“追及”與“相遇”問(wèn)題的分析方法種種朱建廉南京市金陵中學(xué)如果兩物體于同一時(shí)刻到達(dá)同一位置，那么稱(chēng)為“相遇”；特別當(dāng)兩物體在同一直線上沿著同一方向運(yùn)動(dòng)而于同一時(shí)刻到達(dá)同一位置，那么稱(chēng)為“追及”。上述一段文本所描述的是一類(lèi)運(yùn)動(dòng)學(xué)現(xiàn)象——“追及”與“相遇”的現(xiàn)象。

而作為一種獨(dú)特類(lèi)型的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題，“追及”與“相遇”的問(wèn)題所反映的是不同物體間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，相應(yīng)的分析思路將呈現(xiàn)出多樣化特征。本文通過(guò)典型例題的分析，介紹幾種針對(duì)“追及”與“相遇”問(wèn)題的常見(jiàn)分析方法?！白芳啊迸c“相遇”問(wèn)題的分析方法種種方法之一：

——“大膽假設(shè)，小心求證”方法之二：

——“位移圖像，形象直觀”方法之三：

——“速度圖像，計(jì)算面積”方法之四：

——“運(yùn)動(dòng)草圖，梳理過(guò)程”方法之五：

——“臨界分析，把握關(guān)鍵”方法之六：

——“相對(duì)運(yùn)動(dòng)，抓住本質(zhì)”方法1：“大膽假設(shè)，小心求證”

例題1：如圖1所示，小球A以v=4m/s的速度作勻速直線運(yùn)動(dòng)，物體B在其前方x0=7m處以初速度v0=10m/s開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，由于摩擦的作用而使其運(yùn)動(dòng)速度均勻減小，其加速度大小為a=2m/s2。問(wèn)：小球A經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間追上物體B？

分析：由于是“勻速直線運(yùn)動(dòng)”追“勻減速直線運(yùn)動(dòng)”，所以“追及”應(yīng)該不成問(wèn)題。但是，由于物體B在摩擦作用下作勻減速直線運(yùn)動(dòng)，一旦速度減為零后就將保持靜止?fàn)顟B(tài)。所以，相應(yīng)的“追及”問(wèn)題就存在著兩種可能：第一種可能是“先追上，后停下”；第二種可能是“先停下，后追上”。而在做出定量分析之前，將無(wú)法判斷上述哪種可能將會(huì)成真，這是此例的解答中最應(yīng)該予以關(guān)注的問(wèn)題。解答：不妨大膽假設(shè)第一種可能成真，即：“先追上，后停下”。于是便可由而解得〔舍去了一個(gè)負(fù)根：t=-1s〕在假設(shè)根底上列方程而求得的結(jié)論，必須通過(guò)驗(yàn)證方能最終確認(rèn)。假設(shè)物體B的速度經(jīng)時(shí)間t0而減為零，那么由可見(jiàn)：此例所對(duì)應(yīng)的物理過(guò)程應(yīng)該是“先停下，后追上”。相應(yīng)的計(jì)算應(yīng)為由此解得：小球A追及物體B所經(jīng)歷的時(shí)間為小結(jié)：在“追及”與“相遇”的問(wèn)題中，常會(huì)存在著諸如：是否能夠“追及”、是否能夠“相遇”、在不同階段“追及”或“相遇”等多種可能，而不同的可能所對(duì)應(yīng)的計(jì)算又會(huì)是不同的依據(jù)。這就需要在某種可能尚未被確認(rèn)的前提下而作“大膽假設(shè)”，同時(shí)對(duì)“大膽假設(shè)”根底上所獲得的結(jié)論又必須經(jīng)過(guò)“小心求證”方能最終確認(rèn)。方法2：“位移圖像，形象直觀”

例題2：如圖2所示，小球A以v=4m/s的速度作勻速直線運(yùn)動(dòng)，物體B在其后x0處以初速度v0=10m/s的作勻減速直線運(yùn)動(dòng)，其加速度的大小為a=2m/s2。請(qǐng)?jiān)趚0分別取如下各個(gè)數(shù)值的基礎(chǔ)上分析：物體B能否追上小球A？如果能追上，則在何時(shí)、于何處追上？（1）A與B間原始距離為：x0=8m；（2）A與B間原始距離為：x0=9m；（3）A與B間原始距離為：x0=12m。

分析：和例題1中的過(guò)程恰好相反：這次是“勻減速直線運(yùn)動(dòng)”追“勻速直線運(yùn)動(dòng)”。因此，是否能夠“追及”就不能得到保證。相應(yīng)的解答實(shí)際上也可以沿用例題1中所謂的“大膽假設(shè)，小心求證”的分析方法。但在這里，我們給出一種較為直觀、較為形象的圖上作業(yè)方法。解答：假設(shè)取物體B的出發(fā)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)、初速度方向?yàn)閰⒖颊较蚪⒆鴺?biāo)，那么根據(jù)物體B的運(yùn)動(dòng)規(guī)律而代入數(shù)據(jù)可得：物體B的位移隨時(shí)間變化的函數(shù)為在“x~t”坐標(biāo)平面內(nèi)，其圖像如圖2-1所示。在上述坐標(biāo)下，根據(jù)小球A的運(yùn)動(dòng)規(guī)律假設(shè)將例題中所給的三組數(shù)據(jù)分別代入，那么依次得到小球A的位移隨時(shí)間變化的三個(gè)函數(shù)分別為當(dāng)把小球A和物體B的位移隨時(shí)間變化的圖像畫(huà)在同一坐標(biāo)平面內(nèi)，那么分別如圖2-2、圖2-3和圖2-4所示。于是〔1〕當(dāng)小球A與物體B間原始距離為x0=8m時(shí)，xA1曲線與xB曲線相交，其兩個(gè)交點(diǎn)的物理含義分別為：當(dāng)t=2s時(shí)，物體B在小球A運(yùn)動(dòng)了xA=8m處追上小球A；當(dāng)t=4s時(shí)，小球A在運(yùn)動(dòng)了xA=16m處再次追上物體B?！?〕當(dāng)小球A與物體B間原始距離為x0=9m時(shí)，xA2曲線與xB曲線相切，其切點(diǎn)的物理含義為：當(dāng)t=3s時(shí)，物體B在小球A運(yùn)動(dòng)了xA=12m處勉強(qiáng)追上小球A?！?〕當(dāng)小球A與物體B間原始距離為x0=12m時(shí)，xA3曲線與xB曲線相別離而沒(méi)有公共點(diǎn)，相應(yīng)的物理含義為：物體B不能追上小球A。小結(jié)：此例的解答假設(shè)仿照例題1的“大膽假設(shè)，小心求證”的分析方法，那么可在“經(jīng)時(shí)間t而相遇”的假設(shè)根底上，根據(jù)相關(guān)規(guī)律列出如下方程而將小球A與物體B間原始距離的三個(gè)數(shù)據(jù)分別代入，即可依次得到關(guān)于相遇時(shí)間t的三個(gè)方程，為上述三個(gè)“二次方程”的判別式的取值分別為恰與如圖2-2中所示的xA1曲線與xB曲線相交、如圖2-3中所示的xA2曲線與xB曲線相切和如圖2-4中所示的xA3曲線與xB曲線相別離而形成了鮮明的“數(shù)形對(duì)照”。方法3：“速度圖像，計(jì)算面積”

例題3：如圖3所示，小物塊A與小球B分別從斜面上相距x0的兩處以同樣大小的初速率v=4m/s沿斜面開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，小物塊A沿斜面向下作勻速直線運(yùn)動(dòng)，小球B滯后時(shí)間t0啟動(dòng)而沿斜面向上作勻變速直線運(yùn)動(dòng)，其加速度大小a=2m/s2、方向沿斜面向下。若斜面足夠長(zhǎng)，且A、B的軌跡略錯(cuò)開(kāi)些而不至相碰，則下列各種說(shuō)法中正確的是（）A、若t0=0，x0<12m，則A、B將迎面相遇B、若t0=2s，x0=15m，則A、B將相遇兩次C、若t0=2s，x0=25m，則A、B將不能相遇D、無(wú)論t0和x0取何值，A、B都將相遇兩次分析：和前兩例相比，此例所涉及到的運(yùn)動(dòng)關(guān)系具備著如下特點(diǎn)：第一，兩物體先相向運(yùn)動(dòng)、然后又變?yōu)橥较蜻\(yùn)動(dòng)；第二，兩物體啟動(dòng)時(shí)間和出發(fā)位置均不同。對(duì)這類(lèi)“追及”與“相遇”問(wèn)題的解答，通?？梢越柚凇八俣葓D像”來(lái)幫助分析。解答：取沿斜面向下為參考正方向，以A開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，那么：當(dāng)t0=0時(shí)，A、B的運(yùn)動(dòng)速度vA和vB隨時(shí)間t變化的圖像如圖3-1所示；當(dāng)t0=2s時(shí)，A、B的運(yùn)動(dòng)速度vA和vB隨時(shí)間t變化的圖像如圖3-2所示。于是，針對(duì)各個(gè)選項(xiàng)的分析判斷便可以借助于“速度圖像”來(lái)進(jìn)行。①當(dāng)t0=0時(shí)，可由圖3-1知：B經(jīng)2s沿斜面向上運(yùn)動(dòng)而速度減為零，在這過(guò)程中A、B相向運(yùn)動(dòng)〔A沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，B沿斜面向上運(yùn)動(dòng)〕，A的位移大小等于圖中矩形的“面積”sA，B的位移大小等于圖中三角形的“面積”sB。對(duì)相應(yīng)“面積”進(jìn)行計(jì)算不難得到A、B在這2s內(nèi)的位移大小分別為其相對(duì)位移的大小為可見(jiàn)：在A、B相向運(yùn)動(dòng)的這2s內(nèi)，A、B的相對(duì)位移大于其原始距離〔x0<12m〕，所以必將會(huì)在這相向運(yùn)動(dòng)的2s內(nèi)迎面相遇。因此，選項(xiàng)A是正確的。②當(dāng)t0=2s時(shí)，可由圖3-2知：在6s末兩物體速度相同前，A沿斜面向下運(yùn)動(dòng)的位移大小等于圖中矩形的“面積”sA，而B(niǎo)那么沿斜面先向上運(yùn)動(dòng)、后向下運(yùn)動(dòng)，其位移大小分別等于圖中三角形的“面積”sB1和sB2。對(duì)相應(yīng)“面積”進(jìn)行計(jì)算不難得到A、B在這6s內(nèi)的位移大小分別為其相對(duì)位移的大小為可見(jiàn)：當(dāng)x0=15m時(shí)，A、B在速度相同之前必將相遇，而在速度相同之后，由于B將繼續(xù)加速，所以必將再次相遇，因此選項(xiàng)B是正確的；當(dāng)x0=25m時(shí)，A、B在速度相同之前將不能相遇，并將永遠(yuǎn)不會(huì)相遇，因此選項(xiàng)C正確而選項(xiàng)D錯(cuò)誤。上述分析說(shuō)明：此例應(yīng)選ABC。小結(jié)：假設(shè)借助于“速度圖像”來(lái)分析“追及”與“相遇”問(wèn)題，實(shí)際上就是把相應(yīng)的物理問(wèn)題的定量計(jì)算轉(zhuǎn)化成“矩形”、“三角形”或“梯形”等幾何形狀的“面積”計(jì)算。顯然，這樣的轉(zhuǎn)化對(duì)保證物理問(wèn)題的正確分析應(yīng)該是極為有利的。方法4：“運(yùn)動(dòng)草圖，梳理過(guò)程”例題4：如圖4所示為高速公路上用超聲測(cè)速儀測(cè)車(chē)速的示意圖，測(cè)速儀發(fā)出并接收超聲波脈沖信號(hào)，根據(jù)發(fā)出和接收到信號(hào)間的時(shí)間差，測(cè)出被測(cè)物體速度，圖中P1、P2是測(cè)速儀發(fā)出的超聲波信號(hào)，n1、n2分別是P1、P2被汽車(chē)反射回來(lái)的信號(hào)，設(shè)測(cè)速儀勻速掃描，P1、P2之間的時(shí)間間隔Δt=1.0s，超聲波在空氣中傳播的速度是v0=340m/s，若汽車(chē)是勻速行駛的，則根據(jù)圖Ｂ可知汽車(chē)在接收P1、P2兩個(gè)信號(hào)之間的時(shí)間內(nèi)前進(jìn)的距離是s=

m，汽車(chē)的速度是v=

m/s。分析：此例中顯性的運(yùn)動(dòng)物體似乎只有汽車(chē)，但實(shí)際上假設(shè)包括隱性參與運(yùn)動(dòng)的物體那么應(yīng)該有四個(gè)，即：汽車(chē)、超聲信號(hào)P1、超聲信號(hào)P2以及超聲測(cè)速儀。盡管運(yùn)動(dòng)的類(lèi)型均為極其簡(jiǎn)單的勻速直線運(yùn)動(dòng)〔靜止〕，但由于參與運(yùn)動(dòng)的物體較多、參與運(yùn)動(dòng)的物體相互間的“追及”與“相遇”過(guò)程紛繁復(fù)雜，所以就造成了分析與解答的困難。而突破“追及”與“相遇”過(guò)程紛繁復(fù)雜的難點(diǎn)，其最為有效、同時(shí)也是最為簡(jiǎn)單的方法就是：確定關(guān)鍵的“時(shí)間節(jié)點(diǎn)”，畫(huà)出相應(yīng)的“運(yùn)動(dòng)草圖”。解答：相應(yīng)的解答過(guò)程可按以下次序進(jìn)行。〔1〕首先將測(cè)速儀勻速掃描的記錄作所謂的“時(shí)空轉(zhuǎn)換”如下表所給出〔2〕在實(shí)施了“時(shí)空轉(zhuǎn)換”的根底上明確超聲信號(hào)P1、P2在測(cè)速儀和汽車(chē)之間往返運(yùn)動(dòng)時(shí)的各“時(shí)間節(jié)點(diǎn)”：假設(shè)將超聲信號(hào)與測(cè)速儀別離〔發(fā)出〕、與汽車(chē)相遇〔被反射〕、與測(cè)速儀相遇〔回收〕的時(shí)間節(jié)點(diǎn)分別記為“P1與P2”、“F1與F2”和“n1與n2”，并取“時(shí)間節(jié)點(diǎn)P1”為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，那么各個(gè)“時(shí)間節(jié)點(diǎn)”所對(duì)應(yīng)的時(shí)刻如下表所給出〔3〕把握了較為關(guān)鍵的“時(shí)間節(jié)點(diǎn)”，明確了汽車(chē)的運(yùn)動(dòng)方向〔由于Δt1>Δt2，因此可以判斷：汽車(chē)是向著測(cè)速儀運(yùn)動(dòng)的〕，在這根底上便可以按照所明確的“時(shí)間節(jié)點(diǎn)”而把汽車(chē)的運(yùn)動(dòng)分為假設(shè)干階段，并畫(huà)出用于梳理運(yùn)動(dòng)過(guò)程的“運(yùn)動(dòng)草圖”如圖4-1所示〔4〕畫(huà)出清晰的“運(yùn)動(dòng)草圖”后，具體的計(jì)算就顯得如此之簡(jiǎn)單了：由圖4-1得最終可解得小結(jié)：無(wú)論是汽車(chē)，或者是超聲信號(hào)，做的都是最為簡(jiǎn)單的勻速直線運(yùn)動(dòng)，可由于超聲信號(hào)往復(fù)運(yùn)動(dòng)而反復(fù)與測(cè)速儀、與汽車(chē)“別離”與“相遇”，從而造成了運(yùn)動(dòng)關(guān)系的復(fù)雜性，而梳理復(fù)雜運(yùn)動(dòng)關(guān)系的最有效的方法就是：找出“時(shí)間節(jié)點(diǎn)”并畫(huà)出“運(yùn)動(dòng)草圖”。方法5：“臨界分析，把握關(guān)鍵”例題5：如圖5所示，小球A自距地面h高處由靜止釋放的同時(shí)，小球B自其正下方的地面處豎直向上拋出，則（1）欲使兩球在B球的上升階段相遇，B球的初速度應(yīng)如何？（2）欲使兩球在B球的下降階段相遇，B球的初速度應(yīng)如何？（3）B球的初速度滿足怎樣的條件能使兩球不能在空中相遇？分析：這是一道典型的“追及”與“相遇”問(wèn)題。由于對(duì)其“相遇”現(xiàn)象所發(fā)生的階段作出了特定的要求，所以在相應(yīng)的解答過(guò)程中，對(duì)“相遇”現(xiàn)象發(fā)生于各個(gè)階段的臨界狀態(tài)的分析，應(yīng)該成為關(guān)鍵。解答：由于兩球相遇的情況存在著如下三種可能性：第一，相遇于B球的上升階段；第二，相遇于B球的下降階段；第三，相遇于地面而不能相遇于空中?？紤]到：前兩種情況的臨界狀態(tài)是兩球相遇時(shí)B球恰好處在上升的最高點(diǎn)；后兩種情況的臨界狀態(tài)是兩球恰好同時(shí)著地。于是，不妨先針對(duì)兩種臨界狀態(tài)作定量分析：設(shè)與上述兩種臨界狀態(tài)所對(duì)應(yīng)的B球初速度分別為v1和v2，那么可根據(jù)相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律得到由此解得于是，此例的結(jié)論分別為〔1〕欲使兩球在B球的上升階段相遇，B球的初速度v01應(yīng)滿足〔2〕欲使兩球在B球的下降階段相遇，B球的初速度v02應(yīng)滿足〔3〕欲使兩球不能在空中相遇，B球的初速度v03應(yīng)滿足小結(jié)：假設(shè)對(duì)發(fā)生“追及”與“相遇”現(xiàn)象所處的階段提出特定要求，那么此類(lèi)“追及”與“相遇”問(wèn)題的解答就必將是：以所謂的“臨界分析”為關(guān)鍵。方法6：“相對(duì)運(yùn)動(dòng)，抓住本質(zhì)”例題6：如圖6所示，長(zhǎng)度為L(zhǎng)=1m的直管懸掛于高空，其上端距地面的高度記為h，在直管正下方的地面上有一個(gè)小球，小球的直徑略小于直管的內(nèi)徑。在剪斷直管懸線的同時(shí)，A、小球在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)能否從直管上端穿出，與h的取值有關(guān)B、小球在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)能否從直管上端穿出，與h的取值無(wú)關(guān)C、只要小球能從直管上端穿出，則通過(guò)直管的時(shí)間必為0.1sD、即使小球能從直管上端穿出，其通過(guò)直管的時(shí)間也應(yīng)與h的取值有關(guān)使小球以初速度v0=10m/s豎直上拋，重力