2023-2024學(xué)年四川省成都市高二下冊期中數(shù)學(xué)(文科)模擬試卷

一.選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)

1.設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足i(z-2)=3(i為虛數(shù)單位)，則Z=()

A.2+3iB.2-3iC.3+2iD.3-2i

2.下列各式正確的是()

A.(sina),=cosa(a為常數(shù))B.(cosx),=sinx

C.(sinx),=cosxD.(x5),=--?-z6

5

3.從三件正品、一件次品中隨機(jī)取出兩件，則取出的產(chǎn)品全是正品的概率是

()

A.?B.?C.?D.無法確定

428

4.曲線y=χ3-2x+4在點(diǎn)(1,3)處的切線的傾斜角為()

A.30oB.45oC.60oD.120°

5.已知在數(shù)軸上0和3之間任取一實(shí)數(shù)X,則使"X?-2x<0"的概率為()

A.?1B.1?2C.4D.?1

48312

6.設(shè)f(x)=x-sinx,則f(x)()

A.既是奇函數(shù)又是減函數(shù)B.既是奇函數(shù)又是增函數(shù)

C.是有零點(diǎn)的減函數(shù)D.是沒有零點(diǎn)的奇函數(shù)

7.對任意的XeR,函數(shù)f(x)=χ3+aχ2+7ax不存在極值點(diǎn)的充要條件是()

A.0≤a≤21B.a=0或a=7C.aV0或a>21D.a=0或a=21

8.設(shè)函數(shù)f(X)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y=f(X)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)f'(X)

的圖象可能是()

9.在5件產(chǎn)品中，有3件一等品和2件二等品，從中任取3件，則至少有2件

一等品的概率是()

A.—β.—C.—D.—

5101010

IO.假設(shè)你家訂了一份牛奶，奶哥在早上6：OO——7：OO之間隨機(jī)地把牛奶

送到你家，而你在早上6：30——7：30之間隨機(jī)地離家上學(xué)，則你在離開家

前能收到牛奶的概率是()

A.—B.—C.?D.—

8828

11.函數(shù)f(X)=χ3-3aχ-a在(0,1)內(nèi)有最小值，則a的取值范圍是()

A.0≤a<lB.O<a<lC.-l<a<lD.OVaVL

2

3

12.?xι∈(1,2),3X2∈(1,2)∣nxι=xι+^-mχ2-ιnx2,則正實(shí)數(shù)m的取

值范圍是()

A.(3-?ln2,+∞)B.[3-∣-ln2,+∞)C.[3-3ln2,+∞)D.(3-3ln2,

+∞)

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分).

13.復(fù)數(shù)Z*(其中i為虛數(shù)單位)，化簡后Z=______.

1+1

14.已知變量X,y具有線性相關(guān)關(guān)系，它們之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示，若y

關(guān)于X的線性回歸方程為∕13x-l,則m=；

X1234

y0.11.8m4

15.已知a>0,函數(shù)f(χ)=aχ3g?lnκ,則f'(I)的最小值是.

a

3

16.設(shè)函數(shù)f(x)=x+(l+a)χ2+ax有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)Xi,X2,且對不等式f

(Xi)+f(X2)Wo恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

三、解答題(本大題共6小題，共70分).

17.(10分)已知函數(shù)f(x)=cos2x+Λ∕3sinxcosx-?.

(1)若x∈[0,?],求f(X)的最大值及取得最大值時(shí)相應(yīng)的X的值；

(2)在aABC中，a、b、C分別為角A、B、C的對邊，若f(方)=1,b=l,c=4,

求a的值.

18.(12分)

喜歡甜品不喜歡甜品總計(jì)

南方學(xué)生602080

北方學(xué)生101020

總計(jì)7030100

某大學(xué)餐飲中心為了了解新生的飲食習(xí)慣，在全校一年級學(xué)生中進(jìn)行抽樣調(diào)查，

調(diào)查結(jié)果如下表所示

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，問是否有95%的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品

的飲食習(xí)慣方面有差異"

(2)已知在被調(diào)查的北方學(xué)生中有5人是數(shù)學(xué)系的學(xué)生，其中2人喜歡甜品，

現(xiàn)在從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，求至多有1人喜歡甜品的概率？

參考公式：K2=---------Rga-<=)-------------,n=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

下面的臨界表供參考：

2

P(K≥k0)0.100.050.0250.010

ko2.7063.8415.0246.635

19.(12分)若函數(shù)f(x)=aχ2+2x-fnx在X=I處取得極值.

(1)求a的值；

(2)求函數(shù)f(X)的單調(diào)區(qū)間及極值.

Tr

20.(12分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，ZDAB=-,PD

?

_1_平面ABCD,PD=AD=3,PM=2MD,AN=2NB,E是AB中點(diǎn).

(I)求證：直線AM〃平面PNC；

(2)求證：直線CDJ_平面PDE；

(3)求三棱錐C-PDA體積.

22

21.(12分)已知橢圓C：=1(m>0).

4ID

(I)若m=2,求橢圓C的離心率及短軸長；

(2)如存在過點(diǎn)P(-1,0)的直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，Jl.OAlOB,求

m的取值范圍.

22.(12分)已知函數(shù)f(x)=xlnx+2,g(x)=x2-mx.

(1)求f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；

(2)求函數(shù)f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值；

(3)若存在XW[?,e]使得mf(X)+g(X)22x+m成立，求實(shí)數(shù)m的取值

范圍.

答案與試題解析

一.選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)

1.設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足i(z-2)=3(i為虛數(shù)單位)，則Z=()

A.2+3iB.2-3iC.3+2iD.3-2i

【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.

【分析】把復(fù)數(shù)Z看作未知數(shù)，解方程即可.

解：復(fù)數(shù)Z滿足i(z-2)=3(i為虛數(shù)單位)，

3

.?.z=2+±2-3i.

1

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡與運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題.

2.下列各式正確的是()

A.(s?na),=cosa(a為常數(shù))B.(cosx),=sinx

C.(sinx),=cosxD.(x^5),=-y-x"6

【考點(diǎn)】63：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算.

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出.

解：,/(sinx),=cosx,

故選C.

【點(diǎn)評】熟練掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

3.從三件正品、一件次品中隨機(jī)取出兩件，則取出的產(chǎn)品全是正品的概率是

()

A.?B.?C.?D.無法確定

【考點(diǎn)】CB：古典概型及其概率計(jì)算公式.

【分析】本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從4件產(chǎn)品中取2件，共

有C42種結(jié)果，滿足條件的事件是取出的產(chǎn)品全是正品，共有C32種結(jié)果，根據(jù)

概率公式得到結(jié)果.

解：由題意知本題是一個(gè)古典概型，

???試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從4件產(chǎn)品中取2件，共有C42=6種結(jié)果，

2

滿足條件的事件是取出的產(chǎn)品全是正品，共有C3=3種結(jié)果，

.?.根據(jù)古典概型概率公式得到P=??

OZ

故選B.

【點(diǎn)評】本題是一個(gè)古典概型問題，這種問題在高考時(shí)可以作為文科的一道解答

題，古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個(gè)數(shù)，本題可以列舉出所有

事件.是一個(gè)基礎(chǔ)題.

4.曲線y=χ3-2x+4在點(diǎn)（1,3）處的切線的傾斜角為（）

A.30oB.45oC.60oD.120°

【考點(diǎn)】62：導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

,

【分析】欲求在點(diǎn)（1,3）處的切線傾斜角，先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知k=y∣x=1,

再結(jié)合正切函數(shù)的值求出角α的值即可.

解：y∕=3χ2-2,切線的斜率k=3X12-2=1.故傾斜角為45。.

故選B.

【點(diǎn)評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及利用正切函數(shù)的圖象求傾斜角，本題

屬于容易題.

5.已知在數(shù)軸上0和3之間任取一實(shí)數(shù)X,則使"χ2-2x<0"的概率為（）

A.?1B.1?2C.4D.?1

48312

【考點(diǎn)】CF：幾何概型.

【分析】首先求出滿足條件的區(qū)間，利用區(qū)間長度的比求概率.

解：在數(shù)軸上0和3之間任取一實(shí)數(shù)X,對應(yīng)區(qū)間長度為3,使“χ2-2χV0"成立

的X范圍為（0,2）,區(qū)間長度為2,由幾何概型的公式得到所求概率為2；

故選C.

【點(diǎn)評】本題考查了幾何概型的概率求法；求出事件對應(yīng)區(qū)間長度，利用長度比

求概率是關(guān)鍵.

6.設(shè)f(x)=x-sinx,則f(x)()

A.既是奇函數(shù)又是減函數(shù)B.既是奇函數(shù)又是增函數(shù)

C.是有零點(diǎn)的減函數(shù)D.是沒有零點(diǎn)的奇函數(shù)

【考點(diǎn)】6A：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；H3；正弦函數(shù)的奇偶性；H5：正弦

函數(shù)的單調(diào)性.

【分析】利用函數(shù)的奇偶性的定義判斷f(X)為奇函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的

單調(diào)性，從而得出結(jié)論.

解：由于f(x)=x-sinx的定義域?yàn)镽,且滿足f(-x)=-x+sinx=-f(x),

可得f(X)為奇函數(shù).

再根據(jù)f'(x)=I-CoSX20,可得f(x)為增函數(shù)，

故選:B.

【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷方法，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，

屬于基礎(chǔ)題.

7.對任意的XeR,函數(shù)f(x)=χ3+aχ2+7ax不存在極值點(diǎn)的充要條件是()

A.0≤a≤21B.a=?；騛=7C.aVO或a>21D.a=0或a=21

【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.

【分析】由于函數(shù)f(x)=x3+ax2+7ax(x∈R)不存在極值，可得f'(x)20恒成

立，求解出一元二次不等式即可得到a的取值范圍.

解:Y函數(shù)f(x)=x3+ax2+7ax(xeR),

.?.f'(x)=3x2+2ax+7a,

函數(shù)f(×)=x3+ax2+7ax(x∈R)不存在極值，且E(X)的圖象開口向上，

Λf,(x)20對XeR恒成立，

Λ?=4a2-84a≤0,

解得0WaW21,

Λa的取值范圍是0WaW21.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，解題時(shí)要注意運(yùn)用極值點(diǎn)必定是

導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)方程的根，而導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)方程的根不一定是極值點(diǎn).考查了轉(zhuǎn)化化歸

的數(shù)學(xué)思想方法.屬于中檔題.

8.設(shè)函數(shù)f(X)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y=f(X)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)f'(X)

的圖象可能是()

【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【分析】先根據(jù)函數(shù)f(X)的圖象判斷單調(diào)性，從而得到導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況，最

后可得答案.

解：原函數(shù)的單調(diào)性是：當(dāng)XVO時(shí)，增；當(dāng)x>0時(shí)，單調(diào)性變化依次為增、減、

增，

故當(dāng)XVO時(shí)，f,(x)>0；當(dāng)x>0時(shí)，f(X)的符號變化依次為+、-、+.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)

大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減.

9.在5件產(chǎn)品中，有3件一等品和2件二等品，從中任取3件，則至少有2件

一等品的概率是()

A.?B.?C.?D.?

5101010

【考點(diǎn)】CB：古典概型及其概率計(jì)算公式.

【分析】先求出基本事件總數(shù)n=C於10,再求出至少有2件一等品包含的基本事

件個(gè)數(shù)m=C：C；+cg=7,由此能求出至少有2件一等品的概率.

解：在5件產(chǎn)品中，有3件一等品和2件二等品，從中任取3件，

基本事件總數(shù)n=C?=10,

至少有2件一等品包含的基本事件個(gè)數(shù)m=C；C；+C*7,

.?.至少有2件一等品的概率是P=--

n10

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算

求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.

IO.假設(shè)你家訂了一份牛奶，奶哥在早上6：00——7：00之間隨機(jī)地把牛奶

送到你家，而你在早上6：30——7：30之間隨機(jī)地離家上學(xué)，則你在離開家

前能收到牛奶的概率是（）

A.?B.∣?C.?D.?

8828

【考點(diǎn)】CF：幾何概型.

【分析】設(shè)送報(bào)人到達(dá)的時(shí)間為X,此人離家的時(shí)間為y,以橫坐標(biāo)表示報(bào)紙送

到時(shí)間，以縱坐標(biāo)表示此人離家時(shí)間，建立平面直角坐標(biāo)系，作圖求面積之比即

可.

解：設(shè)送奶人到達(dá)的時(shí)間為X,此人離家的時(shí)間為y,

以橫坐標(biāo)表示奶送到時(shí)間，以縱坐標(biāo)表示此人離家時(shí)間，

建立平面直角坐標(biāo)系（如圖）

則此人離開家前能收到牛奶的事件構(gòu)成區(qū)域如圖示

二所求概率P=l-?×?×??

【點(diǎn)評】本題考查幾何概型的會面問題，準(zhǔn)確作圖利用面積作為幾何測度是解決

問題的關(guān)鍵，屬中檔題.

11.函數(shù)f（x）=x3-3ax-a在（0,1）內(nèi)有最小值，則a的取值范圍是（）

A.O≤a<lB.O<a<lC.-l<a<lD.O<a<?

2

【考點(diǎn)】6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.

【分析】對f(x)進(jìn)行求導(dǎo)，要求函數(shù)f(X)=χ3-3aχ-a在(0,1)內(nèi)有最小

值，說明f(X)的極小值在(0,D內(nèi)，從而討的論a與0大小，從而進(jìn)行求解;

解：?.?函數(shù)f(x)=χ3-3ax-a在(0,1)內(nèi)有最小值，

.?.f'(x)=3x2-3a=3(X2-a),

若aW0,可得f(x)20,f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，

f(X)在X=O處取得最小值，顯然不可能，

若a>0,f'(x)=0解得X=±JW'

當(dāng)x>F，f(×)為增函數(shù)，0VxV〃為減函數(shù)，、

f(X)在x=√Z處取得極小值，也是最小值，

所以極小值點(diǎn)應(yīng)該在(0，D內(nèi)，

Λ0<a<l,

故選B；

【點(diǎn)評】此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，注意本題(0,1)

是開區(qū)間，不是閉區(qū)間，此題是一道中檔題；

12.?xι∈(1,2),3X2∈(1,2)使得InXl=Xi+^mxz'-mxz，則正實(shí)數(shù)m的取

值范圍是()

A.(3-∣ln2,+∞)B.[3-∣-ln2,+∞)C.[3-3ln2,+∞)D.(3-3ln2,

÷oo)

【考點(diǎn)】2H：全稱命題.

【分析】由題意得到InXI-XI=匕nχ,3-mx2,設(shè)h(x)=InX-X在(1,2)上的

Ok

值域?yàn)锳,

函數(shù)g(X)=^τlχ3-mx在(1,2)上的值域?yàn)锽,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求m的取

值范圍.

解：由題意，得InXl-Xl=?^^mx23-mx2，

O

設(shè)h(x)=InX-X在(1,2)上的值域?yàn)锳,函數(shù)g(x)=?x3-mx?(1,2)

上的值域?yàn)锽,

當(dāng)Xe(1,2)時(shí)，K(X)J--I=Hvo,函數(shù)h(X)在(1,2)上單調(diào)遞減,

XX

故h(x)∈(In2-2,-1),ΛA=(In2-2,-1)；

又g'(x)=mx2-m=m(x+l)(x-1),

m>0時(shí)，g(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，

此時(shí)g(X)的值域?yàn)锽=(-粵，等)，

由題意AUB,且當(dāng)n>0>-1,.?.-號Wln2-2,

解得m≥-?(In2-2)=3-Mn2；

正實(shí)數(shù)m的取值范圍是［3-?∣?ln2,+∞).

故選:B.

【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，也考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題，是中

檔題.

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分).

13.復(fù)數(shù)萬昌(其中i為虛數(shù)單位)，化簡后Z=l+i.

【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.

【分析】把復(fù)數(shù)母實(shí)數(shù)化即可.

1+1

解：復(fù)數(shù)

1+1

2i(1-i)

(l+i)(l-i)

=2+2i

2

=l+i,(i為虛數(shù)單位).

故l+i.

【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題.

14.已知變量X,y具有線性相關(guān)關(guān)系，它們之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示，若y

關(guān)于x的線性回歸方程為金l?3x-l,則m=3.1

X1234

y0.11.8m4

【考點(diǎn)】BK：線性回歸方程.

【分析】利用線性回歸方程經(jīng)過樣本中心點(diǎn)，即可求解.

解：由題意，X=2.5,代入線性回歸方程為^L3χ-1,可得，2.25,

Λ0.1+1.8+m+4=4×2.25,

Λm=3.1.

故答案為3.1.

【點(diǎn)評】本題考查線性回歸方程經(jīng)過樣本中心點(diǎn)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基

礎(chǔ).

15.已知a>O,函數(shù)f(χ)=aχ3J^lnx，則f'(1)的最小值是12.

a

【考點(diǎn)】3H：函數(shù)的最值及其幾何意義.

【分析】求出f(X)的導(dǎo)數(shù)，可得F(I)=3a+?再由基本不等式即可得到所

a

求最小值.

解：a>0,函數(shù)f(χ)二aχ3Jfr^lnχ,

a

導(dǎo)數(shù)f'(x)=3ax2+-^?,x>0,a>0,

ax

則F(I)=3a+-≥2λ∕3a^=12,

aVa

當(dāng)且僅當(dāng)3a=絲，即a=2時(shí)，取得最小值12.

a

故12.

【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求導(dǎo)函數(shù)值，考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，

注意滿足的條件：一正二定三等，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3

16.設(shè)函數(shù)f(x)=x+(l+a)χ2+ax有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)xi，X2,且對不等式f

(Xi)+f(×2)WO恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是工WaW2或aW-1.

【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.

【分析】把Xi,X2代入到f(X)中求出函數(shù)值代入不等式f(Xi)+f(X2)<0中，

在利用根與系數(shù)的關(guān)系化簡得到關(guān)于a的不等式，求出解集即可.

22

解:因f(Xi)+f(x2)≤0,故得不等式xj+χz3+(l+a)(XI+×2)+a(x1+x2)≤

0.

即(X1+X2)[(x1+x2)2-3X1X21+(l+a)[(x1+x2)2-2x1X2]+a(X1+X2)≤0.

由于f'(x)=3x2+2(l+a)x+a.

令千(x)=O得方程3χ2+2(l+a)x+a=O.

Δ=4(a2-a+l)24a>0,X1+x2=-?(l+a),X1X2=-∣-,

OO

代入前面不等式，并化簡得(l+a)(2a2-5a+2)≥0.

解不等式得廣a≤2或aW-l,

因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是或aW-1.

故?^?WaW2或a≤-1.

【點(diǎn)評】本題考查學(xué)生求導(dǎo)數(shù)及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，靈活運(yùn)用一元二

次方程根與系數(shù)的關(guān)系解決數(shù)學(xué)問題的能力.

三、解答題(本大題共6小題，共70分).

17.(IO分)(2011?廣州校級模擬)已知函數(shù)f(x)=cos2χ+J5sinxcosx-?∣?.

(1)若x∈[0,?],求f(X)的最大值及取得最大值時(shí)相應(yīng)的X的值；

(2)在AABC中，a、b、C分別為角A、B、C的對邊，若f(方)=1,b=l,c=4,

求a的值.

【考點(diǎn)】GT：二倍角的余弦；GQ：兩角和與差的正弦函數(shù)；GS：二倍角的正弦;

H4：正弦函數(shù)的定義域和值域；HR：余弦定理.

【分析】(I)利用二倍角公式及輔助角公式對函數(shù)化簡可得f(x)=sin(2x+J-),

結(jié)合可求Sin(2X+4)的范圍，進(jìn)而可求函數(shù)的最大值及取得最大

26

值的X

(II)由f(3)=sin(A+3)=l,及OVAVττ,可求A,結(jié)合b=l,c=4,利用余弦

定理可求a

解：(I)f(x)=cos2χ+V3sinxcosχ-?^

_l+cos2x.1--∕,π?(4的

-------f------?^-sιn2nχ?^-sιn(2xo+-^-)?-(4力，

?,0≤x≤-^->

.兀/兀

??τ<2x+τJr</?-7r*

?-^≤sin(2x+^-)≤b即-∣?≤f(x)41?

TΓTT

.?.f(X)max=l,此時(shí)2xY『T，

O2

τr

，x=^—....(8分)

6

ATT

(II).f(―)=sin(A+"τ")=L

zb

在AABC中，V0<A<π,

666

.兀TrJl/ac八、

??A+a=C，A…(IO分)

bN3

又b=l>c=4,

由余弦定理得a2=16+l-2×4×1×cos60o=13

故a=V13.…(12分)

【點(diǎn)評】本題主要考查了三角函數(shù)中二倍角公式、輔助角公式在三角函數(shù)化簡中

的應(yīng)用，正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，及余弦定理解三角形的應(yīng)用.

18.（12分）（錦江區(qū)校級期中）

喜歡甜品不喜歡甜品總計(jì)

南方學(xué)生602080

北方學(xué)生101020

總計(jì)7030100

某大學(xué)餐飲中心為了了解新生的飲食習(xí)慣，在全校一年級學(xué)生中進(jìn)行抽樣調(diào)查，

調(diào)查結(jié)果如下表所示

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，問是否有95%的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品

的飲食習(xí)慣方面有差異"

（2）已知在被調(diào)查的北方學(xué)生中有5人是數(shù)學(xué)系的學(xué)生，其中2人喜歡甜品,

現(xiàn)在從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，求至多有1人喜歡甜品的概率?

n(ad-bc)2______

參考公式：K2=.n=a+b+c÷d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

下面的臨界表供參考:

2

P(K≥k0)0.100.050.0250.010

ko2.7063.8415.0246.635

【考點(diǎn)】B0：獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用；CB：古典概型及其概率計(jì)算公式.

【分析】（I）將n=100,a=60,b=10,c=20,d=10代入公式計(jì)算即可；（2）代

入條件概率的公式計(jì)算即可.

2_IOO(600-200)2

解:⑴K=4.761>3.841

^70×30×20×80

所以有95%的把握認(rèn)為南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異.

C∣?C3+C

7

(2)Pn

C510

【點(diǎn)評】本題考查了獨(dú)立檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查概率問題，是一道基礎(chǔ)題.

19.（12分）（南關(guān)區(qū)校級期末）若函數(shù)f（X）=aχ2+2x-，X在x=l處取得極

值.

（I）求a的值；

（2）求函數(shù)f（X）的單調(diào)區(qū)間及極值.

【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極

值.

【分析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由函數(shù)在x=l時(shí)的導(dǎo)數(shù)為。列式求得a的

值；

（2）把（1）中求出的a值代入f（X）=aχ2+2χ-∣?lnx,求其導(dǎo)函數(shù)，得到導(dǎo)函

數(shù)的零點(diǎn)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對定義域分段，利用導(dǎo)函數(shù)在不同區(qū)間段內(nèi)的符號求

單調(diào)期間，進(jìn)一步求得極值點(diǎn)，代入原函數(shù)求得極值.

解：（I）函數(shù)f（x）=aχ2+2x-3∏x在x=l處取得極值，

.?.f,(1)=O,

「/4

又f(x)=2ax+2-?-?

3x

，2a+2-‰2a+?∣^=0，解得：a二-；；

???

(2)f(x)=-?2+2x--?nx,

33

函數(shù)的定義域?yàn)?0,+8),

2

由J(X)=?-^+2=^?^-=^-(-X+3X-2)=0>

3JX3x3x

解得：×ι=l,×2=2.

.?.當(dāng)Xe(0,1),(2,+o°)時(shí)，f,(x)<0；

當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，f,(x)>0.

Λf(X)的單調(diào)減區(qū)間為Xe(0,1),(2,+8)；

單調(diào)增區(qū)間為Xe(1,2).

f(x)的極小值為f(1)=4+2-∣^lnl=?∣^;

???

f(X)的極大值為f(2)=^-×22+2×2?n2=4^-ln2?

????

【點(diǎn)評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研

究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了函數(shù)極值的求法，是中檔題.

20.(12分)(錦江區(qū)校級期中)如圖I,在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是

JT

菱形，ZDAB=-,PDL平面ABCD,PD=AD=3,PM=2MD,AN=2NB,E是AB中

?

點(diǎn).

(1)求證：直線AM〃平面PNC；

(2)求證：直線CDJ_平面PDE；

(3)求三棱錐C-PDA體積.

【考點(diǎn)】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積；LW：直線與平面垂直的判定.

【分析】(1)在PC上取一點(diǎn)F,使PF=2FC,連接MF,NF,通過證明四邊形

MFNA為平行四邊形，得AM〃NA,于是AM〃平面PNC；

(2)由菱形性質(zhì)可得CDJ_DE,由PDL平面ABCD可得PDJ_CD,故而CDJ_平面

PDE；

s

(3)利用公式VC-PDA=VP-ACD=??ACD叩耐算?

證明：(1)在PC上取一點(diǎn)F,使PF=2FC,連接MF,NF,

9

VPM=2MD,AN=2NB,ΛMF∕7DC,MF=-∣CD,

又AN〃DC,AN=-∣-ABF-∣CD.

ΛMF√AN,MF=AN,

.?.MFNA為平行四邊形,即AM〃NA.

又AMC平面PNC,FNU平面PNC,

,直線AM〃平面PNC.

(2);E是AB中點(diǎn)，底面ABCD是菱形，ZDAB=60o,

/.ZAED=90o.

VAB√CD,ΛZEDC=90o,BRCDlDE.

又PDL平面ABCD,CDU平面ABCD,

ΛCD±PD.

又DECPD=D,PDU平面PDE,DEU平面PDE,

.?.直線CDJ_平面PDE.

(3)Vc.PDA=Vp.ACD=/s??ɑ?*PD=?×-^^×3×3××

J?CΛCq

【點(diǎn)評】本題考查了線面平行，線面垂直的判定，棱錐的體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

22

21.(12分)(錦江區(qū)校級期中)已知橢圓C：工+匚=1(m>0).

4W

(1)若m=2,求橢圓C的離心率及短軸長；

(2)如存在過點(diǎn)P(-1,0)的直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，且OAJ_0B,求

m的取值范圍.

【考點(diǎn)】KL：直線與橢圓的位置關(guān)系.

22

【分析】(1)當(dāng)m=2時(shí)，橢圓C：2-+?Σ-=1,由此能求出橢圓C的離心率及

42

短軸長.

(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由題意可設(shè)直線的方程為y=k(x+l),由丁+木=1,

y=k(x+l)

得(m+4k2)x2+8k2x+4k2-4m=0.由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、向量垂直，

能求出m的范圍；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，因?yàn)橐跃€段AB為直徑的圓恰好通過

坐標(biāo)原點(diǎn)，得到屋，由此能求出m的取值范圍.

?

22

解：(I)當(dāng)m=2時(shí)，橢圓C：—+-∑-=1.

42

a2=4,b2=2>C2=4-2=2,

?.a=2,b=c={2,

二離心率e=-

a2

短軸長2b=2√2?

(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由題意可設(shè)直線的方程為y=k(x+l),A(x1,yι),

B(×2,丫2).

(22

由<4十m一'，得(m+4k2)x2+8k2x+4k2-4m=0.

ty=k(x+l)

8k24k2-4m

ΛΔ>O,χ÷χ=---,X?X9-^9-?

12m+4k^9'ιn+4k^

???以線段AB為直徑的圓恰好過原點(diǎn),

+22

?θ??0B??×1×2y1y2=O,即(l÷k)x1X2÷k^(x1+x2)÷k=0.

2-8k2

()+k2=0?BPk2=4m

πri-4k24-3ιn

由k?三普L>O,m>O,所以O(shè)<m<言.

4-3m3

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，???以線段AB為直徑的圓恰好通過坐標(biāo)原