專題28最值模型之阿氏圓模型最值問題在中考數(shù)學(xué)常以壓軸題的形式考查，“阿氏圓”又稱“阿波羅尼斯圓”，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。本專題就最值模型中的阿氏圓問題進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。【模型背景】已知平面上兩點(diǎn)A、B，則所有滿足PA=k·PB（k≠1）的點(diǎn)P的軌跡是一個圓，這個軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”?！灸Ｐ徒庾x】如圖1所示，⊙O的半徑為r，點(diǎn)A、B都在⊙O外，P為⊙O上一動點(diǎn)，已知r=k·OB，連接PA、PB，則當(dāng)“PA+k·PB”的值最小時，P點(diǎn)的位置如何確定？如圖2，在線段OB上截取OC使OC=k·r，則可說明△BPO與△PCO相似，即k·PB=PC。故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC”的最小值，其中與A與C為定點(diǎn)，P為動點(diǎn)，故當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時，“PA+PC”值最小。如圖3所示：注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型：在前面的“胡不歸”問題中，我們見識了“k·PA+PB”最值問題，其中P點(diǎn)軌跡是直線，而當(dāng)P點(diǎn)軌跡變?yōu)閳A時，即通常我們所說的“阿氏圓”問題．【最值原理】兩點(diǎn)之間線段最短及垂線段最短解題。例1．（2023·山東·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，，圓C半徑為2，P為圓上一動點(diǎn)，連接最小值__________．最小值__________．例2．（2023春·江蘇·九年級校考階段練習(xí)）如圖，正方形的邊長為4，的半徑為2，為上的動點(diǎn)，則的最大值是．例3．（2023·廣東·九年級專題練習(xí)）如圖，菱形的邊長為2，銳角大小為，與相切于點(diǎn)E，在上任取一點(diǎn)P，則的最小值為___________．例4．（2023·湖北武漢·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在邊長為6的正方形中，M為上一點(diǎn)，且，N為邊上一動點(diǎn)．連接，將沿翻折得到，點(diǎn)P與點(diǎn)B對應(yīng)，連接，則的最小值為．

例5．（2023·浙江·一模）問題提出：如圖1，在等邊△ABC中，AB＝9，⊙C半徑為3，P為圓上一動點(diǎn)，連結(jié)AP，BP，求AP+BP的最小值(1)嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路，通過構(gòu)造一對相似三角形，將BP轉(zhuǎn)化為某一條線段長，具體方法如下：(請把下面的過程填寫完整)如圖2，連結(jié)CP，在CB上取點(diǎn)D，使CD＝1，則有又∵∠PCD＝∠△∽△∴∴PD＝BP∴AP+BP＝AP+PD∴當(dāng)A，P，D三點(diǎn)共線時，AP+PD取到最小值請你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+BP的最小值為．(2)自主探索：如圖3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P為矩形內(nèi)部一點(diǎn)，且PB＝4，則AP+PC的最小值為．(請在圖3中添加相應(yīng)的輔助線)(3)拓展延伸：如圖4，在扇形COD中，O為圓心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，點(diǎn)P是上一點(diǎn)，求2PA+PB的最小值，畫出示意圖并寫出求解過程．例6．（2022·湖北·九年級專題練習(xí)）（1）如圖1，已知正方形的邊長為4，圓B的半徑為2，點(diǎn)P是圓B上的一個動點(diǎn)，求的最小值，的最小值，的最大值．（2）如圖2，已知正方形的邊長為9，圓B的半徑為6，點(diǎn)P是圓B上的一個動點(diǎn)，求的最小值，的最大值，的最小值．（3）如圖3，已知菱形的邊長為4，，圓B的半徑為2，點(diǎn)P是圓B上的一個動點(diǎn)，求的最小值和的最大值．的最小值例7．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）【新知探究】新定義：平面內(nèi)兩定點(diǎn)A,B，所有滿足k(k為定值)的P點(diǎn)形成的圖形是圓，我們把這種圓稱之為“阿氏圓”，【問題解決】如圖，在△ABC中，CB4，AB2AC，則△ABC面積的最大值為_____．例8．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．拋物線的對稱軸與經(jīng)過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求直線及拋物線的表達(dá)式；(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得是以為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)以點(diǎn)為圓心，畫半徑為2的圓，點(diǎn)為上一個動點(diǎn)，請求出的最小值．

課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023春·浙江九年級課時練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動點(diǎn)，連接AP、BP，則AP＋BP的最小值為（

）A．7 B．5 C． D．2．（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測）如圖，正方形ABCD的邊長AB=8，E為平面內(nèi)一動點(diǎn)，且AE=4，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，CF=2，連接EF，ED，則EFED的最小值為()A．6 B．4 C．4 D．63．（2022·湖北·九年級專題練習(xí)）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，⊙B的半徑為2，點(diǎn)P是⊙B上的一個動點(diǎn)，則PD﹣PC的最大值為_____．4．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖所示，，半徑為2的圓內(nèi)切于．為圓上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作、分別垂直于的兩邊，垂足為、，則的取值范圍為．5．（2023·湖南·九年級專題練習(xí)）如圖，邊長為4的正方形，內(nèi)切圓記為⊙O，P是⊙O上一動點(diǎn)，則PA＋PB的最小值為．6．（2023上·四川成都·九年級?？计谥校┤鐖D，已知，若點(diǎn)、在射線上，且滿足，，是射線上的動點(diǎn)，同時在右側(cè)作，且滿足，則的面積為．若點(diǎn)運(yùn)動軌跡與射線交于點(diǎn)，當(dāng)?shù)淖钚≈禃r，此時的值為．7．（2023·廣西·南寧市一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(2，0)、B(0，2)、C(4，0)、D(3，2)，P是AOB外部的第一象限內(nèi)一動點(diǎn)，且∠BPA＝135°，則2PD+PC的最小值是_____．8．（2023·江蘇蘇州·蘇州市二模）如圖，在中，點(diǎn)A、點(diǎn)在上，，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是劣弧上的動點(diǎn)，則的最小值為．9．（2023秋·浙江溫州·九年級?？计谀┤鐖D，在邊長為4的正方形ABCD內(nèi)有一動點(diǎn)P，且BP＝．連接CP，將線段PC繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PQ．連接CQ、DQ，則DQ+CQ的最小值為．10．（2020·廣西·中考真題）如圖，在Rt中，AB＝AC＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是扇形AEF的上任意一點(diǎn)，連接BP，CP，則BP+CP的最小值是．11．（2022·江蘇·蘇州九年級階段練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E為邊AD上一個動點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，且線段EF＝4，點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)，連接BG、CG，則BG+CG的最小值為_____．12．（2023·四川成都·九年級專題練習(xí)）在中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A的半徑為6，P是上一動點(diǎn)，連接PB，PC，則的最小值_____________的最小值_______13．（2023·廣西·九年級專題練習(xí)）如圖，已知菱形的邊長為4，，的半徑為2，P為上一動點(diǎn)，則的最小值．的最小值14．（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知：（1）初步思考：如圖1，在中，已知，BC=4，N為BC上一點(diǎn)且，試說明：（2）問題提出：如圖2，已知正方形ABCD的邊長為4，圓B的半徑為2，點(diǎn)P是圓B上的一個動點(diǎn)，求的最小值．（3）推廣運(yùn)用：如圖3，已知菱形ABCD的邊長為4，∠B﹦60°，圓B的半徑為2，點(diǎn)P是圓B上的一個動點(diǎn)，求的最大值．

圖1

圖2

圖315．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考一模）如圖1，平面內(nèi)有一點(diǎn)到的三個頂點(diǎn)的距離分別為、、，若有，則稱點(diǎn)為關(guān)于點(diǎn)的勾股點(diǎn)．(1)如圖2，在的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A，B、C、D、E均在小正方形的格點(diǎn)上，則點(diǎn)是關(guān)于點(diǎn)______的勾股點(diǎn)；若點(diǎn)在格點(diǎn)上，且點(diǎn)是關(guān)于點(diǎn)的勾股點(diǎn)，請在方格紙中畫出；(2)如圖3，菱形中，與交于點(diǎn)，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)是關(guān)于點(diǎn)的勾股點(diǎn)．①求證：；②若，，則的最大值為______（直接寫出結(jié)果）；③若，，且是以為底的等腰三角形，求的長．(3)如圖4，矩形中，，，是矩形內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)是關(guān)于點(diǎn)的勾股點(diǎn)，那么的最小值為______（直接寫出結(jié)果）．16．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，已知是等邊三角形，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊，上的動點(diǎn)（點(diǎn)E不與B，C重合），且．(1)求的取值范圍；(2)若，求的長；(3)求的最小值．17．（2023·重慶大渡口·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖1，在矩形中，，分別以所在的直線為軸、軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，連接,反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過線段的中點(diǎn)，并與矩形的兩邊交于點(diǎn)和點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn).（1）連接、，求的面積；（2）如圖2，將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)—定角度，使得點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)好落在軸的正半軸上，連接，作，點(diǎn)為線段上的一個動點(diǎn)，求的最小值.

17．（2023·深圳·模擬預(yù)測）【模型由來】“阿氏圓”又稱“阿波羅尼斯圓”，已知平面上兩點(diǎn)A、B，則所有滿足（且）的點(diǎn)的軌跡是一個圓，這個軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”．【模型建立】如圖1所示，圓O的半徑為r，點(diǎn)A、B都在圓O外，P為圓O上一動點(diǎn)，已知，連接PA、PB，則當(dāng)“”的值最小時，P點(diǎn)的位置如何確定？

第1步：一般將含有k的線段PB兩端點(diǎn)分別與圓心O相連，即連接OB、OP；第2步：在OB上取點(diǎn)C，使得，即，構(gòu)造母子型相似∽（圖2）；第3步：連接AC，與圓O的交點(diǎn)即為點(diǎn)P（圖3）．【問題解決】如圖，與y軸、x軸的正半軸分別相交于點(diǎn)M、點(diǎn)N，半徑為3，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)P在弧MN上移動，連接PA，PB．(1)的最小值是多少？(2)請求出（1）條件下，點(diǎn)P的坐標(biāo)．18．（2023·江蘇揚(yáng)州·校聯(lián)考二模）請認(rèn)真閱讀下列材料：如圖①，給定一個以點(diǎn)O為圓心，r為半徑的圓，設(shè)點(diǎn)A是不同于點(diǎn)O的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)A的反演點(diǎn)定義為射線上一點(diǎn)，滿足．顯然點(diǎn)A也是點(diǎn)的反演點(diǎn)．即點(diǎn)A與點(diǎn)互為反演點(diǎn)，點(diǎn)O為反演中心，r稱為反演半徑．這種從點(diǎn)A到點(diǎn)的變換或從點(diǎn)到點(diǎn)A的變換稱為反演變換．例如：如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，為半徑的圓，交y軸的正半軸于點(diǎn)B；C為線段的中點(diǎn)，P是上任意一點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為；若C關(guān)于的反演點(diǎn)分別為．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）連接、，求的最小值．解：（1）由反演變換的定義知：，其中，．