【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案

專題30二次函數(shù)與動(dòng)點(diǎn)壓軸問(wèn)題

經(jīng)典例題

__________________√

【例1】(2022.遼寧阜新?統(tǒng)考中考真題)如圖，己知二次函數(shù)y=-/+6%+(:的圖像交匯軸于點(diǎn)力(一1,0),

β(5,0),交y軸于點(diǎn)C.

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)如圖1,點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒&個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)。出發(fā)，以每秒1個(gè)

單位長(zhǎng)度的速度沿線段OB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),點(diǎn)M,N同時(shí)出發(fā).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0<t<5).當(dāng)t為何值時(shí)，ABMN

的面積最大？最大面積是多少？

(3)已知P是拋物線上一點(diǎn)，在直線BC上是否存在點(diǎn)Q,使以4,C,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若

存在，直接寫出點(diǎn)Q坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(Dy=—/+4%+5

⑵當(dāng)t=|時(shí)，MN的面積最大，最大面積是卷

(3)存在,Q的坐標(biāo)為(一7,12)或(7,-2)或(1,4)或(2,3)

【分析】(1)用待定系數(shù)法可求得二次函數(shù)的表達(dá)式為；

(2)過(guò)點(diǎn)M作ME1X軸于點(diǎn)E,設(shè)4BMN面積為S,由ON=t,BM=√2t,可得BN=5-t,ME=BMS譏45。=

√2t?y=t,即得S=?W?MF=∣(5-t)?t=-∣(t-∣)2+?>由二次函數(shù)性質(zhì)可得當(dāng)t=I秒時(shí)，△BMN

的面積最大，求得其最大面積;

(3)由B(5,0),C(0,5)得直線BC解析式為y=-％+5,設(shè)Q(m,-m+5),P(n,-n2+4n+5),分三種情況進(jìn)

行討論求解.

【詳解】(1)將點(diǎn)4(一L0)，8(5,0)代入y=+bx+c中，

得(°=T-+C

Eo=-25+5b+c

解這個(gè)方程組得｛，Z?,

二二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-X2+4x+5；

(2)過(guò)點(diǎn)M作MEJ.x軸于點(diǎn)E,如圖：

設(shè)4BMN面積為S,

根據(jù)題意得：ON=t,BM=√2t.

???B(5,0),

???BN=5—tf

在y=—%2+4%+5中，令％=0得y=5,

???C(0,5),

?OC=OB=5,

???Z.OBC=45°.

.?.ME=BMsin45o=√2t?y=t,

.?.S=∣B∕V?MF=∣(5-t)?t=-∣t2+∣t=-∣(t-∣)2+γ,

?.?0<t<5,

二當(dāng)t=機(jī)寸，△BMN的面積最大，最大面積是京

(3)存在點(diǎn)Q,使以4,C,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，理由如下:

由B(5,0),C(0,5)得直線BC解析式為y=-x+5,

設(shè)QOn,m+5),P(n,-n2+4n+5),又4(-1,0),C(0,5),

①當(dāng)PQ,4C是對(duì)角線，則PQ,4C的中點(diǎn)重合，

(τn÷n=-1÷O

t—m÷5-n2÷4n+5=0÷5,

解得τn=0(與C重合，舍去)或Tn=-7,

???Q(-7,12);

②當(dāng)Q4,PC為對(duì)角線，則Q4,PC的中點(diǎn)重合，

rm-1=n÷O

l-τn+5+O=—n2+4九+5+5'

解得Tn=0(舍去)或m=7,

???Q(7,-2);

③當(dāng)QC,P4為對(duì)角線，則QC,P4的中點(diǎn)重合，

rm+O=n—1

1—m+5+5=-n2+4n+5+O'

解得m=1或m=2,

.?.(?(1,4)或(2,3),

綜上所述，Q的坐標(biāo)為(一7,12)或(7,-2)或(1,4)或(2,3).

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，三角形面積，平行四邊形的性質(zhì)及應(yīng)用，解題

的關(guān)鍵是用含字母的式子表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和相關(guān)線段的長(zhǎng)度.

【例2】(2022.四川達(dá)州.統(tǒng)考中考真題)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)、=。/+.+2的

圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(—1,0),B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式;

(2)連接8C,在該二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P,使NPCB=?ABC?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)如圖2,直線/為該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，交X軸于點(diǎn)E?若點(diǎn)Q為X軸上方二次函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn),

過(guò)點(diǎn)。作直線4Q,BQ分別交直線/于點(diǎn)M,M在點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，EM+EN的值是否為定值？若是,

請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(l)y=-∣∕+gχ+2

⑵PS或管,-答)

喈

【分析】(I)待定系數(shù)法求解析式即可求解；

(2)根據(jù)題意，分情況討論，①過(guò)點(diǎn)C作關(guān)于X=1的對(duì)稱點(diǎn)P,即可求尸的坐標(biāo)，②芯軸上取?點(diǎn)。，使得

DC=DB,貝∣MCCB=N4BC,設(shè)D(d,O),根據(jù)勾股定理求得CD,BD,建列方程，解方程求解即可；

(3)設(shè)Q(t,-∣t2÷it+2),-l<t<3,過(guò)點(diǎn)Q作QF1X軸于點(diǎn)F,則F(t,0),證明AAMEAQF,2BNES

△BQF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式求得EM+EN,即可求解.

【詳解】(1)解：:由二次函數(shù)y=Q/+b%+2,令％=0,則y=2,

???C(0,2),

???過(guò)點(diǎn)4(-1,0),8(3,0),

設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=α(x+l)(x-3)=α(x2-2%-3),

將點(diǎn)C(0,2)代入得,

2=-3a,

解得Q=

:?y=--X2+-%+2,

z33

(2)?：二次函數(shù)曠="2+必+2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(一1,0),8(3,0),

???拋物線的對(duì)稱軸為X=1,

①如圖，過(guò)點(diǎn)C作關(guān)于X=1的對(duì)稱點(diǎn)P,

.?.CP??AB,

:,乙PCB=?ABC,

?.?C(0,2),

.?.P(2,2),

②X軸上取一點(diǎn)。，使得。C=CB,則4CCB=N4BC,設(shè)。(d,0),

則CD=√22+d2,BD=3-d,

.?.22+d2=(3-d)2,

解得d=

6

即嗚0),

設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b,

(∣?+h=0

Ib=2

解得卜=一孩，

Ib=2

二直線CD的解析式為y=-γx+2,

(y=-W+2

聯(lián)立《5，

Iy=-2-X2+4-x+2

'_28

解得｛;二網(wǎng)"=鼠，

l?∕JV=-

V25

???p得，-第，

綜上所述,P(2,2)或管,-鬻)，

(3)EM+EM的值是定值好

設(shè)Q(t,—+—l<t<3,

過(guò)點(diǎn)Q作QF1X軸于點(diǎn)尸,則FQ,0),

?.?A(T,O),B(3,O),E(l,0),F(t,0),

?AE=BE=2,AF,=t+1,BF=3—3

ΛMEWQFfNEWQF,

???△AMEAQFtLBNEBQF,

φME_AENE_BE

??QF-AF'QF一BF1

πι1ME2NE2

QFt+1QF3-t

22

.?.ME=-QF,NE=-QF,

t+ι"3-t”

.?.ME+NE=C+?)QF,

「QF=一相+"+2=(一9*(t+"t-3)，

.?.ME+∕Vf=(-^-+-^-)×(-∣)×(t+l)(t-3)

?t-r1?—Γ/??/

4

=-∕t-3)-(t+l)]

16

——.

3

即EM+EN的值是定值T

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求解析式，角度問(wèn)題，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握二

次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【例3】(2021?江蘇淮安.統(tǒng)考中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=￥+法+c的圖象與X

軸交于點(diǎn)A(-3,0)和點(diǎn)B(5,0),頂點(diǎn)為點(diǎn)O,動(dòng)點(diǎn)M、。在X軸上(點(diǎn)M在點(diǎn)Q的左側(cè))，在X軸

下方作矩形MNP。，其中MQ=3,MN=2.矩形MNPQ沿X軸以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右勻速運(yùn)動(dòng),

運(yùn)動(dòng)開始時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-6,0),當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)8重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/秒(r>0).

(1)b=,C=.

(2)連接BC,求直線8。的函數(shù)表達(dá)式.

(3)在矩形MNPQ運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，MN所在直線與該二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)G,PQ所在直線與直線BO交

于點(diǎn)兒是否存在某一時(shí)刻，使得以G、例、，、。為頂點(diǎn)的四邊形是面積小于10的平行四邊形？若存在,

求出r的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(4)連接PD,過(guò)點(diǎn)P作PO的垂線交)，軸于點(diǎn)R,直接寫出在矩形MNP。整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中點(diǎn)R運(yùn)動(dòng)的路

徑長(zhǎng).

【答案】(1)(2)y=x-5；(3)存在，f=5或∕=5+2√δ;(4)—

244

【分析】(1)把4(一3,0),8(5,0)代入丫=；%2+加：+以列方程組求出4C的值；

(2)將拋物線的函數(shù)表達(dá)式由一般式配成頂點(diǎn)式，求出頂點(diǎn)。的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求直線BZ)的函數(shù)

表達(dá)式；

(3)先由QM?QH<10,且QH≠0,確定，的取值范圍，再用含f的代數(shù)式分別表示點(diǎn)G、點(diǎn)”的坐標(biāo),

由MG=HQ列方程求出f的值：

(4)過(guò)點(diǎn)P作直線X=1的垂線，垂足為點(diǎn)片交y軸于點(diǎn)G,由APRG?ACPF,確定點(diǎn)R的最低點(diǎn)和最

高點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出點(diǎn)K運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng).

【詳解】解：(1)把4(-3,0),8(5,0)代入y==χ2+bχ+c,

3b+c=0(b=--

得上—0，解得3

I—I-5h+c=0c=-----

14I4

故答案為:-?f_*

(2)Vy=工％2—iχ——=?(χ—I)2—4,

z4244、J

：.該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為。(1,-4)；

設(shè)直線BD的函數(shù)表達(dá)式為y=mx÷n,

則｛5<+n=,解得尸=3

Im+九=-4m=-5

/.y=X-5.

(3)存在，如圖1、圖2.

由題意得，MQ-6,0),QQ-3,0),

?二G(t—6,712—(t+—,H(t—3,t—8)；

VQM?QH<10,且QHH0,

p(t-8)<10

13(8-t)<10f解得gv/vg，且t≠8；

[∣t-8∣≠0

VMG//HQ,

??.當(dāng)MG=HQ時(shí)，以G,M,H,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,

?,?∣jt2-^+τ∣=∣t-θh

由工d―2+史=t—8,

424

解得，t]=5/2=13（不符合題意，舍去）;

由工/一2+史=τ+8,

424

解得，=5+2前,J=5-2幾（不符合題意，舍去）,

綜上所述，t=5或t=5+2Λ∕6.

(4)由⑵得，拋物線y=；/—；X一半的對(duì)稱軸為直線X=1,

424

過(guò)點(diǎn)P作宜線X=I的垂線，垂足為點(diǎn)凡交y軸于點(diǎn)G,

如圖3,點(diǎn)。在y軸左側(cè)，此時(shí)點(diǎn)R在點(diǎn)G的上方，

當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-6,0)時(shí)，點(diǎn)R的位置最高，

此時(shí)點(diǎn)。與點(diǎn)A重合，

■:APGR=4DFP=90。,NRPG=90。-"PD=乙PDF,

：.ΔPRG-ΔDPF,

.RG_PG

*ePF一^DFf

：.RG=必=6

DF2

：.R(0,4)i

如圖4,為原圖象的局部入大圖,

當(dāng)點(diǎn)Q在y軸右側(cè)且在直線X=1左側(cè)，此時(shí)點(diǎn)R的最低位置在點(diǎn)G下方,

由仆PRG~ΔDPFf

ΛgRGPG

得，PF-DF,

'GR=甯

設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(r,0)(0<r<l),則尸(r,-2),

.?.G"竽=一寧+》=一衿一界+熹

二當(dāng)r=T時(shí)，GR的最小值為

.?.R(O,-?);

如圖5,為原圖象的縮小圖，

當(dāng)點(diǎn)。在直線X=I右側(cè)，則點(diǎn)R在點(diǎn)G的上方,

當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)R的位置最高，

由APRG?ADPF,

：.R(0,26),

Λ4+8-+826+4-=-,

.?.點(diǎn)R運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為手.

4

【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、矩

形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程以及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的求解等知識(shí)與方法，還涉及數(shù)形結(jié)

合、分類討論等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，綜合性強(qiáng)、難度大，屬于考試壓軸題.

【例4】(2021.四川雅安?統(tǒng)考中考真題)已知二次函數(shù)y=∕+2bx-3b.

(1)當(dāng)該二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(1,0)時(shí)，求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)在(1)的條件下，二次函數(shù)圖象與X軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)B,與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)C,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)在

線段AB上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)8出發(fā)，在線段BC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)

度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，直到其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，求△8PQ面積的最大值；

(3)若對(duì)滿足X≥1的任意實(shí)數(shù)X,都使得y≥0成立，求實(shí)數(shù)匕的取值范圍.

2

【答案】(I)y=x+2x-3i(2)y；(3)-3<?≤l.

【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法，即可求解；

(2)先求出A(l,0),8(-3,0),C(O,-3),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/,則AP=2/,BQ=t,BP=4-2f,過(guò)點(diǎn)M作M。，X

軸，可得MQ=從而得到△8PQ的面積的表達(dá)式，進(jìn)而即可求解；

—/?V1—h.1

⑶設(shè)y=/(x)=X2÷2bx-3b,結(jié)合函數(shù)圖像的對(duì)稱軸，開口方向，分兩種情況：｛,⑴M0或｛/(_切>0，

進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：(1)把4(Lo)代入y=%2+2bx-3b,

得：O=I2+2b-3b,解得：b=l,

.?.該二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=X2+2x-3；

(2)令)=0代入y=%2+2x—3,

得：O=X2+2%—3,

解得：x1=1或%2=-3，

令x=0代入y=X2+2x—3得：y=-3,

ΛA(1,0),B(-3,0),C(0,-3),

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為人貝∣jAP=2f,BQ=t,

.?BP=4-2tf

過(guò)點(diǎn)M作M。，X軸，

VOB=OC=3,

：.NoBC=45。,

???是等腰直角三角形，

：.MQqBQ=苧,

叢BPQ的面積苫SP-MQ=∣(4-2t)-t=-y(t-I)2+γ,

.?.當(dāng)日時(shí)，MPQ面積的最大值=圣

(3)拋物線y=刀2+2?。?38的對(duì)稱軸為：直線開口向上,

設(shè)y=/(x)=X2+2bx—3b,

?.?對(duì)X≥1的任意實(shí)數(shù)X,都使得y≥O成立,

ΛV(1)^≥?；颍鹒(-b)≥0'

Λ-I≤?<l或-3≤6<-l,

Λ-3≤?<l.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)綜合，掌握待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)以及根據(jù)圖像對(duì)稱軸位置，列出

不等式組，是解題的關(guān)鍵.

【例5】(2021.湖南張家界.統(tǒng)考中考真題)如圖，已知二次函數(shù)y=αx2+bx+C的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(2,-3)且與

X軸交于原點(diǎn)及點(diǎn)8(8,0).

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)及直線AB的表達(dá)式；

(3)判斷AABO的形狀，試說(shuō)明理由；

(4)若點(diǎn)P為O。上的動(dòng)點(diǎn)，且。。的半徑為2√Σ,一動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)4出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線

段AP勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P,再以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段PB勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B后停止運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)

間t的最小值.

【答案】(1)y=iχ2-2x≡(2)4(4,-4),y=x-8;(3)等腰直角三角形，理由見解析：(4)5√2

【分析】(1)根據(jù)已知條件，運(yùn)用待定系數(shù)法直接列方程組求解即可；

(2)根據(jù)(1)中二次函數(shù)解析式，直接利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算即可，再根據(jù)點(diǎn)人B坐標(biāo)求出AB解析式

即可；

(3)根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱性可知△48。為等腰三角形，再根據(jù)0、A、B三點(diǎn)坐標(biāo)，求出三條線段的長(zhǎng)，利用

勾股定理驗(yàn)證即可；

(4)根據(jù)題意可知?jiǎng)狱c(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=∕AP∣+∣PB∣,在。4匕取點(diǎn)。，使。。=√Σ,可證明AAPoSδ

PDO,根據(jù)相似三角形比例關(guān)系得IPnl=IAP|,即t=T∣AP∣+∣PB∣=∣PD∣+∣PB∣,當(dāng)8、P、。三點(diǎn)共線

時(shí)，IPDl+∣PB∣取得最小值，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理進(jìn)一步計(jì)算即可.

【詳解】解：(1):二次函數(shù)y=ɑ/+bχ+c(α#0)的圖象經(jīng)過(guò)C(2,-3),且與X軸交于原點(diǎn)及點(diǎn)8(8,0)

/.c=0,二次函數(shù)表達(dá)式可設(shè)為：y—ax2+hx(a≠0)

將C(2,-3),B(8,0)代入y=ax2+bx得：

(73??ɑ?部解這個(gè)方程組得［0=；

IO=64a+8匕Ib=—2

?.?二次函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式為y=7x2-Ix

4

(2)：點(diǎn)4為二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn),

240-22

?b~2.4ac-b_×^×(^)

.?X_———?=4?y-4

2a2×≡

頂點(diǎn)坐標(biāo)為:4(4,-4),

設(shè)直線4B的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+zn,則有:

-4=4k+m解之得.，k=l

0=8k÷Tn腫乙傳?Im=-8

.?.直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=X-8

(3)△4BC是等腰直角三角形,

過(guò)點(diǎn)4作4F1OBF點(diǎn)F,易知其坐標(biāo)為F(4,0)

ZMBC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是O(0,0),4(4,-4),B(8,0),

：.\OB\=∣8-Ol=8,?OA?=>JOF2+FA2=√(4-O)2+(-4-O)2=4√2

2222

?AB?=y∕AF+BF=√[0-(-4)]+(8-4)=4√2

且滿足IOS/=?OA?2+?AB?2

.?.AHBC是等腰直角三角形

(4)如圖，以。為圓心，4√Σ為半徑作圓，則點(diǎn)P在圓周上，依題意知：

動(dòng)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=^?AP?+?PB?

在OA上取點(diǎn)。，使OC=VL

連接P。，則在ADPO和APDO中,

滿足:苗=.=2,4AoP=4POD,

：.AAPoSΔPDO,

?APPOAOC

??—^--=-='，

PDODOP

從而得：?PD?=??AP?

Λt=i∣ΛP∣+IPBl=IPDl+?PB?

顯然當(dāng)B、P、D三點(diǎn)共線時(shí)，IPDl+∣PB∣取得最小值,

過(guò)點(diǎn)。作DG_L08于點(diǎn)G,由于。。=√L

且△4Bo為等腰直角三角形，

則有。G=1,ZDoG=45。,

，動(dòng)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的最小值為：

t=?DB?=√∣DG∣2+?GB?2=√12+(8-I)2=5√2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，相似

三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，將運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最小值轉(zhuǎn)換為線段長(zhǎng)度的最小值是解題的關(guān)鍵.

培優(yōu)訓(xùn)練

X______________________Z

1.(2022?內(nèi)蒙古包頭?模擬預(yù)測(cè))如圖，已知正方形。4BC的邊OC,OA分別在X軸和)，軸的正半軸上，點(diǎn)B

的坐標(biāo)為(4,4).二次函數(shù)y=-，％2+6乂+<：的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)4,B,且X軸的交點(diǎn)為E,凡點(diǎn)P在線段EF上

直線OH交直線BC于點(diǎn)。，連接AD.

(1)求b,C的值及點(diǎn)E和點(diǎn)F的坐標(biāo);

(2)在點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)△力OP與以A,B,。為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到。C的中點(diǎn)時(shí)，能否將△4。P繞平面內(nèi)某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90。后使得AH。P的兩個(gè)頂點(diǎn)落在X軸上方的

拋物線上？若能，請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)中心M的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(l)b=∣,c=4,E{2-2√7,0),F(2+2√7,0)；

(2)當(dāng)△4。P與以A,B,。為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0)或(2+2√5,0)或(2-2杰，0)；

(3)旋轉(zhuǎn)中心M的坐標(biāo)為(2,2)或(0,4)或償，高或(一看，??).

【分析】(1)先由點(diǎn)B的坐標(biāo)和正方形OaBC的性質(zhì)得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入函數(shù)解

析式，求得b和c的值，得到二次函數(shù)的解析式，再令y=0求得點(diǎn)E和點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(2)分三種情況討論，①當(dāng)點(diǎn)尸在線段OC上，由OA=AB結(jié)合三角形相似得到△AOP與△4BD全等，求得

OP=BD,即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；②點(diǎn)P在線段CF上，通過(guò)△4。P與AABD相似，以及A40P和AOCD全

等即可求得點(diǎn)尸的坐標(biāo)；③點(diǎn)P在線段OE上通過(guò)AAOP與ADBA相似，以及△4。P與△OCD全等得到點(diǎn)P

的坐標(biāo)；

(3)分四種情況討論，設(shè)AAOP繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到且點(diǎn)P、A兩點(diǎn)在拋物線上,設(shè)O<x,y),

則P'(x,y-2),A,(x+4,y),然后將P'、4'代入拋物線的解析式，求得x、y的值，最后通過(guò)△0'MG三

?MoH(AAS)即可求得點(diǎn)M的坐標(biāo).同法可求得其他情況下點(diǎn)M的坐標(biāo).

【詳解】(1)解：：正方形。48C的邊0C,。4分別在X軸和y軸的正半軸上，點(diǎn)8的坐標(biāo)為(4,4),

ΛA(0,4),C(4,0),

將點(diǎn)A(0，4),8(4,4)分別代入y=-(公+bχ+c,得

(-?i?×16÷4b+c=4,解得：［b?,

I6Ic=4

.?.二次函數(shù)的解析式為y=-iχ2+∣x+4,

63

令y=0,則一!％?+2%+4=0,

解得：％=2+2√7或2-2√7,

???點(diǎn)E(2-2√7,0),F(2+2√7,0)；

(2)解：Y四邊形。4BC是正方形，

ΛOA=OCf?AOP=?OCD=90°,

Λz0ΛP+Z?P0=90o,

9：OHLAP,

.??COD-i-?APO=90°,

,??OAP=乙COD,

：.LAOP≡ΔOCD(ASA),

：.OP=CD,

設(shè)P(￡,0),

①當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時(shí)，如圖所示，

則4。4P<45°,Z-BAD<45°,

?.,△4。P與△ABO相彳以，AB=AO,

Λ?AOP≡ΔABD,

：.OP=BD,

?.?OP=CDf

：.BD=CD=OP=2,

.*.t=2,

二點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,0）；

t-44

解得：t=2-2√5(舍)或t=2+2√5,

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2+2√5,0)；

③點(diǎn)P在線段OE上時(shí)，如圖所示，

VzCOD+Z.ODC=90o,々HOP+乙APo=900,乙COD=乙HOP,

：.Z-ODC=?APO,

?:乙ODC>?ADB,

.??APO>?ADB,

/.△AOPABD9

.AO_OP

??=,

DBAB

9COP=CD,

：.DB=PC=4—3

.4?一￡

??=--,

4-t4

解得：1=2-2岔或￡=2+2西（舍），

.?.點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（2—2西，0）i

綜上所述，當(dāng)A40P與以A,B,。為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（2,0）或（2+2√5,0）或

（2-2√5,0）；

（3）解：①AAOP繞點(diǎn)M（2,2）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)8重合，點(diǎn)。與點(diǎn)A重合，

；點(diǎn)A和點(diǎn)8在X軸上方的拋物線上，

二旋轉(zhuǎn)中心例的坐標(biāo)為（2,2）；

A。P繞點(diǎn)M（0,4）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。時(shí)，點(diǎn)。與點(diǎn)B重合，

；點(diǎn)A和點(diǎn)8在X軸上方的拋物線上，

二旋轉(zhuǎn)中心M的坐標(biāo)為（0,4）；

③如圖3所示，設(shè)△4。P繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到A4'0'P',且點(diǎn)P'、4兩點(diǎn)在拋物線上，

設(shè)O'(x,y),則P'(x,y-2),?,(x+4,y),

(--X2+-x+4=y-2(x=--

63

.?[1,2,解得：37

I-Z(X+4)2+式X+4)+4=y(y=T

???。'㈢?)'

過(guò)點(diǎn)M作GmIy軸，交OC于點(diǎn)H,交。，A于點(diǎn)G,連接。M、OM,

則N。'GM=乙OHM=?O'MO=90o,O'M=OM,

.".?O'MG+?MO'G=90o,?O'MG+?OMH=90o,

.".?MO'G=乙OMH,

O'MG≤?MOH(AAS),

設(shè)M(α,b),則O'G=M"=b,MG=OH=a,

3

b-a

2

37

Q+b=

8

點(diǎn)M的坐標(biāo)為償，工）；

④如圖4所示，設(shè)440P繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到44"0"P",旦P"、4"兩點(diǎn)在拋物線上,

設(shè)0”（x,y）,則P”<x,y-4）,A"（x+2,y）,

同③理可證，M的坐標(biāo)為（一套，意；

綜上所述,旋轉(zhuǎn)中心M的坐標(biāo)為（2,2）或（0,4）或償,S）或（_專,?）?

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、正方形的性質(zhì)、相似三

角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，會(huì)用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?廣西玉林?一模）已知二次函數(shù)y=/+2"-3b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)4（1,0）.

(2)二次函數(shù)圖象與X軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B,與y軸的交點(diǎn)為C,點(diǎn)P從點(diǎn)4出發(fā)在線段AB上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度

的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，在線段BC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，直到其中一點(diǎn)

到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，求ABPQ面積的最大值：

(3)在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在使APBQ與ABOC相似的時(shí)亥∣J,如果存在，求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間3如果不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(l)y=X2+2x-3

(2)存在，當(dāng)t=l時(shí)，ABPQ面積的最大值為當(dāng)

(3)t的值為4一2魚或竺押

【分析】(1)把點(diǎn)4(1,0)代入解析式，求出b的值，即可得到解析式；

(2)過(guò)點(diǎn)Q作QNlAB于點(diǎn)N,利用第=器表示出ABPQ的高NQ,然后表示出△BPQ的面積，利用二次函數(shù)

QBBC

的性質(zhì)求出最大面積；

⑶由NPBQ=ZoBC,?B0C=90°,知△PBQ與△BOC相似只需△PBQ為直角三角形，分兩種情況：①當(dāng)

乙PQB=90。時(shí);?PBQ是等腰直角三角形，BP=√∑BQ,有4-2t=√2t,解得t=4-2√2;②當(dāng)乙BPQ=

90。時(shí)，t=√2(4-2t),解得1=竺會(huì).

【詳解】(1)把點(diǎn)4(1,0)代入y=/+2bχ-3b得：1+2b-3b=0,

解得：b=1,

.,?二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=X2+2x-3.

(2)過(guò)Q作QNJ.0B于N,如圖:

在、=%2+2%-3中，令X=O得y=-3,令y=0得%=—3,x2=

???C(0,-3),B(-3,0),4(1,0),

?AB=4,OB=OC=3,BC=3√2,

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為3則BQ=t,AP=23

???BP=4—23

???SinzJVBQ=SinzOBC,

NQOCNQ3

?*?=,UFlprI=!—,

QBBCt3√2

...NQ=￥3

SABPQ=TBP?NQ=∣(4-2t)×yt=-yt2+√2t=—y(t—I)2+y>

"T<0t

當(dāng)t=1時(shí)，?BPQ面積的最大值為圣

(3)在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，存在使APBQ與ZkBOC相似的時(shí)刻，理由如下:

???乙PBQ=?OBC,?BOC=90°,

???ΔPBQ與4B。C相似只需4PBQ為直角三角形,

①當(dāng)4PQB=90。時(shí)，如圖：

.?.乙OBC=45o,

PBQ是等腰直角三角形，BP=√∑BQ,

.?.4—2t=vf2t,

解得t=4-2√2;

同理可知BQ=√2Pβ,

.?.t=√2(4-2t),

16-4√2

解得t=

7

綜上所述，t的值為4-2夜或智立

【點(diǎn)睛】.本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及二次函數(shù)解析式、拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、三角形面積

等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合和分類討論思想的應(yīng)用.

3.(2022.湖南長(zhǎng)沙.長(zhǎng)沙市南雅中學(xué)校聯(lián)考一模)已知二次函數(shù)y=αx2+hx-∣(α≠0)的圖象經(jīng)過(guò)A(l,

0)、B(-3,0)兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)C.

(1)求二次函數(shù)的解析式；

⑵如二次函數(shù)丫=加+?。?|的圖象與),軸交于點(diǎn)6,拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使得NQAB=/A8G,若

存在求出。點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)8并且與直線AC平行的直線BD與二次函數(shù)y=α∕+b%一I圖象的另一交點(diǎn)為。，DELAC,垂

足為E,OFIl)，軸交直線AC于點(diǎn)F,點(diǎn)M是線段BC之間一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)NLFM交直線BD于點(diǎn)N,延長(zhǎng)MF與

線段。E的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H,點(diǎn)P為ANFH的外心，求點(diǎn)M從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過(guò)程中，P點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路線

長(zhǎng).

【答案】(l)y='χ2+萬(wàn)一|

(2)(-4,|)或(一2,一§

(3)1

【分析】(1)將A(1.0)、B(-3,0)代入y=ɑ/+∕υc—|,即可求解：

(2)先求出BG的解析式為y=-1x-∣,然后再進(jìn)行分類討論，分別求得點(diǎn)。的坐標(biāo)即可；

(3)可.知與AFM7是直角三角形，外心P在斜邊N”的中點(diǎn)，分別求出直線AC及直線BO的函數(shù)關(guān)

系式，再分為當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)及當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到8點(diǎn)時(shí)兩種情況進(jìn)行討論，求解即可.

【詳解】(1)：二次函數(shù)y=α∕+bχ-1的圖像經(jīng)過(guò)A(1,0)、B(-3,0),

(3

α+6--=0

Φ2

**∣9α-3h--=0,

V2

解得IQ=\,

Ib=I

.?.二次函數(shù)的解析式為y=∣x2+x-∣;

(2)由題可知G點(diǎn)坐標(biāo)(0,—|),

設(shè)直線BG的解析式為y=px+q,得:

f-3∕c+b=0fc=—?

[θk+b=-l'解得：Ib=

I2

/.BG的解析式為y=-∣x-∣>

①AQIIBG,直線A。的解析式y(tǒng)=-1x+(

(1,1

Iy=—XH-一

22

聯(lián)立直線AQ與二次函數(shù)解析式113,

(y=-×2+x--

AΛ,ZE,(X=1TCX2=-4

解得V1―0或V-5

Ul—Uy2

此時(shí)Q的坐標(biāo)為(—4,D

②直線丫=一2*+；與丫軸的交點(diǎn)為長(zhǎng)(0,0,其關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)為Kl(0,-?)

直線AKI的解析式為：y=^x-［與二次函數(shù)解析式聯(lián)立得

U

y=∣x2+x-∣

X

翼;或2=—2

解得3,

72=-2

此時(shí)。的坐標(biāo)為(-2,-|

綜上,拋物線上存在點(diǎn)。使得NQAB=/B4G,。點(diǎn)坐標(biāo)為(—4,|)或(一2，-|)

(3)如圖，易知ADNH與AFNH是直角三角形,外心P在斜邊NH的中點(diǎn),

J.PD=PF^NH,所以點(diǎn)P是線段力尸的垂直平分線上的動(dòng)點(diǎn)，

Y直線Ae的解析式為y=x-l,SDIIAC,

/.直線BD的解析式為y=x+3,

：.D(3,6),

①當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)Hl與點(diǎn)E重合，F(xiàn)JV1LAC,則FNlIBD,又因?yàn)镹OEF=90。，DE=EF,

.?.四邊形DNlFE為正方形，

,Pi是線段。尸的中點(diǎn)(3,4)；

②當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)N21FH2,

：四邊形OMFE是正方形

.'.Z-N1FN2=乙BFC,/.N2N1F=乙BCF=90°,

Λ?JV2JV1F-?SCF,

.CFBC

..----=------,

N1FN2N1

???四邊形OMFE是正方形，

,Ni(1,4)1

.BCCF4√2?

N2N1N1F2√2

：?NAN2=√2,

：.N2(2,5),

同理“2(6,3),

所以限“2的中點(diǎn)B(4,4),

VP1(3,4),

AP1P2=1

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，會(huì)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解

析式，會(huì)求函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)情況確定P點(diǎn)的軌跡是線段是解題的關(guān)鍵.

4.(2021?四川宜賓?四川省宜賓市第二中學(xué)校?？家荒?次函數(shù)y=ax2+bx+2的圖象交X軸于點(diǎn)A(―1,

0),B(4,0),兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB方向運(yùn)動(dòng)，

過(guò)點(diǎn)M作MNLX軸交直線BC于點(diǎn)M交拋物線于點(diǎn)。，連接AC,設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，秒.

(1)求二次函數(shù)y=ax2+bx+2的表達(dá)式；

(2)連接30,當(dāng)t=|時(shí)，求AfWB的面積；

(3)在直線MN上存在一點(diǎn)尸，當(dāng)△P8C是以NBPC為直角的等腰直角三角形時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(l)y=-g∕+∣χ+2

⑵SAoNB=2

(3)P(1,-1)或(3,3)

【分析】(1)將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式中，求出系數(shù)”與〃即可；

(2)先求出BC的解析式y(tǒng)=-∣x+2,再將X=2代入y=-TX?+∣χ+2和y=-∣x+2,得出。、N的坐

標(biāo)即可求出OV的值，再根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算出答案即可；

(3)由的值得出M的坐標(biāo)M(2t-1,0),因此設(shè)P(2∕-l,機(jī))，由勾股定理可得PC?=(2t-I)2+(m-2)2,

PB2=(2t-5)2+m2,根據(jù)題意尸B=PC,所以(2t-+(m-2>=(2t-5α+m2,得出P的坐標(biāo)為

P(2t-l,4t-5),再利用勾股定理列出方程，解得r=l或f=2,代入求值即得出答案.

【詳解】(1)解：將A(-l,0),8(4,0)代入y=ɑ/+bχ+2中，

得.1a-b+2=0

w?t16α+4?+2=0'

a=—

2

解得：｛3.

b=-

2

，二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-∣x2+∣x÷2.

（2）解：連接8。，如圖所示，

??,3

?亡二5，

ΛAM=3.

又???。4=1,

：.0M=2.

設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=kx÷b(k≠0),

h

將點(diǎn)C(0,2),B(4,0)代入得：CUL：2

4k+D=0

解得：｛fc=_L

b=2

???直線BC的解析式為：y=-∣x+2.

將x=2代入y=~~×2÷jx÷2和y=—∣x+2,

得。(2,3),N(2,1),

：.DN=2.

,?SADNB=yX2x2=2.

(3)解：VfiM=5-2t,

ΛM(2t-1,0).

設(shè)尸(2r-l,m),

2222

則PC2=(2t_1)2+(rn-2),PB=(2t-5)+m.

'：PB=PC,

Λ(2t-l)2+(m-2)2=(2t-5)2+m2,

Λm=4t—5,

ΛP(2t-l,4t-5).

?：PC工PB,

：.[(2t-l)2+(n?-2)2]+[(2t-5)2+m2]=(2√5)2,

將m=4t-5代入整理得：t2-3t+2=0,

解得：r=l或t=2.

將f=1或t=2分別代入P(2t-l,4t-5)中,

：.P(1,-1)或(3,3).

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)與兒何的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求平面內(nèi)

三角形的面積，以及根據(jù)等腰直角三角形求點(diǎn)的坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出函數(shù)解析式，同時(shí)

根據(jù)解析式將點(diǎn)表示出來(lái)，列出方程進(jìn)行計(jì)算.

5.(2022.遼寧葫蘆島.統(tǒng)考二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù))/=3/+以+，的圖象與坐標(biāo)軸

交于A,B,C三點(diǎn)，其中點(diǎn)4的坐標(biāo)為(-3,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,-4),連接A8,BC.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)月

出發(fā)，在線段AB上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)8作勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AC

上以每秒I個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C作勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)

間為f秒.連接PQ,PC.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)在點(diǎn)尸，。運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)ACPQ的面積為9時(shí)，求點(diǎn)Q坐標(biāo)；

(3)在(2)條件下，t>2時(shí)，在直線尸。上是否存在點(diǎn)M,使∕M4P=60。？若存在，請(qǐng)直接求出點(diǎn)M的坐

標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(l)y=1%2-1%-4

(2)Qgo)或(一μ

(3)存在，“卜75一|,手一2),M(-2√3-∣,-2-^)

【分析】(1)利用待定系數(shù)法代入計(jì)算即可；

(2)過(guò)P作PGJ.X軸于G,利用SiMOAB=竺=t求出PG的長(zhǎng)，從而用/表示出ACPQ,列出方程即可得

ABAP

出答案；

(3)由⑵及t>2可知t=∣,代入求得Qe,0)、P(-|,-2),即可得出直線PQ的解析式為y=-彳

設(shè)M(m?τn-利用兩點(diǎn)坐標(biāo)距離公式和勾股定理的逆定理判斷出NAPM=90。，由30。的直角三角形即可

推出AM=5,利用兩點(diǎn)坐標(biāo)距離公式列出方程，進(jìn)行求解即可得出答案.

【詳解】(1)解：將點(diǎn)4(一3,0)、點(diǎn)8(0,—4)的坐標(biāo)分別代入y=]/+取+c,得

(r3—3h÷c=0

tc=—4

解這個(gè)方程組，得P7=V,

則二次函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=∣χ2-∣χ-4.

(2)過(guò)P作PGj.x軸于G,

當(dāng)y=0時(shí)，^x2—∣x-4=0,

????=—3,無(wú)2=4,

ΛC(4,0).

：4(-3,0)、B(O,-4),

：.AC=7,OB=4,OA=3,

：.AB=y∕0A2+OB2=5.

動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AB上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B作勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)A

出發(fā)，在線段AC上以每秒I個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C作勻速運(yùn)動(dòng)，

：.AP=t,4Q=∣3

ΛCQ=7-∣t,

Vsin?OAB=—=—,

ABAP

?4PG

??~=—t

5t

4

：.PG=-t.

5

???SACPQ=TPGXCQ=浮￡(7-∣t)，，

解得，q=∣,t2=W

：。的橫坐標(biāo)為一3+∣t,

?"(M或(-泗?

(3)存在，理由如下：

由(2)可知：：=申，立=右，

Vt>2,

Λt=-.

2

.MP=§,此時(shí)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn),

26

Λp(-∣,-2)OQ=A3=[,

???Q匾0)，

設(shè)直線PQ的解析式為y=fcx+n,

將點(diǎn)R。坐標(biāo)代入y=kt+n中，得:

—jfc+n=—2

，解得:

∣fc÷n=O

???設(shè)直線PQ的解析式為y=X，

??N(T0),P㈢-2),

??AM2=(Tn+3)2+ɑm—θ,PM2=(m+1)+ɑm—?+,AP2=(—3+θ÷(0÷2)2=手

??F+∕+(如+g+S+3)2+(*J

222

.?PM+AP=AM1

：.Z.APM=90°,

?Λ?MAP=60°,

：.?AMP=30°,

：.AM=2AP=5.

Vi4(-3,0),M(TntnI—θ,

.".AM2=(τn+3)2+ɑm—?—=52,

Λm1=2√3-∣,m2=-2√3-1

ΛM(2√3-∣,^-2),M(-2√3-∣,-2-^).

故答案為：存在，M^2>∕3—∣>~y^-2^,M2√3——2—~^)?

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與幾何動(dòng)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，利用銳角三角函數(shù)求線段的長(zhǎng)度，勾股逆定理，勾

股定理，距離公式及坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特征等知識(shí)，較為綜合，能夠熟練應(yīng)用知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

6.(2022?四川廣安?統(tǒng)考二模)如圖：已知關(guān)于X的二次函數(shù)y=x2+fex+c的圖像與X軸交于點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)

B,與y軸交于點(diǎn)C(0,3).

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P,使APBC為等腰三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)有一個(gè)點(diǎn)M在線段CB上運(yùn)動(dòng)，作MN,X軸交拋物線于點(diǎn)M問(wèn)當(dāng)M、N點(diǎn)位于何處時(shí)，CN的面積

最大，求最大面積.

【答案】(Dy=/一4X+3

(2)存在，P(2,2)(2,3+√14)(2,3,-√14)(2,√17)(2,-√17)

(3)當(dāng)M(|,|),N(|,-習(xí)時(shí)，△8CN的面積最大，最大面積為孩

【分析】(I)根據(jù)題中所給的解析式及A(1,0)和C(0,3)利用待定系數(shù)法求解析式即可；

(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分三種情況，利用兩點(diǎn)之間距離公式列出方程求解即可；

(3)平面直角坐標(biāo)系中三角形面積問(wèn)題，找平行于坐標(biāo)軸的邊為底，然后表示出面積即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：已知關(guān)于X的二次函數(shù)尸x2+?r+c的圖像與X軸交于點(diǎn)A(l,0),與)，軸交于點(diǎn)C(0,3),

0=1+e÷c

Yr3=C，

解得PI?,

C一?

???二次函數(shù)的解析式為y=X2-4x+3

(2)解：存在，

由(1)知拋物線的對(duì)稱軸為直線42,

設(shè)P(2,"),C(0,3),B(3,0),則根據(jù)兩點(diǎn)之間距離公式可得PC?=2?+(”-3)2,PB2=(2-3)W,

CB2-18,當(dāng)APBC為等腰三角形