2024屆上海市普陀區(qū)高考一模數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單空題

1.若拋物線/=7町的頂點(diǎn)到它的準(zhǔn)線距離為則正實(shí)數(shù)加=.

2.設(shè)i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足匕=l+2i.則匕-1|=.

3.若圓。上的一段圓弧長(zhǎng)與該圓的內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)相等，則這段圓弧所對(duì)的圓心

角的大小為.

4.設(shè)S“是等差數(shù)列｛0“｝的前〃項(xiàng)和（〃21/eN）,若的+。4=9-&,則凡=.

5.設(shè)（1-2無）”=/++a2%?+%尤3+%尤4■1----1-a?x",若為+g=17.貝！]〃=.

6.若函數(shù)V=tan3x在區(qū)間（加，言]上是嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為.

7.設(shè)集合M=｛2,0,-l｝,^=｛x||x-a|<l）,若McN的真子集的個(gè)數(shù)是1,則正實(shí)數(shù).

的取值范圍為.

8.設(shè)圓錐的底面中心為。，PB,PC是它的兩條母線，且8c=2,若棱錐O-P2C是

正三棱錐，則該圓錐的側(cè)面積為.

9.若數(shù)列｛氏｝滿足q=12,?！?]=?！?2〃（“21,HGN）,貝U"的最小值是.

n

10.設(shè)函數(shù)y=sin（2x+9）（0<°苔）的圖象與直線V=，相交的連續(xù)的三個(gè)公共點(diǎn)從

左到右依次記為A,B,C,若忸1=2]/同，則正實(shí)數(shù)f的值為.

11.設(shè)函數(shù)/3=萩-2f,若對(duì)任意x°e（O,l）,皆有l(wèi)im，3一"“°）一"+=>0成

立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

12.體積為也/的正四面體內(nèi)有一個(gè)球。，球。與該正四面體的各面均有且只有一個(gè)

12

公共點(diǎn)，M,N是球O的表面上的兩動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)?在該正四面體的表面上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)|而|

最大時(shí)，麗'.麗的最大值是.

二、單選題

13.若橢圓「的兩個(gè)頂點(diǎn)和焦點(diǎn)都在圓O：x2+y2=4±,如圖所示，則下列結(jié)論正確

的是（）

試卷第1頁，共4頁

2

A.橢圓「的方程是土f+匕V=1

42

B.過橢圓「上的點(diǎn)作圓。的切線，一定有兩條

C.圓O上的點(diǎn)與橢圓「上的點(diǎn)的距離的最大值是2（0+1）

D.直線x+y+2亞=0與橢圓T有交點(diǎn)，與圓。無交點(diǎn)

14.在A/3C中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，6,c,若”百，且c-2b+26cosC=0,

則該三角形外接圓的半徑為（）

A.1B.V3C.2D.273

15.已知一組數(shù)據(jù)3、1、5、3、2,現(xiàn)加入0兩數(shù)對(duì)該組數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，若經(jīng)過處

理后的這組數(shù)據(jù)的極差為P-4,則經(jīng)過處理后的這組數(shù)據(jù)與之前的那組數(shù)據(jù)相比，一

定會(huì)變大的數(shù)字特征是（）

A.平均數(shù)B.方差C.眾數(shù)D.中位數(shù)

x+l,xe[-1,0]

16.已知函數(shù)/'（》）=<3x-2sn，若函數(shù)g（x）=〃x）x+在[-1,1）內(nèi)有且僅

-I,XG1JJ

、1—%

有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是（）

A.,0U[3,8）B.--,0U[3,9]

C.-J,。U[3,8]D.f-^-,0U[3,9）

三、應(yīng)用題

17.我國(guó)隨著人口老齡化程度的加劇，勞動(dòng)力人口在不斷減少，“延遲退休”已成為公眾

關(guān)注的熱點(diǎn)話題之一，為了了解公眾對(duì)“延遲退休”的態(tài)度，某研究機(jī)構(gòu)對(duì)屬地所在的一

社區(qū)進(jìn)行了調(diào)查，并將隨機(jī)抽取的50名被調(diào)查者的年齡制成如圖所示的莖葉圖.

試卷第2頁，共4頁

67789278

123358323344567

0136899402334G58Q

2385234578

24604

(1)經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，投贊成票的人均年齡恰好是這50人年齡的第60百分位數(shù)，求此百分位

數(shù)；

(2)經(jīng)統(tǒng)計(jì)年齡在［50,59)的被調(diào)查者中，投贊成票的男性有3人，女性有2人，現(xiàn)從該

組被調(diào)查者中隨機(jī)選取男女各2人進(jìn)行跟蹤調(diào)查，求被選中的4人中至少有3人投贊成

票的概率(結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示)

四、問答題

JT

18.圖1所示的是等腰梯形48CD,ABUDC,AB=2DC=4,AABC=-,DE1AB

于E點(diǎn)，現(xiàn)將AADE沿直線DC折起到APAE的位置，形成一個(gè)四棱錐尸-E8C。，如

圖2所示.

(1)若PC=20，求證：M，平面￡8。。；

7T

(2)若直線PE與平面E8CD所成的角為求二面角P-8C-E的大小.

19.設(shè)函數(shù)V=/(x)的表達(dá)式為〃x)=ae'+e

(1)求證：“a=1”是“函數(shù)V=/(無)為偶函數(shù)”的充要條件;

(2)若0=1,且/(加+2)4〃2加一3),求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

20.設(shè)雙曲線「：，-1(%〉0),點(diǎn)片是「的左焦點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)若「的離心率為叵，求雙曲線「的焦距;

3

(2)過點(diǎn)片且一個(gè)法向量為?=&-1)的直線與「的一條漸近線相交于點(diǎn)“，若

試卷第3頁，共4頁

s^OFi=1,求雙曲線「的方程；

(3)若/=力，直線/：+機(jī)=0(左>0,，"cR)與「交于尸，0兩點(diǎn)，|。2+。@=4,

求直線/的斜率左的取值范圍.

五、證明題

21.若存在常數(shù)乙使得數(shù)列｛4｝滿足。角-。應(yīng)生(?>k?eN),則稱數(shù)列｛%｝

為“H⑺數(shù)列”.

(1)判斷數(shù)列：1,2,3,8,49是否為“〃⑴數(shù)列”，并說明理由；

(2)若數(shù)列｛6｝是首項(xiàng)為2的"H")數(shù)列"，數(shù)列｛b?｝是等比數(shù)列，且｛4｝與他,｝滿足