專題4.6角邊角判定三角形全等-重難點(diǎn)題型【北師大版】【知識(shí)點(diǎn)1基本事實(shí)“角邊角”（ASA）】?jī)山羌捌鋳A邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”.【題型1角邊角判定三角形全等的條件】【例1】(2023秋?宜興市期中）如圖，已知AB＝AD，∠1＝∠2，要根據(jù)“ASA”使△ABC≌△ADE，還需添加的條件是．【變式1-1】(2023秋?覃塘區(qū)期中）如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在同一直線上，AC＝DF，∠1＝∠2，如果根據(jù)“ASA”判斷△ABC≌△DEF，那么需要補(bǔ)充的條件是（）A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．BF＝CE D．∠B＝∠D【變式1-2】(2023秋?浦東新區(qū)期末）根據(jù)下列已知條件，能作出唯一△ABC的是（）A．AB＝3，BC＝4，CA＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝60° C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠C＝90°，∠B＝30°，∠A＝60°【變式1-3】(2023?路南區(qū)校級(jí)月考）如圖，有一張三角形紙片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿著箭頭方向剪開，可能得不到全等三角形紙片的是（）A． B． C． D．【題型2角邊角判定三角形全等（求角的度數(shù)）】【例2】(2023秋?簡(jiǎn)陽市期中）如圖，∠A＝∠D，OA＝OD，∠DOC＝50°，∠DBC的度數(shù)為（）A．50° B．30° C．45° D．25°【變式2-1】(2023秋?天心區(qū)校級(jí)月考）AD，BE是△ABC的高，這兩條高所在的直線相交于點(diǎn)O，若BO＝AC，則∠ABC＝．【變式2-2】(2023?蒼南縣一模）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，∠A＝∠BEC，且AD＝BE．（1）求證：△ABD≌△ECB．（2）若∠BDC＝70°．求∠ADB的度數(shù)．【變式2-3】(2023秋?叢臺(tái)區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)E，F(xiàn)在邊BC上，連接AE，AF，∠BAF＝∠CAE，延長(zhǎng)AF至點(diǎn)D，使AD＝AC，連接CD．（1）求證：△ABE≌△ACF；（2）若∠ACF＝30°，∠AEB＝130°，求∠ADC的度數(shù)．【題型3角邊角判定三角形全等（求線段的長(zhǎng)度）】【例3】(2023春?德城區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△MPN中，H是高M(jìn)Q和NR的交點(diǎn)，且MQ＝NQ，已知PQ＝5，NQ＝9，則MH長(zhǎng)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【變式3-1】(2023春?萬州區(qū)期末）如圖，在△ABC中，D、E分別為AB、AC上一點(diǎn)，延長(zhǎng)ED至F，使得DF＝DE，若BF∥AC，AC＝4，BF＝3，則CE的長(zhǎng)為（）A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【變式3-2】(2023春?鐵西區(qū)期末）如圖，點(diǎn)D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，F(xiàn)C∥AB，連接DF交AC于點(diǎn)E，若CE＝AE，AB＝7，CF＝4，則BD的長(zhǎng)是．【變式3-3】(2023秋?香洲區(qū)校級(jí)期中）如圖，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于點(diǎn)P．（1）求∠APC的度數(shù)；（2）若AE＝4，CD＝4，求線段AC的長(zhǎng)．【題型4角邊角判定三角形全等（實(shí)際應(yīng)用）】【例4】(2023秋?伊通縣期末）如圖，某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么，最省事的方法是（）A．帶①去 B．帶②去 C．帶③去 D．帶①去和帶②去【變式4-1】(2023秋?豐南區(qū)期中）如圖，小明書上的三角形被墨水污染了，他根據(jù)所學(xué)知識(shí)畫出了完全一樣的一個(gè)三角形，他的依據(jù)是．【變式4-2】(2023秋?齊河縣期末）沛沛沿一段筆直的人行道行走，邊走邊欣賞風(fēng)景，在由C走到D的過程中，通過隔離帶的空隙P，剛好瀏覽完對(duì)面人行道宣傳墻上的一條標(biāo)語．具體信息如下：如圖，AB∥PM∥CD，相鄰兩平行線間的距離相等．AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足為D．已知CD＝16米．請(qǐng)根據(jù)上述信息求標(biāo)語AB的長(zhǎng)度．【變式4-3】(2023秋?孝義市期中）一位經(jīng)歷過戰(zhàn)爭(zhēng)的老戰(zhàn)士講述了這樣一個(gè)故事：在一次戰(zhàn)役中，我軍陣地與敵軍碉堡隔河相望．為了炸掉這個(gè)碉堡，需要知道碉堡與我軍陣地的距離，在不能過河測(cè)量又沒有任何測(cè)量工具的情況下，一個(gè)戰(zhàn)士想出來這樣的辦法：他面向碉堡的方向站好，然后調(diào)整帽子，使視線通過帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他轉(zhuǎn)過一個(gè)角度，保持剛才的姿態(tài)，這時(shí)視線落在了自己所在岸的某一點(diǎn)上，接著，他用步測(cè)的方法量出自己與那個(gè)點(diǎn)的距離，這個(gè)距離就是他與碉堡間的距離．將這位戰(zhàn)士看成一條線段，碉堡看成一點(diǎn)，示意圖如下，你能根據(jù)示意圖解釋其中的道理嗎下面是彤彤同學(xué)寫出的不完整的已知和求證，請(qǐng)你補(bǔ)全已知和求證，并完成證明．已知：如圖，AB⊥CD，．求證：．證明：【題型5角邊角判定三角形全等（證明題）】【例5】(2023秋?漣源市期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，E為邊BC上的任意點(diǎn)，D為線段BE的中點(diǎn)，AB＝AE，EF⊥AE，AF∥BC．（1）求證：∠DAE＝∠C；（2）求證：AF＝BC．【變式5-1】(2023秋?汝南縣期末）如圖，△ABC的兩條高AD，BE相交于H，且AD＝BD．試說明下列結(jié)論成立的理由．（1）∠DBH＝∠DAC；（2）△BDH≌△ADC．【變式5-2】(2023秋?郯城縣期中）如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，過D點(diǎn)的直線EG交AB于點(diǎn)E，交AB的平行線CG于點(diǎn)G，DF⊥EG，交AC于點(diǎn)F．（1）求證：BE＝CG；（2）判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【變式5-3】(2023秋?岫巖縣月考）如圖，在△ABC中，BD⊥AC于點(diǎn)D，CE⊥AB于點(diǎn)E，BD、CE相交于點(diǎn)G，BD＝DC，DF∥BC交AB于點(diǎn)F，連接FG．求證：（1）△DAB≌△DGC；（2）CG＝FB+FG．【題型6角邊角判定三角形全等（探究題）】【例6】(2023春?嶗山區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，且BD＝AB．過點(diǎn)B作BE⊥AC，與BD的垂線DE交于點(diǎn)E．（1）求證：△ABC≌△BDE；（2）請(qǐng)找出線段AB、DE、CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式6-1】(2023春?黃浦區(qū)期末）如圖在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，點(diǎn)G在邊BC上，且∠1＝∠2．（1）說明△ADE≌△BFE的理由；（2）聯(lián)結(jié)EG，那么EG與DF的位置關(guān)系是，請(qǐng)說明理由．【變式6-2】(2023春?文圣區(qū)期末）已知：如圖，BD、CE是△ABC的高，BD、CE交于點(diǎn)F，BD＝CD，CE平分∠ACB．（1）如圖1，試說明BE=12（2）如圖2，若點(diǎn)M在邊BC上（不與點(diǎn)B重合），MN⊥AB于點(diǎn)N，交BD于點(diǎn)G，請(qǐng)直接寫出BN與MG的數(shù)量關(guān)系，并畫出能夠說明該結(jié)論成立的輔助線，不必書寫過程．【變式6-3】(2023春?揭陽期末）已知△ABC，點(diǎn)D、F分別為線段AC、AB上兩點(diǎn)，連接BD、CF交于點(diǎn)E．（1）若BD⊥AC，CF⊥AB，如圖1所示，試說明∠BAC+∠BEC＝180°；（2）若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，如圖2所示，試說明此時(shí)∠BAC與∠BEC的數(shù)量關(guān)系；（3）在（2）的條件下，若∠BAC＝60°，試說明：EF＝ED．專題4.6角邊角判定三角形全等-重難點(diǎn)題型【北師大版】【知識(shí)點(diǎn)1基本事實(shí)“角邊角”（ASA）】?jī)山羌捌鋳A邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”.【題型1角邊角判定三角形全等的條件】【例1】(2023秋?宜興市期中）如圖，已知AB＝AD，∠1＝∠2，要根據(jù)“ASA”使△ABC≌△ADE，還需添加的條件是．分析：利用ASA定理添加條件即可．【解答】解：還需添加的條件是∠B＝∠D，∵∠1＝∠2，∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中∠BAC=∠DAEAB=AD∴△ABC≌△ADE（ASA），故答案為：∠B＝∠D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定，關(guān)鍵是掌握ASA﹣﹣兩角及其夾邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．【變式1-1】(2023秋?覃塘區(qū)期中）如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在同一直線上，AC＝DF，∠1＝∠2，如果根據(jù)“ASA”判斷△ABC≌△DEF，那么需要補(bǔ)充的條件是（）A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．BF＝CE D．∠B＝∠D分析：利用全等三角形的判定方法，“ASA”即角邊角對(duì)應(yīng)相等，只需找出一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等即可，進(jìn)而得出答案．【解答】解：需要補(bǔ)充的條件是∠A＝∠D，在△ABC和△DEF中，∠A=∠DAC=DF∴△ABC≌△DEF（ASA）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加時(shí)注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，不能添加，根據(jù)已知結(jié)合圖形及判定方法選擇條件是正確解答本題的關(guān)鍵．【變式1-2】(2023秋?浦東新區(qū)期末）根據(jù)下列已知條件，能作出唯一△ABC的是（）A．AB＝3，BC＝4，CA＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝60° C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠C＝90°，∠B＝30°，∠A＝60°分析：根據(jù)全等三角形的判定方法對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：A．∵AB＝3，BC＝4，CA＝8，AB+BC＜CA，∴不能畫出三角形，故本選項(xiàng)不合題意；B．AB＝4，BC＝3，∠A＝60°，不能畫出唯一三角形，故本選項(xiàng)不合題意；C．當(dāng)∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4時(shí)，根據(jù)“ASA”可判斷△ABC的唯一性；D．已知三個(gè)角，不能畫出唯一三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定，正確把握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．【變式1-3】(2023?路南區(qū)校級(jí)月考）如圖，有一張三角形紙片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿著箭頭方向剪開，可能得不到全等三角形紙片的是（）A． B． C． D．分析：根據(jù)全等三角形的判定定理進(jìn)行判斷．【解答】解：A、由全等三角形的判定定理SAS證得圖中兩個(gè)小三角形全等，故本選項(xiàng)不符合題意；B、由全等三角形的判定定理SAS證得圖中兩個(gè)小三角形全等，故本選項(xiàng)不符合題意；C、如圖1，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，∴∠FEC＝∠BDE，所以其對(duì)應(yīng)邊應(yīng)該是BE和CF，而已知給的是BD＝FC＝3，所以不能判定兩個(gè)小三角形全等，故本選項(xiàng)符合題意；D、如圖2，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，∴∠FEC＝∠BDE，∵BD＝EC＝2，∠B＝∠C，∴△BDE≌△CEF，所以能判定兩個(gè)小三角形全等，故本選項(xiàng)不符合題意；由于本題選擇可能得不到全等三角形紙片的圖形，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，注意三角形邊和角的對(duì)應(yīng)關(guān)系是關(guān)鍵．【題型2角邊角判定三角形全等（求角的度數(shù)）】【例2】(2023秋?簡(jiǎn)陽市期中）如圖，∠A＝∠D，OA＝OD，∠DOC＝50°，∠DBC的度數(shù)為（）A．50° B．30° C．45° D．25°分析：由題中條件易證得△AOB≌△DOC，可得∠ACB＝∠DBC，由三角形外角的性質(zhì)可得∠DOC＝∠ACB+∠DBC，即可得∠DBC的度數(shù)．【解答】解：∵∠A＝∠D，OA＝OD，∠AOB＝∠DOC，∴△AOB≌△DOC（ASA），∴∠ACB＝∠DBC，∵∠DOC＝∠ACB+∠DBC，∴∠DBC=12∠故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，找到相應(yīng)等量關(guān)系的角是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】(2023秋?天心區(qū)校級(jí)月考）AD，BE是△ABC的高，這兩條高所在的直線相交于點(diǎn)O，若BO＝AC，則∠ABC＝．分析：由AD、BE是銳角△ABC的高，可得∠DBA＝∠DAC，又BO＝AC，∠BDO＝∠ADC＝90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖1，∵AD、BE是銳角△ABC的高，∴∠AEO＝∠BDO＝90°，∵∠AOE＝∠BOD，∴∠DBO＝∠DAC，∵BO＝AC，∠BDO＝∠ADC＝90°∴△BDO≌△ADC（ASA），∴BD＝AD，∴∠ABC＝∠BAD＝45°，如圖2，同理證得△BDO≌△ADC（ASA），∴BD＝AD，∴∠ABD＝∠BAD＝45°，∴∠ABC＝135°，故答案為：45°或135°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；結(jié)合已知條件發(fā)現(xiàn)并利用△BDO≌△ADC是正確解答本題的關(guān)鍵．【變式2-2】(2023?蒼南縣一模）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，∠A＝∠BEC，且AD＝BE．（1）求證：△ABD≌△ECB．（2）若∠BDC＝70°．求∠ADB的度數(shù)．分析：（1）由“ASA”可證△ABD≌△ECB；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得BD＝BC，由等腰三角形的性質(zhì)可求解．【解答】證明：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBE，在△ABD和△ECB中，∠A=∠BECAD=BE∴△ABD≌△ECB（ASA）；（2）∵△ABD≌△ECB，∴BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝70°，∴∠DBC＝40°，∴∠ADB＝∠CBD＝40°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，還考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，題目比較典型，難度適中．【變式2-3】(2023秋?叢臺(tái)區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)E，F(xiàn)在邊BC上，連接AE，AF，∠BAF＝∠CAE，延長(zhǎng)AF至點(diǎn)D，使AD＝AC，連接CD．（1）求證：△ABE≌△ACF；（2）若∠ACF＝30°，∠AEB＝130°，求∠ADC的度數(shù)．分析：（1）要證明△ABE≌△ACF，由題意可得AB＝AC，∠B＝∠ACF，∠AEF＝∠AFE，從而可以證明結(jié)論成立；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論和等腰三角形的性質(zhì)可以求得∠ADC的度數(shù)．【解答】證明：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACF，∵∠BAF＝∠CAE，∴∠BAF﹣∠EAF＝∠CAE﹣∠EAF，∴∠BAE＝∠CAF，在△ABE和△ACF中，∠B=∠ACFAB=AC∴△ABE≌△ACF（ASA）；（2）解：∵∠B＝∠ACF＝30°，∠AEB＝130°，∴∠BAE＝180°﹣130°﹣30°＝20°，∵△ABE≌△ACF，∴∠CAF＝∠BAE＝20°，∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠ADC=180°?20°答：∠ADC的度數(shù)為80°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．【題型3角邊角判定三角形全等（求線段的長(zhǎng)度）】【例3】(2023春?德城區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△MPN中，H是高M(jìn)Q和NR的交點(diǎn)，且MQ＝NQ，已知PQ＝5，NQ＝9，則MH長(zhǎng)為（）A．3 B．4 C．5 D．6分析：證明△MQP≌△NQH，由全等三角形的性質(zhì)可得PQ＝QH＝5，根據(jù)MQ＝NQ＝9，即可解決問題．【解答】解：∵M(jìn)Q⊥PN，NR⊥PM，∴∠NQH＝∠NRP＝∠HRM＝90°，∵∠RHM＝∠QHN，∴∠PMH＝∠HNQ，在△MQP和△NQH中，∠PMQ=∠QNHMQ=NQ∴△MQP≌△NQH（ASA），∴PQ＝QH＝5，∵NQ＝MQ＝9，∴MH＝MQ﹣HQ＝9﹣5＝4，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．【變式3-1】(2023春?萬州區(qū)期末）如圖，在△ABC中，D、E分別為AB、AC上一點(diǎn)，延長(zhǎng)ED至F，使得DF＝DE，若BF∥AC，AC＝4，BF＝3，則CE的長(zhǎng)為（）A．0.5 B．1 C．1.5 D．2分析：證明△BDF≌△ADE（ASA），由全等三角形的性質(zhì)得出BF＝AE＝3，則可得出答案．【解答】解：∵BF∥AC，∴∠F＝∠AED，在△BDF和△ADE中，∠F=∠AEDDF=DE∴△BDF≌△ADE（ASA），∴BF＝AE＝3，∵AC＝4，∴CE＝AC﹣AE＝4﹣3＝1．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】(2023春?鐵西區(qū)期末）如圖，點(diǎn)D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，F(xiàn)C∥AB，連接DF交AC于點(diǎn)E，若CE＝AE，AB＝7，CF＝4，則BD的長(zhǎng)是．分析：先由全等三角形的判定定理ASA證明△AED≌△CEF，然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等知AD＝CF，從而求得BD的長(zhǎng)度．【解答】解：∵FC∥AB，∴∠A＝∠ECF，在△AED和△CEF中，∠A=∠ECFAE=CE∴△AED≌△CEF（ASA），∴AD＝CF（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），又∵AB＝7，CF＝4，AB＝AD+BD，∴BD＝3．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】(2023秋?香洲區(qū)校級(jí)期中）如圖，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于點(diǎn)P．（1）求∠APC的度數(shù)；（2）若AE＝4，CD＝4，求線段AC的長(zhǎng)．分析：（1）利用∠ABC＝60°，AD、CE分別平分∠BAC，∠ACB，即可得出答案；（2）由題中條件可得△APE≌△APF，進(jìn)而得出∠APE＝∠APF，通過角之間的轉(zhuǎn)化可得出△CPF≌△CPD，進(jìn)而可得出線段之間的關(guān)系，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵∠ABC＝60°，AD、CE分別平分∠BAC，∠ACB，∴∠BAC+∠BCA＝120°，∠PAC+∠PCA=12（∠BAC+∠∴∠APC＝120°．（2）如圖，在AC上截取AF＝AE，連接PF．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，在△APE和△APF中，AE=AF∠EAP=∠FAP∴△APE≌△APF（SAS），∴∠APE＝∠APF，∵∠APC＝120°，∴∠APE＝60°，∴∠APF＝∠CPD＝60°＝∠CPF，在△CPF和△CPD中，∠FPC=∠DPCCP=CP∴△CPF≌△CPD（ASA）∴CF＝CD，∴AC＝AF+CF＝AE+CD＝4+4＝8．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，根據(jù)在AC上截取AF＝AE得出△APE≌△APF是解題關(guān)鍵．【題型4角邊角判定三角形全等（實(shí)際應(yīng)用）】【例4】(2023秋?伊通縣期末）如圖，某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么，最省事的方法是（）A．帶①去 B．帶②去 C．帶③去 D．帶①去和帶②去分析：已知三角形破損部分的邊角，得到原來三角形的邊角，根據(jù)三角形全等的判定方法，即可求解．【解答】解：第①塊不僅保留了原來三角形的兩個(gè)角還保留了一邊，則可以根據(jù)ASA來配一塊一樣的玻璃．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定方法的開放性的題，要求學(xué)生將所學(xué)的知識(shí)運(yùn)用于實(shí)際生活中，要認(rèn)真觀察圖形，根據(jù)已知選擇方法．【變式4-1】(2023秋?豐南區(qū)期中）如圖，小明書上的三角形被墨水污染了，他根據(jù)所學(xué)知識(shí)畫出了完全一樣的一個(gè)三角形，他的依據(jù)是．分析：根據(jù)圖形，未污染的部分兩角與這兩角的夾邊可以測(cè)量，然后根據(jù)全等三角形的判定方法解答即可．【解答】解：小明書上的三角形被墨水污染了，他根據(jù)所學(xué)知識(shí)畫出了完全一樣的一個(gè)三角形，他根據(jù)的定理是：兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（ASA）．故答案為：ASA．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．【變式4-2】(2023秋?齊河縣期末）沛沛沿一段筆直的人行道行走，邊走邊欣賞風(fēng)景，在由C走到D的過程中，通過隔離帶的空隙P，剛好瀏覽完對(duì)面人行道宣傳墻上的一條標(biāo)語．具體信息如下：如圖，AB∥PM∥CD，相鄰兩平行線間的距離相等．AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足為D．已知CD＝16米．請(qǐng)根據(jù)上述信息求標(biāo)語AB的長(zhǎng)度．分析：由AB∥CD，利用平行線的性質(zhì)可得∠ABP＝∠CDP，利用ASA定理可得，△ABP≌△CDP，由全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)果．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABP＝∠CDP，∵PD⊥CD，∴∠CDP＝90°，∴∠ABP＝90°，即PB⊥AB，∵相鄰兩平行線間的距離相等，∴PD＝PB，在△ABP與△CDP中，∠ABP=∠CDPPB=PD∴△ABP≌△CDP（ASA），∴CD＝AB＝16米．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和全等三角形的判定及性質(zhì)定理，綜合運(yùn)用各定理是解答此題的關(guān)鍵．【變式4-3】(2023秋?孝義市期中）一位經(jīng)歷過戰(zhàn)爭(zhēng)的老戰(zhàn)士講述了這樣一個(gè)故事：在一次戰(zhàn)役中，我軍陣地與敵軍碉堡隔河相望．為了炸掉這個(gè)碉堡，需要知道碉堡與我軍陣地的距離，在不能過河測(cè)量又沒有任何測(cè)量工具的情況下，一個(gè)戰(zhàn)士想出來這樣的辦法：他面向碉堡的方向站好，然后調(diào)整帽子，使視線通過帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他轉(zhuǎn)過一個(gè)角度，保持剛才的姿態(tài)，這時(shí)視線落在了自己所在岸的某一點(diǎn)上，接著，他用步測(cè)的方法量出自己與那個(gè)點(diǎn)的距離，這個(gè)距離就是他與碉堡間的距離．將這位戰(zhàn)士看成一條線段，碉堡看成一點(diǎn)，示意圖如下，你能根據(jù)示意圖解釋其中的道理嗎下面是彤彤同學(xué)寫出的不完整的已知和求證，請(qǐng)你補(bǔ)全已知和求證，并完成證明．已知：如圖，AB⊥CD，．求證：．證明：分析：根據(jù)垂直的定義和全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解答】解：已知：如圖，AB⊥CD，∠ABC＝∠ABD．求證：AD＝AC．證明：∵AB⊥CD，∴∠BAD＝∠BAC，在△ABD與△ABC中，∠ABD=∠ABCAB=AB∴△ABD≌△ABC（ASA），∴AD＝AC，故答案為：∠ABC＝∠ABD，AD＝AC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【題型5角邊角判定三角形全等（證明題）】【例5】(2023秋?漣源市期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，E為邊BC上的任意點(diǎn)，D為線段BE的中點(diǎn)，AB＝AE，EF⊥AE，AF∥BC．（1）求證：∠DAE＝∠C；（2）求證：AF＝BC．分析：（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得AD⊥BC，由余角的性質(zhì)可得∠C＝∠BAD，再證明∠BAD＝∠DAE即可解決問題．（2）由“ASA”可證△ABC≌△EAF，可得AC＝EF．【解答】證明：（1）∵AB＝AE，D為線段BE的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，（三線合一沒有學(xué)習(xí)到，可以用全等證明）∴∠C+∠DAC＝90°，∵∠BAC＝90°∴∠BAD+∠DAC＝90°∴∠C＝∠BAD，∵AB＝AE，AD⊥BE，∴∠BAD＝∠DAE，∴∠DAE＝∠C（2）∵AF∥BC∴∠FAE＝∠AEB∵AB＝AE∴∠B＝∠AEB∴∠B＝∠FAE，且∠AEF＝∠BAC＝90°，AB＝AE∴△ABC≌△EAF（ASA）∴AC＝EF【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵．【變式5-1】(2023秋?汝南縣期末）如圖，△ABC的兩條高AD，BE相交于H，且AD＝BD．試說明下列結(jié)論成立的理由．（1）∠DBH＝∠DAC；（2）△BDH≌△ADC．分析：（1）因?yàn)椤螧HD＝∠AHE，∠BDH＝∠AEH＝90°，所以∠DBH+∠BHD＝∠HAE+∠AHE＝90°，故∠DBH＝∠DAC；（2）因?yàn)锳D⊥BC，所以∠ADB＝∠ADC，又因?yàn)锳D＝BD，∠DBH＝∠DAC，故可根據(jù)ASA判定兩三角形全等．【解答】解：（1）∵∠BHD＝∠AHE，∠BDH＝∠AEH＝90°∴∠DBH+∠BHD＝∠HAE+∠AHE＝90°∴∠DBH＝∠HAE∵∠HAE＝∠DAC∴∠DBH＝∠DAC；（2）∵AD⊥BC∴∠ADB＝∠ADC在△BDH與△ADC中，∠ADB=∠ADCAD=BD∴△BDH≌△ADC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．【變式5-2】(2023秋?郯城縣期中）如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，過D點(diǎn)的直線EG交AB于點(diǎn)E，交AB的平行線CG于點(diǎn)G，DF⊥EG，交AC于點(diǎn)F．（1）求證：BE＝CG；（2）判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．分析：（1）先利用ASA判定△BED≌△CGD，從而得出BE＝CG；（2）先連接FG，再利用全等的性質(zhì)可得DE＝DG，再根據(jù)DF⊥GE，從而得出FG＝EF，依據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊得出BE+CF＞EF．【解答】解：（1）∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD，∵AB∥CG，∴∠B＝∠DCG，在△BDE和△CDG中，∵∠BDE＝∠CDG，BD＝CD，∠DBE＝∠DCG，∴△BDE≌△CDG（ASA），∴BE＝CG；（2）BE+CF＞EF．理由：如圖，連接FG，∵△BDE≌△CDG，∴DE＝DG，又∵FD⊥EG，∴FD垂直平分EG，∴EF＝GF，又∵△CFG中，CG+CF＞GF，∴BE+CF＞EF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系的運(yùn)用，本題中求證△BDE≌△CDG，得出BE＝CG是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】(2023秋?岫巖縣月考）如圖，在△ABC中，BD⊥AC于點(diǎn)D，CE⊥AB于點(diǎn)E，BD、CE相交于點(diǎn)G，BD＝DC，DF∥BC交AB于點(diǎn)F，連接FG．求證：（1）△DAB≌△DGC；（2）CG＝FB+FG．分析：（1）由“ASA”可證△DAB≌△DGC；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得AB＝CG，DA＝DG，由“SAS”可證△DFA≌△DFG，可得FA＝FG，可得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ABD+∠A＝90°，∠ACE+∠A＝90°，∴∠ABD＝∠ACE，在△DAB和△DGC中，∠ABD=∠ACEBD=CD∴△DAB≌△DGC（ASA）；（2）∵△DAB≌△DGC，∴AB＝CG，DA＝DG，∵BD＝CD．∠BDC＝90°，∴∠DBC＝∠DCB＝45°，∵DF∥BC，∴∠FDA＝∠FDG＝45°，在△DFA和△DFG中，AD=DG∠FDA=∠FDG∴△DFA≌△DFG（SAS），∴FA＝FG．∴CG＝AB＝FB+FA＝FB+FG．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，找到正確的全等三角形是本題的關(guān)鍵．【題型6角邊角判定三角形全等（探究題）】【例6】(2023春?嶗山區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，且BD＝AB．過點(diǎn)B作BE⊥AC，與BD的垂線DE交于點(diǎn)E．（1）求證：△ABC≌△BDE；（2）請(qǐng)找出線段AB、DE、CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．分析：（1）利用已知得出∠A＝∠DBE，進(jìn)而利用ASA得出△ABC≌△BDE即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵BE⊥AC，∴∠A+∠ABE＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠DBE+∠ABE＝90°，∴∠A＝∠DBE，在△ABC和△BDE中，∠A=∠DBEBD=AB∴△ABC≌△BDE（ASA）；（2）解：AB＝DE+CD，理由：由（1）證得，△ABC≌△BDE，∴AB＝BD，BC＝DE，∵BD＝CD+BC，∴AB＝CD+DE．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】(2023春?黃浦區(qū)期末）如圖在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，點(diǎn)G在邊BC上，且∠1＝∠2．（1）說明△ADE≌△BFE的理由；（2）聯(lián)結(jié)EG，那么EG與DF的位置關(guān)系是，請(qǐng)說明理由．分析：（1）由AD∥BC，得出∠1＝∠F，因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，得AE＝BE，即可證明△ADE≌△BFE；【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴∠1＝∠F，∵E是AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE，在△ADE和△BFE中，∠1=∠F∠AED=∠BEF∴△ADE≌△BFE（ASA），（2）如圖，EG⊥DF，∵∠1＝∠F，∠1＝∠2，∴∠2＝∠F，∴DG＝FG，由（1）知：△ADE≌△BFE，∴DE＝EF，∴EG⊥DF．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形的三線合一等知識(shí)，找出全等所需的條件是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】(2023春?文圣區(qū)期末）已知：如圖，BD、CE是△ABC的高，BD、CE交于點(diǎn)F，BD＝CD，CE平分∠ACB．（1）如圖1，試說明BE=12（2）如圖2，若點(diǎn)M在邊BC上（不與點(diǎn)B重合），MN⊥AB于點(diǎn)N，交BD于點(diǎn)G，請(qǐng)直接寫出BN與MG的數(shù)量關(guān)系，并畫出能夠說明該結(jié)論成立的輔助線，不必書寫過程．分析：（1）由“ASA”可證△ABD≌△FCD，可得AB＝CF，由“ASA”可證△ACE≌△BCE，可得AE＝BE，可得結(jié)論；（2）如圖，過點(diǎn)M作MH∥AC，交AB于H，交BD于P，由“ASA”可證BPH≌△MPG，可得GM＝B