21.4二次函數(shù)的應用復習二次函數(shù)解析式有哪幾種表達式？

一般式：y＝ax2+bx+c(a≠0)

頂點式：y＝a(x-h)2+k(a≠0)

交點式：y＝a(x-X1)(X-X2)(a≠0)1已知圖象上三點或三對的對應值，通常選擇一般式2已知圖象的頂點坐標（對稱軸和最值）通常選擇頂點式3已知圖象與x軸的兩個交點的橫坐標x1、x2，通常選擇交點式

二次圖象特點及函數(shù)性質(zhì)：

例1已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的最大值是2，圖象頂點在直線y=x+1上，并且圖象經(jīng)過點（3，-6）。求a、b、c。(一)根據(jù)函數(shù)圖象特點及性質(zhì)求函數(shù)解析式解：∵二次函數(shù)的最大值是2∴拋物線的頂點縱坐標為2又∵拋物線的頂點在直線y=x+1上∴當y=2時，x=1∴頂點坐標為（1，2）∴設二次函數(shù)的解析式為y=a(x-1)2+2又∵圖象經(jīng)過點（3，-6）∴-6=a(3-1)2+2∴a=-2∴二次函數(shù)的解析式為y=-2(x-1)2+2即：y=-2x2+4x解：根據(jù)題意得頂點為(－1,4)由條件得與x軸交點坐標(2,0)；(-4,0）

例2（如圖所示）已知當x＝－1時，拋物線最高點的縱坐標為4，且與x軸兩交點之間的距離為6，求此函數(shù)解析式y(tǒng)ox設二次函數(shù)解析式：y＝a(x-2)(X+4)故所求的拋物線解析式為y=(x＋1)2＋4把（-1，4）代入y＝a(x-2)(X+4)得a＝

例3、

二次函數(shù)的圖象如圖所示，則在下列各不等式中成立的個數(shù)是____________1-10xy①abc<0②a+b+c<0③a+c>b④2a+b=0⑤Δ=b-4ac>0(二)根據(jù)圖象求解析式中相關(guān)系數(shù)的關(guān)系(1)a確定拋物線的開口方向：a>0a<0(2)c確定拋物線與y軸的交點位置:c>0c=0c<0(3)a、b確定對稱軸的位置:ab>0ab=0ab<0(4)Δ確定拋物線與x軸的交點個數(shù)：Δ>0Δ=0Δ<0x=-b2a

例4、如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y＝ax2＋bx＋c的頂點為(－3，

)，與x軸交于A、B兩點(點A在點B的右側(cè))，與y軸交于點C.D是BO的中點，直線DC的解析式為y＝kx＋4.(三)根據(jù)圖象求一系列相關(guān)問題(1)求拋物線的解析式；(2)求直線CD的解析式；(3)求△ADC的面積；(4)在拋物線上是否存在點P，使得PB＝PD，求此時P點的坐標；(5)點P是拋物線對稱軸上一點，求PA＋PC的值最小時，P點的坐標；③是否存在t，使得S△CDP＝S△BDP成立，若存在，求t的值，若不存在，說明理由；④若PD將四邊形BPCD的面積分成2∶3的兩部分，求t的值；(1)【思維教練】拋物線的解析式有一般式，頂點式和交點式三種形式．題中給出了拋物線的頂點坐標，故可將拋物線設為頂點式，再結(jié)合直線CD的解析式y(tǒng)＝kx＋4可得C點坐標，代入所設的拋物線即可求解.(6)點P是拋物線上一個動點(不與點C重合)，若S△BDP＝S△BDC，求點P的坐標；(7)點P是拋物線在第二象限部分圖象上一點，連接PD，PC，若點P的橫坐標為t.①寫出S△CDP關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；②計算S△CDP的最大值，及此時點P的坐標；解：∵直線CD的解析式為y＝kx＋4，∴與y軸交點坐標C為(0，4)，∵拋物線的頂點坐標為(－3，

)，∴拋物線解析式可設為y＝a(x＋3)2＋

，將點C(0，4)代入得a(0＋3)2＋

＝4，解得a＝－

，∴拋物線解析式為y＝－

(x＋3)2＋

，即y＝.(2)【思維教練】要求直線CD的解析式，需知點C、D的坐標，結(jié)合題意，C點坐標已知，只需求得D點坐標代入解析式即可，由點D是BO的中點，結(jié)合拋物線求得B點坐標即可得D點坐標．解：令y＝－

x2－

x＋4＝0，解得x1＝－8，x2＝2.∴點A(2，0)，點B(－8，0)．∵點D是OB的中點，∴點D(－4，0)，將點D代入直線y＝kx＋4得－4k＋4＝0，解得k＝1，∴直線CD的解析式為y＝x＋4.(3)【思維教練】因為△ACD的AD邊在坐標軸上，C點坐標已知，則由S△ADC＝

·CO·AD求解即可．解：∵D(－4，0)，A(2，0)，∴AD＝6，∵OC＝4，∴S△ADC＝

AD·OC＝×6×4＝12.(4)【思維教練】若PB＝PD，則P為BD的垂直平分線與拋物線的交點．解：當PB＝PD，則P點在BD的垂直平分線上，∵點B(－8，0)，點D(－4，0)，∴P點的橫坐標為－6，且在拋物線上，∴y＝，∴P點的坐標為(－6，4)．(5)【思維教練】要求PA＋PC值最小，則可找出點A或C，其中一點關(guān)于對稱軸的對稱點，與另一點連接與對稱軸的交點即為所求的P點．解：由題圖知，B點即為A點關(guān)于對稱軸的對稱點，連接BC與對稱軸的交點即為所求的點P.設直線BC的解析式為y＝kx＋b.∵點B(－8，0)，點C(0，4)．∴，解得

，∴直線BC的解析式為y＝

x＋4.∴當x＝－3時，y＝.∴P點的坐標為(－3，

)．(6)【思維教練】S△BDP＝S△BDC，由三角形的面積公式為×底×高，結(jié)合題意知△BDP和△BDC的底同為BD，△BDC的高為OC，則只需求得拋物線上點到線段BD的距離等于OC的點即為P點．解：∵S△BDP＝S△BDC，∴|yP|＝y(tǒng)C，即yP＝y(tǒng)C＝4或yP＝－yC＝－4.當yP＝y(tǒng)C時，點P與點C關(guān)于拋物線對稱軸對稱，當yP＝－yC＝－4時，，解得xP＝－3±，即點P的坐標為(－3－，－4)或(－3＋，－4)．綜上，滿足題意的P點有3個，為(－6，4)，(－3－，－4)，(－3＋，－4)．∵點C(0，4)，對稱軸為x＝－3，∴點P的坐標為(－6，4)；(7)①【思維教練】要求△CDP的面積，因為點P的位置不確定，故過點D作DE⊥x軸交拋物線于點E，分點P在點E的左、右兩側(cè)進行討論．因為這兩種情況下，△CDP的三條邊均不在坐標軸或平行于坐標軸的直線上，故過點P作PG⊥x軸于點G，采用割或補的方法把它轉(zhuǎn)化為易求出面積的圖形來求解．解：過D作DE⊥x軸交拋物線于E.∵點D(－4，0)，∴點E(－4，6)．如解圖①，當點P在BE段拋物線上，即－8<t≤－4，過P作PG⊥x軸于G，∵點P的橫坐標為t，∴PG＝，∴S△PCD＝S四邊形PGOC－S△PGD－S△DOC

＝

＝

＝－

t2－5t.如解圖②，當點P在CE段時，－4<t<0，則S△PCD＝S四邊形PGOC＋S△PDG－S△DOC綜上，S＝－

t2－5t.(7)②【思維教練】由①中可知S△CDP關(guān)于P點橫坐標的函數(shù)關(guān)系式，若S△CDP的值最大，即用配方法求對應函數(shù)的最大值．解：∵S＝－

t2－5t＝－

(t＋5)2＋

，∴當t＝－5時，S有最大值，最大值為.(7)③【思維教練】若使S△CDP＝S△BDP，由①知S△CDP關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合題圖BD在x軸上，易求BD的長度和S△BDP關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，將兩函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立求解即可得t的值，若無解，即不存在這樣的t.解：∵S△BDP＝

BD·yP＝×4×(－t2－

t＋4)＝－

t2－3t＋8，根據(jù)題意有－

t2－3t＋8＝－

t2－5t，解得t＝－4.即存在t＝－4，使S△CDP＝S△BDP.(7)④【思維教練】由題圖，PD將四邊形CD分成了△BDP和△CDP兩部分，且2S△BDP＝3S△CDP或3S△BDP＝2S△CDP，由①可知S△CDP關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，由③可得S△BDP關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)兩者之間的等量關(guān)系聯(lián)立求解即可得t的值．解：根據(jù)題意，(1)若2S△BDP＝3S△PCD，則

，解得t1＝－2，t2＝－16(舍)，(2)若3S△BDP＝2S△PCD，則

，解得t1＝－6，t2＝8(舍)，綜上，存在這樣的t且值分別為－2或－6.探究三角形或四邊形面積的最值問題：1.可設動點的坐標為(t，at2＋bt＋c)；2.①求一邊在坐標軸上的三角形面積時，取在坐標軸上的線段為底邊，則底邊上的高為動點的橫坐標或縱坐標的絕對值；②求三條均不在坐標軸上的三角形或不規(guī)則的四邊形面積時，常采用割或補的方法把它轉(zhuǎn)化為易求出面積的圖形；3.用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出圖形的面積；4.用二次函數(shù)的知識來求最大值或最小值時，常采用配方法求解；

解決此類題目需要特別注意點的運動或者圖形的變換引起的圖形變化，看是否需要進行分類討論．二次函數(shù)圖象的實際應用（難點）例5

(2016合肥38中一模)音樂噴泉(圖①)可以使噴水造型隨音樂的節(jié)奏變化而變化，某種音樂噴泉形狀如拋物線，設其出水口為原點，出水口離岸邊20m，音樂變化時，拋物線的頂點在直線y＝kx上變動，從而產(chǎn)生一根根不同的拋物線(圖②)，這組拋物線的統(tǒng)一形式為y＝.例1題圖(1)若已知k＝1，且噴出的拋物線，水線最大高度達3m，求此時a、b的值；(1)【思維教練】要求a、b的值，需找出a、b的關(guān)系式，由已知k＝1可得y＝x，由拋物線的頂點y＝xt，及水線最大高度為3m，可得出a、b的關(guān)系式，求解即可．解：(1)∵y＝的頂點為，拋物線的頂點在直線y＝kx上，k＝1，拋物線水線最大高度達3m，∴,,解得a＝，b＝2，即k＝1，且噴出的拋物線水線最大高度達3m時a、b的值分別是、2；(2)若k＝1，噴出的水恰好達到岸邊，則此時噴出的拋物線，水線最大高度是多少？【思維教練】求水線的最大高度即求拋物線y＝ax2+bx的頂點的縱坐標，由已知噴出的水恰好達到岸邊，可得拋物線的對稱軸，再根據(jù)y＝ax2+bx的頂點在直線y＝x上求解即可．(2)∵k＝1，噴出的水恰好到岸邊，出水口離岸邊20m，拋物線的頂點在直線y＝kx上，∴此時拋物線的對稱軸為x＝10，y＝x＝10，即此時噴出的拋物線，水線最大高度是10米；(3)若k＝2，且要求噴出的拋物線水不能到岸邊，求a的取值范圍．【思維教練】求a的取值范圍，需找出關(guān)于a的不等式，由已知噴出的拋物線水不能到岸邊，可得對稱軸，再結(jié)合k＝2，拋物線y＝ax2+bx的頂點在直線y＝2x上可得b值代入不等式求解即可．(3)∵y＝ax2+bx的頂點

在直線y＝2x上，∴

，解得b＝4，∵噴出的拋物線水線不能到岸邊，出水口離岸邊20m，∴

，即

，解得：a>例6圣誕節(jié)期間，某商店銷售一種圣誕帽，這種帽子每頂進價為10元．銷售統(tǒng)計表明，該產(chǎn)品在圣誕節(jié)前每天的銷售量t(頂)與每件的銷售價x(元/頂)之間大致存在關(guān)系：t＝－2x＋80；該產(chǎn)品在圣誕節(jié)后每天的銷售量p(頂)與每件的銷售價x(元/頂)之間大致存在關(guān)系：p＝(10＜x≤20，p取整數(shù))．(1)在圣誕節(jié)前這種帽子銷售價定為多少元時其銷售量為零；(2)設每天所得的銷售利潤為y元，分別寫出圣誕節(jié)前和圣誕節(jié)后y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)求銷售價定為多少時，銷售利潤最大，最大利潤是多少？(1)【思維教練】銷售量為零，即t＝0，把t＝0代入t＝－2x＋80，求出x的值；解：∵當t＝－2x＋80＝0時，x＝40，∴在圣誕節(jié)前這種帽子銷售價定為40元/頂時，其銷售量為零；

(2)【思維教練】根據(jù)“銷售利潤＝銷售量×(銷售單價－進貨單價)”列出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；解：由題意，得：①圣誕節(jié)前，y＝t(x－10)＝(－2x＋80)(x－10)＝－2x2＋100x－800；②圣誕節(jié)后，y＝(10＜x≤20)；(3)【思維教練】根據(jù)第(2)問中所求圣誕節(jié)前和圣誕節(jié)后y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，分別求出圣誕節(jié)前與圣誕節(jié)后的最大銷售利潤，兩者比較，即可求解．解：在圣誕節(jié)前，y＝－2x2＋100x－800＝－2(x－25)2＋450，∴當x＝25時，y有最大值y