2022-2023學年北京市東城區(qū)高一（下）期末數(shù)學試卷

一、單選題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知向量五=（m,1）,3=（一1,2）.若五〃石，則m=（）

A.2B.1C.-1D.-：

2,復數(shù)z滿足i?z=1-23則z=（）

A.2—tB.-2—iC.1+2iD.1—2i

3.某中學為了解在校高中學生的身高情況，在高中三個年級各隨機抽取了10%的學生，并

分別計算了三個年級抽取學生的平均身高，數(shù)據(jù)如表：

年級高--高二高三

抽樣人數(shù)363430

平均身高XyZ

則該校高中學生的平均身高可估計為（）

A.3.6x+3.4y+3.0zB.葉尹

C.0.36x+0.34y+0.30zD.

4.已知圓錐SO的軸截面是一個邊長為2的等邊三角形，則圓錐S。的體積為（）

A.27rB.，^兀C.nD.，^兀

5.設a,b為實數(shù)，若普=l+i,則（）

b—Zi

A.a=1,b=-1B.a=5,b=3C.a=1,b=2D.a=1,b=3

6.將函數(shù)y=cosx-sinx的圖象向左平移卷個單位，所得圖象的函數(shù)解析式為（）

A.y=-y/-2sinxB.y=\j-2cosx

C.y=-sinx—cosxD.y=cosx+sinx

7.已知長方形墻4CFE把地面上B,D兩點隔開，該墻與地面垂直，長10米，高3米.已測得力B=

6米，BC=8米.現(xiàn)欲通過計算，能唯一求得B,。兩點之間的距離，需要進一步測量的幾何量

可以為（）

E

A.點。到4c的距離B.CO長度和DF長度

c.乙4cB和乙40cD.C。長度和NACO

8.設五，石為非零向量，|a|=|K|.則“乙方夾角為鈍角"是“|五+叩的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

9.如圖，直三棱柱A8C-中，AB1BC,AAy=AB,P為棱A]/的中點，Q為線段41c

上的動點.以下結論中正確的是（）

A.存在點Q,使BQ〃ACB.不存在點Q,使BQIBiG

C.對任意點Q，都有8Q1AB1D.存在點Q,使BQ〃平面PCG

10.如圖，質(zhì)點P在以坐標原點。為圓心，半徑為1的圓上逆時針

做勻速圓周運動，P的角速度大小為2rad/s,起點P0為射線y=

-x（x>0）與O0的交點.則當0<t<12時，動點P的縱坐標y關

于t（單位：s）的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

A.[0,5B.心半]C.號，增D.百，爭

二、填空題（本大題共5小題，共20.0分）

11.已知tana=tan0=則tan（a+夕）的值為

12.在邊長為1的正方形4BC。中，E為AB中點，則而.屈=.

13.如表是某市6月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)統(tǒng)計表.由表判斷，從6月日開始，連

續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大.

日期1234567891011121314

空氣

質(zhì)量6079905038263249486252383037

指數(shù)

14.已知z為復數(shù)，且|z-2i|=l,寫出滿足上述條件的一個復數(shù)2=；|z|的最大值

為.

15.金剛石也被稱作鉆石，是天然存在的最硬的物質(zhì)，可以用E

來切割玻璃，也用作鉆探機的鉆頭.金剛石經(jīng)常呈現(xiàn)如圖所示的

“正八面體”外形.正八面體由八個全等的等邊三角形圍成，體\..

現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.下面給出四個結論：X.\

①AE〃平面CDF；F

②平面ABE1平面BCE；

③過點E存在唯一一條直線與正八面體的各個面所成角均相等；

④以正八面體每個面的中心為頂點的正方體的棱長是該正八面體棱長的三1

其中所有正確結論的序號是.

三、解答題（本大題共5小題，共50.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

16.（本小題10.0分）

在△ABC中，角A,B,C所對的邊為a,b,c.C=^n,a=|c.

（I）求5出4

（H）若c=7,求△ABC的面積.

17.（本小題10.0分）

某市舉辦“強國有我，愛我中華”科技知識競賽，賽后將參賽的2000名學生成績分成4組：

①60sx<70,②70sx<80,③80sx<90,@90<%<100,并進行統(tǒng)計分析，公

布了如圖所示的頻率分布直方圖.

（I）估計這2000名學生科技知識競賽成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作

為代表)；

(n)某同學獲知自己的成績進入本次競賽成績前20%,估計該同學的成績不低于多少分?

18.(本小題10.0分)

已知函數(shù)/'(x)=asin2a)x+2cos2a)x(aG/?,&)>0).

(I)若/(乃為偶函數(shù)，求a的值；

(II)從下列三個條件中選擇兩個作為已知，使函數(shù)/(X)存在且唯一確定，并求/(x)在區(qū)間［0,另

上的最大值與最小值.

條件①：/(9=「+1;

條件②：一物的一個零點；

條件③：f(x)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為宏

19.(本小題10.0分)

如圖，四棱錐P-4BC。的底面是菱形，側(cè)面P4B是正三角形，M是PD上一動點，N是CO中

點.

(1)當時是「。中點時，求證：PC〃平面BMN；

(II)若N4BC=60。，求證：PC148；

(ID)在(II)的條件下，是否存在點M,使得PCIBM?若存在，求黑的值；若不存在，請說

明理由.

20.(本小題10.0分)

對于三維向量&=(xk,yk,z^(xk,yk,zk6N,k=0,1,2,--")>定義"尸變換”：ak+1=F(afc),

其中，xk+1=\xk-yk\,yk+1=\yk-zk\,z^+i=憶上一xj記位Q=4丫/上，II或II=4+

yk+Zk-

(I)若五o=(3,1,2),求(引及||五2H；

(n)證明：對于任意瓦，經(jīng)過若干次F變換后，必存在KeN*,使5Q=0；

(HI)已知為=(p,2,q)(qNp),||布||=2024,將五】再經(jīng)過m次F變換后，||詬||最小，求m的

最小值.

答案和解析

I.【答案】。

【解析】解：向量五=(m,l),b-(-1,2)>alib,

則2m=1x(―1),解得m=—；.

故選：D.

根據(jù)已知條件，結合向量共線的性質(zhì)，即可求解.

本題主要考查向量共線的性質(zhì)，屬于基礎題.

2.【答案】B

【解析】解：=l—2i,二一=—i(l—2i),z=-2-i

故選B.

可以直接求出復數(shù)z,化簡即可.

本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，是基礎題.

3.【答案】C

【解析】解：由題意可知：抽取的總?cè)藬?shù)為100,各年級的頻率依次為0.36,0.34,0.30,

所以該校高中學生的平均身高可估計為0.361+0.34y+0.30?

故選：C.

根據(jù)加權平均數(shù)的計算公式求解.

本題考查加權平均數(shù)的計算，屬于基礎題.

4.【答案】D

【解析】解：如圖所示，

圓錐S。中，底面圓半徑為r=04=1,

高為h=722-12=

所以圓錐SO的體積為：

1,1,「口

vmt-=2nrh=w".173=—Jr.

故選：D.

根據(jù)題意，利用圓錐的體積公式計算即可.

本題考查了圓錐體積的計算問題，是基礎題.

5.【答案】B

【解析】解：繆=l+i,

b-2i

則a+i=(b_2i)(l+i)=b+2+(b_2)i,即｛，二"j解得｛，二"

故選：B.

根據(jù)已知條件，結合復數(shù)的四則運算，以及復數(shù)相等的條件，即可求解.

本題主要考查復數(shù)的四則運算，以及復數(shù)相等的條件，屬于基礎題.

6.【答案】C

【解析】解：函數(shù)y=cosx-sinx=/~2cos(x+：),

函數(shù)y向左平行1個單位，

可得函數(shù)/'(%)=+今+])=V-2cos(x+，)=—cosx—sinx.

故選：C.

由輔助角公式可得函數(shù)y的解析式，再由向左平行移動，可得函數(shù)/(%)的解析式.

本題考查輔助角公式的應用，屬于基礎題.

7.【答案】D

【解析】解：在△ABC中，由余弦定理可求得NBAC和NBCA,

要求出BD的長，需解△48?；颉鰾CD,

解公ABD^^^DAC^HlAD,

解^BC。需知和邊CO.

故選：D.

由解三角形的知識分析即可.

本題考查解三角的實際應用，屬于中檔題.

8.【答案】a

【解析】解：根據(jù)題意，若五，方夾角為鈍角，則日石<0，

則0+K)2=a2+&2+2a-K<2a2,故有I五+6|<\[-2\a|>

反之，當日和加方向相反時有|五+至|<，下|不，但石夾角不是鈍角，

故“五,石夾角為鈍角”是方+石|<d五的充分不必要條件.

故選：A.

根據(jù)題意，由平面向量數(shù)量積的性質(zhì)可得''%石夾角為鈍角”是為+巧<「|菊”的充分條

件，反之，舉出反例，可得“五,B夾角為鈍角”不是方+B|<d磯”的必要條件，綜合可

得答案.

本題考查向量數(shù)量積的運算和性質(zhì)的應用，涉及充分必要條件的判斷，屬于基礎題.

4選項，由于BQC平面4BC=B,BgAC,4Cu平面ABC,則8Q,4c一定異面，4選項錯誤;

B選項，根據(jù)直三棱柱性質(zhì)，BN】_L平面力BC,BCu平面力BC,故SB11BC,

又AB1BC,4BnBB]=B,AB,u平面力BB1力「

故BUL平面

又u平面488出，

故BCJ.B4,

顯然BC〃/G，

即1BA1,

故A「Q重合時，BQlBiG，B選項錯誤；

C選項，直棱柱的側(cè)面ZBB14必是矩形，

Illji4i4|=ABi

故矩形4BB14成為正方形，

貝MB11BAlt

B選項已經(jīng)分析過，BC_L平面48務必，

由AB】u平面48當41，

故AB11BC,

又BCnB&=B,BC,B&u平面BC4「

故A/_L平面BCA],

又BQu平面BC4,

則BQ14%必然成立，C選項正確；

。選項，取4B中點M,連接CM,PM,

根據(jù)棱柱性質(zhì)可知，CM和QP平行且相等，

故平面PCG可擴展成平面CMPG，

過8作8N1CM,垂足為N,

根據(jù)BBi1平面ABC,BNu平面ABC,

故叫1BN,

顯然

故BNLCCi，

由BN1CM,CCinCM=C,eg,CMu平面CMPG，

故BN1平面CMPq,

若BQ〃平面PCC],

則BQ1BN,

過Q作QO〃BB「交41cl于。，連接&0,于是BQ。&共面,

又BQCBB、=B,BQ,BB】u平面BQOB*

故BN1平面BQOB「

由于a0u平面BQOBi，

故BNIBiO,延長OQ交4c于/,

易得B]O〃BJ,

則可_LBN,

而/在線段AC上，

這是不可能的，。選項錯誤.

故選：C.

4選項，根據(jù)異面直線的定義可以判斷；

B選項，容易發(fā)現(xiàn)公,Q重合時符合題意；

C選項，利用線面垂直的性質(zhì)得到線面垂直；

D選項，先找出平面PCG的一條垂線，問題轉(zhuǎn)化為判斷這條垂線是否和BQ垂直的問題.

本題考查了異面直線的判斷，線面垂直的判定與性質(zhì)，屬于中檔題.

10.【答案】B

【解析】解：因為P在單位圓上的角速度大小為2rad/s,起點為射線y=-久。2。）與。。的交

點，

所以4=1,3=2,8=-%所以動點P的縱坐標y關于t（單位：S）的函數(shù)y=sin（2t-今），

由一當+2/OTW2t-JWW+2/OT,k6Z,得一1+/otWtW當+/ot,keZ,

Z4Zoo

>in匕匚I、I八，，,3TTIn,*,lln157r,，，197r237r_x_27n

因為0<t412,所以0WtSR,—<t<—,—<t<—>—<t<

ooooooo

所以動點尸的縱坐標y關于t（單位：S）的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是：

「八37rlr77r11/T]「15TT19Tzi.237r277rl

故選:B.

根據(jù)題意求出y關于t（單位：S）的函數(shù)y=sin（2t-力，然后結合正弦函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)在

[0,12]上的增區(qū)間.

本題考查三角函數(shù)定義，考查三角函數(shù)性質(zhì)，屬于中檔題.

11.【答案】1

【解析】解：tana=1,tanp=

C1,1

??.tan（a+夕）=^^=率=1.

故答案為：1.

直接利用兩角和的正切公式求解.

本題主要考查了兩角和的正切公式，屬于基礎題.

12.【答案】-1

【解析】解：建立平面直角坐標系如下所示:

因為四邊形ABCD為邊長為1的正方形,

所以4(0,1),8(0,0),C(l,0),0(1,1),

又E為48中點，

所以E(0,》，

此時而=(1,0)，CE=

則而■CF=1x(-1)+0x1=-1.

故答案為：—1.

由題意，建立平面直角坐標系，求出相關向量，再進行求解即可.

本題考查平面向量數(shù)量積的應用，考查了邏輯推理和運算能力.

13.【答案】3

【解析】解：由表格數(shù)據(jù)可知，從6月3日開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)分別為90,50,38,

此時數(shù)據(jù)的波動最大，因此方差也最大.

故答案為：3.

根據(jù)方差的實際意義求解.

本題主要考查了方差的實際意義，屬于基礎題.

14.【答案】i3

【解析】解：z=i時，|z-2i|=|i-2i|=|-=1,

設2=a+bi,則|z—2i|=\a+(b-2)i|=Va2+(b-2)2=1，

?1?a2+(b-2)2=1,設。=cost,b=2+sint,則|z|=7a2+爐=

Vcos2t+sin2t+4sint+4=V4sint+5>

sint=1時，|z|取最大值3.

故答案為：i；3.

可看出z=滿足|z—2i|=l,設2=。+6，可得出a?+(b-2/=1,然后可設。=cost,

b—2+sint,這樣即可得出|z|=。4sint+5,從而可得出|z|的最大值.

本題考查了復數(shù)模的求法，復數(shù)的減法運算，siMa+cos2a=1,換元法的運用，考查了計算能

力，屬于中檔題.

15.【答案】①④

【解析】解：對于①，根據(jù)正八面體性質(zhì)可知，AE//CF,

又因為4E仁平面CDF,CFu平面CCF,

所以4E〃平面CDF,故①正確.

對于②，如下圖所示，

F

取BE中點G,連接AG,GC,AC,

根據(jù)等邊三角形性質(zhì)可知AG_LEB,CG1EB,

所以N4GC是二面角4-BE-C的平面角，

設該正八面體棱長為a,

則AC=a,AG=GC=~Y'a，

則在AAGC中，AG2+GC2=|a2^AC2,

所以乙4GC=90°,

所以平面ABE與平面BCE不垂直，故②錯誤；

對于③，直線AC,與正八面體的各個面所成角均相等，

將其平移后使其過點E,

則過點E至少存在兩條直線與正八面體的各個面所成角均相等，故③錯誤.

對于④，如下圖所示，

取AB,BC中點M,N,6.ABE,△BEC的中心P,Q,

連接AC,MN,EM,EN,

則PQ即正方體的一條棱，

設該正八面體棱長為a,

則4c=2a>MN=；4c=~Y'a，

根據(jù)蒜=晟=|,NPEQ=乙MEN,"EQ=乙MEN,

得APEQfMEN,

所以PQ=|MN=?a，

所以以正八面體每個面的中心為頂點的正方體的棱長是該正八面體棱長的故④正確.

故答案為：①④

根據(jù)線面平行的判定定理判斷①；

根據(jù)二面角相關知識判斷②；

根據(jù)線面角相關知識并結合圖形特點進而判斷③；

根據(jù)題意找出正方體的棱長，結合相似三角形從而判斷④.

本題考查了線面平行與面面垂直的判斷，線面角的求解，屬于中檔題.

16.【答案】解：（I）在△力BC中，由正弦定理知，亮=磊，

5171/ioITiU

crKI..asinC5.27r5V~3

所以sni4=---=--sin—=萬“.

（口）因為a=￡c,c=7,所以Q=5,

由余弦定理知,c2=a2+62—2abeosC,

所以49=25+b2-2?5?bcos今即廬+58—24=0,解得b=3或一8（舍負），

所以△A8C的面積S=^absinC=2x5x3xsin”="三.

2234

【解析】（I）利用正弦定理，即可得解；

（U）先由余弦定理求得b的值，再由S=gabs譏C,得解.

本題考查解三角形，熟練掌握正弦定理，余弦定理是解題的關鍵，考查邏輯推理能力和運算能力,

屬于基礎題.

17.【答案】解：(I)因為x=65x0.05+75x0.3+85x0.4+95x0.25=83.5,

所以這2000名學生競賽成績的平均數(shù)可以估計為83.5；

(口)因為［90,100］這組數(shù)據(jù)占總數(shù)的25%,該同學的成績進入本次競賽成績前20%,

所以100-10X翳=92,

25%

所以可以估計該同學的成績不低于92分.

【解析】(I)利用平均數(shù)的定義求解；

(II)根據(jù)百分位數(shù)的定義求解.

本題主要考查了頻率分布直方圖的應用，考查了平均數(shù)和百分位數(shù)的計算，屬于基礎題.

18.【答案】解:(I)因為/(%)=asin2a)x+2cos2a)x(aER,a)>0),

所以/(%)的定義域為R.

因為/(x)為偶函數(shù)，

所以VxER,/(-x)=/(x),

即V%6R,asin(—2a)x)4-2cos2(—a)x)=asin2a)x+2cos2a)x,

即Vx6R,asin2a)x=0,

所以Q=0.

(II)/(x)=asin2a)x4-2cos2a)x

=asin2a)x4-cos2a)x+1

=Va2+lsin(2cox+*)+1,其中Camp=，，

選擇條件①③：因為函數(shù)/(%)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為與

所以(=與即7=兀，

所以善=兀，即3=1,

2a)

因為/?)=+1,即asin(2x.)+2cos2=a+1=V~~3+1,

所以a=\T~3f

所以/(%)=2sin(2x+4-1.

因為0J號，

所以0<2x<n,

所以*號，

ooo

當2x+[=*即％屋時，f(x)取得最大值3；

當2x+《=(，即*=3時，f(x)取得最小值0.

選擇條件②③：因為函數(shù)/(%)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為今

所以5即7=兀，所以算=幾，即co=1.

222a)

因為不為/(X)的一個零點，

即Qsizi(-2xg)+2cos2—a+'=0?

所以Q=yf~3f

所以/(x)=2s沆(2x+?+l,

因為0<%<^,

所以0<2x<7T,

所以+

666

當2x+>今即x屋時，/(%)取得最大值3；

當2%+髀手即》=泄，/⑺取得最小值0.

【解析】(I)由題意利用偶函數(shù)的性質(zhì)可求VxeR,asin2a>x=0,即可得解a的值.

(H)利用三角函數(shù)恒等變換的應用化簡函數(shù)解析式可得/(%)=KTysin(23x+e)+1,其中

tang)-1

選擇條件①③：利用正弦函數(shù)的周期性可求3=1,由/(：)=￡+1,可得a=C，進而利用

正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解；

選擇條件②③：利用正弦函數(shù)的周期性可求3=1,由一看為/(%)的一個零點，可得a=C，進

而利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解；

本題考查了三角函數(shù)恒等變換以及正弦函數(shù)的性質(zhì)的綜合應用，考查了函數(shù)思想和轉(zhuǎn)化思想，屬

于中檔題.

19.【答案】(I)證明：因為點M是P。中點，點N是C。中點，所以MN〃PC,

因為PCC平面BMN,MNu平面BMN,

所以PC〃平面BMN.

(U)證明：如圖，取4B中點F,連接AC,PF,CF,

因為側(cè)面PAB是正三角形，所以PFLAB,

因為底面BCD是菱形，且乙4BC=60。，所以△ABC是等邊三角形,

所以CF14B,

因為PFJL4B,CF1AB,PFC\CF=F,PF,CFu平面PFC,

所以力B_L平面PFC,

因為PCu平面PFC,所以PC_L4B.

(UI)解：如圖，取PC中點E,連接BE,AE.

因為四棱錐P-ABCD的底面是菱形，側(cè)面P4B是正三角形，

所以PB=4B=BC,

所以BE1PC,

又因為PCAB,ABOBE=B,

所以PC1平面ABE,

過E作EM〃CD交PD于點M,

因為EM〃皿/AB,

所以點M6平面48E,

所以PC1平面BEM,

因為E為PC的中點，EM//CD,

所以PM=MD,

所以也

切以MD1.

【解析】(I)通過三角形的中位線性質(zhì)得到線線平行，然后利用線面平行的判定定理；

(H)由已知及菱形性質(zhì)得到正三角形，通過等邊三角形的三線合一得到線線垂直，從而得出線面

垂直，運用線面垂直的性質(zhì)得線線垂直；

(in)存在性問題，先求得直線與直線平行，結合中位線的性質(zhì)得出線段相等關系.

本題考查線面平行和線面垂直，使用方法：等腰三角形三線合一，三角形中位線等，是基礎題.

20.【答案】解：(I)因為瓦=(3,1,2),所以瓦=(2,1,1),而=(1,0,1),

所以<近>=0,||而||=2；

(U)設Mk=max{Xk，yk，Zk}(/c=0,1,2,...),

假設對VkGN,〈豆二〉H0,則人+1+，yk+1，Zk+i均不為0;

所以A4+i>