沖刺中考數(shù)學壓軸之滿分集訓

專題06常考應用綜合-最值、最優(yōu)方案問題(五大類)

【典例今折】

【類型一：方程(組)+不等式(組)】

【典例1】(2021?呼和浩特)為了促進學生加強體育鍛煉，某中學從去年開始，

每周除體育課外，又開展了“足球俱樂部1小時”活動.去年學校通過采購

平臺在某體育用品店購買A品牌足球共花費2880元，B品牌足球共花費2400

元，且購買A品牌足球數(shù)量是B品牌數(shù)量的1.5倍，每個足球的售價，A品

牌比3品牌便宜12元.今年由于參加俱樂部人數(shù)增加，需要從該店再購買A、

8兩種足球共50個，已知該店對每個足球的售價，今年進行了調(diào)整，A品牌

比去年提高了5%,8品牌比去年降低了10%,如果今年購買A、8兩種足球

的總費用不超過去年總費用的一半，那么學校最多可購買多少個B品牌足

球？

【解答】解：設去年A足球售價為x元/個，則B足球售價為(x+12)元/個.

由題意得：2880總2400,即典=120,

x2x+12xx+12

A96(x+12)=120%,

/?x—48.

經(jīng)檢驗，x=48是原分式方程的解且符合題意.

足球售價為48元/個，B足球售價為60元/個.

設今年購進B足球的個數(shù)為a個，則有：

(50-a)X48X(l+5%)+aX60X(1-10%)<(2880+2400)X-1-

.*.50,4X50-50.4a+54a<2640.

.?.3.6220,

?/100

個3

最多可購進33個B足球.

【變式1-1](2023?市南區(qū)一模)2020年臘月，某商家根據(jù)天氣預報預測羽絨

服將暢銷，就用26400元采購了一批羽絨服，后來羽絨服供不應求.商家又

用57600元購進了一批同樣的羽絨服，第二次所購數(shù)量是第一次所購數(shù)量的2

倍，第二次購進的單價比第一次購進的單價貴了10元.

(1)該商家第一次購進的羽絨服有多少件？

(2)若兩次購進的羽絨服銷售時標價都相同，最后剩下50件按6折優(yōu)惠賣

出，若兩批羽絨服全部售完后利潤率不低于25%(不考慮其他因素)，則每

件羽絨服的標價至少為多少元？

【解答】解：(1)設該商家第一次購進的羽絨服有x件，則第二次購進的羽

絨服有2x件.

由題意得：26400=57600

x2x

解得x=240.

經(jīng)檢驗，x=240是原方程的解.

答：該商家第一次購進的羽絨服有240件；

(2)設每件羽絨服的標價為a元.

由題意得：0.6?X50+(240+240X2-50)a-(26400+57600)2(26400+57

600)X25%,

解得a2150.

答：每件羽絨服的標價至少為150元.

【變式1-2](2022?荷澤)某健身器材店計劃購買一批籃球和排球，已知每個籃

球進價是每個排球進價的1.5倍，若用3600元購進籃球的數(shù)量比用3200元購

進排球的數(shù)量少10個.

(1)籃球、排球的進價分別為每個多少元？

(2)該健身器材店決定用不多于28000元購進籃球和排球共300個進行銷售,

最多可以購買多少個籃球？

【解答】解：(D設排球的進價為每個x元，則籃球的進價為每個1.5x元,

依題意得：3200__3600_=10,

x1.5x

解得:x=80,

經(jīng)檢驗，x=80是方程的解，

1.5%=1.5X80=120.

答：籃球的進價為每個120元，排球的進價為每個80元；

(2)設購買加個籃球，則購買(300-m)個排球，

依題意得：120M+80（300-/7?）<28000,

解得：〃W100,

答：最多可以購買100個籃球.

【變式1-3]（2021?煙臺）直播購物逐漸走進了人們的生活.某電商在抖音

上對一款成本價為40元的小商品進行直播銷售，如果按每件60元銷售，每

天可賣出20件.通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件小商品售價每降低5元，日銷售量

增加10件.

（1）若日利潤保持不變，商家想盡快銷售完該款商品，每件售價應定為多少

元？

（2）小明的線下實體商店也銷售同款小商品，標價為每件62.5元.為提高市

場競爭力，促進線下銷售，小明決定對該商品實行打折銷售，使其銷售價格

不超過（1）中的售價，則該商品至少需打幾折銷售？

【解答】解：（1）設售價應定為九元，則每件的利潤為（x-40）元，日銷售

量為20+1°（60-x）=（140-2x）件，

5

依題意，得：（x-40）（140-2x）=（60-40）X20,

整理，得：x2-110x+3000=0,

解得：xi=50,X2=60（舍去）.

答：售價應定為50元；

（2）該商品需要打。折銷售，

由題意，得，62.5義—_<50,

10

解得：aW8,

答：該商品至少需打8折銷售.

【類型二：方程（組）+不等式（組）-----次函數(shù)模型】

【典例2】（2022?濟南）為增加校園綠化面積，某校計劃購買甲、乙兩種樹苗.已

知購買20棵甲種樹苗和16棵乙種樹苗共花費1280元，購買1棵甲種樹苗比

1棵乙種樹苗多花費10元.

（1）求甲、乙兩種樹苗每棵的價格分別是多少元？

（2）若購買甲、乙兩種樹苗共100棵，且購買乙種樹苗的數(shù)量不超過甲種樹

苗的3倍.則購買甲、乙兩種樹苗各多少棵時花費最少？請說明理由.

【解答】解：（1）設甲種樹苗每棵的價格是x元，乙種樹苗每棵的價格是>?

元，

根據(jù)題意得：（20x+16y=1280,

Ix-y=10

解得卜=40,

ly=30

答：甲種樹苗每棵的價格是40元，乙種樹苗每棵的價格是30元；

（2）購買甲種樹苗25棵，乙種樹苗75棵，花費最少，理由如下：

設購買兩種樹苗共花費w元，購買甲種樹苗m棵，則購買乙種樹苗（100-m）

棵，

?.?購買乙種樹苗的數(shù)量不超過甲種樹苗的3倍，

100-

解得〃?225,

根據(jù)題意：w=40加+30（100-zn）=10/?+3000,

V10>0,

，卬隨m的增大而增大，

...■=25時,w取最小值，最小值為10X25+3000=3250（元），

此時100-7/1=75,

答：購買甲種樹苗25棵，乙種樹苗75棵，花費最少.

【變式2-1］（2022?桐梓縣模擬）某社會團體準備購進甲、乙兩種防護服捐給一

線抗疫人員，經(jīng)了解，購進5件甲種防護服和4件乙種防護服需要2萬元，

購進10件甲種防護服和3件乙種防護服需要3萬元.

（1）甲種防護服和乙種防護服每件各多少元？

（2）實際購買時，發(fā)現(xiàn)廠家有兩種優(yōu)惠方案，方案一：購買甲種防護服超過

20件時，超過的部分按原價的8折付款，乙種防護服沒有優(yōu)惠；方案二：兩

種防護服都按原價的9折付款，該社會團體決定購買x（x>20）件甲種防護

服和30件乙種防護服.

①求兩種方案的費用y與件數(shù)x的函數(shù)解析式；

②請你幫該社會團體決定選擇哪種方案更合算.

【解答】解：（1）設甲種防護服每件x元，乙種防護服每件y元，

根據(jù)題意得：(5x+4y=20000,解得卜=2400,

I10x+3y=30000ly=2000

答：甲種防護服每件2400元，乙種防護服每件2000元；

(2)①方案一:y1=2400X20+2400X0.8X(%-20)+2000X30=1920x+69600；

方案二：*=(2400.r+2000X30)X0.9=2160^+54000.

②當yi="時，1920.r+69600=2160x+54000,

解得x=65；

當yi>”時，即1920%+69600>2160x+54000,

解得:x<65；

當yiV"時，即1920x+69600V2160x+54000,

解得x>65.

二當購買甲種防護服65件時，兩種方案一樣；

當購買甲種防護服的件數(shù)超過20件而少于65件時，選擇方案二更合算；

當購買甲種防護服多于65件時，選擇方案一更合算.

【變式2-2](2022?黔西南州)某鄉(xiāng)鎮(zhèn)新打造的“田園風光”景區(qū)今年計劃改造

一片綠化地，種植A、3兩種花卉，已知3盆A種花卉和4盆3種花卉的種

植費用為330元，4盆A種花卉和3盆B種花卉的種植費用為300元.

(1)每盆A種花卉和每盆B種花卉的種植費用各是多少元？

(2)若該景區(qū)今年計劃種植A、8兩種花卉共400盆，相關資料表明：A、B

兩種花卉的成活率分別為70%和90%,景區(qū)明年要將枯死的花卉補上相同的

新花卉，但這兩種花卉在明年共補的盆數(shù)不多于80盆，應如何安排這兩種花

卉的種植數(shù)量，才能使今年該項的種植費用最低？并求出最低費用.

【解答】解：(1)設每盆A種花卉種植費用為龍元，每盆8種花卉種植費用

為y元，根據(jù)題意，

得：px+4y=330,

|4x+3y=300

解得：卜=30.

ly=60

答：每盆A種花卉種植費用為30元，每盆3種花卉種植費用為60元；

(2)設種植A種花卉的數(shù)量為加盆，則種植8種花卉的數(shù)量為(400-m)

盆，種植兩種花卉的總費用為卬元，

根據(jù)題意，得：（1-70%）m+（1-90%）（400-m）^80,

解得：〃W200,

卬=30m+60（400-m）=-30m+24000,

-30<0,

二w隨m的增大而減小，

當〃?=200時，卬的最小值=-30X200+24000=18000,

答：種植A、8兩種花卉各200盆，能使今年該項的種植費用最低，最低費用

為18000元.

【變式2-3］（2022?天津模擬）抗疫期間，社會各界眾志成城，某乳品公司向疫

區(qū)捐獻牛奶，若由鐵路運輸每千克需運費0.58元；若由公路運輸每千克需運

費0.28元，并且還需其他費用600元.

（1）若該公司運輸?shù)谝慌Ｄ坦灿?000千克，分別由鐵路和公路運輸，費

用共計4340元，請問鐵路和公路各運輸了多少千克牛奶？

（2）設該公司運輸?shù)诙Ｄ蘹（千克），選擇鐵路運輸時，所需費用為y

（元），選擇公路運輸時，所需費用”（元），請分別寫出yi（元），"（元）

與x（千克）之間的關系式；

（3）運輸?shù)诙Ｄ虝r公司決定只選擇一種運輸方式，請問隨著x（千克）

的變化，怎樣選擇運輸方式所需費用較少？

【解答】解：（1）設鐵路和公路分別運輸牛奶小y千克，

由題意可得：產(chǎn).8°0°,

10.58x+0.28y+600=434C

解得：卜=5。00,

|y=3000

答：鐵路和公路分別運輸牛奶5000千克和3000千克；

（2）由題意可得:yi=0.58x,j,2=0.28x+600；

（3）當時，0.58x=0.28x+600,

解得x=2000,

當運輸2000千克時，兩種方式均可，

當yiV"時，0.58x<0.28x+600,

解得XV2000,

，當運輸少于2000千克時，鐵路劃算,

當V>>2時，0.58x=0.28x+600,

解得x>2000,

二當運輸超過2000千克時，公路劃算.

【變式2-4］（2021?銅仁市）某快遞公司為了提高工作效率，計劃購買A、B兩

種型號的機器人來搬運貨物，已知每臺A型機器人比每臺B型機器人每天多

搬運20噸，并且3臺A型機器人和2臺B型機器人每天共搬運貨物460噸.

（1）求每臺A型機器人和每臺B型機器人每天分別搬運貨物多少噸？

（2）每臺A型機器人售價3萬元，每臺8型機器人售價2萬元，該公司計劃

采購A、8兩種型號的機器人共20臺，必須滿足每天搬運的貨物不低于1800

噸，請根據(jù)以上要求，求出A、8兩種機器人分別采購多少臺時，所需費用最

低？最低費用是多少？

【解答】（1）解：設每臺A型機器人每天搬運貨物大噸，每臺8型機器人每

天搬運貨物y噸，

Jx-y=20

l3x+2y=460，

解得卜=100,

|y=80

,每臺A型機器人每天搬運貨物100噸，每臺6型機器人每天搬運貨物80噸；

（2）設：A種機器人采購〃？臺，8種機器人采購（20-相）臺，總費用為卬

（萬元），

100m+80（20-m）21800.

解得：〃?210.

w—3m+2（20-m）

="?+40.

Vl>0,

...w隨著“的減少而減少.

.,.當〃?=10時，w有最小值，掖小=10+40=50.

.二A、B兩種機器人分別采購10臺，10臺時，所需費用最低，最低費用是50

萬元.

【變式2-5］（2021?恩施州）“互聯(lián)網(wǎng)+”讓我國經(jīng)濟更具活力，直播助銷就是

運用“互聯(lián)網(wǎng)+”的生機勃勃的銷售方式，讓大山深處的農(nóng)產(chǎn)品遠銷全國各

地.甲為當?shù)靥厣ㄉc茶葉兩種產(chǎn)品助銷.已知每千克花生的售價比每千

克茶葉的售價低40元，銷售50千克花生與銷售10千克茶葉的總售價相同.

（1）求每千克花生、茶葉的售價；

（2）已知花生的成本為6元/千克，茶葉的成本為36元/千克，甲計劃兩種產(chǎn)

品共助銷60千克，總成本不高于1260元，且花生的數(shù)量不高于茶葉數(shù)量的2

倍.則花生、茶葉各銷售多少千克可獲得最大利潤？最大利潤是多少？

【解答】解：（1）設每千克花生x元，每千克茶葉（40+x）元，

根據(jù)題意得：50x=10（40+x）,

解得：x=10,

40+x=40+10=50（元），

答：每千克花生10元，每千克茶葉50元；

（2）設花生銷售加千克，茶葉銷售（60-加）千克獲利最大，利潤卬元，

由題意得:r6m+36（60-m）<1260f

Int<2（60-m）

解得:30WmW40,

w=（10-6）m+（50-36）（60-m）=4zn+840-14m=-lO/w+840,

V-10<0,

二卬隨"？的增大而減小，

.?.當加=30時，利潤最大，

此時花生銷售30千克，茶葉銷售60-30=30千克，

卬球人=-10X30+840=540（元），

，當花生銷售30千克，茶葉銷售30千克時利潤最大，最大利潤為540元.

【變式2-6】“桂花糕”是中國特色傳統(tǒng)小吃，用糯米粉、糖和桂花蜜為原料制

作而成，歷史悠久，種類多樣.小李在某糕點生產(chǎn)廠家選中A,8兩款不同包

裝的“桂花糕”，決定從該廠家進貨并銷售.兩款“桂花糕”的進貨價和銷

售價如表：

類別A款8款

價格

進貨價（元/盒）4030

銷售價（元/盒）5645

（1）若小李用2000元購進了A,8兩款“桂花糕”，其中A款“桂花糕”購

進了35盒，求B款“桂花糕”購進多少盒？

（2）若小李計劃A款“桂花糕”進貨數(shù)量不超過8款“桂花糕”進貨數(shù)量的

一半，且計劃購進兩款“桂花糕”共60盒，小李應該如何設計進貨方案才能

獲得最大利潤，最大利潤是多少？

【解答】解：（1）設8款“桂花糕”購進x盒，

根據(jù)題意得：35X40+30x=2000,

解得x=20,

答：B款“桂花糕”購進20盒；

（2）設購進A款“桂花糕”〃?盒，銷售利潤為W元，則購進3款“桂花糕”

（60-m）盒，

??.A款“桂花糕”進貨數(shù)量不超過8款“桂花糕”進貨數(shù)量的一半，

（60-m）,

2

解得wW20,

根據(jù)題意得W=（56-40）m+（45-30）（60-m）=加+900,

Vl>0,

...W隨機的增大而增大，

...〃?=20時，W取最大值，最大值為20+900=920（元），

此時60-加=60-20=40,

答：購進A款“桂花糕”20盒，購進B款“桂花糕”40盒，獲得最大利潤,

最大利潤是920元

【類型三：方程（組）+不等式（組）一一二次函數(shù)模型】

【典例3】（2021?遂寧）某服裝店以每件30元的價格購進一批T恤，如果以每

件40元出售，那么一個月內(nèi)能售出300件，根據(jù)以往銷售經(jīng)驗，銷售單價每

提高1元，銷售量就會減少10件，設T恤的銷售單價提高x元.

（1）服裝店希望一個月內(nèi)銷售該種T恤能獲得利潤3360元，并且盡可能減

少庫存，問T恤的銷售單價應提高多少元？

（2）當銷售單價定為多少元時，該服裝店一個月內(nèi)銷售這種T恤獲得的利潤

最大？最大利潤是多少元？

【解答】解：(1)設T恤的銷售單價提高x元，

由題意列方程得：(x+40-30)(300-10x)=3360,

解得：Xi=2或82=18,

???要盡可能減少庫存，

；.X2=18不合題意,應舍去.

...T恤的銷售單價應提高2元，

答：T恤的銷售單價應提高2元；

(2)設利潤為W元，由題意可得：

M=(x+40-30)(300-10x),

=-10f+200x+3000,

=-10(x-10)2+4000,

,當x=10時，M最大值=4000元，

,銷售單價：40+10=50(元)，

答：當服裝店將銷售單價定為50元時，得到最大利潤是4000元.

【變式3-1](2023?蜀山區(qū)校級一模)隨著我國經(jīng)濟、科技的進一步發(fā)展，我國

的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的機械化程度越來越高，過去的包產(chǎn)到戶就不太適合機械化的種

植，現(xiàn)在很多地區(qū)就出現(xiàn)了一種新的生產(chǎn)模式，很多農(nóng)民把自己的承包地轉

租給種糧大戶或者新型農(nóng)村合作社，出現(xiàn)了大農(nóng)田，這些農(nóng)民則成為合作社

里的工人，這樣更有利于機械化種植.某地某種糧大戶，去年種植優(yōu)質(zhì)水稻

200畝，平均每畝收益480元.計劃今年多承包一些土地，已知每增加一畝,

每畝平均收益比去年每畝平均收益減少2元.

(1)該大戶今年應承租多少畝土地，才能使今年總收益達到96600元？

(2)該大戶今年應承租多少畝土地，可以使今年總收益最大，最大收益是多

少？

【解答】解：(1)設該大戶今年應承租x畝土地，才能使今年總收益達到96600

元，

由題意得x[480-2(x-200)]=96600,

解得x2-440A+48300=0,

解得x=230或x=210,

.??該大戶今年應承租210畝或230畝土地，才能使今年總收益達到96600元；

（2）設該大戶今年應承租加畝土地，收益為W元，

由題意得W=m[480-2（w-200）]=-2m2+880/n=-2Cm-220）2+96800,

Y-2<0,

.?.當m=220時,W最大，最大為96800,

.??大戶今年應承租220畝土地，可以使今年總收益最大，最大收益是96800

元.

【變式3-2】某文具店最近有A,B兩款紀念冊比較暢銷.該店購進A款紀念冊

5本和B款紀念冊4本共需156元，購進A款紀念冊3本和B款紀念冊5本

共需130元.在銷售中發(fā)現(xiàn)：A款紀念冊售價為32元/本時，每天的銷售量為

40本，每降低1元可多售出2本；B款紀念冊售價為22元/本時，每天的銷

售量為80本，B款紀念冊每天的銷售量與售價之間滿足一次函數(shù)關系，其部

分對應數(shù)據(jù)如下表所示：

售價（元/本）.......22232425.......

每天銷售量.......80787674.......

（本）

（1）求A,B兩款紀念冊每本的進價分別為多少元；

（2）該店準備降低每本A款紀念冊的利潤，同時提高每本8款紀念冊的利潤，

且這兩款紀念冊每天銷售總數(shù)不變，設A款紀念冊每本降價加元；

①直接寫出8款紀念冊每天的銷售量（用含〃?的代數(shù)式表示）；

②當A款紀念冊售價為多少元時，該店每天所獲利潤最大，最大利潤是多少？

【解答】解：（1）設A款紀念冊每本的進價為。元，B款紀念冊每本的進價

為b元，

根據(jù)題意得：[5a+4b=156,

I3a+5b=130

解得卜=20,

lb=14

答：A款紀念冊每本的進價為20元，8款紀念冊每本的進價為14元；

（2）①根據(jù)題意，A款紀念冊每本降價加元，可多售出2〃?本A款紀念冊，

?.?兩款紀念冊每天銷售總數(shù)不變，

...8款紀念冊每天的銷售量為（80-2〃?）本；

②設B款紀念冊每天的銷售量與售價之間滿足的一次函數(shù)關系是y=kx+b',

根據(jù)表格可得：f°=22k+b',

l78=23k+b,

解得心=-2,

lb'=124

.?.y=-2x+124,

當y=80-2加時，x=22+m,

即B款紀念冊每天的銷售量為（80-2〃?）本時，每本售價是（22+加）元，

設該店每天所獲利潤是w元，

由已知可得vv=（32-m-20）（40+2m）+（22+m-14）（80-2m）=-

4加+48〃z+1120=-4（w-6）2+1264,

?；-4<0,

；.〃?=6時，w取最大值，最大值為1264元，

此時A款紀念冊售價為32-加=32-6=26（元），

答：當A款紀念冊售價為26元時，該店每天所獲利潤最大，最大利潤是1264

元.

【變式3-3]（2022秋?中原區(qū)校級期中）黨的“二十大”期間，某網(wǎng)店直接從

工廠購進A、B兩款紀念“二十大”的鑰匙扣，進貨價和銷售價如下表：（注：

利潤=銷售價-進貨價）

類別A款鑰匙扣8款鑰匙扣

價格

進貨價（元/3025

件）

銷售價（元/4537

件）

（1）網(wǎng)店第一次用8500元購進A、B兩款鑰匙扣共300件，求兩款鑰匙扣分

別購進的件數(shù)；

（2）第一次購進的兩款鑰匙扣售完后，該網(wǎng)店計劃再次購進A、8兩款鑰匙

扣共800件（進貨價和銷售價都不變），且進貨總價不高于22000元.應如

何設計進貨方案，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是多少？

(3)“二十大”臨近結束時，8款鑰匙扣還有大量剩余，網(wǎng)店打算把8款鑰

匙扣調(diào)價銷售.如果按照原價銷售，平均每天可售4件.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降

價1元，平均每天可多售2件，為了盡快減少庫存，將銷售價定為每件多少

元時，才能使B款鑰匙扣平均每天銷售利潤為90元？

【解答】解：(1)設購進A款鑰匙扣x件，8款鑰匙扣)，件，

根據(jù)題意得：卜刁=30°，

l30x+25y=8500

解得：卜=200.

(y=100

答：購進A款鑰匙扣200件，8款鑰匙扣100件.

(2)設購進機件A款鑰匙扣，則購進(800-m)件B款鑰匙扣，

根據(jù)題意得：307n+25(800-m)<22000,

解得：〃?W400.

設再次購進的A、8兩款鑰匙扣全部售出后獲得的總利潤為vv元，則卬=(45

-30)m+(37-25)(800-zn)=3m+9600.

V3>0,

隨機的增大而增大，

.?.當加=400時,w取得最大值,最大值=3X400+9600=10800,此時800-

"7=800-400=400.

答：當購進400件A款鑰匙扣，400件B款鑰匙扣時，才能獲得最大銷售利

潤，最大銷售利潤是10800元.

(3)設8款鑰匙扣的售價定為。元，則每件的銷售利潤為(a-25)元，平

均每天可售出4+2(37-a)=(78-2a)件，

根據(jù)題意得：(a-25)(78-2a)=90,

整理得:a2-64a+1020=0,

解得：ai=30,02=34.

又???要盡快減少庫存，

."=30.

答：8款鑰匙扣的售價應定為30元.

【變式3-4](2020?鄂州)一大型商場經(jīng)營某種品牌商品，該商品的進價為每件

3元，根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每周的銷售量y（件）與售價x（元/件）（x

為正整數(shù)）之間滿足一次函數(shù)關系，下表記錄的是某三周的有關數(shù)據(jù)：

x（元/件）456

y（件）1000095009000

（1）求y與x的函數(shù)關系式（不求自變量的取值范圍）；

（2）在銷售過程中要求銷售單價不低于成本價，且不高于15元/件.若某一

周該商品的銷售量不少于6000件，求這一周該商場銷售這種商品獲得的最大

利潤和售價分別為多少元？

（3）抗疫期間，該商場這種商品售價不大于15元/件時，每銷售一件商品便

向某慈善機構捐贈〃z元（1W〃ZW6）,捐贈后發(fā)現(xiàn)，該商場每周銷售這種商品

的利潤仍隨售價的增大而增大.請直接寫出m的取值范圍.

【解答】解：（1）設y與x的函數(shù)關系式為：>=履+。（女#0）,

把x=4,y=10000和x=5,y=9500代入得，

<f4k+b=100001

15k+b=9500

解得，［k=-500,

lb=12000

-500x+12000；

（2）根據(jù)“在銷售過程中耍求銷售單價不低于成本價，且不高于15元/件.若

某一周該商品的銷售量不少于6000件，”得，

'x>3

,x415?

-500x+12000>600C

解得，3WxW12,

設利潤為卬元，根據(jù)題意得，

w=G-3）y=（x-3）（-500A-+12000）=-500A-+13500^-36000=-500

（x-13.5）2+55125,

；-500<0,

...當“V13.5時,卬隨x的增大而增大，

?；3WxW12,且x為正整數(shù)

.?.當x=12時，w取最大值為:-500X（12-13.5）2+55125=54000,

答：這一周該商場銷售這種商品獲得的最大利潤為54000元，售價為12元;

(3)根據(jù)題意得,卬=(x-3-〃力(-500X+12000)=-500^+(13500+500m)

x-36000-12000/??,

.,?對稱軸為尤=-135Q0+500m=13.5+0.5/??,

-1000

,:-500<0,

...當xV13.5+O.5m時，w隨x的增大而增大，

???該商場這種商品售價不大于15元/件時，捐贈后發(fā)現(xiàn)，該商場每周銷售這種

商品的利潤仍隨售價的增大而增大.

又為整數(shù)，

...對稱軸在x=14.5的右側時，當xW15(尤為整數(shù))時，卬都隨x的增大而增

大，

.1.14.5<13.5+0.5m,解得加>2,

*.*1WmW6,

-W6

【類型四：確定取值范圍】

【典例4](2022?新昌縣二模)如圖，是一種單肩包，其背帶由雙層部分、單

層部分和調(diào)節(jié)扣構成.小文購買時，售貨員演示通過調(diào)節(jié)扣加長或縮短單層

部分的長度，可以使背帶的長度(單層部分與雙層部分長度的和，其中調(diào)節(jié)

扣所占長度忽略不計)加長或縮短，設雙層部分的長度為x(c〃力，單層部

分的長度為y(cm).經(jīng)測量，得到表中數(shù)據(jù).

雙層部分長度281420

x(cm)

單層部分長度148136124112

y{cm)

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)規(guī)伸，求出y與x的函數(shù)關系式.(不必寫出自變量取值

范圍)

(2)設背帶的長度為L(cm),即L=x+y.

①按小文的身高和習慣，L=130(cm)時為最佳背帶長度.請計算此時雙層

部分的長度.

②求L的取值范圍.

雙層部分

調(diào)節(jié)扣

【解答】解：(1)由表格數(shù)據(jù)規(guī)律可知y與x的函數(shù)關系為一次函數(shù)，設y

與x的函數(shù)關系式為(AWO),

由題知，148=2k+b,

I136=8k+b

解得產(chǎn)-2,

lb=152

與尤的函數(shù)關系式為y=-2r+152；

(2)①根據(jù)題意知卜3=130,

ly=-2x+152

解得(x=22，

]y=108

雙層部分的長度為22CT??；

②由題知，當x=O時，y=152,

當y=O時，x=76,

...76WLW152.

【變式4-1】(2021?衡陽)如圖是一種單肩包，其背帶由雙層部分、單層部分和

調(diào)節(jié)扣構成.小文購買時，售貨員演示通過調(diào)節(jié)扣加長或縮短單層部分的長

度，可以使背帶的長度(單層部分與雙層部分長度的和，其中調(diào)節(jié)扣所占長

度忽略不計)加長或縮短，設雙層部分的長度為xcm,單層部分的長度為

ycm.經(jīng)測量，得到表中數(shù)據(jù).

雙層部分長度尤(cm)281420

單層部分長度y(cm)148136124112

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)規(guī)律，求出y與x的函數(shù)關系式；

(2)按小文的身高和習慣，背帶的長度調(diào)為130cm時為最佳背帶長.請計算

此時雙層部分的長度;

（3）設背帶長度為Lem,求L的取值范圍.

【解答】解：（1）由表格數(shù)據(jù)規(guī)律可知y與x的函數(shù)關系為一次函數(shù)，設y

與x的函數(shù)關系式為（AWO）,

由題知,148=2k+b,

解得（kT,

lb=152

與x的函數(shù)關系式為>'=-2x+152；

（2）根據(jù)題意知卜切口回，

|y=-2x+152

解得卜=22,

ly=108

雙層部分的長度為22CT??；

（3）由題知，當尤=0時，y=152,

當y=0時，x=76,

.?.76WLW152.

【變式4-2］（2021?十堰）某商貿(mào)公司購進某種商品的成本為20元/依，經(jīng)過市

場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種商品在未來40天的銷售單價y（元/依）與時間九（天）之

間的函數(shù)關系式為：y=（0-25x+3°g<x<2：y整數(shù)），且日銷量加（必）

135（20<x<40且x為整數(shù)）

與時間x（天）之間的變化規(guī)律符合一次函數(shù)關系，如下表：

時間X（天）13610???

日銷量m142138132124???

（依）

（1）填空：〃?與x的函數(shù)關系為m=-2x+144（1WxW40且x為整數(shù)）

（2）哪一天的銷售利潤最大？最大日銷售利潤是多少？

(3)在實際銷售的前20天中，公司決定每銷售1依商品就捐贈〃元利潤(〃

<4)給當?shù)馗＠?，后發(fā)現(xiàn)：在前20天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤

隨時間x的增大而增大，求〃的取值范圍.

【解答】解：(1)由題意可設日銷量m(kg)與時間x(天)之間的一次函

數(shù)關系式為：m=kx+b(&W0),

將(1,142)和(3,138)代入加=日+。，有：(142=k+b,

I138=3k+b

解得左=-2,8=144,

故m與x的函數(shù)關系為：m=-2x+144(1WXW40且x為整數(shù))；

(2)設日銷售利潤為W元，根據(jù)題意可得：

當lWx〈20且x為整數(shù)時，W=(0.25x+30-20)(-2x+144)=-

0.5X2+16X+1440=-0.5(x-16)2+1568,

此時當x=16時，取得最大日銷售利潤為1568元，

當20Vx<40且尤為整數(shù)時，W=(35-20)(-2尤+144)=-30x+2160,

此時當x=21時，取得最大日銷售利潤W=-30X21+2160=1530(元)，

綜上所述，第16天的銷售利潤最大，最大日銷售利潤為1568元；

(3)設每天扣除捐贈后的日銷售利潤為P,根據(jù)題意可得：

P=-0.5/+16x+1440-〃(-2x+144)=-0.5/+(16+2〃)x+1440-144〃，其

對稱軸為直線x=16+2〃，

?.?在前20天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間x的增大而增大，旦x

只能取整數(shù)，故只要第20天的利潤高于第19天，即對稱軸要大于19.5

，16+2〃>19.5,求得〃>1.75,

又，尺%

的取值范圍是：1.75</<4,

答：〃的取值范圍是1.75<?<4,

【變式4-3](2022?黃岡模擬)某商貿(mào)公司購進某種商品的成本為20元/千克，

經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種商品在未來40天的銷售單價y(元/千克)與時間尤

(天)之間的函數(shù)關系式為：y=1S25x+,g<x<20),且尤為整數(shù)，且日

[35(20<x<40)

銷量機(千克)與時間x(天)之間的變化規(guī)律符合一次函數(shù)關系，如表：

時間x(天)13610…

日銷量加:千142138132124…

克）

（1）求機與x的函數(shù)關系式；

（2）當1WXW20時，最大日銷售利潤是多少？

（3）求：在未來40天中，有多少天銷售利潤不低于1550元？

【解答】解：（1）由題意可設日銷量m（kg）與時間x（天）之間的一次函

數(shù)關系式為：m=kx+h（攵W0）,

將（1,142）和（3,138）代入加=日+4有：（142=k+b，

I138=3k+b

解得人=-2,6=144,

故，”與x的函數(shù)關系為：加=-2x+144（1或無或40且%為整數(shù)）；

（2）設日銷售利潤為W元，根據(jù)題意可得：

當1WxW20且x為整數(shù)時，W=（0.25x+30-20）（-2x+144）=-

0.5^+16%+1440=-0.5（x-16）2+1568,

此時當x=16時，取得最大日銷售利潤為1568元，

.,.第16天的銷售利潤最大,最大日銷售利潤為1568元；

（3）由（2）得，當1〈JCW20且x為整數(shù)時，W=-0.5（x-16）2+156,

令卬=1550,得1550=-0.5（%-16）2+1568,

解得：xi=10,也=22.

V-1<0,對稱軸為直線x=16,10WxW20,共11天.

2

當20VxW40且尤為整數(shù)時，W=（35-20）（-2x+144）=-30x+2160,

令W=1550,得1550=-30A+2160,

解得：x=K

3

：-30<0,

.-.20<x<ll,無整數(shù)解，即0天.

3

綜上所述，在未來40天中，有11天銷售利潤不低于1550元.

【變式4-4］（2021?河北）如圖是某機場監(jiān)控屏顯示兩飛機的飛行圖象，1號指

揮機（看成點P）始終以3km/min的速度在離地面5km高的上空勻速向右飛

行，2號試飛機（看成點。）一直保持在1號機P的正下方.2號機從原點。

處沿45°仰角爬升，到4km高的A處便立刻轉為水平飛行，再過lmi〃到達B

處開始沿直線3C降落，要求1機山后到達C(10,3)處.

(1)求OA的"關于s的函數(shù)解析式，并直接寫出2號機的爬升速度;

(2)求BC的〃關于s的函數(shù)解析式，并預計2號機著陸點的坐標；

(3)通過計算說明兩機距離PQ不超過3km的時長是多少.

：.OA上的點的橫縱坐標相同.

(4,4).

設。A的解析式為：h=ks,

4k=4.

：.k=l.

.??Q4的解析式為：h=s.

???2號試飛機一直保持在1號機的正下方，

...它們的飛行的時間和飛行的水平距離相同.

???2號機在爬升到A處時水平方向上移動了4km,飛行的距離為4&加,

又1號機的飛行速度為3km/min,

.".2號機的爬升速度為：4近+生=3近km/min.

3

(2)設3c的解析式為h=ms+n,

由題意：B(7,4),

..(7m+n=4

110m+n=3

1

m-石

解得：

19

.??8C的解析式為/?=」s包

33

令h=0,則s=19.

，預計2號機著陸點的坐標為（19,0）.

（3）解法-：?.?P。不超過3切?，

.*.5-但3.

‘5-s43（04s44）

：.PQ=，1（4<S<7）,

5-<3（74s419）

解得:24W13.

???兩機距離PQ不超過3k%的時長為：（13-2）~?3=旦（m%）.

3

解法二：當尸。=36時，力=5-3=2（km）,

???〃=$,

/?5=2.

由2=卷$吟■得：s=13，

二?兩機距離PQ不超過女機的時長為：,13;21（加〃）.

33

【變式4-5]（2021?揚州）甲、乙兩汽車出租公司均有50輛汽車對外出租，下

面是兩公司經(jīng)理的一段對話：

甲公司經(jīng)理：如果我公司每輛汽車月租費3000元，那么50輛汽車可以全部

租出.如果每輛汽車的月租費每增加50元，那么將少租出1輛汽車.另外，

公司為每輛租出的汽車支付月維護費200元.

乙公司經(jīng)理：我公司每輛汽車月租費3500元，無論是否租出汽車，公司均需

一次性支付月維護費共計1850元.

說明：①汽車數(shù)量為整數(shù)；②月利潤=月租車費-月維護費；③兩公司月利

潤差=月利潤較高公司的利潤-月利潤較低公司的利潤.

在兩公司租出的汽車數(shù)量相等的條件下，根據(jù)上述信息，解決下列問題：

（1）當每個公司租出的汽車為10輛時，甲公司的月利潤是48000元；

當每個公司租出的汽車為37輛時,兩公司的月利潤相等；

(2)求兩公司月利潤差的最大值；

(3)甲公司熱心公益事業(yè)，每租出1輛汽車捐出a元(?>0)給慈善機構,

如果捐款后甲公司剩余的月利潤仍高于乙公司月利潤，且當兩公司租出的汽

車均為17輛時，甲公司剩余的月利潤與乙公司月利潤之差最大，求a的取值

范圍.

【解答】解：(1)[(50-10)X50+3000]X10-200X10=480007G,

當每個公司租出的汽車為10輛時，甲公司的月利潤是48000元；

設每個公司租出的汽車為x輛，

由題意可得：[(50-x)X50+3000]%-200A-=3500A--1850,

解得：彳=37或%=-1(舍)，

當每個公司租出的汽車為37輛時，兩公司的月利潤相等；

(2)設兩公司的月利潤分別為y甲，丁乙，月利潤差為y,

則y甲=[(50-x)X50+3000]%-200^,

y乙=35O(k-1850,

當甲公司的利潤大于乙公司時，0VxV37,

y=y甲-y乙=[(50-x)X5O+3OOOU-200x-(3500%-1850)

=-50^+1800%+1850,

當x=-1800=18時,利潤差最大，且為18050元；

-50X2

當乙公司的利潤大于甲公司時，37<xW50,

y=y乙-y巾=3500x-1850-[(50-x)X50+3000]x+200x

=50^-1800A-1850,

,對稱軸為直線二=「180°=18,50>0,

50X2

.?.當37VxW50時，y隨x的增大而增大，

.?.當x=50時，利潤差最大，且為33150元,

綜上：兩公司月利潤差的最大值為33150元；

(3)..?捐款后甲公司剩余的月利潤仍高于乙公司月利潤，

則利潤差為y=-50x2+1800^+1850-ar=-50/+(1800-a)x+1850,

對稱軸為直線x=1800。,

100

只能取整數(shù)，且當兩公司租出的汽車均為17輛時，月利潤之差最大，

A16,5<18QQ-a<17.5,

100

解得：50<a<150

【類型五：拱形問題】

【典例5](2022?陜西)現(xiàn)要修建一條隧道，其截面為拋物線型，如圖所示，

線段OE表示水平的路面，以O為坐標原點，以OE所在直線為x軸，以過

點。垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標系.根據(jù)設計要求：OE=

10m,該拋物線的頂點P到OE的距離為9m.

(1)求滿足設計要求的拋物線的函數(shù)表達式；

(2)現(xiàn)需在這一隧道內(nèi)壁上安裝照明燈，如圖所示，即在該拋物線上的點A、

B處分別安裝照明燈.已知點A、B到OE的距離均為6m,求點A、B的坐標.

【解答】解：(1)由題意拋物線的頂點P(5,9),

,可以假設拋物線的解析式為y=a(x-5)2+9,

把(0,0)代入，可得a=--t，

25

.?.拋物線的解析式為曠=-言(x-5)2+9；

(2)令y=6,得-_叢(x-5)?+9=6,

25

解得xi=5愿+5,%2=-包巨+5,

33

(5--5^1,6),B(5+^Zl,6).

33

【變式5-1](2022?柯城區(qū)校級三模)如圖，隧道的截面由拋物線OEC和矩形

ABC。構成，矩形的長AB為4加，寬BC為3m,以0c所在的直線為x軸，

線段8的中垂線為〉軸，建立平面直角坐標系.y軸是拋物線的對稱軸，最

高點E到地面距離為4米.

(1)求出拋物線的解析式.

(2)在距離地面莖?米高處，隧道的寬度是多少？

4

(3)如果該隧道內(nèi)設單行道(只能朝一個方向行駛)，現(xiàn)有一輛貨運卡車高

3.6米，寬2.4米，這輛貨運卡車能否通過該隧道？通過計算說明你的結論.

【解答】解：(1)根據(jù)題意得：。(-2,0),C(2,0),E((0,1),

設拋物線的解析式為y=o?+i(“wo),

把。(-2,0)代入得：4a+l=0,

解得“=-工，

4

...拋物線的解析式為了=-/2+1；

(2)在y=-工『+1中，令^=衛(wèi)-3=>1得:

444

A=-Jbr+L

44

解得x=土巡，

距離地面區(qū)米高處，隧道的寬度是2愿〃?；

4

(3)這輛貨運卡車能通過該隧道，理由如下:

在、=-匕2+1中，令y=3.6-3=0.6得：

4

0.6=-Aj?+l,

4_

解得x=±2叵，

5

，|2x|=4百^=2.53（w）,

5

V2.53>2,4,

...這輛貨運卡車能通過該隧道.

【變式5-2］（2022?諸暨市模擬）如圖1,一個移動噴灌架噴射出的水流可以近

似地看成拋物線.圖2是噴灌架為一坡地草坪噴水的平面示意圖，噴水頭的

高度（噴水頭距噴灌架底部的距離）是1米，當噴射出的水流與噴灌架的水

平距離為10米時，達到最大高度6米，現(xiàn)將噴灌架置于坡地底部點。處，草

坡上距離。的水平距離為15米處有一棵高度為1.2米的小樹AB,AB垂直水

平地面且A點到水平地面的距離為3米.

（1）計算說明水流能否澆灌到小樹后面的草地.

（2）記水流的高度為yi,斜坡的高度為"，求的最大值.

（3）如果要使水流恰好噴射到小樹頂端的點B,那么噴射架應向后平移多少

米？

【解答】解：（1）由題可知：拋物線的頂點為（10,6）,

設水流形成的拋物線為y=a（A-10）2+6,

將點（0,1）代入可得。=」，

20

?..拋物線為y=W（X-10）2+6，

當x=15時，y=-AX25+6=4.75>4.2,

20

答：能澆灌到小樹后面的草坪；

（2）由題可知A點坐標為（15,3）,

則直線。4為片1^，

.?"「丫2=擊―10）2+6冬=*2春+1=_擊&8）2等

答：yi-”的最大值為譽；

（3）設噴射架向后平移了加米，

則平移后的拋物線可表示為y=^（X-10.）2+6，

將點8（15,4.2）代入得：加=1或加=-11（舍去），

答：噴射架應向后移動1米.

【變式5-3]（2022?臺州）如圖1,灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線/的方向

行駛，為綠化帶澆水.噴水口“離地豎直高度為。（單位：m）.如圖2,可

以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標系中兩條拋物線的部分

圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形OEFG,其水平寬度。￡=3加，豎直高度為

EF的長.下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高

點A離噴水口的水平距離為2m，高出噴水口05”，灌溉車到/的距離0。為

d（單位：機）.

（1）若仁1.5,EF=0.5m.

①求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程OC；

②求下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點B的坐標；

③要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，求d的取值范圍.

（2）若EF=\m.要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，請直接

寫出的最小值.

A

圖I圖2

【解答】解：（1）①如圖1，由題意得A（2,2）是上邊