8.3直線、平面平行的判定和性質(zhì)

基礎(chǔ)篇固本夯基

考點(diǎn)一直線與平面平行的判定和性質(zhì)

1.（2022屆黑龍江佳木斯一中月考,5）已知α,B是兩個不同的平面,m,n是兩條不同的直線,

則下列四個命題中，錯誤的是（）

Λ.如果m?n,m_Lɑ,n//β,那么ɑ?β

B.如果m±ɑ,n//ɑ,那么m±n

C.如果a/7β,ιnCa,那么m//B

D.如果Di〃n,a〃B,那么m與a所成的角和n與B所成的角相等

答案A

2.（2021西南名校聯(lián)考,9）如圖,在正方體ABCD-AECD中，點(diǎn)M為棱BC的中點(diǎn),用平行于體

對角線BDl且過點(diǎn)A,M的平面去截正方體ABCD-A1B1C1D,,得到的截面的形狀是（）

A.五邊形B.平行四邊形C.梯形D.以上都不對

答案C

3.（2022屆貴陽五校聯(lián)考，12）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為矩形,PDL底面

ABCD,AD=I1PD=AB=2,點(diǎn)E是PB的中點(diǎn)，過A,D,E三點(diǎn)的平面ɑ與平面PBC的交線為1,給出

下列結(jié)論:①1〃平面PAD;②AE〃平面PCD;③直線PA與1所成角的余弦值為彳;④平面ɑ截

四棱錐P-ABCD所得的上、下兩部分幾何體的體積之比為之

?

其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

答案C

4.(2021甘肅名校聯(lián)考三，16)如圖，已知圓錐的頂點(diǎn)為S,底面圓O的兩條直徑分別為AB和

CD,且ABlCD,若平面SAD∩平面SBC=I.現(xiàn)有以下四個結(jié)論:①AD〃平面SBC;②1〃AD;③若E

是底面圓周上的動點(diǎn),則aSAE的最大面積等于ASAB的面積;④1與平面SCD所成的角為

45°.其中正確結(jié)論的序號是.

答案①②④

5.(2022屆成都蓉城名校聯(lián)盟聯(lián)考一，19)如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PCDL平面

ABCD,AB=AD=2,BC=CD=2√3,ACM,PC=PD,且PClPD,點(diǎn)M是PB上一點(diǎn).

(1)若PD〃平面ACM,求翎值；

(2)若屜4而求二面角M-AC-B的余弦值.

解析(I)連接BD交AC于點(diǎn)N,連接MN,；AD=AB,CD=Be,二直線AC為線段BD的中垂線,即N

為BD的中點(diǎn)，:PD〃平面AMC,平面PDBrl平面AMC=MN,PDU平面PDB,ΛMN/7PD,ΛM是PB的

中點(diǎn)，即*L

(2)VAD=2,CD=2√3,AC=4,ΛAD±CD,以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-χyz,

貝IJA(2,0,0),C(0,2√3,0),P(0,√3,√3),B(3,√3,0),貝IJ法(3,0,-√3),AC=(-2,2√3,0),

2

設(shè)M(x,y,z),則臍(x,y-√3,z-√3),又瓦彳通

ΛM(P√3,竽),則闞T√3,苧),設(shè)平面ACM的法向量為m=(a,b,c),則

?AC?-2a+2√3b=0,

—>5I—??/?b=l,

m?AM=--a+√3b+:—c=0,

44

得m=(√3,1,易知平面ABC的一個法向量為n=(0,0,1),則cos<m,n>~g,'n~~`后=?.

\3/?m???n?lχ/??37

設(shè)二面角M-AC-B的平面角為θ,

當(dāng)叫屈時，同理可得平面ACM的一個法向量為nl=(√3,1,0),則cos<n,,n>=0,此時二面角

M-AC-B的平面角為"故當(dāng)聞彳麗寸,M-AC-B的平面角為鈍角，，二面角M-AC-B的余弦值為

√37

^37^,

6.(2022屆太原五中月考,20)如圖，在五面體ABCDEF中，底面四邊形ABCD為正方形,平面

ABFE∩平面CDEF=EF.

⑴證明：AB〃EF;

(2)若ADED,CD±EA,EF=ED=I,CD=3,求平面ADE與平面BCF所成的銳二面角的余弦值.

解析(1)證明：在正方形ABCD中，AB〃CD,YCDU平面CDEF,ABC平面CDEF,.'.AB〃平面

CDEF,又「ABU平面ABFE,且平面ABFE∩平面CDEF=EF,ΛAB√EF.

(2)V四邊形ABCD為正方形，；.CD_LAD,

VCD±EA,AD∩AE=A,AD,AEU平面AED,.ICD，平面ADE,

又ΛDIDE,Λ以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA,DC,DE所在直線為x,y,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖所示，

3

則B(3,3,O),C(O,3,O),F(O,1,1),BC=(-3,O,O),抬(O,2,-1),易知平面ADE的一個法向量為

In=(0,1,0),設(shè)平面BCF的法向量為n=(x,y,z),

叱:黑刎薰2,取y=i,得ns,2),

設(shè)平面ADE與平面BCF所成的銳二面角為θ,

則cosθ=|cos<m,n>∣~""n"?故平面ADE與平面BCF所成的銳二面角的余弦值為洛.

?πι??n?55

7.(2021河南六市3月聯(lián)考，17)如圖，DCJ_平面ABC,EB〃DC,AC=BC=EB=2DC=2,NACB=90°,P、

Q分別為DE、AB的中點(diǎn).

(1)求證:PQ〃平面ACD;

(2)求幾何體B-ADE的體積.

解析⑴證明：取BC的中點(diǎn)0,連接OQ,OP.為AB的中點(diǎn)，.?.0Q是aABC的中位

線，.?.OQ〃AC,??ACU平面ACD,(W平面ACD,,OQ〃平面ACD.；EB〃DC,P是DE的中點(diǎn)，；.0P

是梯形BCDE的中位線，，OP〃CD,；DCU平面ADC,OPQ平面ADC,...OP〃平面ACD.又

OP∩0Q=0,OPU平面POQ,OQU平面POQ,二平面OPQ〃平面ACD,；PQU平面POQ,,PQ〃平面

ACD.

⑵由EB〃DC可得DC〃平面ABE,故I)、C兩點(diǎn)到平面ABE的距離相等，,V,一ADe=VAABE=VEBE=VE-械.

由DC_L平面ABC,DC#EB可得EBJ_平面ABC.

.??V*?C.BC?BE=1×∣×2×2×24

8.(2021全國重點(diǎn)中學(xué)高考押題卷(二)，18)在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯

形,BC√ΛD,ZADC=90o,BC=CD=∣ΛD=1,E為AD的中點(diǎn)，PEL底面ABCD,點(diǎn)F是棱PC的中點(diǎn)，

平面BEF與棱PD相交于點(diǎn)G.

(1)求證:BE〃FG;

(2)若PC與AB所成的角為；,求直線PB與平面BEF所成角的正弦值.

4

4

解析(1)證明：因?yàn)镋為AD的中點(diǎn)，所以DE=IAD=1,又因?yàn)锽C=I,所以DE=BC.在梯形ABCD

中，DE〃BC,所以四邊形BCDE為平行四邊形.所以BE〃CD.又因?yàn)锽EQ平面PCD,CDU平面PCD,

所以BE〃平面PCD.因?yàn)锽EU平面BEF,平面BEF∩平面PCD=FG,所以BE√FG.

(2)解法一：因?yàn)镻EJ_平面ABCD,且AE,BEU平面ABCI),所以PE±AE,PEXBE,因?yàn)樗倪呅蜝CDE

為平行四邊形，ZADC=90o,所以AEXBE.以E為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

E-χyz.則E(0,0,0),A(l,0,0),B(0,1,O),C(-1,l,0),D(-l,0,0),l?(-l,1,0),^=(0,1,0).

設(shè)P(0,0,m)(m>0),所以/=(1,-1,m),因?yàn)镻C與AB所成的角為所以

Icos<CP,AB>I=P?嗎-=一L邛.所以m=&(舍去負(fù)值).則P(0,0,√2),則

CP???AB√2+研?22

FQ*,§,^=(0,l,-√2),則樂仁,?,白),設(shè)平面BEF的法向量為n=(x,y,Z),則

p?≡=0,

U?EF?0,

(y-0>

即1J√2C令X=M則z=l,所以n=(√5,0,1).設(shè)直線PB與平面BEF所成的角為

--X+-yx+——z=0.

122j2

0,所以SinO=ICoS〈拓,n>I=T?=卜當(dāng)|4.所以直線PB與平面BEF所成角的正弦值為

I陽I㈤l√3×√3∣3

√2

T,

解法二:連接EC,因?yàn)锳E〃BC且AE=BC,所以四邊形ABCE為平行四邊形,所以AB〃CE.因?yàn)镻C

與AB所成的角為所以PC與CE所成的角為；,即NPCE

444

5

因?yàn)镻EL平面ABCD,且CEU平面ABCD,所以PE±CE,則APEC為等腰直角三角形.

因?yàn)镹EDC或,所以PE=CE=V9+D￡2=71

因?yàn)镻EJ_平面ABCD,且AE,BEU平面ABCD,所以PE±AE,PElBE.

易知AE_LBE,以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E-χyz.則

E（0,0,0）,B（0,l,0）,P（0,0,√2）,C（-l,l,0）,F（-i,?,4）.所以

（0,1,0）,fife（-?,3屜（0,l,-√2）.

下同解法一.

考點(diǎn)二平面與平面平行的判定和性質(zhì)

1.（2019課標(biāo)H,7,5分）設(shè)α,B為兩個平面,則a〃B的充要條件是（）

Λ.ɑ內(nèi)有無數(shù)條直線與B平行

B.ɑ內(nèi)有兩條相交直線與B平行

C.a,B平行于同一條直線

D.a,B垂直于同一平面

答案B

2.（2022屆山東東明一中月考,15）在四棱柱ABCD-AIB6。中,四邊形ABCD為平行四邊形,E,F

分別在線段DB,DD1±,且等G在線段CC1±,且平面AEF〃平面BDG則黑________.

CDΔCC↑

答案?

3.（2021成都1月月考,16）己知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4,點(diǎn)E為BC中點(diǎn),點(diǎn)F為A1B1

中點(diǎn)，若平面ɑ過點(diǎn)F且與平面AEq平行，則平面a截正方體ABCD-A1B1C1D1所得的截面面積

為.

答案√6

6

4.(2021蘭州一模，16)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D,的棱長為1,點(diǎn)M在棱Λ1Dl±,ΛlM=2MD,,過M

的平面α與平面AlBC平行,且與正方體各面相交得到截面多邊形,則該截面多邊形的周長

為.

答案3方

5.(2021太原一模,19)如圖，在三棱錐P-ABC中，ΔPΛB是正三角形,G是APAB的重心,D,EJI

分別是PA,BC,PC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上,且BF=3FC.

(1)求證:平面DFH〃平面PGE;

(2)若PBJ_AC,AB=AC=2,BC=2√2,求二面角A-PC-B的余弦值.

解析(1)證明：連接BG,GD,由題意得BG與GD共線，且BG=2GD,YE是BC的中點(diǎn)，BF=3FC,,F

是CE的中點(diǎn)，；.絲等2,.?.GE"DF,=GEU平面PGE,DFC平面PGE,,DF〃平面PGEVH是PC

GDEFj

的中點(diǎn)，ΛFH/7PE,VHFd平面PGE,PEU平面PGE,,FH〃平面PGE,YDFnFH=F,二平面DFH〃

平面PGE.

(2)VAB=AC?,BC=2√2,ΛAB2+AC2=8=BC2,ΛAB±AC,VPB±AC,AB∩PB=B,AB,PBu平面

PAB,ΛAC±5F≡PAB,

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量石定的方向?yàn)閄軸,y軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

A-XyZ,由題意得Λ(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P(l,0,√3),則

7?(0,2,0),J‰(l,0,√3),??=(-l,2,-√3),於(-2,2,0),

設(shè)平面PAC的法向量是m=(x1,yl,z1),

7

則心?絲=0,.fl-?,貝Ijy尸0,令z∣hl,貝IJX產(chǎn)禽，.?.m=(禽,0,-D?設(shè)平面PBC的法

U?AP=0,⑶+v?z?=0，

向量是n=(x2,y2,Z。，則卜心=°，.?.任2+2y2-√3z2=0,令z-lj則

(∕??BC=0,(-2x2+2y2=0,

卜二f，Λn=(√3,√3,l),Λcos<m,n>=2V,易知二面角A-PC-B的平面角為銳角，,二

面角A-PC-B的余弦值為

綜合篇知能轉(zhuǎn)換

考法一判斷或證明線面平行的方法

1.（2021江西上饒重點(diǎn)高中四模,5）已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別是它們所在線段的

中點(diǎn),則滿足AF〃平面BDIE的圖形個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

答案B

2.（2022屆南昌豫章中學(xué)開學(xué)考，19）已知正方形ABCD的邊長為2,沿AC將aACD折起至AACP

的位置,如圖,G為APAC的重心，點(diǎn)E在邊BC上,且CE≈2EB.

（1）證明：GE〃平面PAB;

（2）若GElPA,求二面角A-EC-G的余弦值.

解析（1）證明：連接CG并延長,交AP于點(diǎn)F,連接EG,BF,因?yàn)镚是4PAC的重心,所以CG=2GF,

因?yàn)镃E=2EB,所以等幺2,所以GE√FB,又GEQ平面PAB,BFU平面PAB,所以GE〃平面PAB.

GFEB

⑵因?yàn)镚E±PΛ,GEFB,所以BF±PΛ,又在aPAB中，F(xiàn)為AP的中點(diǎn)，所以PB=AB=2.連接PG,

并延長PG交AC于點(diǎn)0,連接0B,則0為AC的中點(diǎn),且P0=B0=2cos45o=方，

8

所以P02+B02=PB2,所以POLBO,又因?yàn)棣獵±BO,ΛC±PO,所以O(shè)B,0C,OP兩兩垂直，以0為坐標(biāo)

原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則C(0,√2,0),A(0,-√2,O),E(^,*O),G(O,0,9，

則惑(等,^,O)?(O,-√2,歲,設(shè)平面ECG的法向量為n=(x,y,z),

P72√2?2√2_

n?EC=--x+-y=0n,

一3?取x=l,則n=(l,1,3),

(/7?CG=-V2y+*z=0,

易知平面AEC的一個法向量為m=(0,0,1),

所以cos<m,>:：JF,

?m???n?11

因?yàn)槎娼茿-EC-G為銳二面角,

所以二面角A-EC-G的余弦值為箸.

3.(2022屆陜西西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)月考，⑻如圖，在長方體ABCDFBCD中,

AB=√3,AA∣=2,AD=I,E,F分別是AA1和BBl的中點(diǎn),G是DB上的點(diǎn)，且DG=2GB.

(1)求三棱錐B「EBC的體積；

⑵作出長方體ΛBCD-ΛlB,ClD,被平面EB1C所截的截面(只需作出，說明結(jié)果即可);

(3)證明：GF〃平面EB1C.

解析⑴三棱錐B1-EBC的體積L-EBC=L∕?BC=XQX1X2)×√3=^.

(2)取AD的中點(diǎn)M,連接EM,MC,則截面EMCB1即為所求.

9

(3)證明：設(shè)MCnDB=N,連接BN因?yàn)锳D〃BC,所以^DMNs∕?BCN,所以聘=?又DG=2GB,所以

rfivUCL

DN=NG=GB,

又B1F=FB,所以GF〃NB”又GFa平面EB,C,NBIU平面EB1C,故GF〃平面EB1C.

4.(20215?3原創(chuàng)題)直角梯形ABCD中,AB〃CD,ABJ_EC,AB=BC=2,CD=4,AE_LDC,沿AE折起,

使平面DAEJ_平面ABCE.連接BD,DC1設(shè)AE,DC的中點(diǎn)分別為G,H,連接GH.

(1)求證:GH〃平面ABD;

(2)求二面角A-BD-C的大小.

解析（1）證明：由題意可知四邊形ABCE為正方形,

取BD的中點(diǎn)M,連接AM,HM,又：G,H分別為AE,DC的中

點(diǎn)，.?.AG"BC,AG=∣BC,HM/7BC,HM=IBC,.,.AG"HM,AG=HM,/.四邊形AGHM為平行四邊

/g,ΛGH/7AM.VGHC平面ABD,AMU平面ABD,二GH〃平面ABD.

⑵；平面DAEJ_平面ABCE,平面DAE∩平面ABCE=AE,AE±DE,DEU平面DAE,,DE，平面

ABCE.

分別以ED,EC,EA所在直線為X,y,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,2),B(0,2,2),C(0,2,0),D(2,0,0).設(shè)平面ABD的法向量為nl=(x,,y,,z,),

；屜(2,0,-2),正(0,2,0),

10

.(ΛB?∕7ι=2yι=0,

則Yi=O,令X1=I,得Z1=I,

(AD?nl=2x1-2zi=0,

所以π1=(1,0,1),

同理可得平面CBD的一個法向量為n2=(l,1,0),

“OS/,n,>=?4,易知二面角A-BD-C為鈍二面角，，二面角A-BD-C的大小為今

5.(2021南昌一模，19)如圖，三棱柱ABC-ABa中，^ABC和AAAC是等邊三角形.E,F分別為

棱ΛΛl,AC的中點(diǎn),平面AACC，平面A1B1C1.

(1)若三棱柱ABC-A1B1C1的體積為3,求AA1;

(2)在線段BF上是否存在點(diǎn)G,使得AG〃平面B,EF?證明你的結(jié)論.

解析(1)設(shè)底面邊長為a(a>0),則“小功q=^a2.

5

又AAAC是等邊三角形，則AA,≈a,ZAA1C1=^-,又平面AAlC1ClFffiA1B1C,,

所以A到平面A1B1C1的距離為h=asin手等a,

所以以冊/IMIq=S?h=γ×ya3=3,

所以a3=8,即a-2,即AA∣=2.

(2)存在BF的中點(diǎn)G滿足條件.證明如下:取BBl的中點(diǎn)H,連接AH,GH,在平行四邊形ΛΛ,BlB

中，E,H分別為AA1,B1B的中點(diǎn)，所以AH〃BE又AH￠平面B1EF,BlEU平面B1EF,所以AH〃平面

B1EF.GH?ΔBlBF?中位線，貝IJGH//B1F,又GHa平面B,FE,BFU平面B1EF,所以GH〃平面B1EF.

又AH∩GH=H,AH,GHU平面AHG,所以平面AGH〃平面B1EF,因?yàn)锳GU平面AGH,所以AG〃平面

B1EF.

故在線段BF上存在點(diǎn)G,使得AG〃平面B1EF.

11

6.(2020河南天一大聯(lián)考4月聯(lián)考，18)如圖,五面體ABCDEF中,AE=√?F,平面DAEL平面ABFE,

平面CBF_L平面ABFE,/DAE=NDEA=/CFB=NCBF=NEAB=∕FBA=45°,AB〃EF,點(diǎn)P是線段AB

上靠近A的三等分點(diǎn).

(1)求證:DP〃平面CBF;

(2)求直線DP與平面ACF所成角的正弦值.

解析⑴證明：如圖,分別取AE,BF的中點(diǎn)M,N,連接DM,CN,MP,MN,由題可知

AD=DE,ZADE=90o,設(shè)AD=DE=1,易知DMJ_AE,且AM=當(dāng).因?yàn)槠矫鍰AEl.平面ABFE,平面DAE∩

平面ABFE=AE,且DMU平面DAE,所以DMJ_平面ABFE.

同理,CN_L平面ABFE.所以DM/7CN.

因?yàn)镈MC平面CBF,CNU平面CBF,所以DM〃平面CBF.因?yàn)锳E=√2EF,NEAB=NFBA=45°,所

以AP=l=gAB.因?yàn)锳M=APCoS45°,所以NAMP=90°,

所以AAMP是以AP為斜邊的等腰直角三角形，

所以NMPA=45°,而NFBA=45°,則MP〃FB.

因?yàn)镸Pd平面CBF,FBU平面CBF,所以MP〃平面CBF.因?yàn)镸P∩DM=M1所以平面DMP〃平面

CBF.

因?yàn)镈PU平面DMP,所以DP〃平面CBF.

(2)連接PE,以P為原點(diǎn),AB,PE所在直線分別為X軸,y軸，以過點(diǎn)P且垂直于平面ABFE的直

線為Z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AD=DE=I,則

A(-ι,o,O),C(∣,?,F(l,1,0),P(0,0,θ),?(-?,?,騎,所以法(2,1,0),正&T3

12

設(shè)平面AFC的法向量為n=（x,y,z）,

取x=-2,則y=4,z=3√2,即n=（-2,4,3√2）.

易知屜段，設(shè)直線DP與平面ACF所成的角為。.故Sine=M

4N411UII∕/1

即直線DP與平面ACF所成角的正弦值為誓.

考法二判斷或證明面面平行的方法

1.（2021山西名校4月聯(lián)考,5）設(shè)1表示直線，ɑ,B,丫表示不同的平面,則下列命題中正確

的是（）

A.若1〃α且α_LB,則1_LB

B.若丫〃a且丫〃6,則Ci〃B

C.若l〃a且1〃B,則a〃B

D.若丫_La且γJ.B,則a〃0

答案B

2.（2018課標(biāo)1,12,5分）已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面ɑ所成的角都相等,

則ɑ截此正方體所得截面面積的最大值為（）

λ3√3d2√3r3√2n√3

A?τB?VC?VD?T

答案A

3.（2021河南、安徽重點(diǎn)高中第一次聯(lián)考，19）如圖，已知四邊形ABCD為等腰梯

形,BC√AD,ZABD=90o,四邊形ADMN為矩形,點(diǎn)G,H分別是線段MN,CD的中點(diǎn)，點(diǎn)I在線段

AD上.

NGM

13

(1)探究:是否存在點(diǎn)I,使得平面GHl〃平面ACN,并證明；

(2)若DM=BC=IAD=4,線段MN在平面ABCD內(nèi)的投影與線段AD重合,求多面體ADMNBC的體積.

解析(D當(dāng)點(diǎn)I為線段AD的中點(diǎn)時,平面GHl〃平面ACN.下面給出證明：在矩形ADMN中，

因?yàn)镮,G分別是線段AD,MN的中點(diǎn),所以IG〃AN,

又IG￠平面ACN,ANU平面ACN,所以IG〃平面ACN.

在aACD中，因?yàn)镮,H分別為線段AD,CD的中點(diǎn),所以111〃AC,又IIK平面ACN,ACU平面ACN,

所以IH〃平面ACN.

因?yàn)镮GnlH=I,IHU平面GHLlGU平面GHI,

所以平面GHI//平面ACN.

(2)如圖，過點(diǎn)C作CE±ΛD于E,因?yàn)榫€段MN在平面ABCD內(nèi)的投影與線段AD重合,所以平面

ADMNj"平面ABCD,而平面ADMNn平面ABCD=AD,CEU平面ABCD,所以CE_L平面ADMN.同

理,DMl.平面ABCD.

在(1)的條件下，連接IB,IC.在aABD中，因?yàn)棣獴±BD,AD=8,故IBWAD=4,易知IC=4.又因?yàn)?/p>

BC=4,故AIBC是等邊三角形,其高為2百,即CE=2√3.連接BM,故V步面體

CE+??DM=I×4×8×2√3+∣×∣×4×2√3×4=^.

ADaNBC二VBADMX+VB(DM=VBM)MN+VMBG)=S矩形ADMNΔBCD

4.(2022屆黑龍江大慶月考，19)如圖，在三棱柱ABC-ABa中，側(cè)棱AA」底面

o

A1B1C1,ZBAC=90,AB=4,AC=AA尸2,M是AB的中點(diǎn),N是A1B1的中點(diǎn),P是BG與B1C的交點(diǎn).

(1)證明：平面BCIN〃平面A1CM;

(2)求點(diǎn)P到平面A1CM的距離.

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解析⑴證明：連接MN,因?yàn)镸,N分別為ΛB,AB的中點(diǎn)，所以MN/7BB,,MN=BB,,又

CC1√BBl,CC1=BB1,所以MN/∕CC,,MN=Cc”則四邊形CMNC1是平行四邊形,所以C1N/7CM,又C1NC

平面A,CM,CMU平面AleM,所以CIN〃平面A1CM.又AlN〃BM,AlN=BM,所以四邊形BMA1N是平行四

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邊形,所以BN√A,M,又BNCt平面A1CM,A1MCFfflA1CM,所以BN〃平