復(fù)習：1.數(shù)值計算方法的含義2．誤差及誤差限3.誤差與有效數(shù)字4.數(shù)值計算中應(yīng)注意的問題第二章插值方法一．插值的含義問題提出：函數(shù)在n+1個點上的函數(shù)值，求任意一點的函數(shù)值。說明：函數(shù)可能是未知的；也可能是的，但它比擬復(fù)雜，很難計算其函數(shù)值。解決方法：構(gòu)造一個簡單函數(shù)來替代未知〔或復(fù)雜〕函數(shù)，那么用作為函數(shù)值的近似值。二、泰勒〔Taylor〕插值1.問題提出：復(fù)雜函數(shù)在點的函數(shù)值，求附近另一點的函數(shù)值。2.解決方法：構(gòu)造一個代數(shù)多項式函數(shù)，使得與在點充分逼近。泰勒多項式為：顯然，與在點，具有相同的i階導(dǎo)數(shù)值〔i=0,1,…,n〕。3.幾何意義為：與都過點；與在點處的切線重合；與在點處具有相同的凹凸性；其幾何意義可以由以下圖描述，顯然函數(shù)能相對較好地在點逼近。4.誤差分析〔泰勒余項定理〕：，其中在與之間。5.舉例：函數(shù)，求。分析：此題理解為，“復(fù)雜”函數(shù)在=100點的函數(shù)值為，求的附近一點+15的函數(shù)值。解：〔1〕構(gòu)造1次泰勒多項式函數(shù)：。其中，，，那么有：故有誤差分析：函數(shù)在[100,115]區(qū)間絕對值的極大值為，那么有：于是近似值10.75有三位有效數(shù)字。幾何意義：顯然，也過點〔100,10〕，且就是函數(shù)在點〔100,10〕處的切線，如以下圖所示?！?〕構(gòu)造2次泰勒多項式函數(shù)：。把，及代入，有。分析誤差函數(shù)在[100,115]區(qū)間絕對值的極大值為，那么有于是近似值10.721875有四位有效數(shù)字。運行文件taylor.m：%函數(shù)f(x)=x^(1/2)，求f(115)%一次泰勒插值subplot(1,2,1);f=inline('x^(1/2)');p1=inline('5+0.05*x');fplot(f,[-50,300]);holdonfplot(p1,[-50,300]);plot(115,10.75,'*')line([115,115],[0,10.75])%二次泰勒插值subplot(1,2,2);p2=inline('10+1/20*(x-100)-1/4000/2*(x-100)^2');fplot(f,[-30,300]);holdonfplot(p2,[-30,300]);plot(115,10.72,'*')line([115,115],[0,10.72])可以得到以以下圖形：6.泰勒插值存在的問題：1.函數(shù)必須存在n+1階導(dǎo)函數(shù)，即使存在n+1階導(dǎo)數(shù)，計算的工作量也比擬大；2.要求h為個小量，假設(shè)h較大，那么計算的誤差就很大。三．拉格朗日〔Lagrange〕插值1.問題提出：函數(shù)在n+1個點上的函數(shù)值，求任意一點的函數(shù)值。說明：函數(shù)可能是未知的；也可能是的，但它比擬復(fù)雜，很難計算其函數(shù)值。2.解決方法：構(gòu)造一個n次代數(shù)多項式函數(shù)來替代未知〔或復(fù)雜〕函數(shù)，那么用作為函數(shù)值的近似值。設(shè)，構(gòu)造即是確定n+1個多項式的系數(shù)。3.構(gòu)造的依據(jù)：當多項式函數(shù)也同時過的n+1個點時，我們可以認為多項式函數(shù)逼近于原來的函數(shù)。根據(jù)這個條件，可以寫出非齊次線性方程組：其系數(shù)矩陣的行列式D為范德萌行列式：故當n+1個點的橫坐標各不相同時，方程組系數(shù)矩陣的行列式D不等于零，故方程組有唯一解。即有以下結(jié)論。結(jié)論：當?shù)膎+1個點的橫坐標各不相同時，那么總能夠構(gòu)造唯一的n次多項式函數(shù)，使也過這n+1個點。4.幾何意義5．舉例：函數(shù)，求。分析：此題理解為，“復(fù)雜”函數(shù)，當x=81,100,121,144時，其對應(yīng)的函數(shù)值為：y=9,10,11,12，當x=115時，求函數(shù)值。解：〔1〕線性插值：過的〔100,10〕和〔121,11〕兩個點，構(gòu)造1次多項式函數(shù)，于是有那么?！?〕拋物插值：構(gòu)造2次多項式函數(shù)，使得它過的〔100,10〕、〔121,11〕和〔144,12〕三個點。于是有2次拉格朗日插值多項式：那么有10.722755505364206.拉格朗日n次插值多項式公式：其中稱為基函數(shù)〔k=0,1,….,n〕，每一個基函數(shù)都是關(guān)于x的n次多項式，其表達式為：拉格朗日公式特點：1．把每一點的縱坐標單獨組成一項；2.每一項中的分子是關(guān)于x的n次多項式，分母是一個常數(shù)；3.每一項的分子和分母的形式非常相似，不同的是：分子是，而分母是7.誤差分析〔拉格朗日余項定理〕，其中在所界定的范圍內(nèi)。針對以上例題的線性插值，有函數(shù)在[100,115]區(qū)間絕對值的極大值為，那么有：于是近似值有三位有效數(shù)字。針對以上例題的拋物線插值，有函數(shù)在[100,115]區(qū)間絕對值的極大值為，那么有于是近似值10.72275550536420有四位有效數(shù)字。8.拉格朗日插值公式的優(yōu)點公式有較強的規(guī)律性，容易編寫程序利用計算機進行數(shù)值計算。9.拉格朗日插值通用程序程序流程圖如下：文件lagrange.m如下：%拉格朗日插值closealln=input('的坐標點數(shù)n=?');x=input('x1,x2,...,xn=?');y=input('y1,y2,...,yn=?');xx=input('插值點=？');symst%定義t為符號量p=0;fork=1:nl=1;forj=1:k-1l=l*(t-x(j))/(x(k)-x(j));endforj=k+1:nl=l*(t-x(j))/(x(k)-x(j));endp=p+l*y(k);endp=inline(p);%把符號算式p變?yōu)楹瘮?shù)形式fplot(p,[min(min(x),xx)-1,max(max(x),xx)+1]);%畫多項式函數(shù)holdonp(xx)%顯示插值點plot(x,y,'o',xx,p(xx),'*');%畫點和插值點在MATLAB命令窗口輸入：lagrange然后有以下對話過程和結(jié)果，的坐標點數(shù)n=?6x1,x2,...,xn=?[1,3,5,7,9,11]y1,y2,...,yn=?[-1,20,0,-1,12,3]插值點=？8ans=有以以下圖形：10.作業(yè)1，函數(shù)sin(x)過以下數(shù)據(jù)點：x0.791.01.6sin(x)0.7103530.8414710.999574請用線性插值和拋物插值，計算sin(0.63)的值，并分析誤差。四．牛頓〔Newton〕插值復(fù)習：〔1〕問題提出：函數(shù)在n+1個點的值(x0,y0),(x1,y1),….(xn,yn),求當x=x’時，y’的值?！?〕解決方法：構(gòu)造n次多項式函數(shù)，使它也過的n+1個點?！?〕拉格朗日公式：，〔4〕拉格朗日公式的優(yōu)點：結(jié)構(gòu)規(guī)律性強，便于編寫程序?！?〕拉格朗日插值的缺點：無承襲性〔繼承性〕假設(shè)算出3點的拋物插值精度不夠，再進行4點的3次多項式插值時，必須從頭算起，前面算出的3點拋物插值的計算結(jié)果不能利用。而泰勒插值卻是具有承襲性的，如線性插值的結(jié)果不精確，那么再加上一項，就變成了泰勒拋物插值，如：泰勒1次插值：泰勒2次插值：。而牛頓插值就是具有承襲性的插值公式1.差商的概念設(shè)n+1個點互不相等，那么定義：和兩點的一階差商為：,三點的二階差商為：,四點的三階差商為：……n+1個點的n階差商為：差商具有對稱性：；2.牛頓插值解決的問題與拉格朗日插值解決的問題相同只是表述n次多項式的公式不同。3.牛頓插公式的推導(dǎo)根據(jù)差商的概念，有：…是兩點的一階差商；……是三點的二階差商；……把以上各式從后向前逐次代入，可以得到：其中以上的表達式稱為牛頓插值公式，可以證明，n次牛頓插值多項式與n次拉格朗日插值多項式完全相同，只是表達形式不同。故，拉格朗日余項定理與牛頓余項定理相同：，其中在所界定的范圍內(nèi)。那么有公式：4.牛頓插值差商表xiyi一階差商二階差商n階差商*x0y01x1y1f[x0,x1](x-x0)x2y2f[x1,x2]f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)x3y3f[x2,x3]f[x1,x2,x3](x-x0)…(x-x2)……xn-1yn-1xnynf[xn-1,xn]f[xn-2,xn-1,xn]…f[x0,…,xn](x-x0)…(x-xn-1)5.舉例例1：函數(shù)f(x)當x=-2,-1,0,1時，其對應(yīng)函數(shù)值為f(x)=13,-8,-1,4。求f(0.5)的值。解：根據(jù)點，填寫以下差商表：xiyi一階差商二階差商三階差商*-2131-1-8-21(x+2)0-1714(x+2)(x+1)145-1-5(x+2)(x+1)x那么四點三次牛頓插值多項式為：故，=3.625可以在MATLAB下運行程序newton01.m：p3=inline('13-21*(x+2)+14*(x+2)*(x+1)-5*(x+2)*(x+1)*x');fplot(p3,[-2.5,2.5]);holdonxi=[-2,-1,0,1];yi=[13,-8,-1,4];plot(xi,yi,'*');plot(0.5,p3(0.5),'o');可以得到以以下圖形：例2：函數(shù)f(x)當x=-2,-1,0,1,2時，其對應(yīng)函數(shù)值為f(x)=13,-8,-1,4,1。求f(0.5)的值。解：該題目與例1相比，就是多了一個點，所以和例1的差商表相比，只需多一列，多一行：xiyi一階差商二階差商三階差商四階差商*-2131-1-8-21(x+2)0-1714(x+2)(x+1)145-1-5(x+2)(x+1)x21-3-4-11(x+2)(x+1)x(x-1)而5個點的4次牛頓插值多項式是在的根底上多增加1項：那么可以在MATLAB下運行程序newton02.m：p4=inline('13-21*(x+2)+14*(x+2)*(x+1)-5*(x+2)*(x+1)*x+(x+2)*(x+1)*x*(x-1)');fplot(p4,[-2.5,2.5],'r');holdonxi=[-2,-1,0,1,2];yi=[13,-8,-1,4,1];plot(xi,yi,'*');plot(0.5,p4(0.5),'o');可以得到以以下圖形：6.牛頓插值的優(yōu)點〔1〕具有承襲性質(zhì)〔2〕利用差商表，計算多點插值，比拉格朗日公式計算方便。7.牛頓插值算法的通用程序以下是程序流程圖：MATLAB的通用程序newton.m為：%牛頓插值closealln=input('的坐標點數(shù)n=?');x=input('x1,x2,...,xn=?');y=input('y1,y2,...,yn=?');xx=input('插值點=？');%計算差商：f[x1,x2],f[x1,x2,x3],...,f[x1,x2,...,xn]f=y;fori=1:n-1%計算第i階差商fork=n:-1:i+1f(k)=(f(k)-f(k-1))/(x(k)-x(k-i));endendsymst%定義t為符號量p=f(1);fork=2:nl=1;forj=1:k-1l=l*(t-x(j));endp=p+l*f(k);endp=inline(p);%把符號算式p變?yōu)楹瘮?shù)形式fplot(p,[min(min(x),xx)-1,max(max(x),xx)+1]);%畫多項式函數(shù)holdonp(xx)%顯示插值點plot(x,y,'o',xx,p(xx),'*');%畫點和插值點在MATLAB命令窗口輸入：newton然后有以下對話過程和結(jié)果，的坐標點數(shù)n=?6x1,x2,...,xn=?[1,3,5,7,9,11]y1,y2,...,yn=?[-1,20,0,-1,12,3]插值點=？8ans=有以以下圖形：8.作業(yè)〔1〕過(0,6)，(1,7)，(2,20)，(3,81)，(4,250)五個點做多項式函數(shù)p(x)，并求p(-2)的值?！?〕給出以下函數(shù)表，函數(shù)f(x)是一個多項式函數(shù)，試求其次數(shù)及x的最高冪的系數(shù)。x012345f(x)-7-452665128〔3〕請寫出下面數(shù)列中？的值①2,5,9,15,23,？②2,8,15,29,50,？,125五埃爾米特〔Hermite〕插值1．問題提出函數(shù)在n+1個點上的函數(shù)值及一階導(dǎo)函數(shù)值，求任意一點的函數(shù)值。2.解決方法：構(gòu)造一個2n+1次代數(shù)多項式函數(shù)，使得即，多項式函數(shù)也過這n+1個點，且函數(shù)f(x)和在這n+1個點上具有相同的切線。3.埃爾米特插值公式：當節(jié)點橫坐標各不相同時，存在唯一的n+1次代數(shù)多項式函數(shù)：其中，，4.舉例例1．求滿足以下條件的埃爾米特插值多項式。12231-1解：根據(jù)埃爾米特插值公式有：把表中值代入，得：例2．函數(shù)滿足以下數(shù)據(jù)表：121/30.20-0.14構(gòu)造3次埃爾米特插值多項式。解：根據(jù)埃爾米特插值公式可以構(gòu)造為：在Matlab命令窗口輸入：f=inline('x/(x^3+2)');p3=inline('19/150*x^3-16/25*x^2+9/10*x-4/75');fplot(f,[0,3]);holdonfplot(p3,[0,3],'r');plot([1,2],[1/3,0.2],'*');繪出如以下圖形例3.求二次多項式滿足，，。其中為常數(shù)。解：設(shè)，根據(jù)條件有，，，于是基函數(shù)一定含有因子，基函數(shù)一定含有因子，基函數(shù)一定含有因子。設(shè)，那么有解得：，那么有：，，六分段插值1．龍格(Runge)現(xiàn)象〔高次多項式插值的缺陷〕針對函數(shù)選取6個節(jié)點:xi：[-5,-3,-1,1,3,5]；yi：[1/26,0.1,0.5,0.5,0.1,1/26]可以構(gòu)造5次多項式函數(shù)假設(shè)選項11個節(jié)點xi：[-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5]；yi：[1/26,1/17,0.1,0.2,0.5,1,0.5,0.2,0.1,1/17,1/26]可以構(gòu)造10次多項式函數(shù)利用用拉格朗日插值的通用程序〔或牛頓插值的通用程序〕可以畫出f(x),P5(x)和P10(x)的圖形。程序runge.m如下：%用拉格朗日插值公式分析龍格現(xiàn)象closealln=6;x=[-5,-3,-1,1,3,5];y=[1/26,0.1,0.5,0.5,0.1,1/26];x6=x;y6=y;symst%定義t為符號量p=0;fork=1:nl=1;forj=1:k-1l=l*(t-x(j))/(x(k)-x(j));endforj=k+1:nl=l*(t-x(j))/(x(k)-x(j));endp=p+l*y(k);endp5=inline(p);%把符號算式p變?yōu)楹瘮?shù)形式f=inline('1/(x^2+1)');fplot(f,[-5,5]);%畫原來的函數(shù)holdonfplot(p5,[-5,5],'g');%畫5次多項式函數(shù)n=11;x=[-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5];y=[1/26,1/17,0.1,0.2,0.5,1,0.5,0.2,0.1,1/17,1/26];symst%定義t為符號量p=0;fork=1:nl=1;forj=1:k-1l=l*(t-x(j))/(x(k)-x(j));endforj=k+1:nl=l*(t-x(j))/(x(k)-x(j));endp=p+l*y(k);endp10=inline(p);%把符號算式p變?yōu)楹瘮?shù)形式fplot(p10,[-5,5],'r');%畫10次多項式函數(shù)legend('f(x)','P_5(x)','P_1_0(x)')plot(x6,y6,'*');%畫6個節(jié)點plot(x,y,'o');%畫10個節(jié)點plot([-5,5],[0,0],'k');%畫坐標軸plot([0,0],[-0.5,2],'k');運行該程序，可以繪制出如以下圖形：從圖中可以看出，隨著節(jié)點的增加，采用高次多項式插值，可以在某些區(qū)域較好的逼近原來的函數(shù)〔如在[-2,2]區(qū)間〕；但在高次多項式的兩端出現(xiàn)了劇烈震蕩的現(xiàn)象，這就是所謂的龍格現(xiàn)象。從該圖可以看出，在附近時，與f(x)偏離很遠。例如，而。這就說明用高次插值多項式來近似f(x)的效果并不好，因而通常不用高次插值。2．分段線性插值當節(jié)點較多時，可以采用分段線性插值，公式如下：，以上公式即為兩點的線性拉格朗日插值公式。例如針對龍格現(xiàn)在的函數(shù)選取11個節(jié)點:xi：[-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5]；yi：[1/26,1/17,0.1,0.2,0.5,1,0.5,0.2,0.1,1/17,1/26]可以構(gòu)造10個1次多項式函數(shù)，即分段線性函數(shù)。在MATLAB命令窗口輸入：f=inline('1/(x^2+1)');fplot(f,[-5,5]);%畫原來的函數(shù)holdonx=[-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5];y=[1/26,1/17,0.1,0.2,0.5,1,0.5,0.2,0.1,1/17,1/26];plot(x,y,'o')plot(x,y,'r')可以得到以以下圖形：顯然和龍格現(xiàn)象相比，分段線性插值函數(shù)比和都能更好的逼近原函數(shù)f(x)。3．三次樣條插值〔1〕樣條函數(shù)的概念分段線性插值在節(jié)點處沒有連續(xù)的一階導(dǎo)函數(shù)，其光滑性較差。對于飛機的機翼的型線及船舶型往往要求有二階光滑度〔即在節(jié)點處要求二階導(dǎo)函數(shù)連續(xù)〕。樣條函數(shù)的概念來源于工程設(shè)計的實踐。所謂“樣條”〔spline〕是早期工程設(shè)計中的一種繪圖工具，它是富有彈性的細長條。繪圖時，用壓鐵迫使樣條通過指定的型值點，并保證樣條的光滑外形。在繞度不大的情況下，樣條的曲線即為三次樣條函數(shù)?！?〕幾何意義〔3〕構(gòu)造三次樣條函數(shù)的理論分析如上圖所示，通過的六個點，構(gòu)造5個三次多項式函數(shù)分別是：紅色、藍色、黑色、紫色和綠色5根曲線。為確定一根曲線，就需要確定4個待定系數(shù)，所以總共需要4*5=20個待定系數(shù)。另外，分析需要的約束條件。每一根函數(shù)都要過的左右兩個點，那么有5*2=10個約束條件。此外，每兩個相鄰曲線在相鄰點處要求充分光滑，即在連接點處左右兩個函數(shù)在該點具有1次和2次的導(dǎo)函數(shù)連續(xù)，圖中有4個“中間點”，故又有4*2=8個約束條件。假設(shè)在整個圖形的兩端在加2個約束條件，整個3次樣條函數(shù)就確定了。如：①左右兩端點上的1階導(dǎo)函數(shù)；②左右兩端點上的2階導(dǎo)函數(shù)，如〔稱為自然邊界條件〕；③假設(shè)原來的函數(shù)f(x)是以xn-x0為周期的周期函數(shù)，那么y0=yn，且?！?〕用MATLAB函數(shù)interp1進行三次樣條函數(shù)的插值例1.對龍格現(xiàn)象中的函數(shù)進行11個點的三次樣條插值：x=[-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5];y=[1/26,1/17,0.1,0.2,0.5,1,0.5,0.2,0.1,1/17,1/26];xi=-5:0.01:5;yi=interp1(x,y,xi,'spline');plot(xi,yi,x,y,'o')holdonf=inline('1/(x^2+1)');fplot(f,[-5,5],'r')可以繪出以下圖：紅色為原來的函數(shù)f(x)，藍色為通過曲線f(x)上的11個點而構(gòu)成的三次樣條函數(shù)。從圖中可以發(fā)現(xiàn)三次樣條函數(shù)很好的地描述了函數(shù)f(x)。例2.隨機構(gòu)造15個點，用牛頓法〔或拉格朗日法〕構(gòu)造14次代數(shù)多項式函數(shù)，然后再根據(jù)這15個點構(gòu)造3次樣條函數(shù)?，F(xiàn)在在MATLAB命令窗口輸入：x=1:15;y=round(10*randn(1,15));然后運行程序newton，有以下對話過程：的坐標點數(shù)n=?15x1,x2,...,xn=?xy1,y2,...,yn=?y插值點=？2ans=0xi=1:0.01:15;yi=interp1(x,y,xi,'spline');plot(xi,yi,'r')可以繪出如以下圖形：顯然圖中可以看到龍格現(xiàn)象，如果，在另一個圖中重新畫3次樣條函數(shù)：closeplot(xi,yi,x,y,'o')可以得到：七、小結(jié)本章學習了1．泰勒插值2．拉格朗日插值3.牛頓插值4.埃爾米特插值5.龍格現(xiàn)象6.分段線性插值7.分段三次插值(3次樣條函數(shù))作業(yè)：〔1〕單調(diào)連續(xù)函數(shù)y=f(x)的以下數(shù)據(jù)xi-1.10.01.22.1yi-2.2-1.l1.02.1用插值法計算，x為多少時，f(x)=0。提示：把xi和yi“顛倒”理解?！?〕用插值法計算矩陣的特征多項式。提示：為3次多項式函數(shù)，故讓分別取0,1,2,3時，求出的函數(shù)值，再構(gòu)造3次多項式函數(shù)。第三章曲線擬合與函數(shù)逼近一．曲線擬合1.問題提出：多組數(shù)據(jù)，由此預(yù)測函數(shù)的表達式。數(shù)據(jù)特點：〔1〕點數(shù)較多。〔2〕所給數(shù)據(jù)存在誤差。解決方法：構(gòu)造一條曲線反映所給數(shù)據(jù)點的變化總趨勢，即所謂的“曲線擬合”。2.直線擬合的概念設(shè)直線方程為y=a+bx。那么殘差為：，其中。殘差是衡量擬合好壞的重要標志?？梢杂肕ATLAB軟件繪制殘差的概念。x=1:6;y=[3,4.5,8,10,16,20]; p=polyfit(x,y,1);xi=0:0.01:7;yi=polyval(p,xi);plot(xi,yi,x,y,'o');y1=polyval(p,x);holdonfori=1:6 plot([i,i],[y(i),y1(i)],'r');end可以繪制出如以下圖形：三個準那么：〔1〕最小〔2〕最小〔3〕最小3.最小二乘法的直線擬合問題：對于給定的數(shù)據(jù)點，求一次多項式y(tǒng)=a+bx，使得總誤差Q最小。其中。根據(jù)故有以下方程組〔正那么方程〕：例1.給定數(shù)據(jù)表，求最小二乘擬合一次多項式xi165123150123141yi187126172125148解：N=5，=702，=758，=99864，=108396。那么有方程組解得a=-60.9392，b=1.5138，那么一次多項式為y=-60.9392+1.5138b用MATLAB計算并畫圖如下：x=[165,123,150,123,141];y=[187,126,172,125,148];A(1,1)=5;A(1,2)=sum(x);A(1,3)=sum(y);A(2,1)=sum(x);A(2,2)=sum(x.^2);A(2,3)=x*y';B=rref(A);a=B(1,3);b=B(2,3);p=[b,a];%以上四行，可以用一行命令p=polyfit(x,y,1);替代。xi=min(x)-1:0.01:max(x)+1;yi=polyval(p,xi);plot(xi,yi,x,y,'o');繪制如以下圖形4.最小二乘法的多項式擬合問題：對于給定的數(shù)據(jù)點，求m次多項式〔m<<N〕，使得總誤差Q最小。其中。根據(jù)故有正那么方程：當m=2時，有例2.求數(shù)據(jù)表的最小二乘法擬合的二次多項式函數(shù)xi-1-0.75-0.5-0.2500.250.50.751yi504025201821355666在MATLAB命令窗口輸入：x=-1:0.25:1;y=[50,40,25,20,18,21,35,56,66];A(1,1)=length(x);A(1,2)=sum(x);A(1,3)=sum(x.^2);A(1,4)=sum(y);A(2,1)=sum(x);A(2,2)=sum(x.^2);A(2,3)=sum(x.^3);A(2,4)=y*x';A(3,1)=sum(x.^2);A(3,2)=sum(x.^3);A(3,3)=sum(x.^4);A(3,4)=y*(x.^2)';B=rref(A);p=[B(3,4),B(2,4),B(1,4)];%以上五行可以用p=polyfit(x,y,2);替代xi=min(x)-0.1:0.01:max(x)+0.1;yi=polyval(p,xi);plot(xi,yi,x,y,'o');可以繪制出如以下圖形：例3.從三次多項式上找出21個點，然后對這21個點進行“過失處理”，得到新的21個點，根據(jù)新的21個點擬合一個新的3次多項式函數(shù)，然后和原函數(shù)進行比擬。解：在MATLAB命令窗口輸入：p3=inline('2.*x.^3-3.*x.^2+4.*x-5');x=-10:10;y=p3(x);e=randn(1,length(x))*80;y=y+e;p=polyfit(x,y,3);xi=-10:0.01:10;yi=polyval(p,xi);plot(xi,yi,x,y,'o');holdonfplot(p3,[-10,10],'r');5.利用MATLAB的多項式擬合命令polyfit來實現(xiàn)多項式的插值例1.過隨機6個數(shù)據(jù)點，構(gòu)造5次多項式函數(shù)。解：在MATLAB命令窗口輸入：x=1:6;y=round(10*randn(1,6));p=polyfit(x,y,length(x)-1);xi=1:0.01:6;yi=polyval(p,xi);plot(xi,yi,x,y,'o');可以得到以以下圖形：6.利用最小二乘法解超定方程組例1．解以下超定方程組解：設(shè)超定方程的解為。方法一：點到4條直線的距離平方分別為：，，，設(shè)，根據(jù)，有：=0=0化簡有：解得方法二：最小二乘法：點關(guān)于4條直線的殘差平方和為：+根據(jù)，有：=0=0化簡有：解得用MATLAB命令有：symsx0y0f1=4*(2*x0+4*y0-11)+2*3*(3*x0-5*y0-3)+2*(x0+2*y0-6)+2*2*(2*x0+y0-7)f2=8*(2*x0+4*y0-11)-2*5*(3*x0-5*y0-3)+4*(x0+2*y0-6)+2*(2*x0+y0-7)解得：f1=36*x0-6*y0-102f2f2=-6*x0+92*y0-96繼續(xù)在MATLAB命令窗口輸入：A=[36,-6,102;-6,92,96];B=rref(A)x0=B(1,3)y0=B(2,3)解得：x0=3.04029304029304y0=方法三：最小二乘法〔矩陣運算〕針對方程組的最小二乘近似解即為方程組的解于是，在MATLAB命令窗口輸入：A=[2,4;3,-5;1,2;2,1];b=[11;3;6;7];x=inv(A'*A)*A'*b計算結(jié)果為：x=3.04029304029304方法四：用MATLAB左除命令“\”在MATLAB命令窗口輸入：A=[2,4;3,-5;1,2;2,1];b=[11;3;6;7];x=A\b即可以得到答案x=3.04029304029304可以看出用MATLAB的左除“\”命令計算得到的答案與最小二乘法得到的答案是一致的。其實，MATLAB的左除“\”命令就是按照最小二乘法的原來來編寫的。另外，可以用MATLAB的ezplot命令繪制四條直線的圖形ezplot('2*x+4*y=11');holdonezplot('3*x-5*y=3');ezplot('x+2*y=6');ezplot('2*x+y=7');plot(2.99,1.30,'o');A=[2,4;3,-5;1,2;2,1];b=[11;3;6;7];x=A\bplot(x(1),x(2),'*');繪制圖形如下：二．函數(shù)逼近問題，函數(shù)f(x)，求一個多項式函數(shù)在區(qū)間[a,b]上逼近f(x)。解決方法：函數(shù)的最正確平方逼近。令，使Q最小，那么有例1.求一次多項式在上逼近函數(shù)。解：構(gòu)造直線為：，，那么有，解得：a=0.6644389，b=0.1147707在MATLAB命令窗口輸入：xi=0:0.01:pi/2;yi=sin(xi);p=polyfit(xi,yi,1);pi=polyval(p,xi);plot(xi,yi,xi,pi);可以繪制以以下圖形：作業(yè)：〔1〕用最小二乘法求一個形如的經(jīng)驗公式，使它與以下數(shù)據(jù)表擬合。xi1925313841yi19.032.349.073.397.8解：方法一，最小二乘法；方法二，用解超定方程組的思路來解題。，根據(jù)，有：在MATLAB命令窗口輸入：x=[19,25,31,38,44];y=[19,32.3,49,73.3,97.8];A=[5,sum(x.^2),sum(y);sum(x.^2),sum(x.^4),x.^2*y'];B=rref(A);p=[B(2,3),0,B(1,3)];xi=min(x):0.01:max(x);yi=polyval(p,xi);plot(xi,yi,x,y,'o');繪制圖形如下：〔2〕數(shù)據(jù)表如下，試用二次多項式擬合。xi0123456yi15141414141516〔3〕求一個形如〔a，b為常數(shù)，a>0〕的經(jīng)驗公式，使它能和下表數(shù)據(jù)擬合。xi11.251.51.752yi5.15.796.537.458.46解：公式可以變?yōu)椋簂ny=lna+bx，進一步可以寫為Y=A+bx。其中Y=lny，A=lna，對應(yīng)表格為：xi11.251.51.752yi5.15.796.537.458.46Yi1.6291.7561.8672.0082.135〔4〕求函數(shù)在區(qū)間[1/4,1]上的最小一次式。第四章數(shù)值積分一．問題提出：〔1〕針對定積分，假設(shè),a=0,b=1，即有，但當，，……，時，很難找到其原函數(shù)?！?〕被積函數(shù)并沒有具體的解析形式，即僅為一數(shù)表。二．定積分的幾何意義定積分的幾何意義為，在平面坐標系中I的值即為四條曲線所圍圖形的面積，這四條曲線分別是，y=0，x=a，x=b。三．機械求積公式1.中矩形公式；幾何意義：用以下矩形面積替代曲邊梯形面積。2.梯形公式梯形公式的幾何意義：用以下梯形面積替代曲邊梯形的面積：3.辛普生公式辛普生公式的幾何意義：陰影局部的面積為拋物線曲邊梯形，該拋物線由三點構(gòu)成。4.求積公式的一般形式，其中稱為節(jié)點，稱為求積系數(shù)，或權(quán)。5.求積公式的代數(shù)精度〔衡量求積公式準確度的一種方法〕含義：衡量一個積分公式的好壞，要用具體的函數(shù)來衡量，尋找怎樣的函數(shù)來衡量呢？簡單的多項式函數(shù)是一個理想的標準。定義：假設(shè)某積分公式對于均能準確成立，但對于不能準確成立。那么稱該公式具有m次代數(shù)精度。解釋：代數(shù)精度只是衡量積分公式好壞的1種標準。例1．研究中矩形公式的代數(shù)精度及幾何意義。解：當時，公式左邊，公式右邊，左=右；當時，公式左邊，公式右邊，左=右；當時，公式左邊，公式右邊，左右；故中矩形公式具有1次代數(shù)精度。從定積分的幾何意義可以看出，當被積函數(shù)為一條直線時，中矩形公式是嚴格成立的，中矩形面積與梯形面積相等，如以下圖所示。例2．研究梯形公式的代數(shù)精度及幾何意義。解：當時，公式左邊，公式右邊，左=右；當時，公式左邊，公式右邊，左=右；當時，公式左邊，公式右邊，左右。故梯形公式也具有1次代數(shù)精度。從定積分的幾何意義知，當被積函數(shù)為一條直線時，其積分值本身就是一個梯形的面積，如以下圖所示。例3．研究辛普生公式的代