2023?2024學年度高三總復習雙向達標月考調研卷

數學試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個

選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知集合4=}€用>=一%2+4尤,%€2},8={%|111尤41},則A低3)()

A.{0}B.{3,4}C.{0,1,2}D.{1,2,3,4}

2.已知復數z滿足z(3-4i)=4—2i,則同=()

A.—B.—C.-D.-

5555

3.己知角。的終邊過點P(-3,1),則sing-“=()

A2^/5口26「yf5n小

5555

4.已知平面向量°與6的夾角是60。，且問=21=(1,2),則a?2a-b)=()

A.8+2括B.4-75C.8-也D.4+275

5.設數列{%}的公比為4,則“％>。且是“{%}是遞減數列”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.設。=2%6=(g)3,c=log°.6().7,則。也c的大小關系為()

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

91

7.設a>0,b>0,lg也是lg4"與lg2〃的等差中項，則一+7的最小值為()

ab

A.2V2B.3C.9D.372

8.己知函數的定義域為R,且對任意xeR,〃司-/'(同<0恒成立，則

e"(x+l)>e4〃2x-3)的解集是()

A.(4,+00)B.(-1,4)

C.(-8,3)D.(f,4)

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.每小題給出的選項中,

有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得

0分.

9.下列說法正確的是（）

A.若函數〃尤）的定義域為[0,2],則函數〃2力的定義域為[0,4]

B./（力=工圖象關于點（1,0）成中心對稱

X~1

/1X-x^+1

C.1的最大值為3

D.幕函數〃%）=（病-3血+3*小4在（0,+8）上為減函數，則加的值為1

10.已知一ABC的內角A,B,C的對邊分別為"c,則下列結論正確的是（）

A.若6cosA=acosi?,則ABC為等腰三角形

B.若A>B,則sin2A>sin2B

C.若A>B,則cos2Avcos25

D.若Q2—/=(QCOS3+6COSA)2,則J,ABC為直角三角形

11.已知S,為數列｛4｝的前〃和，下列說法正確的是（）

A.若數列｛%｝為等差數列，則黑，S2m-Sm,S3,,,-S2,,,為等差數列

B.若｛4｝為等比數列，則S”，色.I$3“-邑”為等比數列

q

C.若｛%｝為等差數列，則2，2要為等差數列

m2m3m

q

D.若｛%｝為等比數列，則基,2乎為等比數列

m2m4m

12.已知函數/（x）=cos2x+2cosx-l,則下列說法正確的是（）

A.〃x）的最小正周期為兀

B.””的最大值為2

C.〃x）的圖象關于直線對稱

D.?。┰谥担┥蠁握{遞減

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.關于x的不等式加+g+6）x+2>0的解集為則a+。=.

,、，、S“3〃一1a.

14.設等差數列｛凡｝,｛2｝的前〃項和分別為S“，T?,且亍=m，則之丁=.

15.已知”，b是非零向量，忖=1,(。+26)，a,向量“在向量匕方向上的投影為一亨,

16.設/(x)是定義在R上的偶函數，對任意xeR,都有/(x-2)=/a+2),且當xe[-2,0]

時，/W=(1y-1,若函數g(x)=/(x)-log.(x+2)(。>1)在區(qū)間(一2,6]恰有3個不

同的零點，則。的取值范圍是

四、解答題：本大題共6小題，共70分.請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答

時應寫出相應的文字說明、證明過程或演算步驟.

17.己知數列｛%｝是等差數列，其前”項和為S“，且2g+4=13,S7=49.

(1)求｛%｝的通項公式;

⑵設b?=an+2"”，求數列低｝的前〃項和T?.

18.已知函數〃尤)=Asin(ox+0)(其中A>O,0>O，M|<g)的部分圖像如圖所示，將函

數〃尤)的圖象向右平移；個單位長度，得到函數g(x)的圖象.

⑴求〃尤)與g(x)的解析式；

⑵令F(x)=/(x)+g(x),求方程/⑴=0在區(qū)間(0,2K)內的所有實數解的和.

19.ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2Z?cosA=ccosA+acosC.

⑴求A;

(2)若。=4,求ABC面積的最大值.

2

20.已知數列｛4｝滿足：q=2ae(w±2,〃eN*),a3=4,數歹！J｛2｝的前n項和Sn=2n-n.

⑴求數列｛4｝,｛2｝的通項公式；

⑵設c“=〃,q,求數列仁｝的前”項和r”.

21.已知函數/(力=,+1是定義在R上的奇函數?

⑴判斷并證明函數“X)的單調性;

kk

⑵是否存在實數3使得函數〃x)在區(qū)間上〃,向上的取值范圍是—?若存在，求

出實數上的取值范圍；若不存在，請說明理由.

22.已知函數/'(%)=-加+3+2111%.

⑴討論函數〃x)的單調性；

(2)若函數/(X)的極大值為2,求實數。的值；

(3)在(2)的條件下，方程〃x)=根存在兩個不同的實數根和三，證明：/‘［土產)＜。.

1.B

【分析】根據二次函數值域可求得A={0,3,4},解對數不等式可得3={x|0<xVe},即可

求出Ac@3)={0,3,4}.

【詳解】根據二次函數性質可知A={yeN104y=-爐+4x44},

又因為xdZ,可得x=0,l,2,3,4,所以可得人={0,3,4}；

由對數函數定義解不等式InxWl可得3={x|0<x4e},

Hlth^5={x|x<0^x>e),

所以Ac@B)={0,3,4}.

故選：B

2.B

【分析】根據復數的除法運算，求出復數z,然后利用同=忖即可求解.

,、4-21(4-2i)(3+4i)42

【詳解】因為復數z滿足z3-4i=4-2i,所以2=丁丁==￡+7,

3-41(3-41)°(3+4r1)55

所以同=|z|=

故選：B.

3.A

【分析】先根據三角函數的定義求出sin6,cos0,再根據兩角差的正弦公式即可得解.

【詳解】因為角。的終邊過點

所以sin6=—=@^,cos。==3V10

V9+110V9+110

.(Ti.兀An.a及(3而］拒回275

所以sin----a=sin—cos8-cos—sin〃=—x-----------------x------=--------.

UJ442I10J2105

故選：A.

4.C

【分析】利用模的公式可得到忖=石，然后利用數量積的運算律即可得到答案

【詳解】由6=（1,2）可得忖=逐,

因為平面向量a與Z?的夾角是60。,且同=2,

所以〃.（2〃_人）=2忖_￡."=2忖-U?|/?|cos60°=8—>/5

故選：C

5.A

【分析】根據題意，結合等比數列的通項公式，分別驗證充分性以及必要性，即可得到結果.

【詳解】由等比數列的通項公式可得，%=q?4〃7=幺-4〃，

q

當％〉0且0v”l時，則幺>0,且y=二單調遞減，則4=幺0是遞減數列，故充分性

Qq

滿足；

當%=幺?〃"是遞減數列，可得?或[可;°,故必要性不滿足；

q[0<^<1[^>1

所以飛>0且0<4v「是“K｝是遞減數列”的充分不必要條件.

故選：A

6.D

【分析】根據指數函數和對數函數的單調性，求得1。8。,6。?7<1和1<2°3<（；）-。9,即可求解.

【詳解】由指數函數y=2'在定義域R上為單調遞增函數，所以1=2°<2°-8<2°9=§）-9,

又由對數函數產1唯.6%在（。，+8）上為單調遞減函數，所以1%.6。?7<1叫.6。?6=1,

所以log060.7<208<（；）?9,即c<q<b.

故選：D.

7.C

【解析】根據等差中項的定義，利用對數的運算得到2a+6=l,然后利用這一結論，將目

標化為齊次式，利用基本不等式即可求最小值.

【詳解】解：Qa>O,b>O,lg0是Ig4"與lg2"的等差中項，

21g0=lg4fl+lg2\.'.Ig2=lg22a+b,

即2=22"+J即2a+6=l,

則2+L小7、「2。2b、u.2a2b

(2a+Z?)=5H-----1-----25+2,--------------二9,

abbaba

當且僅當學=竺，即a=b=:時取等號.

ba3

故選c.

【點睛】本題主要考查利用基本不等式求最值中的其次化方法，涉及等差中項概念和對數運

算，難度中等.

mri

當已知1。+4人=左（。,力M也左都是正實數，且。，尸,左為常數），求一+：O,〃>0,為常數

ab

）的最小值時常用'+7=:（'+?］（。。+"0方法，展開后對變量部分利用基本不等式，從

而求得最小值；

已知4+2=上（名分,4,6,左都是正實數，且。,力,人為常數），求在?+">（見”>0,為常數）的

ab

最小值時也可以用同樣的方法.

8.D

【分析】構造函數g（x）=qa，利用導數分析函數g（無）的單調性，將所求不等式變形為

g（x+l）>g（2x-3）,利用函數g（x）的單調性可求得原不等式的解集.

【詳解】設g（x）=：2,該函數的定義域為R,

則）⑺皿所以g⑺在R上單調遞增.

由e"（x+1）>e4/（2x-3）可得，才）>〃手）,即g（x+1）>g（2x—3）,

ee

又g（x）在R上單調遞增，所以無+1>2%-3,解得x<4,

所以原不等式的解集是（f,4）,

故選：D.

9.BD

【分析】根據函數的定義域、對稱性、最值、單調性等知識對選項進行分析，從而確定正確

答案.

【詳解】A選項，函數的定義域為［0,2］,

所以對于函數〃2x）,W0<2^<2,0<x<l,即〃2x）的定義域是［0,1］,A選項錯誤.

B選項，“2-元）=kJ=J-=-f（x）,所以〃x）=工圖象關于點（1,0）成中心對稱,

2—x—11—xx—\

B選項正確.

c選項，-X2+1<1,所以

即y=的最小值為C選項錯誤.

D選項，/（x）=（m2-3m+3）x3ra-4是塞函數，

所以加2一3m+3=1,m2-3m+2=0,解得根=1或zn=2,

當m=1時，/（X）=X-1=—,在（0,+8）上遞減，

X

當m=2時，/（x）=x2,在（0,+。）上遞增，

所以D選項正確.

故選：BD

10.ACD

【分析】利用正弦定理化邊為角，再結合兩角差的正弦公式即可判斷A；舉出反例即可判斷

B；根據大角對大邊，再結合正弦定理化邊為角及二倍角的余弦公式即可判斷C；利用余弦

定理化角為邊即可判斷D.

【詳解】對于A,因為Z?cosA=〃cos3,

由正弦定理可得sinBcosA=sinAcosB,

即sinBcosA—cosAsinB=sin（B-A）=0,

又A,i3￡（O,7l）,則5-人￡（一兀,兀），

所以3—A=。，即3=A,

所以ABC為等腰三角形，故A正確；

對于B,當A==■時，sin2A=sin7i=0,sinIB=siny=,故B錯誤；

對于C,若力>6,貝則sinA>sin5>0,

所以sir?AAsi/B,故1-2sii?Avl-2sii?3,BPcos2A<cos2B,故C正確；

“Tno74a2+c2-b2Jb2+c2-a2

對十D,acosB+bcosA=a----------------\-b------------------c,

lac2bc

因為/-b2=｛acosB+bcosA)2,

所以即〃=02+〃，所以ABC為直角三角形，故D正確.

故選：ACD.

11.AC

【分析】根據等差數列以及其前n項和的性質逐項判斷即可.

【詳解】對于B和D,當公比4=-1時，且小為偶數時，s—,a，

此時與，S2m-Sm,S3.-%不為等比數列；

1=9=2幽=0,此時也，皿，也不為等比數列，則B和D錯誤;

m2m4mm2m4m

對于A,若數列｛4｝為等差數列，設公差為d,則5,”=%+?++am,

=G+i??,2++%，”2，”+1+02"+2+

S[m-S,"m+1+，S31n—S2m=。+。3m，

由等差數列片段和性質知S",S2m-s,?,S3,,,-邑M為等差數列，公差為機d,A正確;

對于C,若｛%｝為等差數列，設公差為d,則

m（m-V）.

SmayH------------a

（m-1）dd,

=CL~\------Cl7=—M2+〃[---

mm12212

s2m,dS3m3m,d

2m23m22

貝|2x皿='+',所以d,要，要為等差數列，c正確;

2mm3mm2m3m

故選：AC

12.BD

【分析】由〃兀+X)=/(尤)、“兀一X)=/(X)是否成立判斷A、C；由〃尤)=2(cosX+：)2-g,

結合余弦函數、二次函數性質判斷B、D.

[詳解】由/（兀+%）=cos2（兀+%）+2cos（兀+x）—l=cos2x—2cosx—lw/（x）,

所以兀不是“X)的周期，A錯;

由/（7i-x）=cos2（K-x）+2cos（7i-x）—l=cos2x-2cosx—l^f（x）,

所以“X）的圖象不關于直線X=]對稱，C錯；

由/(x)=2(cos2x+cosx)-2=2(cosx+^)2--1,Jfj]COSXG[-1,1],

所以/(XLX=2X(1+；)2-T=2,B對；

由cosx在xe(o，mj上遞減，且cos尤e(0,l),

結合二次函數及復合函數的單調性知：/(%)在(0，]上單調遞減，D對.

故選：BD

41

13.——##-1-

33

【分析】分析可知，-3、1是關于尤的方程依2+S+b)x+2=0的兩根，利用韋達定理可得

出a+b的值.

【詳解】因為關于x的不等式加+(a+6)x+2>0的解集為則“<0,

且-3、1是關于x的方程依2+(a+b)x+2=0的兩根，

由韋達定理可得一3+1=—^a+^b,-3x1=-2,解得〃=—2彳，所以，a+b=2a=—4.

aa33

4

故答案為：

14.—##1-

99

【分析】根據給定條件，利用等差數列性質化簡計算作答.

【詳解】等差數列｛%｝,也｝的前"項和分別為S“，Tn,

15(q+%5)

3xl5

所以__=L2G=j_.q+%5=1.___2_____=1.jk=lx-l=11

b5+bu2b5+bn24+九215(仿十九)27]5215+39,

2

故答案為：—

15.2

【分析】根據數量積的性質，結合投影定義求解可得.

【詳解】-：(a+2b)la,.*.(a+2b^-a=|?|+2Z??a=0,=一],

??,向量〃在向量b方向上的投影為-之，，廿=一下，

W=^=a-b=y12,

p-z?|2=|^|-26Z-Z7+|Z?|?2X[T+2=4,

I^z—￡>|=2,

故答案為：2

16.（而,2）

【分析】先判斷函數為周期是4的周期函數，再根據偶函數畫出函數在(-2,6］上的圖像，根

據圖像得到1嗎4<3,log。8>3,計算得到答案.

【詳解】對于任意的xeR,都有F(X-2)=/(X+2),函數了⑺是一個周期函數，且7=4

當xe［-2,0］時，/(x)=(1)l-l,且函數/(力是定義在R上的偶函數

故函數AM在區(qū)間(-2,6］上的圖象如下圖所示：

若在區(qū)間(-2,6］內關于x的方程g(x)=/(x)-log“(x+2)恰有3個不同的實數解,

即y=/(%)與y=log.(x+2)恰有3個不同的交點，由圖像可得：

logfl4<3,logfl8>3,解得:/<a<2

故答案為(科,2)

【點睛】本題考查了函數的零點問題，轉化是函數的交點是解題的關鍵，綜合考查了函數的

奇偶性，周期性，函數圖像，意在考查學生的綜合應用能力.

17.(l)a?=2/7-1

Q2/7+1_r\

【分析】(1)利用等差數列的通項公式和前〃項和公式求解；

(2)分組求和方法求解.

【詳解】(1)設等差數列｛%｝的公差為d,又2a2+4=13,￡=49,

2(q+d)+q+3d=13

所以7x6d，解得4=1，d=2,

74+—=49

所以｛叫的通項公式a“=%+(〃—l)d=l+2(〃—l)=2〃—L

(2)由(1)知"=a“+2%=2〃-l+22"T,

所以＜=4+d+%+…+2=(1+2)+(3+23)+(5+25)+…+(2〃-l+22"T)

2/,+1

/\/359?\w(l+2n—1)2x(1-4")2—22

=0+3+5+…+2〃-1)+(2+23+25+…+2*=」--——Z+—；4=—-—+〃?

18.(l)/(x)=2sinf2x+yj,g(x)=-2cosf2x+-|

3

⑵等

【分析】(1)由函數圖象可得A即周期，即可求出。，再利用待定系數法求出夕，即可求出

函數的解析式，再根據平移變換的原則即可求得函數g(x)的解析式;

(2)先求出函數尸(x)的解析式，再根據正弦函數的性質即可得解.

【詳解】(1)由圖可知，A=2,

，77TTCA27r

函數f(X)的周期T=41五一"=兀=K，所以0=2,

所以/(x)=2sin(2x+0),

所以sin《+j=-l,

77r37rir

所以---\-(p=-----bIkn,所以夕=—+2kit,kwZ,

623

又|夕|＜三，所以,=%

所以/(x)=2sin(2x+]J,

因為將函數〃力的圖象向右平移:個單位長度，得到函數g(x)的圖象,

所以g(元)=2sin=-2cos2x+—；

I3

(2)F(x)=f(x)+g[x)

=2sin+^-j-2cosjj

=2&sin(2x+］一：j

=2A/2sin12x+,

由b(x)=20sin(2x+=也，

得5.2日.號，

因為x￡(0,2兀),所以2%+石*(石■，三~

匚匚2c兀71T.5兀-13兀-17兀

所以2冗十二;=：或7-或丁或丁，

126666

Tl_p,371T.25兀_p.11兀

所以-五或可或三或守,

所以方程網X）=也在區(qū)間（0,2兀）內的所有實數解的和為

713兀25兀117117Tl

一十一+-----+——

248248~6~

7T

19.(1)A=-

(2)4^

【分析】（1）由正弦定理將邊化為角，結合三角函數的兩角和的正弦公式，可求得答案;

（2）由余弦定理結合基本不等式可求得6c416,再利用三角形面積公式求得答案.

【詳解】（1）根據正弦定理及2&cosA=ccosA+acosC,

得2sin5cosA=sinCeosA+sinAcosC=sin（A+C）=sinB.

VsinB^O,

,a1

,?cosA=—.

2

*.*0<A<71,

A=-.

3

（2）由（1）知力=1，又。=4,

由余弦定理得16=戶+。2一2"8$；,

即b2+c2—be=16，

vb2+c2>2bc,

2bc—be<16,BPbe<16,

當且僅當b=c=4時取等號.

，5AABC=-^csinA=-x—<—^-xl6=4A/3.

△ABC2224

?*,SABC的最大值為4石.

20.⑴4=2"-也=4〃-3

⑵7；=(4?-7)-2,'+7

【分析】(1)根據數列｛%｝的遞推關系式判斷數列類型求出通項公式，根據｛〃｝的前"項和，利

用bn=S,-S,T(">2)，求出數列也｝的通項公式即可，注意檢驗；

(2)根據數列｛g｝通項公式的特殊性，利用錯位相減法，求出其前"項和即可.

【詳解】(1)解:由題知?！?2a“T(〃32,"eN*),

eij—4,..q=1,

..?｛%｝是以2為公比的等比數列，

風=2"，

Q｛4｝的前n項和S”=2n2-n,

〃22時也=Sn-Sn_r

=2/722(〃-1)-+(?-1)

=477—3

當〃=1時,S]=1=耳，

故4=4n-3,

綜上%=2"7,2=4"一3；

(2)由⑴知a"=2"T也=4〃-3,

=(4—,

=C+C+C++C+C

?1-T?123n-ln

=l-20+5-21+9-22+,+（4H-7）-2"-2+（4/!-3）-2"-1,0

27；,=1-2'+5-22+9-23++（4〃-7>2"T+（4"-3>2”,②

②-①可得：

1231n

7；I=-1-4-2-4-2-4-2--4-2'-+（4n-3）-2

=（4?-7）-2"+7

故<=(4-7>2"+7.

21.(l)〃x)是R上的增函數，證明見解析

⑵存在；(-3+20,0)

【分析】(1)先利用奇函數的性質求出字母。，再根據函數單調性定義取證明即可；

(2)先假設存在，利用第一問函數單調性結論得出兩個等式，再結合兩個等式的特點轉化為

一個方程，使用換元法可得一個一元二次方程兩個不等正根的問題，

結合一元二次方程根與系數關系即可求解.

【詳解】⑴〃0)=*=0na=l,所以〃司=亳，

“X)是R上的增函數，證明如下：

設X],x2GR,<x2

f(x}_f(xAf12W________2_2(4-'-4")

八玉廠八2六1m廠〔不TT廠否T不TF(4"+D(4、，+I)

V1X2%2

不<三,/.4<4,4*'+l>0,4+l>0,/(^)-/(x2)<0,

.??/(x)是R上的單調增函數.

(2)假設存在實數3使之滿足題意.

由(1)可得函數〃尤)在[私川上單調遞增,

4"-1_k

4加+廣下

/(〃)=!4/7-1_k

4〃+1一不

…〃為方程-4的兩個根’即方程門斗有兩個不等的實根?

令平=1＞0,即方程（1+左），-左=0有兩個不等的正根.

1+左C

--->0

2

A>0，一3+20〈左<0

一人>0

故存在，實數上的取值范圍為：（-3+2后,0）

22.（1）答案見解析

（2