【課前小測】

1./(x)=：T那么/(/(-1))的值為___________.

2x,x<0

答案：8

2.假如函數(shù)/*)="考+4)"為奇函數(shù)，那么”的值為______

')4(3V-1)

答案：2

3.設(shè)2"=5"=10,那么［+!=()

ah

(A)10(B)1(C)0(D)1

答案：B

【學(xué)問框架】

【學(xué)問點(diǎn)】

1.對數(shù)函數(shù)的定義

(1)對數(shù)的定義：一般地，假如a(a>0,aRl)滿意a'=N，那么幕指數(shù)b叫做以。為底N

的對數(shù)，記作log“N=b,其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)，式子log“N叫做對

(2)對數(shù)函數(shù)的定義函數(shù)y=log”x(a>0,awl)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定

義域是(0,+8)

(3)對數(shù)函數(shù)的圖像：如圖1所示，左圖為。>1時對數(shù)函數(shù)的大致圖像，右圖為°<。<1時

0<fj<]

圖1

注：底數(shù)互為倒數(shù)的兩個對數(shù)函數(shù)圖像關(guān)于X軸對稱。

(4)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

1)定義域：(0,+8)

2)值域：R

3)單調(diào)性：當(dāng)。>1時，函數(shù)在(0,+8)上為增函數(shù)；當(dāng)0<。<1時，函數(shù)在(0,+8)上

為減函數(shù)

4)奇偶性：非奇非偶函數(shù)

5)值變性：

①當(dāng)。>1時，N>1時，歹>0,函數(shù)值為正，0cx<1時，、<0函數(shù)值為負(fù)；

②當(dāng)0<a<l時，x〉l時，歹<0函數(shù)值為負(fù)，0cx<1時，y>0,函數(shù)值為正。

6)函數(shù)過定點(diǎn)(1,0)

(5)自然對數(shù)：通常將以無理數(shù)e為底數(shù)的對數(shù)叫做自然對數(shù)，記為log,N,并簡記為InN,

其中無理數(shù)e=2.71828.

通常將以10為底的對數(shù)函數(shù)表示為歹=lgx(x>0)

【考點(diǎn)分類】

考點(diǎn)一.指數(shù)與對數(shù)的互化：a'=N<=>x=logaN(。>0且。。1)

【例1】把以下指數(shù)式寫成對數(shù)形式：

1<1Yn

(1)54=625;(2)2-6=,；(3)R=5.73

答案：⑴logs625=4(2)log2—=-6(3)log,5.73=/?

【例2】★⑴logJ6=-4;(2)lg0.01=-2;(3)In10=2.303

2

答案：⑴(,尸=16⑵(10廠2=0.01(3)e23M=10

要點(diǎn)二.對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算

(1)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)(a,b,Af,N>0,aw1)

a.log"(MN)=log“M+log“N

b.logrt—=logrtM-log^

c.logaM只=Nlog”M

51%，6"=少限6

(2)換底公式：log“b=10g。

log￡.a

(3)對數(shù)恒等式：/嗚"="(〃,乂〉0且4工1)

(4)對數(shù)式與指數(shù)式的互化：log〃N=boa"=N(a,N>(XaaHl)；指數(shù)函數(shù)、=優(yōu)與

對數(shù)函數(shù)歹=log”x互為反函數(shù)(a>0且aw1)。

考點(diǎn)二.對數(shù)式的化簡和運(yùn)算

【例1】lg5-lg1=_.

答案：1

2

*X310832

【例2】計(jì)算:

',r

Ine+log4

76T4

答案：4

1

1

32-

例3og18二

3157-

-log32^1og7i3+(-)3

4/

7

翦

答

4-

考點(diǎn)三.換底公式的應(yīng)用

【例1】設(shè)log|47=a,14〃=5，試用。、log3528

答案：由題意log/=a,⑷=5

可得知1嗝5=6

14

2

g28二喻28?嗚"(Mx、log,414-log,47=2-a

"log,435logl4(5x7)log,45+log147a+h

【例2】計(jì)算：310g39+log：4-83=

2

答案：0

【例3】設(shè)lg2=a,lg3=6,試用a、6表示12。

答小金瞟黑翁掌旨舞

考點(diǎn)四.對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖像

\_

【例1】設(shè)。=ln2,/>=log32,c=5^,<7=log13,

2

那么()

(A)c<b<a<d(B]a<d<b<c

?d<c<a<b(D]d<b<a<c

答案：A

【例2】設(shè)。>1,函數(shù)/(x)=log“x在區(qū)間[a,20上的最大值與最小值之差為:，那么a等

于()

(A)V2⑻2(C)272(D)4

答案：D

【例3】函數(shù)歹=晨與y=—log〃x(a>0且awl)在同一坐標(biāo)系中的圖象只可能是()

(A)(B)(C)(D)

答案：C

考點(diǎn)五.不等式與函數(shù)

【例1】假設(shè)108“(。2+1)<1080(2。)<0,那么。的取值范圍是()

(A)[0,1)(B)1)(C)(0,-)(D)(1,+00)

22

答案：A

【例2】假設(shè)定義域?yàn)镽的偶函數(shù)/(x)在(0,+8)上是增函數(shù)且/0)=0那么不等式

/(log4X)>0.的解集是

答案：(°'；)U(2,+8)

【例3】解關(guān)于X的不等式210g4(x-l)>log4[a(x-2)+l](a為常數(shù)且a>2)的解集。

2

答案:10g4(x-l)>10g4[?(x-2)+l]

即(x-l)z>a(x-2)+l化簡

,x>a

得到(x-a)(x-2)>0從而得到.

x<2

/八八x>1

(x—1)>0

且/：、1八化簡得到，1

a(x-2)+l>0x>2——

a

綜上可解得2--,2U(a,??)

考點(diǎn)六.對數(shù)與一次二次函數(shù)

log,X,x>1,

【例n’函數(shù)/(x)={2的值域?yàn)?

.2，，X<1

答案：(70,2)

【例2】函數(shù)y=72-log3x的定義域是

答案：(-oo,9]

【例3】函數(shù)/(x)=lg(ax2+ax+l)的定義域?yàn)镽的真子集，那么〃的取值范圍是

答案：(-8,0)U[4,+8)

考點(diǎn)七.對數(shù)的復(fù)合函數(shù)

,、[logx,x>0

【例1】函數(shù)/(x)={〃x)=2:3<0，

那么/(/(》)=___________。

答案1

-

4

.

值域

間和

調(diào)區(qū)

的單

-/)

+2x

1(3

=log

數(shù)y

】求函

【例2

2

x<3

-i<

>()即

x——

3+2

目可知

依據(jù)題

答案：

=l

軸是x

數(shù)對稱

二次函

-1,1)

間是(

調(diào)減區(qū)

),單

(1,3

區(qū)間是

單調(diào)增

函數(shù)的

道二次

可以知

)

-2,+8

域是［

數(shù)的值

因此函

一)

1082(

》)=

數(shù)/(

】函

【例3

域；

定義

)的

/(x

(1)求

性;

的奇偶

(x)

定/

(2)判

.

單調(diào)性

x)的

明/(

定并證

(3)判

x<-l

x>l,

>0BP

答案:

+8)

)U(L

,-l

是(-8

定義域

函數(shù)

因此

1-Y

1

—X+

(x)

=-f

g,--

=lo

-----

og,

x)=l

(2)/(-

1+X

1

-X—

函數(shù)

是奇

函數(shù)

因此

、

2

八

2.,

x—1+

x+1

1

/、

...,

z

-)

l+-

og(

)=l

------

og(

-=l

,-

=log

(x)

(3)/

2

2

X-l

X-l

X-L

2

遞減

是單調(diào)

分別

。)上

),(l,y

(TO,-l

-在

1+-

x-l

遞減

單調(diào)

別是

)上分

1,”

1),(

-8,-

數(shù)在(

因此函

【易錯題】

【例1】函數(shù)y=log（2x_i），3x—2的定義域是（

(\\

(A)一,-BX)(B)-,1U(l,+°o)

13(2)

?*

(D)

IJ7

答案：D

【例2】a>0,a*l,以下四個函數(shù)中表示相等函數(shù)的是()

(A)，=bg“X與y=(log<a)1(B)y=與丁=一

2

(C)y=2x與y=log.a"(D)y=logax^y=2logax

答案：C

/iA?

【例3】計(jì)算1g一一lg25klOO2=_________.

I4J

答案：20

14

［例4］假設(shè)a2=3,那么log2a=.

答案：4

【例5】設(shè)函數(shù)/(x)=log2(/一")，且/⑴=1,/⑵=log?12。

(1)求a,6的值；

(2)當(dāng)xe［l,2］時，求/(x)的最大值.

答案：(1)由于/⑴=l,/(2)=log212

22

可以得到log2{a-b)=\log2(a-Z>)=log,12

a—b=2

化簡可得，2

a2-b2=\2

4=4

解得

b=2

(2)由⑴知道/(X)=log2(4、一2、)

I,i

2

即可得到/(X)=log2{[(2')--]--}

2

設(shè)/=2"那么有/?=log2[(r-^)-^]

f=2'在xeU，2]上單調(diào)遞增，

得到函數(shù)最大值是/(2)=2+log,3

【課后檢測】

1.函數(shù)y=Jlog3(x-1)的定義域是

答案：[2,+oo)

2

2.3lofo4-27?-lg0.01+lne3=()

(A)14(B)0(D)6

答案：B

3.函數(shù)/(x)=lg(x+3)的定義域?yàn)?)

(A){x|x>-3}(B)R(C){x|x>-3)(D)|x|x>-21

答案：A

4.假設(shè)實(shí)數(shù)a=2°」,6=log32,c=loga34,那么a,b,c的大小關(guān)系為()

(A)a>b>c(B)b