第10課平行四邊形目標(biāo)目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1．理解平行四邊形的概念，掌握平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理；2．能初步運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算，并體會(huì)如何利用所學(xué)的三角形的知識(shí)解決四邊形的問(wèn)題．3.能綜合運(yùn)用平行四邊形的判定定理和平行四邊形的性質(zhì)定理進(jìn)行證明和計(jì)算．4.理解三角形的中位線(xiàn)的概念，掌握三角形的中位線(xiàn)定理．知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01平行四邊形的定義平行四邊形的定義：兩組對(duì)邊的四邊形叫做平行四邊形.平行四邊形ABCD記作“”，讀作“”.注意：平行四邊形的基本元素：邊、角、對(duì)角線(xiàn).相鄰的兩邊為邊，有四對(duì)；相對(duì)的邊為對(duì)邊，有兩對(duì)；相鄰的兩角為鄰角，有四對(duì)；相對(duì)的角為對(duì)角，有兩對(duì)；對(duì)角線(xiàn)有兩條.知識(shí)點(diǎn)02平行四邊形的性質(zhì)1．邊的性質(zhì)：平行四邊形兩組對(duì)邊；2．角的性質(zhì)：平行四邊形鄰角，對(duì)角；3．對(duì)角線(xiàn)性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)；4．平行四邊形是對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心.注意：（1）平行四邊形的性質(zhì)中邊的性質(zhì)可以證明兩邊或兩邊；角的性質(zhì)可以證明兩角相等或兩角互補(bǔ)；對(duì)角線(xiàn)的性質(zhì)可以證明線(xiàn)段的關(guān)系或關(guān)系.（2）由于平行四邊形的性質(zhì)內(nèi)容較多，在使用時(shí)根據(jù)需要進(jìn)行選擇.（3）利用對(duì)角線(xiàn)互相平分可解決對(duì)角線(xiàn)或邊的取值范圍的問(wèn)題，在解答時(shí)應(yīng)聯(lián)系三角形三邊的不等關(guān)系來(lái)解決.知識(shí)點(diǎn)03平行四邊形的判定1.兩組對(duì)邊分別的四邊形是平行四邊形；2.兩組對(duì)邊分別的四邊形是平行四邊形；3.一組對(duì)邊且的四邊形是平行四邊形；4.兩組對(duì)角分別的四邊形是平行四邊形；5.對(duì)角線(xiàn)的四邊形是平行四邊形.注意：（1）這些判定方法是學(xué)習(xí)本章的基礎(chǔ)，必須牢固掌握，當(dāng)幾種方法都能判定同一個(gè)平行四邊形時(shí)，應(yīng)選擇較簡(jiǎn)單的方法.（2）這些判定方法既可作為判定平行四邊形的依據(jù)，也可作為“畫(huà)平行四邊形”的依據(jù).知識(shí)點(diǎn)04三角形的中位線(xiàn)1．連接三角形兩邊的線(xiàn)段叫做三角形的中位線(xiàn).2．定理：三角形的中位線(xiàn)于三角形的第三邊，且等于第三邊的.注意：（1）三角形有三條中位線(xiàn)，每一條與第三邊都有相應(yīng)的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系.（2）三角形的三條中位線(xiàn)把原三角形分成可重合的4個(gè)小三角形.因而每個(gè)小三角形的周長(zhǎng)為原三角形周長(zhǎng)的，每個(gè)小三角形的面積為原三角形面積的.（3）三角形的中位線(xiàn)不同于三角形的中線(xiàn).知識(shí)點(diǎn)05平行線(xiàn)間的距離1.兩條平行線(xiàn)間的距離：（1）定義：兩條平行線(xiàn)中，一條直線(xiàn)上的任意一點(diǎn)到另一條直線(xiàn)的，叫做這兩條平行線(xiàn)間的距離.注：距離是指，是正值.（2）平行線(xiàn)間的距離任何兩平行線(xiàn)間的距離都是存在的、唯一的，都是夾在這兩條平行線(xiàn)間最短的線(xiàn)段的長(zhǎng)度.兩條平行線(xiàn)間的任何兩條平行線(xiàn)段都是相等的.2.平行四邊形的面積：平行四邊形的面積＝底×高；等底等高的平行四邊形面積相等.能力拓展能力拓展考法01平行四邊形的性質(zhì)【典例1】如圖，平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為60，對(duì)角線(xiàn)交于O，△AOB的周長(zhǎng)比△BOC的周長(zhǎng)大8，求AB，BC的長(zhǎng)．【即學(xué)即練1】如圖，在平行四邊形ABCD中，P是CD邊上一點(diǎn)，且AP和BP分別平分∠DAB和∠CBA，若AD=5，AP=8，則△APB的周長(zhǎng)是_____．【即學(xué)即練2】如圖，?ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，若AD=6，AC+BD=16，則△BOC的周長(zhǎng)為_(kāi)____．【即學(xué)即練3】如圖，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，ABCD的周長(zhǎng)為40，則S為_(kāi)_____．【即學(xué)即練4】如圖，在□ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，則□ABCD的周長(zhǎng)等于__________．【即學(xué)即練5】已知：在?ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線(xiàn)EF分別交AD于E、BC于F，S△AOE=3，S△BOF=5，則?ABCD的面積是_____．【即學(xué)即練6】如圖，□ABCD與□DCFE的周長(zhǎng)相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，則∠DAE的度數(shù)為_(kāi)______°．【即學(xué)即練7】如果一個(gè)平行四邊形的一邊長(zhǎng)是8，一條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)是6，那么它的另一條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)m的取值范圍是______________.【即學(xué)即練8】若以A(1,2)，B(－1,0)，C(2,0)三點(diǎn)為頂點(diǎn)要畫(huà)平行四邊形，則第四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______．【即學(xué)即練9】如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是DC邊上一點(diǎn)，連接AE、BE，已知AE是∠DAB的平分線(xiàn)，BE是∠CBA的平分線(xiàn)．

（1）求證：AE⊥BE；

（2）若AE=3，BE=2，求平行四邊形ABCD的面積．

考法02平行四邊形的判定【典例2】已知：如圖四邊形ABCD是平行四邊形，P、Q是直線(xiàn)AC上的點(diǎn)，且AP=CQ．

求證：四邊形PBQD是平行四邊形．

【即學(xué)即練1】如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、AD上，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件__________使四邊形AECF是平行四邊形（只填一個(gè)即可）．【即學(xué)即練2】如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD，BF＝DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E、F．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）若AC與BD交于點(diǎn)O，求證：AO＝CO．【即學(xué)即練3】如圖，AB，CD相交于點(diǎn)O，AC∥DB，OA=OB，E、F分別是OC，OD中點(diǎn)．(1)求證：OD=OC．(2)求證：四邊形AFBE平行四邊形．【即學(xué)即練4】以銳角△ABC的邊AC、BC、AB向形外作等邊△ACD、等邊△BCE，作等邊△ABF，連接DF、CE如圖所示．求證：四邊形DCEF是平行四邊形．考法03構(gòu)造平行四邊形，應(yīng)用性質(zhì)【典例3】在等邊三角形ABC中，P為ΔABC內(nèi)一點(diǎn)，PD∥AB，PE∥BC，PF//AC，D，E，F(xiàn)分別在AC，AB和BC上，試說(shuō)明：PD＋PF＋PE＝BA.考法04三角形的中位線(xiàn)【典例4】如圖所示，在△ABC中，M為BC的中點(diǎn)，AD為∠BAC的平分線(xiàn)，BD⊥AD于D，AB＝12，AC＝18，求MD的長(zhǎng)．【即學(xué)即練1】如圖所示，四邊形ABCD中，Q是CD上的一定點(diǎn)，P是BC上的一動(dòng)點(diǎn)，E、F分別是PA、PQ兩邊的中點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上移動(dòng)的過(guò)程中，線(xiàn)段EF的長(zhǎng)度將()．A．先變大，后變小B．保持不變C．先變小，后變大D．無(wú)法確定【即學(xué)即練2】如圖，ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線(xiàn)段AO，BO的中點(diǎn)，若AC+BD=24厘米，△OAB的周長(zhǎng)是18厘米，則EF=___厘米．【即學(xué)即練3】如圖，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)是_____．【即學(xué)即練4】如圖，在四邊形ABCD中，P是對(duì)角線(xiàn)BD的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，AD＝BC，∠PEF＝18°，則∠PFE的度數(shù)是__________．【即學(xué)即練5】如圖，在四邊形ABDC中，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，并且E、F、G、H四點(diǎn)不共線(xiàn)．當(dāng)AC＝6，BD＝8時(shí)，四邊形EFGH的周長(zhǎng)是_____．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．如圖，?ABCD的周長(zhǎng)為36，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，BD=12，則△DOE的周長(zhǎng)為（）A．15 B．18 C．21 D．242．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線(xiàn)交AD于E，∠BED=150°，則∠A的大小為（）A．150° B．130° C．120° D．100°3．如圖，中，對(duì)角線(xiàn)、相交于點(diǎn)O，交于點(diǎn)E，連接，若的周長(zhǎng)為28，則的周長(zhǎng)為（）A．28 B．24 C．21 D．144．平行四邊形所具有的性質(zhì)是（）A．對(duì)角線(xiàn)相等 B．鄰邊互相垂直C．每條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角 D．兩組對(duì)邊分別相等5．如圖，?ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，且AC+BD=16，CD=6，則△ABO的周長(zhǎng)是（）A．10 B．14 C．20 D．226．平行四邊形的邊長(zhǎng)為5，則它的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)可能是()A．4和6 B．2和12 C．4和8 D．4和37．如圖，在中，分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)在延長(zhǎng)線(xiàn)上，添加一個(gè)條件使四邊形為平行四邊形，則這個(gè)條件是（）A． B． C． D．8．如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F是對(duì)角線(xiàn)AC上的兩點(diǎn)，給出下列四個(gè)條件：①AE＝CF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF．其中不能判定四邊形DEBF是平行四邊形的有()A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)9．如圖，M是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，AN平分∠BAC，BN⊥AN于點(diǎn)N，且AB=10，BC=15，MN=3，則AC的長(zhǎng)是（）A．12 B．14 C．16 D．18題組B能力提升練10．已知直角坐標(biāo)系內(nèi)有四個(gè)點(diǎn)A(-1，2)，B(3，0)，C(1，4)，D(x，y)，若以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則D點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)__________________．11．如圖，在平行四邊形ABCD中，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，若，，，則平行四邊形ABCD的面積為_(kāi)_____．12．如圖所示，對(duì)四邊形ABCD是平行四邊形的下列判斷，正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”．（1）因?yàn)锳D∥BC，AB=CD，所以ABCD是平行四邊形．()（2）因?yàn)锳B∥CD，AD=BC，所以ABCD是平行四邊形．()（3）因?yàn)锳D∥BC，AD=BC，所以ABCD是平行四邊形．()（4）因?yàn)锳B∥CD，AD∥BC，所以ABCD是平行四邊形．()（5）因?yàn)锳B=CD，AD=BC，所以ABCD是平行四邊形．()（6）因?yàn)锳D=CD，AB=AC，所以ABCD是平行四邊形．()13．如圖，線(xiàn)段AB＝4，點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，在AB的同側(cè)作等邊△ABD、等邊△APE和等邊△BPC，則四邊形PCDE面積的最大值是______．14．如圖所示，在△ABC中，AB=AC=7cm，D是BC上的一點(diǎn)，且DE∥AC，DF∥AB，則DE+DF=___．15．如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD=∠ABC=90°，E、F分別為AC、CD的中點(diǎn)，∠D=α，則∠BEF的度數(shù)為_(kāi)____（用含α的式子表示）．題組C培優(yōu)拔尖練16．已知：如圖，在中，中線(xiàn)交于點(diǎn)分別是的中點(diǎn)．求證：（1）；（2）和互相平分．17．如圖，在四邊形中，．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線(xiàn)的方向以每秒的速度運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)返回，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，在線(xiàn)段上以每秒的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)B，A同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．（1）當(dāng)時(shí)，若四邊形是平行四邊形，求出滿(mǎn)足要求的t的值；（2）當(dāng)時(shí)，若以C，D，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形面積為，求相應(yīng)的t的值；（3）當(dāng)時(shí)，若以C，D，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形面積為，求相應(yīng)的t的值．18．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，將直線(xiàn)AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α（0°＜α≤90°），分別交線(xiàn)段BC，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接BF．（1）如圖1，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，求證：OE＝OF；（2）如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至90°時(shí)，判斷四邊形ABEF的形狀，并證明你的結(jié)論；（3）若AB＝1，BC＝，且BF＝DF，求旋轉(zhuǎn)角度α的大?。?9．如圖