2023年貴州省貴陽市高考文科數(shù)學(xué)模擬試卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1.（5分）集合4={X∣X2'4},集合B={-3,-2,-1,1,2,3},則ACB=（）

A.{2,3}B.{-2,-I,1,2,3}

C.{-3,-2,2,3}D.{-3,3}

2.（5分）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)（1-2/）2的共輾復(fù)數(shù)的虛部為（）

A.4ZB.3C.-4D.4

3.（5分）在一場跳水比賽中，7位裁判給某選手打分從低到高依次為Xi,8.1,8.4,8.5,

9.0,9.5,Xi（x7≤10）,若去掉一個最高分X7和一個最低分Xi后的平均分與不去掉的平

均分相同，那么最低分Xl的值不可能是（）

A.7.7B.7.8C.7.9D.8.0

4.（5分）等差數(shù)列{〃”}中，42+?4+2。7=12,則數(shù)列{t?}的前9項之和為（）

A.24B.27C.48D.54

5.（5分）香農(nóng)-威納指數(shù)（H）是生態(tài)學(xué)中衡量群落中生物多樣性的一個指數(shù)，其計算公

式是H=-∑tl1pi-log2pi,其中〃是該群落中生物的種數(shù)，pi為第i個物種在群落中的

比例，如表為某個只有甲、乙、丙三個種群的群落中各種群個體數(shù)量統(tǒng)計表，根據(jù)表中

數(shù)據(jù)，該群落的香農(nóng)-威納指數(shù)值為（）

物種甲乙丙合計

個體數(shù)量300150150600

πT2T→→

6.（5分）在aABC中，AB=2,AC=3,?BAC=若BD=WBC：,則4。?8。=（）

2272168

A.—B.—ɑ-C.—D.-Q

9999

3V

7.（5分）棱錐的內(nèi)切球半徑R=F，其中V推，S雄分別為該棱錐的體積和表面積，如圖

、錐

為某三棱錐的三視圖，若每個視圖都是直角邊長為1的等腰三角形，則該三棱錐內(nèi)切球

半徑為（）

俯視圖

8.（5分）已知直線/”χ-2y-1=0,直線/2：ax+2y+2a=O,其中實數(shù)a∈[-l,5],則直

線/1與/2的交點位于第一象限的概率為（）

1111

--C--

A.6B.43D.2

%2?y2

9.（5分）以雙曲線"一三=l（α>O,b>O）的實軸為直徑的圓與該雙曲線的漸近線分別

交于A,B,C,。四點，若四邊形A8C。的面積為8小，則該雙曲線的離心率為（）

Li12√32√3L

A.次或2B.2或-p---C.---D.√3

33

10.（5分）函數(shù)f（%）=As譏（to%+9）（A>0,ω>0,取V芻的部分圖象如圖所示，則下列

關(guān)于函數(shù)y=∕（x）的說法正確的是（）

ΦfCχ）的圖象關(guān)于直線化=-當(dāng)對稱

②f（x）的圖象關(guān)于點（一90）對稱

③將函數(shù)y=2s譏（2x-斜的圖象向左平移]個單位長度得到函數(shù)/（X）的圖象

④若方程八X）=加在[—%,0]上有兩個不相等的實數(shù)根，則，"的取值范圍是（-2,-√3]

A.①④B.②④C.③④D.②③

11.（5分）如圖，在四棱錐A-BCz）中，平面ABDJ_平面BC￡>,ABCD是邊長為2舊的等

邊三角形，A3=AQ=2,則該幾何體外接球表面積為（)

A.20πB.8πC.28πD.48π

12.（5分）函數(shù)/（x）=x-sinx+ln（√4x2÷1÷2x）,若θ∈[O,2π）,且∕'（cos%-sin%）

+f（5sinθ-5cosθ）>0,則θ的取值范圍是（）

ππ

A.[0,2π）B.（-,-）

42

π5ππ5π

C.[0,一）U（—,2π）D.（一,—）

4444

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13.（5分）函數(shù)/（x）=,Tix-]在點（1,-1）處的切線方程為.

11

14.（5分）正實數(shù)α,匕滿足一+-=1?則α+46的最小值為.

4ab

15.（5分）趙爽是我國漢代數(shù)學(xué)家，他在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”被選為

第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會徽.如圖所示，“趙爽弦”圖中的大正方形ABC。是由4個

全等的直角三角形和小正方形AIBICIDI拼成，現(xiàn)連接ADι,當(dāng)正方形4B∣C1A的邊長

為1且其面積與正方形ABCC的面積之比為1：5時，cosNDAQi=

16.（5分）拋物線E：>?2=4X,圓M：x2+y2-4x-2y+4=0,直線/過圓心M且與拋物線E

交于A,8與圓M交于C,。若Hq=IBD則黑=_______.

∣C0

三、解答題：第17至21題每題12分，第22、23題為選考題，各10分.解答應(yīng)寫出文字

說明，證明過程或演算步驟.

17.(12分)等比數(shù)列｛a”｝的前〃項和為S”,S3=，且m,2a2,4如成等差數(shù)列.

(1)求an；

(2)若。"=〃〃"，求數(shù)列｛b"｝前"項和Tk

18.(12分)2022年9月3日至2022年10月8日，因為疫情，貴陽市部分高中學(xué)生只能居

家學(xué)習(xí)，為了監(jiān)測居家學(xué)習(xí)效果，某校在恢復(fù)正常教學(xué)后舉行了一次考試，在考試中，

發(fā)現(xiàn)學(xué)生總體成績相較疫情前的成績有明顯下降，為了解學(xué)生成績下降的原因，學(xué)校進

行了問卷調(diào)查，從問卷中隨機抽取了200份學(xué)生問卷，發(fā)現(xiàn)其中有96名學(xué)生成績下降,

在這些成績下降的學(xué)生中有54名學(xué)生屬于“長時間使用手機娛樂”(每天使用手機娛樂2

個小時以上)的學(xué)生.

(1)根據(jù)以上信息，完成下面的2X2列聯(lián)表，并判斷能否有99.5%把握認為“成績下

降”與“長時間使用手機娛樂”有關(guān)？

長時間使用手機娛樂非長時間使用手機娛合計

樂

成績下降

成績未下降

合計90200

(2)在被抽取的200名學(xué)生中“長時間使用手機娛樂”且“成績未下降”的女生有12

人，現(xiàn)從“長時間使用手機娛樂”且“成績未下降”的學(xué)生中按性別分層抽樣抽取6人，

再從這6人中隨機抽取3人訪該，記被抽取到的3名學(xué)生中女生人數(shù)為X,求X的分布

列和數(shù)學(xué)期望E(X).

2

參考公式：K?=(a+b)卷就?c)(b+d?其中“=a+b+*?

P（κ2>0.150.100.050.0250.0100.0050.001

ko）

ko2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

19.（12分）如圖（1）,在梯形ABCC中，AD//BC,AD±AB,AD=2AB=2BC,E為AD

中點，現(xiàn)沿BE將AABE折起，如圖(2),其中F,G分別是BE,AC的中點.

(1)求證：FGJ_平面ACZ)；

(2)若4B=AC=VL求二面角B-AC-D的余弦值.

E

AD

20.(12分)橢圓C：各苓=l(α>b>0)的右頂點4(傷0),過橢圓右焦點的直線/與C

交于點M,N,當(dāng)/垂直于X軸時IMNl=√Σ

(I)求橢圓C的方程;

(2)若直線AM與y軸交于P點，直線4V與)，軸交于。點，點S(√Σ+1,0),求證:

PS±QS.

21.(12分)函數(shù)/(x)=?+Q-I)x2-3x+l.

(1)當(dāng)α=l時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若過原點?？勺魅龡l直線與/(x)的圖像相切，求實數(shù)〃的取值范圍.

選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

22.(10分)如圖，在極坐標系OX中，圓。的半徑為2,半徑均為1的兩個半圓弧Cι,Cz

所在圓的圓心分別為Ol(1,芻，。2(1，?).M是半圓弧Cl上的一個動點.

(1)若點A是圓O與極軸的交點，求IMAl的最大值；

(2)若點N是射線。=%,(p≥0)與圓O的交點，求AMON面積的取值范圍.

選修4-5：不等式選講(本題滿分0分)

23.已知/+4/=4.

(1)求α+6的取值范圍；

(2)若α>0,?>0,求證：—+—≥y∣^2.

a2b

2023年貴州省貴陽市高考文科數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分,在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1.（5分）集合A={x∣∕>4},集合8={-3,-2,-],1,2,3},貝∣J4∩B=()

A.{2,3}B.{-2,-1,1,2,3}

C.{-3,-2,2,3}D.{-3,3}

【解答】解：由/24得：x≤-2或x22,即A=(-8,-2]U[2,+8),

.?.A∩B={-3,-2,2,3}.

故選：C.

2.（5分）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)（1-2z）2的共甑復(fù)數(shù)的虛部為（）

A.4/B.3C.-4D.4

【解答】解：,：（1-2i）2=l-4i+（2/）2=-3-4/,

/.（1-2/）2的共輛復(fù)數(shù)為-3+4i,

復(fù)數(shù)（1-2i）2的共輾復(fù)數(shù)的虛部為4.

故選：D.

3.（5分）在一場跳水比賽中，7位裁判給某選手打分從低到高依次為獷，8.1,8,4,8.5,

9.0,9.5,Xi（x7≤10）,若去掉一個最高分X7和一個最低分Xi后的平均分與不去掉的平

均分相同，那么最低分M的值不可能是（）

A.7.7B.7.8C.7.9D.8.0

【解答】解：因為去掉最高分與最低分后平均分為一一:~~:一-=8.7,

Xi+8.1+8.4+8.5+9.0+9.5+%7X1I+X7

所以二-----------------------L=8.7,解得-T2=8.7,

72

由于得分按照從低到高的順序排列的，

故XIW8.1,9.5≤X71O,

當(dāng)Xl=7.7時,X7=9.7,滿足上述條件，故A錯誤;

當(dāng)Xi=7.8時，Λ7=9.6,滿足上述條件，故8錯誤；

當(dāng)Xl=7.9時，力=9.5,滿足上述條件，故C錯誤；

當(dāng)Xl=8.0時，X7=9.4,不滿足上述條件，故。正確.

故選：D.

4.（5分）等差數(shù)列｛斯｝中，。2+。4+2“7=12,則數(shù)列｛板｝的刖9項之和為（）

A.24B.27C.48D.54

【解答】解：在等差數(shù)列｛““｝中，42+3+2.7=12,

則46+A8=2Q7,

所以42+。4+〃6+48=12,

又。1+。9=。2+。8=。4+。6，

所以m+"9=6,

1

所以S9=9惚1產(chǎn)-9）=27

故選：B.

5.（5分）香農(nóng)-威納指數(shù)（4）是生態(tài)學(xué)中衡量群落中生物多樣性的一個指數(shù)，其計算公

式是4=—∑Zιpi-log2pi,其中〃是該群落中生物的種數(shù)，pi為第i個物種在群落中的

比例，如表為某個只有甲、乙、丙三個種群的群落中各種群個體數(shù)量統(tǒng)計表，根據(jù)表中

數(shù)據(jù)，該群落的香農(nóng)-威納指數(shù)值為（）

物種甲乙丙合計

個體數(shù)量300150150600

333_3

B.-C.-5D.

242^4

【解答】解：由題意知:，=-(湍*歷出湍+溫義/。92溫+濡*/。92濡)=

1iiiiiill3

1l0--=

-(2^g22+4°?24+4S24)=(2^2^2)2-

故選：A.

TT2TTT

6.(5分)在^ABC中,AB=2,AC=3,?BAC=T?若BD=^BC,貝必。BD=Q)

8

22一229C-

A.9B.D.9

【解答】解：由題意，畫圖如下:

則：BD=∣BC=∣(ΛC-??)=-∣Λ?+∣∕1C,

AD=AB+BD=AB-^AB+^AC=∣ΛB+∣ΛC.

.?AD-BD=(∣ΛB+∣ΛC)?(-∣Aβ+∣∕4C)

?→4T2TT

=-ψ?AB?2+ψ?AC?2-ψAB-AC

242TT

=-J?4+^?9-^?∣Λβ∣??AC??cos?BAC

8,2??π

=-q+4yl—q?2?3?cos?-

22

=^9^?

故選：A.

7.（5分）棱錐的內(nèi)切球半徑R=F，其中V雉，S惟分別為該棱錐的體積和表面積，如圖

、錐

為某三棱錐的三視圖，若每個視圖都是直角邊長為1的等腰三角形，則該三棱錐內(nèi)切球

1

D.

8

【解答】解：由三視圖可還原三棱錐如下圖所示,

1IlI

所以，P-4BC=?^Δ,ABC?P4=wX2XlXlXl=g,

棱錐表面積S=3S-BC+S>PBC=3×^×1×1÷^×√2×y/2×?=—??,

設(shè)該三棱錐內(nèi)切球半徑為R,

由等體積法可知Vp-ABC=WSR,

所以R-3"PTBC_3x^_3-√3

加以R――s——亞一~6~

~2~

故選：C.

8.(5分)已知直線/1：χ-2y-I=0,直線/2：依+2y+24=0,其中實數(shù)α∈[-l,5],則直

線/1與/2的交點位于第一象限的概率為()

Illl

A.-B.-C.-D.一

6432

_3

【解答】解：由12。,得直線A與/2的交點M?詈，基).

?θ

當(dāng)直線A與/2的交點位于第一象限時，《，解得-l<α<0,

(-?>0

kα+l

.?.直線/1與/2的交點位于第一象限的概率為P=?,

O

故選：A.

X2V2

9.(5分)以雙曲線"一?=l(0>0,b>0)的實軸為直徑的圓與該雙曲線的漸近線分別

αz?7z

交于A,B,C,。四點，若四邊形ABC。的面積為百小，則該雙曲線的離心率為()

Li→2√32√3L

A.b或2B.2或---C?-----D.√3

33

【解答】解：依題意，根據(jù)雙曲線與圓的對稱性，可得四邊形A3C。為矩形，如圖，

不放設(shè)點A(ΛO,γo)(XO>0,γo>O)位于第一象限，則SA3CZ)=2xo><2yo=4xoγo,

22

因為雙曲線3一l(a>b>O)的漸近線方程為y=土，X，則y0=AX0，

Y2y2

以雙曲線丁—三=l(α>b>O)的實軸為直徑的圓的方程為/+V=/,則詔+y02=fl2,

az

222

將Vo=：Xo代入歐+y0=a,得詔+4)2就=a,

x2z

則ɑ；；?O=Y,即熹?XQ=O,所以:?=%,則Xo=｝，故3O=B，

又SABcD=W心，所以4%Oyo=遮小，則4χ1?X華=百@2，則4泌=百。2，

所以16r∕2?2=3c4,貝IJ16a2Cc2-a2)=3c4,即3c4-16β2c2+16tz4=0,

所以3X捺-16X捺+16=0,即3/-16,+16=O,解得射=4或e2=*

因為e>1,所以e=2或e=—.

故選：B.

10.(5分)函數(shù)f(%)=4s譏+9)(a>0,ω>0,IWlVS)的部分圖象如圖所示，則下列

關(guān)于函數(shù)y=fG)的說法正確的是()

OY(X)的圖象關(guān)于直線X=-苧對稱

②f(x)的圖象關(guān)于點(一90)對稱

#77"-JI

③將函數(shù)y=2s譏(2%-”的圖象向左平移5個單位長度得到函數(shù)/(x)的圖象

④若方程八X)=機在［-5，0］上有兩個不相等的實數(shù)根，則，”的取值范圍是(-2,-√3］

A.①④B.②④C.③④D.②③

1TTTT127TTCTl

【解答】解：由圖象可知，A=2,-T=---,即:?一=；-1；,解得3=2,

43124ω312

又函數(shù)過點(書，2),

所以2×γ2+乎=2∕C7Γ+29ZwZ,

又即IV多,得小=皋

所以函數(shù)f㈤=2sin(2x+^),

當(dāng)%=一當(dāng)時,/(-?)=2sin[2×(-?)+=2cos=1?故①錯誤;

當(dāng)％=Y時，/(x)=o,即∕α)的圖象關(guān)于點(一看，0)對稱，故②正確；

將函數(shù)y=2sin(2x一看)的圖象向左平移]個單位長度得到y(tǒng)=2s譏[2(%+今一芻=

-2sin(2x—故③錯誤；

當(dāng)％∈[一?0],則2x+5∈[一等，引，

-

令2(X+.∈[-—?],解得工￡[—芻，?^],此時s?ι(2%+∈[-1,—坐],即

f(x)∈[—2，—√3],

令2x+56[―?/金,解得％E[-，0],此時SiTI(2%+E[—1/-?],即/(x)E[-2,

√3],

所以/(x)在[—*,一穎上單調(diào)遞減，在[一涔0]上單調(diào)遞增，

因為方程八X)="在[一^,0]上有兩個不相等的實數(shù)根，即y=∕(x)與)，=〃?在[一與，0]

上有兩個交點，

所以τ∏e(-2,—V3](故④正確；

故選：B.

11.(5分)如圖，在四棱錐A-BCD中，平面ABQ_L平面8CQ,ZXBCQ是邊長為2百的等

邊三角形，AB=AD=2,則該幾何體外接球表面積為()

【解答】解：在四棱錐4-8C。中，平面ABD_L平面BCD,Z?8C。是邊長為28的等邊

三角形，AB=Ao=2,

取8。的中點E,

則AE_L平面BC。，CEI.平面ABz),

設(shè)XBCD的外心為Oi,/XABD的外心為Oi,四棱錐A-BCD的外接球的球心為0,

連接。01,OO2,0B,

由正弦定理可得2C0ι=-?=4,

31/COU

則Col=2,

又CE=造X26=3,

則EOi=I,

即Oo2=EOi=I,

T7QDH—BD_2總_4

乂'"02-Sin乙BAD~sinl20o~4,

即Bθ2=2,

即3。2=8022+0。22=5,

則該幾何體外接球表面積為4π×BO2=20π,

故選：A.

12.(5分)函數(shù)f(X)=x-sinx+ln(√4%2+1+2x),若θ∈[0,2π),且f(cos3θ-sin3θ)

+f(5sinθ-5cosθ)>0,則θ的取值范圍是()

ππ

A.[O,2π)B.(-一)

42

π5ππ5π

C.[0,一)U(—,2π)D.(-

4444

【解答】解：V/(x)=x-sinx+∕∏(√4x2+1T的定義域為R,且/(-x)+f(x)

=0,

：.f(?)為奇函數(shù)，

2j4x2+l+4x

又/'(X)=1-COSx+)---COSX+≥

22

J4x+l-(y∣4x+l+2x)

2J4X2+1+4X

X),

22

y∣4x+l-(y∣4x+l+2x)

.V（x）為R上的增函數(shù),

：.于(cos3θ-sin?θ)+f(5sinθ-5cosθ)>0<≠∕(cos3θ-sin3θ)>-f(5sinθ-5cosθ)=于

(-5sinθ+5cosθ),

Λcos3θ-sin3θ>-5sinθ+5cosθ=5(cosθ-sinθ),

即(cosθ-sinθ)(cos2θ+sin2θ+cosθ?sinθ-5)>0,即(cosθ-sinθ)(cosθ?sinθ-4)>

0,

Vcosθ?sinθ-4<0恒成立,

ΛVθ∈[0,2π）,cosθ-sinθ=√2cos（工+/）Vo恒成立，

?囚Tr3兀

?*24+4VT

π5冗

解得x∈（-—）,

44

故選：D.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13.（5分）函數(shù)f（x）="在點（1,-I）處的切線方程為y=>-3.

【解答]解:1⑺=R晝，

則/（1）=2,

所以函數(shù)/（%）=）％-W在點（1,-1）處的切線方程為y+l=2（工-1）,即y=2x-3.

故答案為：y=2x-3.

1125

14.（5分）正實數(shù)α,力滿足丁+工=1,則。+4》的最小值為一.

4ab—4—

【解答】解：由題得Q+4b=（。+4b）（*+3=芋+F+?≥學(xué)+24W=等.

當(dāng)且僅當(dāng)α=6=5時，取等號，所以α+4〃的最小值為

25

故答案為：—.

4

15.（5分）趙爽是我國漢代數(shù)學(xué)家，他在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”被選為

第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會徽.如圖所示，“趙爽弦”圖中的大正方形ABCZ）是由4個

全等的直角三角形和小正方形AlBClOI拼成，現(xiàn)連接A。，當(dāng)正方形4B1C1D1的邊長

為I且其面積與正方形ABO的面積之比為L5時，c°s〃3=jf.

【解答】解：由題意得SJE方形A8CD=5,

???直角三角形斜邊AB=√5,

設(shè)直角三角形中較短直角邊長為〃?，

，圖中83ι=∕%,?,?較長直角邊長為m+?t又A8ι=m+1,

則由勾股定理可得病+（血+1）2=（百）2,解得Zn=I

.".SinZ-DAA1=V=等，cos∕,DAA1=9=絡(luò),

'."AAi=AiDi,.??A1AD1=^,

.*.cosZDAD1=cos(NDAAI-ZAiADi)

=cosZDAΛιcosZAιADι+sinZDAAιSinZAiADi

√5√2,2√5√23√10

=虧X1"+于XT=H?

ILK.4、L3√Tδ

故答案為：?

10

16.（5分）拋物線E：√=4x,圓M：x2+F-4χ-2y+4=0,直線/過圓心M且與拋物線七

交于A,3與圓M交于G。若IAel=I則搭=—竽

【解答】解：由圓M：/+F-4x^2y+4=0,得（X-2）?+（y-l）2=1,

由IACl=IB得M為AB的中點，設(shè)AB所在直線方程為y=k(χ-2)+1,

2

聯(lián)立『2=丫”-2)+1,得Fx-(4F-2k+4)x+4F-4?+l=0.

(.yz=4x

設(shè)A(xι,),B(X2,”)，

則%ι÷X2=M"W"+’=*解得k=2.

2

Λ?iX2=——v~~~7?得IABI=?/l+4∣4—4×j=√35.

k，zr、4

則幽=叵

ICDl2

故答案為：-∣^.

三、解答題：第17至21題每題12分，第22、23題為選考題，各IO分.解答應(yīng)寫出文字

說明，證明過程或演算步驟.

17.(12分)等比數(shù)列｛〃〃｝的前〃項和為S,S3=ξ,且m,2及，4G成等差數(shù)列.

(1)求an；

(2)若加=na〃,求數(shù)列｛加｝前〃項和

aac2

【解答】解：(1)依題意，S3=ɑ?÷α2÷ɑ?=ɑi÷ιQ+ιi=%

又.ι,2s,443成等差數(shù)列，

.??4。2=。1+4。3,

2

Λ4α1q=α1+4α1q,

r7

聯(lián)立由+αιq+%q=4,得的=1,q=｝,

2

,4α1q=Q1+4α1q

n1

(2)由(1)知bn=n(^)-9

02112

τn=1?(?)+2?(?)?+3?φ+???+n?(∣r-,φ∣Tn=1?(∣)+2-(1)+-+

11

(n-1)?(-)n-1+n?(-)π,②

^1In1Il1?1一(5產(chǎn)1?

①-②得yy〃=勺)°+(-)1+-+(-)rn^I1-n?(-)n=-H?(-Γ=2-2-

一2

11

歹-展歹，

所以7；=4-（τι+2）?弓1）"τ.

18.（12分）2022年9月3日至2022年10月8日，因為疫情，貴陽市部分高中學(xué)生只能居

家學(xué)習(xí)，為了監(jiān)測居家學(xué)習(xí)效果，某校在恢復(fù)正常教學(xué)后舉行了一次考試，在考試中，

發(fā)現(xiàn)學(xué)生總體成績相較疫情前的成績有明顯下降，為了解學(xué)生成績下降的原因，學(xué)校進

行了問卷調(diào)查，從問卷中隨機抽取了200份學(xué)生問卷，發(fā)現(xiàn)其中有96名學(xué)生成績下降,

在這些成績下降的學(xué)生中有54名學(xué)生屬于“長時間使用手機娛樂”（每天使用手機娛樂2

個小時以上）的學(xué)生.

（1）根據(jù)以上信息，完成下面的2X2列聯(lián)表，并判斷能否有99.5%把握認為“成績下

降”與“長時間使用手機娛樂”有關(guān)？

長時間使用手機娛樂非長時間使用手機娛合計

樂

成績下降———

成績未下降———

合計90—200

（2）在被抽取的200名學(xué)生中“長時間使用手機娛樂”且“成績未下降”的女生有12

人，現(xiàn)從“長時間使用手機娛樂”且“成績未下降”的學(xué)生中按性別分層抽樣抽取6人，

再從這6人中隨機抽取3人訪該，記被抽取到的3名學(xué)生中女生人數(shù)為X,求X的分布

列和數(shù)學(xué)期望E（X）.

2

參考公式：參=(α+b)??∕c)(b+d)‘其中"'+AM

P(A:2>0.150.100.050.0250.0100.0050.001

ko)

ko2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【解答】解：根據(jù)題意可得（1）2X2列聯(lián)表如下:

長時間使用手機娛樂非長時間使用手機娛合計

樂

成績下降544296

成績未下降3668104

合計90HO200

?2_"αd-bc)2_200x(54x68-42x36)2

?'λ一(α+b)(c+d)(α+c)(b+d)-—90x110x96x104~~力"-

.?.有99.5%把握認為“學(xué)習(xí)成績下降”與“長時間使用手機娛樂”有關(guān)；

(2)：在抽取的6人中，女生有6X=2人，男生有6乂寡=4人，

這6人中隨機抽取3人進一步訪談，女生被抽到得的人數(shù)X可取0,1,2,

乂P(X=。)=等.4P(X=D=警=IH,P(X=2)=警=克”

L6t6c6

.?.x的分布列為:

XO12

P131

555

131

,E(X)=0×∣+l×∣+2×i=l.

19.(12分)如圖(1),在梯形ABC。中，AD//BC,AD1.AB,AD=2AB=^2BC,E為AD

中點，現(xiàn)沿BE將AABE折起，如圖(2),其中F,G分別是BE,AC的中點.

(1)求證：FGj■平面ACD；

(2)若4B=AC=盤,求二面角B-AC-D的余弦值.

【解答】(1)證明：取AO中點”，連接CE,AF,FC,EH,GH,

因為E為AO中點，AD=2BC,所以。E=BC,又DE〃BC,

所以四邊形8COE為平行四邊形，所以BE〃CD,BE=CD,

因為G,”分別為AC,AD中點，所以GH〃CD,GH=D,

又尸為BE中點，所以EF〃CD,EF=∣CD,所以EF〃GH,EF=GH,

所以四邊形EFG”為平行四邊形，所以FG〃EH,

因為AE=QE,H為中點，所以所以尸GLA。，

AE//BC,AE=AB=BC=^AD,ABLAD,所以四邊形ABCE為正方形,

所以AF=FC,所以FG_LAe,又4C∩AO=4,AC,ADU平面ACD,

所以FG，平面ACD

(2)解：由(1)知：CE=AB=^AD,所以AC_LCQ,又BE"CD,所以BE_LFC,

因為AB=AE,F為BE中點，所以AF_L8E,

所以AF_LFC,又BECFC=F,BE,FCU平面BCQE,所以AF_L平面BCQE,

以F為坐標原點，F(xiàn)8,FC,∕?所在直線為X,y,Z軸，可建立如圖所示空間直角坐標系,

則B(1,0,0),A(0,0,1),C(0,1,0),F(0,0,0),G(0,工),

22

TTTll

所以AB=(1,0,-1),AC=(0,1,-1),FG=(0,一，-),

22

設(shè)平面ABC的法向量蔡=(x,y,z),

所以"?[=x-z=°,令χ=l,解得>=z=l,所以￡=(1,1,1),

CAe?∏=y-z=0

→11

因為FG，平面ACQ,所以平面ACO的一個法向量為FG=(0,二，-),

22

T→

1__√6

所以IeoS<7?,1>∣=呼？

√3×^3'

IFGIITll

由圖形知，二面角B-AC-O為鈍二面角，所以二面角8-AC-。的余弦值為一停.

20.(12分)橢圓C：芍+4=l(α>b>0)的右頂點A(√Σ,0),過橢圓右焦點的直線/與C

ab

交于點M,N,當(dāng)/垂直于X軸時IMNl=√Σ

(1)求橢圓C的方程;

(2)若直線AM與y軸交于P點，直線AN與)，軸交于。點，點S(?+l,0),求證:

PSLQS.

Ca=V∑_

【解答】解：(1)由題意可得：八jl'可得”=e，b=l,

(丁=應(yīng)

%2

橢圓C的方程為：-+y2^l;

(2)證明：由(1)可得右焦點FQ,0),

顯然直線/的斜率不為0,設(shè)直線/的方程為x=my+l,M(xι,yι),N(X2,*),

聯(lián)立心不；二2，整理可得：(2+必內(nèi)2叱5

顯然△>(),且y∣+y2=—肅，yι>=-5?,

設(shè)直線。M：y=-(?-V2),當(dāng)χ=o時,「(o’1Q?1),

%1一√Z?i/

同理可得Q(0,三矍)，

因為最二(夜+1,QS=(√2+1,

—√z%2—

后?W=限+1)2+(X遙感