW((M)時(shí),ln∣x∣<O,f+1>0,所以/(x)vθ,排除D.

2.(2021年浙江卷第7題)已知函數(shù)/(x)=V+Lg(x)=sinx,則圖象為右圖的函數(shù)可能是().

4

A.y=∕(x)+g(幻一JB.y=∕(x)-g(?)-?

44

C.y=∕(x)g(x)D.y=嚶

/(?)

【答案】D

【解析】?,f(x)=?√+?l是偶函數(shù)，g(χ)=sinx是奇函數(shù)，由于圖象是奇函數(shù)，所以C,D正確，由于

4

[/(x)?(x)],=2xsinx+fx2+?leos?:,則Wg仔)’＞。一二C選項(xiàng)不符合,故選D.

3.(2021年乙卷第7題)把函數(shù)y=∕(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的■!■倍，縱坐標(biāo)不變，再把所

2

得曲線向右平移?個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=sin(x-f的圖象，則/O)=

.X7兀、..X7c_7Tc、._τc、

A.sin(z---------)B.sin(—ι)C.y=sin(2zx-------)D.y—si∩(2%H—)

2?2212?2?2

【答案】B

【解析】y=Sin(X-?)向尢平%個(gè)八)y=Sin(X+?)里空林，溝里米也生→y=sin(∣+?).

TT

4.(2020年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷I第7題)設(shè)函數(shù)/(x)=CoSGyx+—)在[—π,π]的圖象大致如下圖，則段)的

6

最小正周期為()

【答案】C

47F兀1-,0)是函數(shù)

【解析】由圖可得：函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn),即可得至IJCoS-----69+—=0,結(jié)合

96

ΛjτjτjτQ

f(x)圖象與X軸負(fù)半軸的第一個(gè)交點(diǎn)即可得到-----?+-=即可求得0=］,所以函數(shù)/(X)的

T_2萬(wàn)_2乃_47

最小正周期為"=至=于=7故選：C

2

5.(2020年北京卷)已知函數(shù).*》)=2'—%—1,則不等式/(x)>0的解集是()

A.(-1,1)B.(一8,-1)U(1,+∞)C.(0,1)D.(一8,0)U(l,+∞)

【答案】D

【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出/?(%)=2v,g(x)=x+l的圖象如圖.由圖象得交點(diǎn)坐標(biāo)

為(0,1)和(1,2).又危)>0等價(jià)于2?κ>x+l,結(jié)合圖象，可得x<0或x>l.

故./(x)>0的解集為(一8,O)U(1,+∞).故選D.

6.(2020年浙江卷涵數(shù)y=xcosx+sinX在區(qū)間［―n,況］上的圖象可能是()

【答案】A

［解析】(1)令"r)=xcosx+sinx,所以.八一x)=(—x)COS(―x)+sin(-X)=—xcos%—sinX=一

fix),所以次x)為奇函數(shù)，排除C,D,又次n)=-n<0,排除B,故選A.

7.(2019全國(guó)RI理7)函數(shù)y=］智二在［-6,6］的圖象大致為

【答案】B

【解析】因?yàn)锳r)=曰所以小)是［F6］上的奇函數(shù)’因此排

2"

除C,又/(4)=義->7,因此排除A,D.故選B.

28+l

e-e

8.(2018全國(guó)卷∏)函數(shù)f(x)=的圖象大致為(