安徽大學(xué)數(shù)理方法黃志祥課件目錄CONTENCT課程介紹與背景基礎(chǔ)知識回顧微分方程求解方法積分變換及其應(yīng)用特殊函數(shù)與正交多項式數(shù)值計算與仿真模擬課程總結(jié)與展望01課程介紹與背景數(shù)理方法是一門研究數(shù)學(xué)物理問題的學(xué)科，它運(yùn)用數(shù)學(xué)工具和方法來解決物理問題，是物理學(xué)和數(shù)學(xué)的重要交叉學(xué)科。數(shù)理方法的研究內(nèi)容包括但不限于：常微分方程、偏微分方程、復(fù)變函數(shù)、積分變換、特殊函數(shù)、變分法、概率論與數(shù)理統(tǒng)計等。數(shù)理方法在物理學(xué)中的應(yīng)用廣泛，如力學(xué)、熱學(xué)、電磁學(xué)、光學(xué)、量子力學(xué)等領(lǐng)域都離不開數(shù)理方法的支持。數(shù)理方法概述黃志祥教授簡介黃志祥教授是安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院的知名教授，博士生導(dǎo)師，國家級高層次人才，校首批青年拔尖人才，校首批皖江學(xué)者特聘教授，校數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院院長，主要從事數(shù)學(xué)物理、偏微分方程等領(lǐng)域的教學(xué)和科研工作。黃志祥教授曾主持國家自然科學(xué)基金面上項目、國家重點研發(fā)計劃子課題、中國博士后科學(xué)基金特別資助項目等縱向課題200余項；以第一或通訊作者在Comm.PureAppl.Math.,J.DifferentialEquations,DiscreteContin.Dyn.Syst.,J.Funct.Anal.,Nonlinearity,Proc.Amer.Math.Soc.,J.Math.Anal.Appl.,Z.Angew.Math.Phys.,J.Dynam.DifferentialEquations,DiscreteDyn.Nat.Soc.,J.Math.Phys.,Appl.Math.Lett.,Bound.ValueProbl.,ActaMath.Sci.,Chin.Ann.Math.,Sci.ChinaMath.,NonlinearAnal.,Appl.Math.Comput.,Comput.Math.Appl.,Abstr.Appl.Anal.,J.Inequal.Appl.,ElectronicJ.DifferentialEquations,Bull.Austral.Math.Soc.,TaiwaneseJ.Math.,J.Math.Inequal.,Adv.NonlinearAnal.,AIMSMath.,FrontiersofMath.China,CommunicationsonPureandAppliedAnalysis,ActaMathematicaSinica(EnglishSeries),ChineseJournalofContemporaryMathematics,ChineseAnnalsofMathematics(SeriesB),《數(shù)學(xué)學(xué)報》,《數(shù)學(xué)年刊》等學(xué)術(shù)刊物上發(fā)表學(xué)術(shù)論文180余篇；參與編寫中科院、工程院院士石山麟教授主編的《數(shù)學(xué)辭?！返诹?；授權(quán)發(fā)明專利10件；參與編寫中科院院士、第三世界科學(xué)院院士、著名數(shù)學(xué)家吳文俊先生主編的《中國數(shù)學(xué)發(fā)展史》；以第一完成人身份榮獲省部級科技獎勵20余項。黃志祥教授治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，對學(xué)生要求嚴(yán)格，深受學(xué)生愛戴。他的研究方向包括數(shù)學(xué)物理、偏微分方程等領(lǐng)域，在相關(guān)領(lǐng)域取得了顯著的研究成果。課程目標(biāo)課程要求課程目標(biāo)與要求通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握數(shù)理方法的基本概念、基本理論和基本方法，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和物理素養(yǎng)。要求學(xué)生掌握常微分方程、偏微分方程、復(fù)變函數(shù)、積分變換、特殊函數(shù)等數(shù)理方法的基本內(nèi)容，理解相關(guān)概念和定理的含義和應(yīng)用條件，能夠運(yùn)用所學(xué)知識解決一些實際問題。同時，要求學(xué)生具備獨立思考和自主學(xué)習(xí)的能力，能夠積極參與課堂討論和課外學(xué)習(xí)，提高自己的學(xué)習(xí)效果和綜合素質(zhì)。02基礎(chǔ)知識回顧010203極限與連續(xù)一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)包括數(shù)列極限、函數(shù)極限、連續(xù)函數(shù)等概念及其性質(zhì)。包括導(dǎo)數(shù)、微分、中值定理、泰勒公式等內(nèi)容。包括不定積分、定積分、廣義積分等概念及其計算。80%80%100%線性代數(shù)基礎(chǔ)包括行列式的定義、性質(zhì)、計算等內(nèi)容。包括矩陣的運(yùn)算、逆矩陣、矩陣的秩等概念及其性質(zhì)。包括線性方程組的解法、有解判定等內(nèi)容。行列式矩陣線性方程組概率論基礎(chǔ)數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)統(tǒng)計推斷概率論與數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)包括統(tǒng)計量、抽樣分布、參數(shù)估計等內(nèi)容。包括假設(shè)檢驗、方差分析等統(tǒng)計推斷方法。包括概率空間、隨機(jī)變量、分布函數(shù)等概念及其性質(zhì)。03微分方程求解方法分離變量法通過把變量分離開來，將復(fù)雜的微分方程簡化為較簡單的方程進(jìn)行求解。變量代換法通過適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，將原方程轉(zhuǎn)化為容易求解的新方程。積分因子法通過引入一個適當(dāng)?shù)姆e分因子，將原方程轉(zhuǎn)化為全微分方程進(jìn)行求解。常微分方程求解方法分離變量法特征線法格林函數(shù)法通過分離變量，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程進(jìn)行求解。利用特征線的概念，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程進(jìn)行求解。通過引入格林函數(shù)，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為積分方程進(jìn)行求解。偏微分方程求解方法01020304振動與波動熱傳導(dǎo)與熱輻射電磁學(xué)量子力學(xué)微分方程在物理學(xué)中的應(yīng)用描述電磁場和電磁波行為的微分方程，如麥克斯韋方程組、波動方程等。描述熱量傳遞和輻射現(xiàn)象的微分方程，如熱傳導(dǎo)方程、黑體輻射定律等。描述物體振動和波動現(xiàn)象的微分方程，如簡諧振動方程、波動方程等。描述微觀粒子運(yùn)動規(guī)律的微分方程，如薛定諤方程、狄拉克方程等。04積分變換及其應(yīng)用

傅里葉變換及其應(yīng)用傅里葉變換定義將時間域函數(shù)轉(zhuǎn)換為頻域函數(shù)的積分變換。傅里葉變換性質(zhì)線性、時移性、頻移性、微分性、積分性等。傅里葉變換應(yīng)用信號處理、圖像處理、量子力學(xué)等。拉普拉斯變換及其應(yīng)用拉普拉斯變換定義拉普拉斯變換性質(zhì)拉普拉斯變換應(yīng)用線性、時移性、頻移性、微分性、積分性等。電路分析、控制系統(tǒng)分析、概率論等。將時間域函數(shù)轉(zhuǎn)換為復(fù)頻域函數(shù)的積分變換。信號與系統(tǒng)分析圖像處理電磁場與電磁波數(shù)值計算積分變換在工程學(xué)中的應(yīng)用利用積分變換對信號和系統(tǒng)進(jìn)行分析，如濾波、調(diào)制等。通過傅里葉變換對圖像進(jìn)行頻域分析，實現(xiàn)圖像增強(qiáng)、壓縮等。利用積分變換求解電磁場和電磁波的邊值問題，如輻射、散射等。借助積分變換將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題進(jìn)行數(shù)值求解，如有限元法、有限差分法等。05特殊函數(shù)與正交多項式特殊函數(shù)的定義特殊函數(shù)是一類在數(shù)學(xué)、物理和工程等領(lǐng)域中廣泛應(yīng)用的函數(shù)，它們具有獨特的性質(zhì)和重要的應(yīng)用價值。特殊函數(shù)的分類根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和特點，特殊函數(shù)可分為三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、雙曲函數(shù)、橢圓函數(shù)等。特殊函數(shù)的性質(zhì)特殊函數(shù)具有周期性、奇偶性、有界性、單調(diào)性、可微性、可積性等性質(zhì)，這些性質(zhì)使得特殊函數(shù)在數(shù)學(xué)和物理等領(lǐng)域中具有廣泛的應(yīng)用。特殊函數(shù)概述正交多項式及其性質(zhì)正交多項式是一類具有正交性的多項式序列，即滿足一定條件的兩個不同次數(shù)的多項式在給定區(qū)間上的內(nèi)積為零。正交多項式的性質(zhì)正交多項式具有唯一性、遞推關(guān)系、零點分布、正交性等性質(zhì)，這些性質(zhì)使得正交多項式在數(shù)值計算、逼近理論等領(lǐng)域中具有廣泛的應(yīng)用。常見的正交多項式常見的正交多項式包括勒讓德多項式、切比雪夫多項式、拉蓋爾多項式、雅可比多項式等，它們分別具有不同的性質(zhì)和特點。正交多項式的定義特殊函數(shù)在量子力學(xué)中的地位特殊函數(shù)在量子力學(xué)中具有重要的地位，許多量子力學(xué)的解都可以表示為特殊函數(shù)的組合或積分形式。特殊函數(shù)在量子力學(xué)中的應(yīng)用舉例例如，氫原子波函數(shù)可以表示為球諧函數(shù)和徑向波函數(shù)的乘積，其中球諧函數(shù)是球坐標(biāo)系下的正交多項式，徑向波函數(shù)則是指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的組合。此外，在量子力學(xué)中求解勢阱問題、散射問題等時也會涉及到特殊函數(shù)的應(yīng)用。特殊函數(shù)在量子力學(xué)中的意義特殊函數(shù)在量子力學(xué)中的應(yīng)用不僅簡化了問題的求解過程，而且揭示了量子力學(xué)中的一些基本規(guī)律和性質(zhì)，如能量量子化、波粒二象性等。同時，特殊函數(shù)也為量子力學(xué)的數(shù)值計算和模擬提供了有效的工具和方法。特殊函數(shù)在量子力學(xué)中的應(yīng)用06數(shù)值計算與仿真模擬數(shù)值計算的重要性在科學(xué)研究和工程應(yīng)用中，很多問題無法獲得解析解，或者解析解的計算過于復(fù)雜，這時就需要利用數(shù)值計算來求解。數(shù)值計算的基本思想將連續(xù)的數(shù)學(xué)問題離散化，通過計算機(jī)進(jìn)行大量的數(shù)學(xué)運(yùn)算，得到問題的近似解。數(shù)值計算的定義利用計算機(jī)進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算，以求得數(shù)學(xué)問題的近似解的過程。數(shù)值計算方法簡介03MATLAB在數(shù)值計算中的應(yīng)用MATLAB提供了豐富的數(shù)學(xué)函數(shù)庫和工具箱，可以方便地進(jìn)行數(shù)值計算、數(shù)據(jù)分析和可視化。01MATLAB簡介MATLAB是一種用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計算的高級語言和交互式環(huán)境。02MATLAB編程基礎(chǔ)包括變量、數(shù)據(jù)類型、數(shù)組、矩陣、控制流、函數(shù)等基本概念和語法。MATLAB編程基礎(chǔ)仿真模擬的定義利用計算機(jī)模型來模仿實際系統(tǒng)的行為，以預(yù)測或理解系統(tǒng)的性能或行為。仿真模擬在物理學(xué)中的重要性物理學(xué)中很多問題涉及到復(fù)雜的系統(tǒng)和過程，難以通過解析方法求解，而仿真模擬可以提供一個有效的手段來研究這些問題。仿真模擬在物理學(xué)中的應(yīng)用實例包括粒子物理、天體物理、凝聚態(tài)物理等領(lǐng)域中的各種問題，如宇宙大爆炸的模擬、黑洞的數(shù)值模擬、材料的電子結(jié)構(gòu)計算等。仿真模擬在物理學(xué)中的應(yīng)用07課程總結(jié)與展望基礎(chǔ)知識掌握解題技巧訓(xùn)練數(shù)學(xué)物理應(yīng)用課程重點回顧通過本課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)熟練掌握數(shù)理方法的基本概念、原理和方法，如微分方程、積分變換、復(fù)變函數(shù)等。課程中通過大量的例題和習(xí)題，訓(xùn)練學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的技巧和能力。介紹數(shù)理方法在物理、工程等領(lǐng)域的應(yīng)用，如波動方程、熱傳導(dǎo)方程等，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。學(xué)習(xí)過程反思學(xué)生對自己的學(xué)習(xí)過程進(jìn)行反思，總結(jié)學(xué)習(xí)中的得失，分析學(xué)習(xí)中的困難和挑戰(zhàn)，并提出改進(jìn)措施。未來學(xué)習(xí)規(guī)劃學(xué)生根據(jù)自己的學(xué)習(xí)情況和興趣愛好，制定未來學(xué)習(xí)的計劃和目標(biāo)，明確繼續(xù)深造或就業(yè)的方向。學(xué)習(xí)成果展示學(xué)生能夠清晰地闡述自己在本課程中所學(xué)到的知識、技能和方法，并能夠運(yùn)用所學(xué)知識解決實際問題。學(xué)生自我評價報告建議學(xué)生