專題12圓

F???j,

~7\

圓是中學(xué)數(shù)學(xué)重要的重難點知識，中考中多以選擇題、填空題和解答題形式計算問題出現(xiàn)，也是壓軸

題的高頻考點，主要考查基本概念、基本技能以及基本的數(shù)學(xué)思想方法，除了這些基礎(chǔ)之外，還有對學(xué)生

的幾何知識，函數(shù)與幾何的綜合問題的考查，動態(tài)問題，數(shù)形結(jié)合問題，分類討論問題，存在性問題等等,

對綜合能力的考查要求很高，難度系數(shù)較難。主要體現(xiàn)的思想方法：轉(zhuǎn)化的思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)

合的思想等。

1.理解圓、弧、圓心角、圓周角的概念，了解等弧、等圓的概念;

2.掌握垂徑定理；

3.了解圓周角定理及其推論：圓周角與圓心角及其所對弧的關(guān)

系、直徑所對圓周角的特征,圓內(nèi)接四邊形的對角互補.

4.了解點與圓、直線與圓的位置關(guān)系；

5.掌握切線的概念，理解切線與過切點的半徑之間的關(guān)系；能

判定一條直線是否為圓的切線，會過圓上一點畫圓的切線，了解切

線長定理.

6.弧長及扇形面積的計算

7.正多邊形的概念

8.正多邊形與圓的關(guān)系

快板框秦口

Vfc-----.==一一—一----?S≡τ

與圓有關(guān)的角及性質(zhì)

圓的內(nèi)接正多邊形

一、圓的有關(guān)概念及性質(zhì)

考點一、圓的有關(guān)概念

1.圓的定義

如圖所示，有兩種定義方式：

①在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫

做圓.固定的端點O叫做圓心，以O(shè)為圓心的圓記作。0,線段OA叫做半徑；

②圓是到定點的距離等于定長的點的集合.

A

要點：圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小.

2.與圓有關(guān)的概念

①弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦；如上圖所示線段AB,BC,AC都是弦.

②直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，如AC是。。的直徑，直徑是圓中最長的弦.

③弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧，如曲線BC、BAC都是。。中的弧，分別記作BC,

BAC.

④半圓：圓中任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓，如AC是半圓.

⑤劣?。合馚e這樣小于半圓周的圓弧叫做劣弧.

⑥優(yōu)?。合馚AC這樣大于半圓周的圓弧叫做優(yōu)弧.

⑦同心圓：圓心相同，半徑不相等的圓叫做同心圓.

⑧弓形：由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形.

⑨等圓：能夠重合的兩個圓叫做等圓.

⑩等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧.

?圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角，如上圖中NAOB,NBOC是圓心角.

?圓周角：頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角，如上圖中NBAC、NACB都是圓周角.

考點二、圓的有關(guān)性質(zhì)

L圓的對稱性

圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的直線都是它的對稱軸，有無數(shù)條.圓是中心對稱圖形，圓心是對稱中心,

又是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，即旋轉(zhuǎn)任意角度和自身重合.

2.垂徑定理

①垂直于弦的直徑平分這條弦，且平分弦所對的兩條弧.

②平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.如圖所示：

要點：在圖中(1)直徑CD,(2)CD±AB,(3)AM=MB,(4)AC=BC,(5)AD=BD.若上述5個條件有

2個成立，則另外3個也成立.因此，垂徑定理也稱“五二三定理即知二推三.

注意：（1）（3）作條件時，應(yīng)限制AB不能為直徑.

3.弧、弦、圓心角之間的關(guān)系

①在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等；

②在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，它們所對應(yīng)的其余各組量也相等.

4.圓周角定理及推論

①圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.

②圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦是直徑.

要點：圓周角性質(zhì)的前提是在同圓或等圓中.

一、單選題

1.（2021?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）設(shè)圓錐的底面圓半徑為r,圓錐的母線長為/,滿足2汁/=6,這樣的圓錐的

側(cè)面積（）

9999

A.有最大值?πB.有最小值二πC.有最大值彳πD.有最小值；兀

47422

【答案】C

【分析】

329

由2r+∕=6,得出1=6-2r,代入圓錐的側(cè)面積公式：S（M=π”,利用配方法整理得出，Swι=-2π（r-∣）+-π,

再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【解析】

解：V2r+∕=6,

Λ1=6-2r,

3939

22

.?.圓錐的側(cè)面積Swj=πr∕=π∕<6-2r）=-2π（戶-3r）=-2π[（r--）--]=-2π（r--）+-τι,

39

???當(dāng)時，S側(cè)有最大值7九.

故選：C.

【點睛】

本題考查了圓錐的計算,二次函數(shù)的最值,圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形,這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，

扇形的半徑等于圓錐的母線長.熟記圓錐的側(cè)面積：S=J?2Q?"Q/是解題的關(guān)鍵.

2.（2021.四川巴中.中考真題）如圖，AB是。。的弦，且48=6,點C是弧48中點，點。是優(yōu)弧AB上的

一點，NAnC=30。，則圓心。至IJ弦AB的距離等于（）

D

C

A.??/?B.；C.-73D.

【答案】C

【分析】

連接OA,AC,0C,OC交AB于E,先根據(jù)垂徑定理求出AE=3,然后證明三角形OAC是等邊三角形，從

而可以得到NoAE=30。，再利用三線合一定理求解即可.

【解析】

解：如圖所示，連接。4,AC,0C,OC交AB于E,

YC是弧AB的中點，AB=6,

：.OCLAB,AE=BE=3,

,：ZADC=30o,

.?.∕A0C=2NAnC=60。，

XVOA=OC,

二ZiOAC是等邊三角形，

YOCJLAB,

?OC=OE-^-OC=^-AO,OE2+AE2=AO2,

22

???OE2+32=4OE2

,

.?OE=Wl

圓心O到弦AB的距離為√3,

故選C.

【點睛】

本題主要考查了圓周角與圓心角的關(guān)系，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，垂徑定理，解題的關(guān)鍵在

于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解.

3.（2021?廣西百色?中考真題）下列四個命題：①直徑是圓的對稱軸；②若兩個相似四邊形的相似比是1：3,

則它們的周長比是1：3,面積比是1：6；③同一平面內(nèi)垂直于同一直線的兩條直線互相平行；④對角線相

等且互相垂直的平行四邊形是正方形.其中真命題有（）

A.①③B.①④C.③④D.②③④

【答案】C

【分析】

根據(jù)有關(guān)性質(zhì)，對命題逐個判斷即可.

【解析】

解：①直徑是圓的對稱軸，直徑為線段，對稱軸為直線，應(yīng)該是直徑所在的直線是圓的對稱軸，為假命題;

②若兩個相似四邊形的相似比是1：3,面積比是1：9,而不是1：6,為假命題；

③根據(jù)平行和垂直的有關(guān)性質(zhì)，可以判定為真命題；

④根據(jù)正方形的判定方法，可以判定為真命題；

故答案選C.

【點睛】

此題考查了命題的判定，熟練掌握命題有關(guān)內(nèi)容的基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵.

4.（2021?貴州遵義?中考真題）如圖，點C是以點。為圓心，AB為直徑的半圓上一點，連接AC,BC,OC.若

AC=4,BC=3,則sin/BOC的值是（）

【答案】B

【分析】

如圖，過點C作CHLAB于從利用勾股定理求出A8,再利用面積法求出C”,可得結(jié)論.

【解析】

解：如圖，過點C作CH_LAB于H.

二

VAB是直徑，

，NACB=90。，

?.?AC=4,BC=3,

?,?AB=AC1+BC2=√42+32=5>

OC=AB=∣?,

：S.C=g?ABYH=I?AC?BC,

.??S=吆=乜，

55

12

.??s加NB。C=更=1=*,

OC525

2

故選：B.

【點睛】

本題考查圓周角定理，解直角三角形等知識,解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用面積法求出C”的長，屬于中考?？碱}

型.

5.（2021?四川內(nèi)江?中考真題）如圖，）。是AABC的外接圓，NBAC=60°,若。的半徑OC為2,則弦BC

的長為（）

O

A.4B.2√3C.3D.石

【答案】B

【分析】

過點。作OMJ.8C,交BC于點M,根據(jù)圓周角定理以及垂徑定理可得結(jié)果.

【解析】

解：過點。作OM_LBC,交BC于點M,

「0。是ΔABC的外接圓，ZfiAC=60°,

.?.ZBOC=2ZBAC=120°,

又OB=OC,OMLBC,

NCoM=-NBOC=60o,MB=MC,

2

..在RtACOM中，NoCM=30°,

..OM=^OC=I,CM=NoC2-OM2=5

.?.BC=2CM=2√3，

故選：B.

【點睛】

本題考查了垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，熟知相關(guān)性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵.

6.（2021.山東青島.中考真題）如圖，AB是O的直徑，點E,C在。上，點A是EC的中點，過點A畫

。的切線，交BC的延長線于點￡）,連接EC.若NA￡>3=58.5。，則NACE的度數(shù)為（）

A.29.5°B.31.5°C.58.5°D.63°

【答案】B

【分析】

根據(jù)切線的性質(zhì)得到BALAO,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出NB,根據(jù)圓周角定理得到NACB=90。，進(jìn)而求

出∕BAC,根據(jù)垂徑定理得到BALEC,進(jìn)而得出答案.

【解析】

解：?.N。是。。的切線，

：.BALAD,

VNAOB=58.5°,

ΛZB=90o-ZΛDβ=31.5o,

?.?AB是。。的直徑，

,ZACB=90o,

，ZBΛC=90o-ZB≈58.5o,

；點A是弧EC的中點，

：.BALEC,

：.ZACE=90o-ZBAC=31.5o,

故選：B.

【點睛】

本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵.

7.（2021?遼寧沈陽?中考真題）如圖，ABC是。的內(nèi)接三角形，AB=2√3,ZACB=GOo,連接。4,OB,

則AB的長是（）

r4兀

D.—

3

【答案】D

【分析】

過點。作ODLM于￡>,根據(jù)垂徑定理求出AD,根據(jù)圓周角定理求出NAO3,根據(jù)正弦的定義求出04,

根據(jù)弧長公式計算求解.

【解析】

解：過點。作ODj于。,

貝∣jAO=OB=LAB=G,

2

由圓周角定理得：NAO3=2NACB=I20。,

.?.NA")=60°,

/.OA=———

sinAAOD

2

120Tx24乃

λb1803

故選：D.

【點睛】

本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握垂徑定理、圓周角定理、弧長公式是解題的關(guān)鍵.

8.（2021?青海西寧?中考真題）如圖，ABC的內(nèi)切圓。與AB,8C,AC分別相切于點。，E,F,連接OE,

OF,ZC=90o,AC=6,BC=S,則陰影部分的面積為（）

A.2」乃

B.4——πC.4-πD.?--π

224

【答案】C

【分析】

連接。。，由題意，先利用勾股定理求出AB的長度，設(shè)半徑為廣，然后求出內(nèi)切圓的半徑，再利用正方形

的面積減去扇形的面積，即可得到答案.

【解析】

解：連接。。，如圖：

在；A8C中，ZC=90o,AC=6,BC=S,

由勾股定理，則

AB^y∣AC2+BC2=√62+82=IO，

設(shè)半徑為r,則8=0E=O戶="，

二CF=CE=OE=OF=K,

???四邊形CEoF是正方形；

由切線長定理，^?AD=AF=6-r,BE=BD=8-r,

?：AB^AD+BD,

***6—+8—/"=10,

解得：r=2,

,OD=OE=OF=I-,

9xπx22

，陰影部分的面積為：S=2x2-0=4-πi

360

故選：C.

【點睛】

本題考查了三角形的內(nèi)切圓，切線的性質(zhì)，切線長定理，求扇形的面積，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是

熟練掌握所學(xué)的知識，正確的進(jìn)行解題.

9.（2021?西藏?中考真題）如圖，ABCO內(nèi)接于00,/0=70。，OAj_BC交0。于點A,連接AC,則NOAC

的度數(shù)為（）

D

A

A.40oB.55oC.70oD.IlOo

【答案】B

【分析】

連接。&O3根據(jù)圓周角定理得到NBOC=2N。=140。，根據(jù)垂徑定理得到NCQ4=；NBOC=70。，根

據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解析】

解：連接08,OC9

VZD=70o,

ΛZBOC=2ZZ)=140o,

VOA±BC,

ZCOA=-ZBOC=70°,

2

VOA=OCf

.?ZOAC=ZOCA=-(180°-70°)=55°,

2

故選：B.

A

【點睛】

本題考查了三角形的外接圓與外心，垂徑定理，等腰三角形性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，正確的作出輔助

線是解題的關(guān)鍵.

10.（2021?遼寧阜新?中考真題）如圖，弧長為半圓的弓形在坐標(biāo)系中，圓心在（0,2）.將弓形沿X軸正方向

無滑動滾動，當(dāng)圓心經(jīng)過的路徑長為2（）2br時，圓心的橫坐標(biāo)是（）

A.2020萬B.Iolot+2020C.202UD.101U+2020

【答案】D

【分析】

求出一個周期圓心走的路程，即可求出圓心經(jīng)過的路徑長為202反時圓心的位置，故可求解.

【解析】

如圖，圓心在（0,2）,可得,=2

/她，；萬我

，OA=-X2πr=πAB=2r=4,BC--×2πr=π,='2r=%=/

4

???一個周期圓心經(jīng)過的路徑長為OA+1恥+?bjBC=4萬,

ΛC（4+2%，0）,

故當(dāng)圓心經(jīng)過的路徑長為202Dr時,

202U÷4Λ?=505...1

，圓心的橫坐標(biāo)是505x（4+2乃）+乃=Ioll"+2020

【點睛】

此題主要考查弧與坐標(biāo)綜合，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出一個周期圓心經(jīng)過的路徑長.

二、填空題

IL（2021?江蘇淮安.中考真題）若圓錐的側(cè)面積為18π,底面半徑為3,則該圓錐的母線長是—.

【答案】6

【分析】

根據(jù)圓錐的側(cè)面積=”/,列出方程求解即可.

【解析】

解：?.?圓錐的側(cè)面積為18兀，底面半徑為3,

3π∕=18π.

解得:1=6,

故答案為：6.

【點睛】

本題考查了圓錐的側(cè)面積，解題關(guān)鍵是熟記圓錐的側(cè)面積公式，列出方程進(jìn)行求解.

12.（2021.四川德陽?中考真題）在銳角三角形ABC中，/4=30。，BC=2,設(shè)BC邊上的高為/?,則//的取

值范圍是.

【答案】2√3<?,2+√3

【分析】

如圖，BC為O的弦，OB=OC=2,證明AOBC為等邊三角形得到NBOC=60。，則根據(jù)圓周角定理得到

NBAC=30。，作直徑BO、CE,連接應(yīng);、CD,則NDC8=NEBC=90。，當(dāng)點A在OE上（不含。、E點）

時，ΔA3C為銳角三角形，易得CO=√?C=2g,當(dāng)A點為OE的中點時，A點到BC的距離最大，即Zz最

大，延長AO交BC于如圖，根據(jù)垂徑定理得到AHJ.3C,所以BH=CH=1,6*W=√3,則AH=2+√5,

然后寫出6的范圍.

【解析】

解：如圖，BC為，。的弦，OB=OC=2,

,BC=2,

OB=OC=BC,

.?.AO3C為等邊三角形，

/.ZBOC=60°,

.?.NBAC=LzBOC=30°,

2

作直徑3D、CE,連接BE、CD,則ZDCb=NfiBC=90o,

.??當(dāng)點A在CE上（不含。、E點）時，AABC為銳角三角形，

在RtΔBCD中，ZD=ZA4C=30o,

.?.CD=√3βC=2√3.

當(dāng)A點為OE的中點時，A點到BC的距離最大，即〃最大，

延長A。交BC于H,如圖,

A點為。E的中點，

片B=*C，

.?.AHlBC,

.-.BH=CH=I,

:.OH=6BH=√3,

:.AH=OA+OH=2+45,

〃的范圍為2√5<∕?,2+√5.

故答案為2百<∕ζ,2+√5.

A

【點睛】

本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的

一半.半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦是直徑.也考查了垂徑定理和勾股定理.

13.（2021?江蘇淮安?中考真題）如圖，AB是。。的直徑，CO是。O的弦，ZCAB=55o,則/。的度數(shù)是

【答案】35。

【分析】

根據(jù)直徑所對的圓周角是直角推出/ACB=90。，再結(jié)合圖形由直角三角形的性質(zhì)得到NB=90。-ZCAB^

35°,進(jìn)而根據(jù)同圓中同弧所對的圓周角相等推出NO=NB=35。.

【解析】

解：AB是。。的直徑，

，ZACB=90o,

?：ZCAB=55°,

：./8=90。-NCAB=35。，

ΛZD=ZB=350.

故答案為:35°.

【點睛】

本題主要考查了直徑所對的圓周角是直角，同弧所對的圓周角相等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知

識進(jìn)行求解.

14.(2021?遼寧盤錦?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，點A在X軸負(fù)半軸上，點B在P軸正半

軸上，。。經(jīng)過A,B,O,C四點，ZACO=120o,AB=4,則圓心點。的坐標(biāo)是

【答案】。(-百，1)

【分析】

先利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到/ABO=60。，再根據(jù)圓周角定理得到AB為。O的直徑，則D點為AB的

中點，接著利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到0B=2,0A=26,所以4(-2√3,O),B(0,2),

然后利用線段的中點坐標(biāo)公式得到。點坐標(biāo).

【解析】

解：：四邊形ABOC為圓的內(nèi)接四邊形，

二ZABO+ZACO=180°,

二ZABO=?80o-120°=60°,

；NAOB=90。，

.?.AB為。。的直徑，

.'O點為A8的中點，

在RtAABo中，VZASO=60o,

.,.0B=^AB=2,

ΛOA=√3OB=2√3,

(-2+,O),B(0,2),

；?。點坐標(biāo)為(-6，1).

故答案為(-√3,1).

【點睛】

本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的

一半.半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦是直徑.也考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì).

15.(2021?江蘇徐州?中考真題)如圖，AB是O的直徑，點C、。在。上，若NAPC=58。，則

ZBAC=°.

【答案】32

【分析】

由同弧所對的圓周角相等和直徑所對的圓周角為90。然后根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求出ZBAC的度數(shù).

【解析】

?：ZADC=58。，

,ZABC=ZADC=5^,

又,YB是直徑，

NAC3=90°,

ZBΛC=90°-58°=32°.

故答案為：32.

【點睛】

此題考查了同弧所對圓周角的性質(zhì)和直徑所對圓周角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握同弧所對圓周角的性

質(zhì)和直徑所對圓周角的性質(zhì).

16.（2021?內(nèi)蒙古?中考真題）如圖，在ABC。中，AZ）=I2,以4。為直徑的。與BC相切于點E,連接

OC.若OC=AB,則AfiCZJ的周長為.

【答案】24+66

【分析】

連接OE,作AFLBC于F,先證明AOEF為矩形，進(jìn)而證明Rt△A8F絲Rt△OCE,得到8F=CE=3,利用

勾股定理求出0C=3有，即可求出ABs的周長.

【解析】

解：如圖，連接OE,作AFLBC于F,

,：BE為。的切線，

NoEC=NoEB=90°,

'：AD//BC,

:,AF//OE,

四邊形AFEO為平行四邊形，

,.?NoEF=90。，

.?.AoEF為矩形，

：.AF=OE,EF=AO=AD=6,

：.四邊形ABCD為平行四邊形，

：.AB=CD,BC=AD=?2,

"：AB=OC

ΛRtΔABF絲RsOCE,

，BF=CE=3,

二在Λt?OCE中，OC=yjOE2+CE2=3√5，

：.AB=CD=OC=3y∕5,

.,.ABCQ的周長為為（12+3石）×2=24+6√5.

EC

故答案為：24+6√5

【點睛】

本題考查了圓的切線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形等知識，熟知

相關(guān)定理，并根據(jù)題意添加輔助線是解題關(guān)鍵.

17.（2021.遼寧營口?中考真題）如圖，ZMew=40。，以。為圓心，4為半徑作弧交（W于點A,交。N于點

B,分別以點4,B為圓心，大于;AB的長為半徑畫弧，兩弧在NMoN的內(nèi)部相交于點C,畫射線OC交AB

于點D,E為OA上一動點，連接8E,DE,則陰影部分周長的最小值為.

4

【答案】→+4

【分析】

先求出BO的長，作點。關(guān)于OM的對稱點D￠,連接5D0交OM于點E,連接OD￠,則=+

D￠E'=B,此時，BE+。E的最小值=Bo￠,進(jìn)而即可求解.

【解析】

解：由題意得：OC平分NMOM

，NBOD=-ZMON=20°，

2

...I/20π×44

..8Q的長=------=-π,

1809

作點。關(guān)于OM的對稱點D￠,連接8以交OM于點￡,連接0。叁則BE+DE=BE+Z)￠￡=53,此

時，3E+OE的最小值=3OC,

?/NA。M=NAoD=N8。。=20。，

o

：.ZBOD￠=60f

YOgOD=OB,

???4。。'是等邊三角形,

：?BD￠=08=4,

4

陰影部分周長的最小值=1t+4,

本題主要考查弧長公式以及等邊三角形的判定和性質(zhì)，通過軸對稱的性質(zhì)，構(gòu)造8E+OE的最小值=BD￠,

是解題的關(guān)鍵.

18.（2021?廣西柳州.中考真題）如圖，一次函數(shù)y=2x與反比例數(shù)），=：（%＞（））的圖像交于A,B兩點,點

z、7

M在以C（2,0）為圓心，半徑為1的C上，N是A〃的中點，已知QN長的最大值為則上的值是

32

【答案】

【分析】

根據(jù)題意得出ON是一A8M的中位線，所以。N取到最大值時，也取到最大值，就轉(zhuǎn)化為研究BM也取到

最大值時化的值，根據(jù)8,C,M三點共線時，BM取得最大值，解出B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)即可求解.

【解析】

解：連接BM,如下圖：

在二ABM中，

V。，N分別是AB,AM的中點,

.?.ON是.ABM的中位線,

.-.ON=-BM,

2

3

已知QN長的最大值為:，

此時的=3,

顯然當(dāng)氏CM三點共線時，取到最大值：BM=3,

BM=BC+CM=BC+l=3,

BC—2,

2

設(shè)即2),由兩點間的距離公式：BC=y∣(t-2)+4r=2,

(r-2)2+4/2=4,

4

解得：乙=1，2=0(取舍)，

?/8

4Rk

將以子？代入y='Q0),

解得：?=3?2g,

故答案是：∣j.

【點睛】

本題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、三角形的中位線、圓，研究動點問題中線段最大值問題，解題的關(guān)鍵

是：根據(jù)中位線的性質(zhì)，利用轉(zhuǎn)化思想，研究取最大值時女的值.

二、與圓有關(guān)的位置關(guān)系、正多邊形與圓、弧長及扇形面積

考點三、與圓有關(guān)的位置關(guān)系

1.點與圓的位置關(guān)系

設(shè)點與圓心的距離為d,圓的半徑為廣，

則點在圓外0d>r；點在圓上。d=r；點在圓內(nèi)。d<r.

②過不在同一直線上的三點有且只有一個圓.一個三角形有且只有一個外接圓.

③三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點.

三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等.

要點：

(1)圓的確定：

①過一點的圓有無數(shù)個，如圖所示.

③經(jīng)過在同一直線上的三點不能作圓.

④不在同一直線上的三點確定一個圓.如圖所示.

(G2)三角形的外接圓

經(jīng)過三角形三個頂點可以畫一個圓，并且只能畫一個.經(jīng)過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接

圓.三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心.這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形.三角形的外心就

是三角形三條邊的垂直平分線交點.它到三角形各頂點的距離相等，都等于三角形外接圓的半徑.如圖所

2.直線與圓的位置關(guān)系

①設(shè)r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離，直線與圓的位置關(guān)系如下表.

①設(shè)圓心到直線I的距離為d,圓的半徑為r,

則直線與圓相離od>r；直線與圓相切=d=r；直線與圓相交Od<r.

②圓的切線.

切線的定義：和圓有唯一公共點的直線叫做圓的切線.這個公共點叫切點.

切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端.且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

友情提示：直線/是。O的切線，必須符合兩個條件：①直線/經(jīng)過。。上的一點A；②OAj

切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.

切線長定義：我們把圓的切線上某一點與切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長.

切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分這兩條

切線的夾角.

③三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的

內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形，三角形的內(nèi)心就是三角形三個內(nèi)角平分線的交點.

要點：

找三角形內(nèi)心時，只需要畫出兩內(nèi)角平分線的交點.

三角形外心、內(nèi)心有關(guān)知識比較

①三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點.

三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等.

②三角形的內(nèi)心是三角形三條內(nèi)角平分線的交點.

三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等.

3.圓與圓的位置關(guān)系

在同一平面內(nèi)兩圓作相對運動，可以得到下面5種位置關(guān)系，其中R、r為兩圓半徑（RNr）.d為圓心距.

①圓與圓的位置關(guān)系有五種：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含.

設(shè)兩圓心的距離為d,兩圓的半徑為4、々，則兩圓外離Od>∕j+弓

兩圓外切Ol=r\+r2

兩圓相交Oh—目<d<4+弓

兩圓內(nèi)切Od=卜一目

兩圓內(nèi)含u>d<∣{-G∣

②兩個圓構(gòu)成軸對稱圖形，連心線（經(jīng)過兩圓圓心的直線）是對稱軸.

由對稱性知：兩圓相切，連心線經(jīng)過切點.兩圓相交，連心線垂直平分公共弦.

③兩圓公切線的定義：和兩個圓都相切的直線叫做兩圓的公切線.

兩個圓在公切線同旁時，這樣的公切線叫做外公切線.

兩個圓在公切線兩旁時，這樣的公切線叫做內(nèi)公切線.

④公切線上兩個切點的距離叫做公切線的長.

要點：

①相切包括內(nèi)切和外切，相離包括外離和內(nèi)舍.其中相切和相交是重點.

②同心圓是內(nèi)含的特殊情況.

③圓與圓的位置關(guān)系可以從兩個圓的相對運動來理解.

④"口一"''時，要特別注意，r∣>Γ2?

考點四、正多邊形和圓

L正多邊形的有關(guān)概念

正多邊形的外接圓（或內(nèi)切圓）的圓心叫正多邊形的中心.外接圓的半徑叫正多邊形的半徑，內(nèi)切圓的半

徑叫正多邊形的邊心距，正多邊形各邊所對的外接圓的圓心角都相等，這個角叫正多邊形的中心角，正多

邊形的每一個中心角都等于國-.

n

要點：

通過中心角的度數(shù)將圓等分，進(jìn)而畫出內(nèi)接正多邊形，正六邊形邊長等于半徑.

2.正多邊形的性質(zhì)

任何一個正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩圓是同心圓.正多邊形都是軸對稱圖形，偶數(shù)

條邊的正多邊形也是中心對稱圖形，同邊數(shù)的兩個正多邊形相似，其周長之比等于它們的邊長（半徑或邊心

距）之比.

3.正多邊形的有關(guān)計算

定理：正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形.

正n邊形的邊長a、邊心距r、周長P和面積S的計算歸結(jié)為直角三角形的計算.

360oCn.180°180°

a--------,a-2K?sin-------,r-Kn?cos------,

nnnnnn

R2=rn+國,￡=〃?%,S,=；4?小A=1匕?小

考點五、圓中的計算問題

1.弧長公式：/=—,其中/為n。的圓心角所對弧的長，R為圓的半徑.

180

2.扇形面積公式：S扇二喀,其中S啕=!東.圓心角所對的扇形的面積，另外S扇=L∕R?

36022

3.圓錐的側(cè)面積和全面積：

圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，這個扇形的半徑等于圓錐的母線長，弧長等于圓錐底面圓的周長.

圓錐的全面積是它的側(cè)面積與它的底面積的和.

要點：

在計算圓錐的側(cè)面積時要注意各元素之間的對應(yīng)關(guān)系，千萬不要錯把圓錐底面圓半徑當(dāng)成扇形半徑.

考點六、求陰影面積的幾種常用方法

（1）公式法；（2）割補法；（3）拼湊法；（4）等積變形法；（5）構(gòu)造方程法.

一、單選題

1.（2021?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）如圖，ZBAC=36°,點。在邊AB上，。。與邊AC相切于點。，交邊AB

于點E,F,連接FC,則NAFZ）等于（

C.35°D.37°

【答案】A

【分析】

連接。。，根據(jù)切線的性質(zhì)得到/490=90。，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到/人。。=90。-36。=54。，根據(jù)圓

周角定理即可得到結(jié)論.

【解析】

解：連接。

與邊AC相切于點。，

.?.ZADO=90°,

,/ZBAC=36°,

.?.ZAOD=900-36°=54°,

.,.ZAFD=-ZAOD=-×54"=27,

22

故選:A.

【點睛】

本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

2.(2021.廣西梧州.中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A(0,1),B(0,-5),若在X軸正半軸上有

一點C,使NACB=30。，則點C的橫坐標(biāo)是()

A.3√3+4√2B.12C.6+3√3D.6√3

【答案】A

【分析】

如圖，作，A3C的外接圓。，連接D4,OC,過。作3〃_LX軸于H,作OGLy軸于G,則四邊形

DGQH是矩形，再證明AABD是等邊三角形，再分別求解。",C"即可得到答案.

【解析】

解：如圖，作的外接圓D,連接D4,0B,DC,過。作ZWj_x軸于"，作。G_Ly軸于G,則四邊形

/X7OH是矩形，

A(0,l),B(0,-5),ZACB=30o,

.?.AB=6,ZADB=60o,DA=DB,

.1A8D是等邊三角形，

AG=BG=3,DG-?/e2—32=3-73,

OH=DG=3√3,DH=OG=AG-AO=2,

:.CH=^CD2-DH2=√62-22=

:.OC=OH+CH=7>s∣3+4√2.

ΛC(3√3+4>^,0).

故選：A.

【點睛】

本題考查的是坐標(biāo)與圖形，三角形的外接圓的性質(zhì)，圓周角定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定

與性質(zhì)，勾股定理分應(yīng)用，靈活應(yīng)用以上知識解題是解題的關(guān)鍵.

3.(2021?湖南湘潭?中考真題)如圖，BC為。。的直徑，弦ADlBC于點E,直線/切。。于點C,延長0。

交/于點F,若AE=2,ZABC=22.5°,則C尸的長度為()

B

CF

A.2B.2√2C.2y∕3D.4

【答案】B

【分析】

根據(jù)垂徑定理求得4C=CO，AE=DE=2,即可得到NCOD=2N4BC=45。，則△OEO是等腰直角三角形，得

出。。=2收，根據(jù)切線的性質(zhì)得到BCLCF得到AOb是等腰直角三角形，進(jìn)而即可求得

CF=OC=OD=26.

【解析】

解：’."C為。。的直徑，弦A。，BC于點E,AE=2,ZASC=22.5。，

?AC=CD,AE=DE=2,

：.ZCOD=2ZABC=45o,

.?.AOEO是等腰直角三角形，

：.OE=ED=2,

OD=y∣22+22=2√2^

Y直線/切。。于點C,

；.BCLCF,

...△0CF是等腰直角三角形，

：.CF=OC,

OC=OD=2叵,

CF=2√2>

故選：B.

【點睛】

本題考查了垂徑定理，等弧所對的圓心角和圓周角的關(guān)系，切線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，求得C尸=。C=OD

是解題的關(guān)鍵.

4.（2021?湖北荊門?中考真題）如圖，PA,PB是。。的切線，A,B是切點，若NP=70°,則NABO=（）

【答案】B

【分析】

先運用圓的切線長定理可以得到：PA=PB,再利用等腰三角形的性質(zhì)即可求出NPAB的度數(shù)，最后利用切

線的性質(zhì)解題即可.

【解析】

解：PA,PB是。。的切線，

.-.PA=PB

..ZPAB=APBA

.NP=70。

NPBA=（180°-70o）÷2=55o

OBLPB

:.ZOBP=900

/.ZABO=90°-55°=35°

故選：B.

【點睛】

本題考查圓的切線的性質(zhì)，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

5.（2021?湖南婁底?中考真題）如圖，直角坐標(biāo)系中，以5為半徑的動圓的圓心A沿X軸移動，當(dāng)OA與直

線/:>=之》只有一個公共點時，點A的坐標(biāo)為（）

A.(-12,0)B.(-13,0)C.(±12,0)D.(+13,0)

【答案】D

【分析】

當(dāng)。A與直線/:y=^x只有一個公共點時，則此時G)A與直線/:>=也相切，(需考慮左右兩側(cè)相切的情

況)；設(shè)切點為8,此時B點同時在OA與直線/:y=^x上，故可以表示出B點坐標(biāo)，過8點作3C〃Q4,

則此時ZXAOBSAOBC,利用相似三角形的性質(zhì)算出長度，最終得出結(jié)論.

【解析】

如下圖所示，連接AB,過B點作3C〃OA,

此時5點坐標(biāo)可表示為(x,9

二OC=?j∣W,BC=W,

在Rf。8C中，OB=NBC2+OC?=

又,：A半徑為5,

，AB=5,

'：BCIIOA,

.?.ΛAOB^ΛOBC,

,OAABOB

貝nI]—=——=——，

BOOCBC

OA_5

131I5II?

一?TM

12l112l1

.?.OA=I3,

；左右兩側(cè)都有相切的可能，

?,.A點坐標(biāo)為（±13,0）,

故選：D.

【點睛】

本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，熟知相似三角形的判定與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

6.（2021?福建?中考真題）如圖，AB為，O的直徑，點P在AB的延長線上，PCP。與：Q相切，切點分

別為C,D.若AB=6,PC=4,則SinNC4D等于（）

【答案】D

【分析】

連接OC,CP,OP是。。的切線，根據(jù)定理可知NoCP=90。，ZCAP=ZPAD,利用三角形的一個外角等

于與其不相鄰的兩個內(nèi)角的和可求NCAO=NCOP,在Rt△OCP中求出SinNCoP即可.

【解析】

解：連接0C,

C

CP,OP是G）O的切線，則NoCP=90。，ZCAP=ZPADf

：.ACAD=2ACAP,

?,OA=OC

：.ZOAC=NACO,

：.ZCOP=2ZCAO

：.ZCOP=ZCAD

???AB=6

：.0C=3

在Rt△CO尸中，OC=3,PC=4

：.OP=S.

4

.β.sinZC4D=sinZCOP=-

5

故選：D.

【點睛】

本題利用了切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系求解.

7.（2021.河北?中考真題）如圖，點。為正六邊形ABCOEE對角線正。上一點，SΛAFO=S,SΛCDO=2,則

S正六邊形ABCDEP的值是（)

C.40D.隨點。位置而變化

【答案】B

【分析】

連接AC.AD,CF,AD與CF交于點可知M是正六邊形ABCOE尸的中心,根據(jù)矩形的性質(zhì)求出SΔAFM=5,

再求出正六邊形面積即可.

【解析】

解：連接AC、AD.CF,4。與C尸交于點M,可知M是正六邊形ASCZJE萬的中心，

多邊形ABCDEF是正六邊形，

：.AB=BC,NB=NBAF=120°,

/.∕BAC=30°,

/.ZMC=90o,

同理，NDCA=NFDC=NDFA=90。,

，四邊形ACZ)F是矩形，

^ΔAFO+^ΔCOO=?S矩形AFDc=1°,SMFM=WS矩形C='>

S正六邊彩ABeDEF=6SAAHM=30,

故選：B.

【點睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是連接對角線，根據(jù)正六邊形的面積公式求解.

8.（2021?山東濰坊?中考真題）古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中記載了用尺規(guī)作某種六邊形的方法,

其步驟是：①在。。上任取一點4連接4。并延長交。。于點B；②以點8為圓心，8。為半徑作圓弧分

別交。。于C,兩點；③連接CO,OO并延長分別交。。于點E,E④順次連接BC,CF,FA,AE,ED,

DB,得到六邊形AFe3QE.連接A。，EF,交于點G,則下列結(jié)論錯誤的是.

,ED

A.ΔAoE的內(nèi)心與外心都是點GB.ZFGA≈ZF0A

C.點G是線段EF的三等分點D.EF=√2AF

【答案】D

【分析】

證明△AOE是等邊三角形,EnL。4,AOLOE,可判斷A；.證明/AGF=NAO尸=60。,可判斷B；證明FG=2GE,

可判斷C；證明EF=GAE可判斷

【解析】

解：如圖,

'ED

在正六邊形AEDBCF中，ZAOF=ZAOE=ZEOD=60o,

'：OF=OA=OE=OD,

.".∕?AOF,AOE,AEOO都是等邊三角形,

：.AF=AE=OE=OF,OA=AE=ED=OD,

二四邊形AEoF,四邊形AoOE都是菱形，

ΛAD10E,EFA.OA,

/?A0E的內(nèi)心與外心都是點G,故A正確,

?：NEAF=I20°,ZEAD=30o,

：.ZMD=90o,

,.?NAFE=30。,

,NAGF=ZAOF=GO0,故B正確，

'：ZGAE=ZGEA=30o,

：.GA=GE,

"FG=IAG,

LFG=2GE,

二點G是線段EF的三等分點，故C正確，

'：AF=AE,ZFAE=UOo,

：.EF=CAF,故O錯誤，

故答案為：D.

【點睛】

本題考查作圖-復(fù)雜作圖，等邊三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)心，外心等知識，解

題的關(guān)鍵是證明四邊形AEOF,四邊形AoDE都是菱形.

9.（2021?內(nèi)蒙古呼和浩特?中考真題）如圖，正方形的邊長為4,剪去四個角后成為一個正八邊形，則可求

出此正八邊形的外接圓直徑d,根據(jù)我國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉的“割圓術(shù)”思想，如果用此正八邊形的周長近似

代替其外接圓周長，便可估計的值,下面d及萬的值都正確的是（）

8(√2-1)B.d=4(#二1),I4sin22.5°

?zr≈8sin22.5°SS

-sin22.5°sin22.5°

4(√2-1)

?^≈8sin22.5oD.4=8(立二1),乃a4sin22.5°

sin22.5°sin22.5°

【答案】C

【分析】

根據(jù)勾股定理求出多邊形的邊長，利用多邊形內(nèi)角和求解內(nèi)角度數(shù)，再根據(jù)銳角三角函數(shù)求值即可.

【解析】

解：設(shè)剪去AABC邊長AC=BC=X,可得:

2x+?j2x-4，

解得44-2近，

貝IJβD=4√2-4,

:正方形剪去四個角后成為一個正八邊形，根據(jù)正八邊形每個內(nèi)角為135度,

.?.NC4B=NCSA=45°,

則∕8FD=22.5°,

???外接圓直徑d=BF=4(°7),

sin22.5°

根據(jù)題意知〃*周長÷d=[32√2?32)÷*EI)=8sin22.5°，

`>S加22.5。

故選：C.

【點睛】

本題考查了勾股定理、多邊