專題08幾何圖形的平移變換

知識點(diǎn)：（1）經(jīng)過平移，對應(yīng)線段平行（或共線）且相等，對應(yīng)角相等，對應(yīng)點(diǎn)所連接的

線段平行且相等

（2）平移變換不改變圖形的形狀、大小和方向（平移前后的兩個圖形是全等形）

（3）圖形平移前后的形狀和大小沒有變化，只是位置發(fā)生變化

（4）圖形平移后，對應(yīng)點(diǎn)連成的線段平行（或在同一直線上）且相等

（5）多次連續(xù)平移相當(dāng)于一次平移

（6）偶數(shù)次對稱后的圖形等于平移后的圖形

（7）平移是由方向和距離決定的

題型一、函數(shù)圖像的平移

例.在平面直角坐標(biāo)系中，若將拋物線g=2/-4立+3先向右平移3個單位長度，再向上

平移2個單位長度，則經(jīng)過這兩次平移后所得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.（-2,3）B.（-1,4）C.（1,4）D.（4,3）

【答案】D

【詳解】根據(jù)坐標(biāo)的平移變化的規(guī)律，左右平移只改變點(diǎn)的橫坐標(biāo)，左減右加，上下平移只

改變點(diǎn)的縱坐標(biāo)，下減上加，因此，將拋物線沙=2①2_4,十3先向右平移3個單位長度，

再向上平移2個單位長度，其頂點(diǎn)也同樣變換，???g=2/—4t+3=2（；r—l）2+l的

頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1,I）,

.??點(diǎn)（1,I）先向右平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度，得點(diǎn)（4,3）,即經(jīng)過

這兩次平移后所得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（4,3）,故選D.

【變式訓(xùn)練1】在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線？/=—一/—6向上（下）或向左（右）

平移了m個單位，使平移后的拋物線恰好經(jīng)過原點(diǎn)，則|皿|的最小值為（）

【答案】B

【解析】計算出函數(shù)與x軸、y軸的交點(diǎn)，將圖象適當(dāng)運(yùn)動，即可判斷出拋物線移動的距離

及方向：

當(dāng)x=0時，y=-6,故函數(shù)與y軸交于C(0,—6),

當(dāng)y=0時，X2—x—6=0,解得x=—2或x=3,即A(—2,0).B(3,0),

由圖可知，函數(shù)圖象至少向右平移2個單位恰好過原點(diǎn)，故|m|的最小值為2,

故選B.

【變式訓(xùn)練2】如圖，一條拋物線與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)P在折線C-D—E上

移動，若點(diǎn)C、D、E的坐標(biāo)分別為(-1,4)、(3,4)、(3,1),點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的最小值

為1,則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的最大值為()

【解析】???拋物線的點(diǎn)P在折線C-D—E上移動，且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的最小值為1,

觀察可知，當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的最小時，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，

VC(-1,4),.?.設(shè)當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的最小時拋物線的解析式為0=a0+1)2+4,

B(1,0))，0=a(l+1)'+4,解得a=-1,

當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的最小時拋物線的解析式為y=-O+1)2+4,

???觀察可知，當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的最大時，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合，E(3,1),

當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的最大時拋物線的解析式為沙=-Q—3)2+1,

令0=0,即-(工一3)2+1=0,解得立=2或:r=4,

?.?點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，，此時點(diǎn)A橫坐標(biāo)為2,

...點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的最大值為2.

模型二、幾何圖形的平移

例1.如圖，已知△ABC的面積為16,fiC=8.現(xiàn)將AABC沿直線向右平移。個單位到

△DEF的位置.

(1)當(dāng)。=4時，求ZVIBC所掃過的面積；

(2)連結(jié)他、AD,設(shè)4?=5,當(dāng)AWE是以上為一腰的等腰三角形時，求“的值.

【答案】見解析

【詳解】（1）設(shè)AC與上交于點(diǎn)G,???他〃￡氏，￡為3c中點(diǎn)=G為AC中點(diǎn).

乂丁AD〃EC，；?SAAGD=S“GE川〃I過面積=SAASC+SACO=2S△即0=32.

（2）①當(dāng)AD=￡）E時，a=5.

②當(dāng)AE=r>E時，取應(yīng);中點(diǎn)M，則AW_L3c.,.,52陵=16,gx8CxAM=16.

，；x8xAM=16.，AW=4.在RtZWAffi中，BM=-JAB2-AM2=752-42=3-

此時，a=IBM=6,綜上可知，a=5或。=6.

例2.如圖所示，在AABC中，ZB=90°,M為AB上的一點(diǎn)，且AM=8C；N為BC上的

一點(diǎn)，且CN=BM.連接4V、CM交于點(diǎn)P,求證：ZAPM=45°.

【答案】見解析

【詳解】如圖所示，過點(diǎn)。作或〃加4且使CK=M4.連接AK,則4支”為平行四邊形,

所以NKCV=NB=90°,CK=AM=BC.

乂因為CN=BM,連接KN,則A/VCK/AM8C,故KN=CM=KA.

而ZMCB=ZNKC,因此ZNKC+ZMCK=ZMCB+2MCK=90°,

則MVLCM,KNX.KA,所以AARV為等腰直角三角形.

因為NK4P=45。，故NAPM=NK4P=45。.

【變式訓(xùn)練1】如圖，將AABC沿BC方向平移得到ADEF,若NB=90。，AB=6,BC=8,

【答案】10.5

【詳解】:△ABC沿BC方向平移得到AAEF,；.DE=AB=6,

VDH=1.5,/.HE=DE-DH=6-1.5=4.5,

ZB=90°,四邊形ABEH是梯形，Swas—S&DEF-SACKH-SAABC—SACEH-Sw?ABEH

???s陰影=J(48+HE)-BE=1x(6+4.5)X2=10.5.

【變式訓(xùn)練2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線9=-3/+3與①軸、沙軸分別交于A、

B兩點(diǎn)，以AB為邊在第一象限作正方形ABCD,點(diǎn)D在雙曲線g=&(卜/0)上，將正方

3

形沿工軸負(fù)方向平移a個單位長度后,點(diǎn)C恰好在該雙曲線上，請求出a的值?

【答案】2

【解析】如圖，作CE_Ly軸于點(diǎn)E,交雙曲線于點(diǎn)G,作DFJ_7軸丁點(diǎn)F.

在沙=-3立+3中，令立=0,解得沙=3,「.3(0,3),令沙=0,解得4=1,「.4(1,0),

則OB=3,OA=1,

；/BAD=90°,ZBAO+/DAF=90°,

又；NBAO+NOBA=90。，NFAD=NOBA,

在RtZ\OAB與RtZXFDA中，ZOBA=ZFAD,ZAOB=ZDFA,AB=AD,.,.△OAB^A

FDA(AAS)

同理可得△OABgZkFDA畛△BEC,AF=OB=EC=3,DF=OA=BE=1,.*.OF=OE=

4,

4

，D(4,1),將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中，解得k=4,即"=7，

4

由0E=4可以得到C的縱坐標(biāo)為4,將沙=4代入〃=一中，得/=1,即G(l,4),

x

；.CG=2,即將正方形沿立軸負(fù)方向平移2個單位長度后，點(diǎn)C恰好落在該雙曲線上.

【變式訓(xùn)練3］已知NAfiC=90。，。是直線AB上的點(diǎn)，AD=BC.

(1)如圖1,過點(diǎn)A作AFL4?，并截取=連接DC、DF、CF,判斷人8F

的形狀并證明：

(2)如圖2,E是直線8C上的一點(diǎn)，直線他、ZX?相交于點(diǎn)￡),ZAPD=45。,求證：

BD=CE.

圖1卻

【答案】見解析

【答案】（1）△€■￡＞尸是等腰直角三角形.

證明：VZABC=90°,AF1,AB-：.ZFAD=ZDBC.

VAD=BC,AF=BD，A.FAD=/\DBC.：.FD=DC.Z1=Z2.

VZl+Z3=90°.AZ2+Z3=90°.即NCD尸=90°.

/.△€?尸是等腰宜角三角形.

（2）過點(diǎn)A作AFLAfi，并截取AF=8O，連接￡）尸、CF.

VZABC=90°,AFA,AB,ZFAD=ADBC.

'：AD=BC,AF=BD，/^FAD=/\DBC.：.FD=DC,Z1=Z2.

：Zl+Z3=90°,；.Z2+Z3=90°.即ZCDF=90°.

：.ACDF是等腰直角三角形.NFCD=ZAPD=45°.FC//AE.

VZABC=90°,AF^AB,：.AF//CE.四邊形AFCE是平行四邊形.，AF=CE.

BD=CE.

【變式訓(xùn)練4】如圖1,已知菱形ABCD的邊長為26，點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B在坐

標(biāo)原點(diǎn).點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-G，3）,拋物線y=ax?+b（a/0）經(jīng)過AB、CD兩邊的中點(diǎn).

（I）求這條拋物線的函數(shù)解析式；

（2）將菱形ABCD以每秒1個單位長度的速度沿x軸正方向勻速平移（如圖2）,過點(diǎn)B

作BE_LCD于點(diǎn)E,交拋物線于點(diǎn)F,連接DF、AF.設(shè)菱形ABCD平移的時間為t秒（0

<t<3）

①是否存在這樣的t,使4ADF與4DEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理

由；

②連接FC,以點(diǎn)F為旋轉(zhuǎn)中心，將aFEC按順時針方向旋轉(zhuǎn)180。，得△FEC,當(dāng)△FE，C

落在x軸與拋物線在x軸上方的部分圍成的圖形中（包括邊界）時，求t的取值范圍.（寫

出答案即可）

【答案】（1）y=-x?+3；（2）①存在t=l,使4ADF與4DEF相似，②后-半

【解析】（1）由題意得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（-3,0）,CD的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0,3）.

分別代入丫=2*?+3得]（一3]a+b=0,解得，,

b=32=3

這條拋物線的函數(shù)解析式為y=-x?+3；

（2）①存在，如圖2所示，在RtZ\BCE中，ZBEC=90°,BE=3,BC=2石，

DCq1

?*.sinC==—產(chǎn)二—,；?NC=60°，/CBE=30°，>'?EC——BC=y/3,DE=>/3，

BC27322

又VADaBC,.,.ZADC+ZC=180°,AZADC=180°-60°=120°

要使4ADF與ADEF相似，則4ADF中必有一個角為直角，

(I)若/ADF=90。，ZEDF=120°-90°=30°,在RtZ\DEF中，DE=退，得EF=1,DF

又；E(t,3),F(t,-t2+3),.'.EF=3-(T+3)=t2,.*.t2=l,

Vt>0,；.t=l,此時處=￥=2,三=2=2,/.—,又?；NADF=NDEF,

DEV3EF1DEEF

.,.△ADF^ADEF,

(ID若/DFA=90。，可證得△DEFS/\FBA,則一=——，設(shè)EF=m,則FB=3-m,

FBBA

...I邑=jp產(chǎn)，即m2-3m+6=0,此方程無實數(shù)根，.?.此時l不存在，

3—m2V3

(III)由題意得,ZDAF<ZDAB=60°,/.ZDAF/9O0,此時t不存在，

綜上所述，存在t=l,使4ADF與4DEF相似，

@V6'-/3<t<—.

2

課后訓(xùn)練

1.如圖，在^ABC中，/AVB=90。，AB=8,D是AB的中點(diǎn)，現(xiàn)將ABCD沿BA方向平

移1個單位，得到△EFG,FG交AC于H,則GH的長等于.

【解析】I?在AABC中，ZACB=90°,AB=8,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),

1

??AD=BD=CD=—AB=4,

又???△EFG由aBCD沿BA方向平移1個單位得到的,

，GH〃CD,GD=1,/.△AGH^AADC,

GHAGGH4-1回歸

AO'即丁=解得GH=3.

2.如圖，把拋物線y=；x2平移得到拋物線m,拋物線m經(jīng)過點(diǎn)A(-6,0)和原點(diǎn)O(0,

0),它的頂點(diǎn)為P,它的對稱軸與拋物線y='x2交于點(diǎn)Q,則圖中陰影部分的面積為.

27

【解答】T

【解析】根據(jù)點(diǎn)O與點(diǎn)A的坐標(biāo)求出平移后的拋物線的對稱軸，然后求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，過

點(diǎn)P作PM±y軸于點(diǎn)M,根據(jù)拋物線的對稱性可知陰影部分的面積等于四邊形NPMO的面

積，然后求解即可:

過點(diǎn)P作PMJ_y軸于點(diǎn)M,設(shè)PQ交x軸于點(diǎn)N,

???拋物線平移后經(jīng)過原點(diǎn)O和點(diǎn)A(-6,0),...平移后的拋物線對稱軸為x=-3,

.?.平移后的二次函數(shù)解析式為：y=g(x+3)2+h,

1oo

將(-6,0)代入得出：0=-(-6+3)2+h,解得：h=--，，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(3,--),

222

根據(jù)拋物線的對稱性可知，陰影部分的面積等于矩形NPMO的面積,

927

/.S=3x

22

3.如圖，ZAPB=30°,圓心在邊PB上的。O半徑為1cm,0P=3cm,若。O沿BP方向移動,

當(dāng)。O與PA相切時，圓心O移動的距離為cm.

【解答】1或5

【解析】如圖，設(shè)。O移動到。Oi，002位置時與PA相切，

當(dāng)。0移動到。0|時，ZO|DP=90°,VZAPB=30°,0iD=l,.\POi=2,V0P=3,.\00i=l,

()

當(dāng)。O移動到。。2時，ZO2EP=90,VZAPB=30°,O2D=1,AZO2PE=30°,PO2=2,

：0P=3,，00|=5,綜上所述，當(dāng)。O與PA相切時，圓心0移動的距離為1cm或5cm.

4.如圖，將等邊4ABC沿BC方向平移得到△AiBCi.若BC=3,SAPBlC=＞則BBI

【解析】由等邊4ABC中BC=3可求得高為竽,面積為?3.竽=竽,

.S&PB、CB,c\

由平移的性質(zhì)，得△ABCsaPBiC,?

S&ABCBC)

BC=2,

，BBi=BC-BiC=l.

5.如圖，ZAPB=30°,圓心在邊PB上的。O半徑為1cm,OP=3cm,若。O沿BP方向移動,

當(dāng)。。與PA相切時，圓心O移動的距離為cm.

【解答】1或5

【解析】如圖，設(shè)。。移動到。Oi，位置時與PA相切,

當(dāng)。O移動到OOi時，ZOiDP=90°,VZAPB=30°,O|D=1,，POi=2,

；OP=3,.,.OOi=l,

當(dāng)。O移動到時，ZO2EP=90°,VZAPB=30°,O2D=1,AZO2PE=30°,PO2=2,

；OP=3,OOi=5,

綜上所述，當(dāng)③。與PA相切時，圓心0移動的距離為1cm或5cm.

6.如圖，將等邊AABC沿BC方向平移得到△AiBCi.若BC=3,，則BB〕

【解答】1

【解析】由等邊△ABC中BC=3可求得高為一--，面積為5?3?---=--z—，

由平移的性質(zhì)，得△ABCs^PBC,.?.聲6=(萼口2,即點(diǎn)=(￥):得

JI\ABC\/9"3\3/

B,C=2,

?,.BBi=BC-B|C=l.

7.在△ABC中，AB=AC,NA=30。，將線段8c繞點(diǎn)8逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段如，再

將線段BD平移到砂，使點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在AC上.

(1)如圖1,直接寫出和NC/話的度數(shù)；

(2)在圖1中，證明：AE=CF-,

(3)如圖2,連接CE,判斷AC即的形狀并加以證明.

【答案】（1）ZABD=\50,ZCFE=45°.

（2）證明：連結(jié)8、DF.

?.?線段BC繞點(diǎn)5逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段BD，：.BD=BC,NCBZ）=60。.

ABCD是等邊三角形.；.CD=BD.

,/線段BD平移到EF，,EF//BD.EF=BD.

；?西邊形石是平行四邊形，EF=CD.

'：AB=AC,ZA=30°,AZABC=ZACB=75°.

：.ZABD=ZABC-ACBD=\50=ZACD

：.ZDFE=ZABD=\5°,ZAEF=ZABD=\5°.：,ZAEF=ZACD=150.

,/NBE=ZA+ZA￡F=300+15°=45°,

ZCFD=NCFE-NDFE=45。—15。=30°.ZA=ZCFD=30°.

AAEF三△尸CD.:.AE=CF.

（3）解：△€?￡尸是等腰直角三角形.

證明：過點(diǎn)E作EGLCFfG,

?:ZCFE=45°,?,?ZfEG=45°.:.EG=FG.

,/ZA=30°,ZAGE=90°,/.EG=-AE.

2

VAE=CF,：.EG=-CF.：.FG=-CF.；.G為CF的中點(diǎn).，EG為C尸的垂直平分

22

線.

:.EF=EC.：.Z.CEF=2Z.FEG=90°..,.△口，/是等腰直角三角形.

8.如圖①,已知拋物線y=ax2+bx(a/))經(jīng)過A(3,0)、B(4,4)兩點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)將直線OB向下平移m個單位長度后，得到的直線與拋物線只有一個公共點(diǎn)D,求m

的值及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)如圖②，若點(diǎn)N在拋物線上，且/NBO=NA,BO,則在(2)的條件下，求出所有滿足

△PODs^NOB的點(diǎn)P的坐標(biāo)(點(diǎn)P、O,D分別與點(diǎn)N、0、.B對應(yīng)).

345\?45

【答案】(1)y=x2-3x；(2)D點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-2)；(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)是-8,-32/^(32,

8)

【解析】(1)；拋物線y=ax2+bx(a/0)經(jīng)過點(diǎn)A(3,0)、B(4,4).解得

拋物線的解析式是y=x