北京市通州2022—2023高三上學(xué)期摸底考試

數(shù)學(xué)試卷

本試卷共4頁，共150分.考試時(shí)長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.

考試結(jié)束后，請將答題卡交回.

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求

的一項(xiàng).

一人A-[x\-2<x<1）5=（x|0<x<3）,

1.已知集合11J,11J,則ANuD8=（）

A.1x|0<x<l}B.{x卜2<x<3}

C.{x[l<x<3}D.|x|-2<x<01

2.等差數(shù)列{6,}中，%+%=8，%+%=3,則{為}的通項(xiàng)為（）

A.5H-16B.5w-llC.3/7-8D.3/7-5

3.拋物線x2=8y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.(4,0)B.(0,4)C.⑵。）D.(0,2)

4.已知向量），h滿足2+6=（2,-4）,35-6=（-10,16）,則小6等于（)

A.-13B.13C.-29D.29

設(shè)般為正整數(shù)，（2x2+L）的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則”的最小值為（）

5.

A.2B.3C.4D.5

TT

6.在AABC中，若6=3,c=y/6?B=則。等于（)

C+3003V2-V6

A.--------D.C.372D.26

2----------------2

7/七>2”是“2"-4一1>0”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

8.已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)（2,3）,則其圓心到直線3x—4歹-4=0距離的最大值為（）

A.1B.2C.3D.4

9.要制作一個(gè)容積為216兀（cn?）的圓柱形封閉容器，要使所用材料最省，則圓柱的高和底面

半徑應(yīng)分別為（）

A.6cm，6cmB.6啦cm，3蚯cm

C-6A/4CITI，3街cmD-8cm,3V3cm

10.設(shè)點(diǎn)P(xj)是曲線+上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到原點(diǎn)距離的最大值、最小

值分別為()

A.最大值JD，最小值逅B.最大值J5,最小值1

C.最大值2,最小值巫

D.最大值2,最小值1

3

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

2

11.復(fù)數(shù)Z=—;的共匏復(fù)數(shù)亍=____.

1-1

12.已知雙曲線。:=-4=1(。>0/>0)的一條漸近線的傾斜角為60。，則C的離心率為

a~b~

Inx,0<x<a

13.已知函數(shù)/(x)=｛a，若函數(shù)/(x)存在最大值，則a的取值范圍為_____.

—,x>a

.x

14.齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優(yōu)于

齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)雙方各出上、中、下等

馬各一匹，分3組各進(jìn)行一場比賽，勝2場及以上者獲勝.若雙方均不知對方馬的出場順序，則

田忌獲勝的概率為;若己知田忌的上等馬與齊王的中等馬分在一組，則田忌獲勝的概率為

15.已知數(shù)列｛?！埃那啊?xiàng)和為S.(S,。0),7；為數(shù)列｛S,｝的前〃項(xiàng)積，滿足

S”+T“=S」T”(〃eN*),給出下列四個(gè)結(jié)論：

①弓=2；②—1)；③｛9｝為等差數(shù)列；④S，="L

其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.己知函數(shù)/(》)=5由2次+2(：0525；(口>0)的最小正周期為兀.

(1)求0的值；

(2)把歹=/(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再把得到的圖象

向右平移;個(gè)單位，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

17.如圖，在四棱雉尸—Z8CQ中，底面Z8C。為矩形，平面P4D_L平面/BCD,AB=2,

AD=AP=4,M,N分別是BC,P。的中點(diǎn).

(1)求證:MN〃平面PZ6；

(2)再從條件①，條件②兩個(gè)中選擇一個(gè)作為已知，求平面ZA/N與平面Z8CD夾角的余弦

值.

條件①：ADVMN；

條件②：AM=AN.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

18.為了解48兩個(gè)購物平臺買家的滿意度，某研究性學(xué)習(xí)小組采用隨機(jī)抽樣的方法，獲得“

平臺問卷100份，8平臺問卷80份.問卷中，對平臺的滿意度等級為：好評、中評、差評，對應(yīng)

分?jǐn)?shù)分別為：5分、3分、1分，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：

好評中評差評

力平臺75205

8平臺6488

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且買家對46平臺的滿意度評價(jià)相互獨(dú)立.

(1)估計(jì)買家對A平臺的評價(jià)不是差評的概率；

(2)從所有在4平臺購物的買家中隨機(jī)抽取2人，從所有在B平臺購物的買家中隨機(jī)抽取2人,

估計(jì)這4人中恰有2人給出好評的概率；

(3)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，你若購物，選擇48哪個(gè)平臺？說明理由.

19.已知橢圓C：，+=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,且|AB|=4,離心率為^■.

(1)求橢圓。的方程;

(2)設(shè)尸是橢圓C上不同于48的一點(diǎn)，直線尸N，P8與直線x=4分別交于點(diǎn)M,N.試判

斷以為直徑的圓是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由.

2x-a

20.已知函數(shù)/(%)=

(x+以

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(OJ(O))處的切線方程；

(2)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)當(dāng)函數(shù)/(x)存在極小值時(shí)，求證：函數(shù)/(x)的極小值一定小于0.

21.約數(shù)，又稱因數(shù).它的定義如下：若整數(shù)。除以整數(shù)加(〃?。0)除得的商正好是整數(shù)而沒有

余數(shù)，我們就稱。為機(jī)的倍數(shù)，稱加為。的約數(shù).設(shè)正整數(shù)。共有4個(gè)正約數(shù)，即為

a],a2,---,alc_],ak(a,<a2c…<%).

(1)當(dāng)％=4時(shí)，若正整數(shù)。的左個(gè)正約數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，請寫出一個(gè)。的值;

(2)當(dāng)〃24時(shí)，若。2一卬，。3一4,…，做一4T構(gòu)成等比數(shù)列，求正整數(shù)。；

(3)記Z=4出+4%+…+%-1%，求證：A<a2.

數(shù)學(xué)試卷參考答案

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求

的一項(xiàng).

1.B2.A3.D4.C5.B6.A7.A8.C9.C10.B

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.l-i##-i+l

12.2

13.[e,+oo)

14.①.-y##

6-

15.①③④

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.(1)1.(2)2kit----,2.kn4----,(keZ).

_1212j'7

17.(1)證明見解析(2)立