微分學(xué)部分綜合練習(xí)

一、單項選擇題

J日勺定義域是(

1.函數(shù)y7T

lg(x+l)

A.x>—1B.%。。C.x>0

D.x>-l且xwO

分析;求定義域得關(guān)鍵是記住求定義域日勺三條原則！

Jg(x+1)“°,答案選D,作業(yè)四的第一小題此類型要會做。

2.下列各函數(shù)對中，()中日勺兩個函數(shù)相等.

2_]

A.f(X)=(C)2,g(%)=%B./(x)=---,g(x)=%+1

x-1

C.y-ynx2,g(x)—21nxD./(x)=sin2x+cos2x,

g(x)=1

分析：解答本題日勺關(guān)鍵是要注意先看定義域，后看對應(yīng)關(guān)系，只有定義域相似

時，才能化簡后再看對應(yīng)關(guān)系。只有兩者都相似，兩個函數(shù)猜是相似日勺函數(shù)。

3.設(shè)/。)=工，則/(/(%))=().

X

A.-B—C.x

XX

D.x2

、解：因為/■()=Jj,所以，/(/(x))=；=X

X

4.下列函數(shù)中為奇函數(shù)日勺是().

A.y-x2-xB.y=：ex+e~xC.y=In------

'x+1

D.y-xsinx

分析：注意運(yùn)用奇偶函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)（見講課筆記），然后運(yùn)用排除法知，答案

是C.

5.已知/Xx）=—^-1,當(dāng)（）時，/（幻為無窮小量.

tan犬

A.%—>0B.x-1C.xf—oo

D.x-+oo

分析：lim/（x）=lim（———1）=0,故選A.考試當(dāng)然可以改成

.°…tanx

/（%）=皿—1,本題波及到了重要極限1.

X

6.當(dāng)xf+8時，下列變量為無窮小量的是（）

2__L

A.B.ln（l+x）C.e/

x+1

Dsinx

x

分析：lim皿=lim!sinx=0,由“無窮小量與有界變量的乘積，成果是

+00JQ+00JQ

無窮小量”這一性質(zhì)得出成果，答案選D.

sinx

---,九wO

7.函數(shù)y（x）=<在X=0處持續(xù)，則k==（。8）.

k,x=0

A.-2B.-1C.1

D.2

8.曲線丁=以

在點(diǎn)（0,1）處的切線斜率為（).

J%+1

AB

-4l2、(x+l)3

2"1月

分析：本題考導(dǎo)數(shù)日勺幾何意義，導(dǎo)數(shù)是曲線切線的斜率，求切線的斜率就是

求導(dǎo)數(shù).

9.曲線y=sinx在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為().

A.y=xB.y=2xC.y=—xD.

2

y=-x

分析：yr=cosx,/(O)=cos0=l,y-0=l(x-0),故y=x

記住點(diǎn)斜式直線方程：y-%=左(%-/),其中的％=/'(%)是斜率，作業(yè)一有著類題

要會做。

10.設(shè)y=lg2x,則dy=().

.1,"In10」

A.——dxB.-------drC.------ax

2xxlnlOx

D.-dx

X

IL下列函數(shù)在指定區(qū)間(-00,+00)上單調(diào)增長日勺是().

A.sinxB.exC.x

D.3—x

12.設(shè)需求量q對價格p的函數(shù)為q(p)=3-2)，則需求彈性為曷=

).

D__1ZA/Z

4P

二、填空題

1.函數(shù)，(x)=5—x<0時定義域是8*.

x2-l,0<x<2

分析：分段函數(shù)的定義域就是把連段x日勺取值并起來。

2.函數(shù)/(x)=ln(x+5)—J—的)定義域是。。。.

Y2-x

八」-fx+5>0[x>-5一山、、.…/、

分析：｛二二>函數(shù)定義域(-5.2)

2-x>0[%<2

3.若函數(shù)/(x+1)=/+2x—5，則f(x)=.

解：令％+1=廁%=/-1,

^^f(t)=(t-V)2+2(t-l)-5=t2-2t+l+2t-2-5=r-6,^(x)=x2-6

本題是重點(diǎn)考題類型。

]OX]f)T

4.設(shè)/(x)JU，則函數(shù)的圖形有關(guān)對稱.

分析:要懂得奇偶函數(shù)日勺圖像特性(見講課筆記)，本題是偶函數(shù)。

x+sinx

5.1im

x—><x>%

分析：lim匕吧=lim(l-理)=1-0=1注意與作業(yè)題的區(qū)別

X—>00%X—>co尤

「%+sinx

lim----------=lim(l-^^)=1-1=0

XfOY

Xf°X

6.已知/(x)=1-二三，當(dāng)時，f(x)為無窮小量.

X

分析:同前單項選擇題5

7.曲線y=4在點(diǎn)(1,1)處的切線斜率是“

分析：求斜率就是求導(dǎo)數(shù)

8.函數(shù)y=3（x-1）2的駐點(diǎn)是.

分析:導(dǎo)數(shù)為零日勺點(diǎn)稱函數(shù)的駐點(diǎn)，令y=6（%-i）=o,解得駐點(diǎn)x=1

9.需求量4對價格〃日勺函數(shù)為4（°）=100><屋之則需求彈性為々=噌.

解：Ep=/（p）g=100xe4（-；）一

q（P）2100x12

三、計算題（通過如下各題的計算要純熟掌握導(dǎo)數(shù)基本公式及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則!

這是考試的10分類型題)

1.已知y=2，—2,求V(x).2.已知/(x)=2*sinx+lnx,

X

求尸(九).

3.已知y=cos2X-sinx2,求y'(x).4.已知y=?x+e%,求y(x).

5.已知y=52赳，求嗎)；6.設(shè)〉=廣出+小后,

求dy

7.^.y-esinx+cos5x,求dy.8.設(shè)y-tanx3+2~x,

求dy.

四、應(yīng)用題（如下的應(yīng)用題必須純熟掌握!這是考試的20分類型題）

1.設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品無個單位時日勺成本函數(shù)為:C（x）=100+0.25/+6x（萬元）,

求：（1）當(dāng)％=10時的I總成本、平均成本和邊際成本；

（2）當(dāng)產(chǎn)量x為多少時，平均成本最小？

2.某廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，其固定成本為2023元，每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品的成本為60元,

對這種產(chǎn)品的）市場需求規(guī)律為q=1000-10。（4為需求量,p為價格）.試求:

（1）成本函數(shù)，收入函數(shù);（2）產(chǎn)量為多少噸時利潤最大?

3.某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品q件時的總成本函數(shù)為C（q）=20+4q+0.01/（元），單

位銷售價格為“=14—O.Olq（元/件），試求:

（1）產(chǎn)量為多少時可使利潤抵達(dá)最大?（2）最大利潤是多少?

4.某廠每天生產(chǎn)某種產(chǎn)品4件的I成本函數(shù)為C（q）=O.542+364+98OO（元）.為使平

均成本最低，每天產(chǎn)量應(yīng)為多少?此時,每件產(chǎn)品平均成本為多少?

2

5.已知某廠生產(chǎn)4件產(chǎn)品的成本為C9）=250+20q+*（萬元）.問:要使平均

成本至少，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品?最低日勺平均成本是多少?

參照解答

一、單項選擇題

l.D2.D3.C4.C5.A6.D7.C8.A

9.A10.B11.B12.B

二、填空題

1.[-5,2)2.(-5,2)3.x2-64.y軸

5.16.x->07.川)=0.58.x=l

三、計算題

<叼，/、excosx.c-xsinx-cosxxsinx+cosx

1.解：/(%)=(2%--------)x'=21n2---------------------=21n2+----------------

XXX

2.解/\x)=2XIn2-sinx+2Xcosx+—

x

3.解yr(x)=-sin2x(2xY-cosx2(x2)r=-2xsin2xln2-2xcosx2

4In2Y

4.解：yf(x)=3In2x(lnx)f+e-5x(-5x)'=-~--5e^x

X

5.解：由于y'=(52c°sxy=52cosxin5(2cosx)'=—2sinx52c°sxin5

,71

,_,,,TTTT2COS—

因此V(1)=-2sin].521n5=_2in5

31

6.解油于V=2ecos2x(-sin2x)+|x2因此

3_

dy=[2ecos2x(-sm2x)+-x2]dx

7.解:由于y'=e^^Csinx)"+5cos4x(cosx)r=esmxcosx-5cos4xsinx

因止匕dy=(esmxcos九一5cos4xsinx)dx

i3y2

8.解:由于y'=-X)，=-―-2-x1n2

COSXCOSX

3%2

x

因止匕dy=(3-2-ln2)dx

COS'X

四、應(yīng)用題

1.解(1)由于總成本、平均成本和邊際成本分別為：

C(x)=100+0.25/+6xC(%)=—+0.25x+6,

x

C'(x)=0.5x+6

因此，0(10)=100+0.25x1()2+6x10=185

C(10)=—+0.25x10+6=18.5,0(10)=0.5x10+6=11

(2)令6(x)=-"+0.25=0,得x=20(x=-20舍去)

X

由于x=20是其在定義域內(nèi)唯一駐點(diǎn)，且該問題確實(shí)存在最小值,因此當(dāng)

x=20時，平均成本最小.

2.解(1)成本函數(shù)C(q)=604+2023.

由于q=1000—10夕，即/?=100—木4，

因止匕收入函數(shù)R(q)=pxq=(100-^j<7)<7=100<7-^^2.

(2)利潤函數(shù)〃q)=H(q)—C(“)=100“—一(60q+2023)=4

02023

且Z/(q)=(40q-2q?—2023)'=40—0.2q

令Z/(q)=0,即40—0.24=0,得4=200,它是〃q)在其定義域內(nèi)的

唯一駐點(diǎn).

因此,4=200是利潤函數(shù)L(q)日勺最大值點(diǎn)，即當(dāng)產(chǎn)量為200噸時利潤最

大.

3.解(1)由已知R=如=式14—0.014)=144—0.01/

利潤函數(shù)L=R—C=14“一0.01/-20-4^-0.01/=10"-20-0.02/

則Z/=10—0.04q,令L'=10—0.04q=0,解出唯一駐點(diǎn)q=250.

由于利潤函數(shù)存在著最大值，因此當(dāng)產(chǎn)量為250件時可使利潤抵達(dá)最大，

(2)最大利潤為

￡(250)=10x250-20-0.02x2502=2500-20-1250=1230(元)

4.解由于C(q)="q)=0.54+36+98°0(q>0)

qq

3⑷=(。*+36+暨2),=。.5-坐

qq-

令^(qXO,即0.5—駕)=0,得％=140,%=一140(舍去).

q

%=140是心①)在其定義域內(nèi)日勺唯一駐點(diǎn)，且該問題確實(shí)存在最小值.

因此勿=140是平均成本函數(shù)&q)日勺最小值點(diǎn)，即為使平均成本最低，每天

——o?nn

產(chǎn)量應(yīng)為140件.此時的平均成本為0(140)=0.5x140+36+而~=176(元/

件)

5.解(1)由于C(^)=^^=—+20+—，C'(q)=(—+20+—),

qq10q10

_2501

——-o-+--

q210

令⑷=0,即—鏟+>o,得價=50,%=-50(舍去),

/=50是")在其定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn).

因此,/=50是&q)日勺最小值點(diǎn)，即要使平均成本至少，應(yīng)生產(chǎn)50件產(chǎn)品.

(2)C(50)=—+20+—=30(元/件)

5010

積分學(xué)部分綜合練習(xí)題

一、單項選擇題

L下列等式不成立的是().對的答案：A

A.e'dx=d(e%)

B.-sinxdx=d(cosv)。

C.一dVxD.Inxdx=d(—)

分析；解答本題的關(guān)鍵是記住幾類常見日勺湊微分（見講課筆記）

X

2.若=-e萬+c,貝!J/'(九)=(）.對的答案:D

X[%1--1」

A.-e5B.—e萬C.-e2D.--e2

244

X"(x)=.獷

解：/(x)=(-e2+c)'=-e「"）=m

注意:重要考察原函數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，但考試關(guān)鍵是要懂得f（x）怎么求，即f（X）的

不定積分是f（X）日勺全體原函數(shù)，如下面的第4題。

3.下列不定積分中，常用分部積分法計算的是（）.對的答案:C

A.jcos(2x+l)dxB.jxJl-Jdx

X

C.Jxsin2xdxDj---------7dAx

1+x

￡￡

4.若j/(x)e*d_x=-eA+c,則f(x)=(）.對的答案：C

A.-B.--

Xx

1

7

1II1111

解：f(x)ex=(-ex+c)r=-e%(——-)=—ex;f(x)=-

XXX

5.若方（x）是/（x）日勺一種原函數(shù)，則下列等式成立的是（）.對的答案：B

A.f/(x)dx=F(x)B.f/(x)dx=F(x)-F(a)

JaJa

,b

c-jF(x)dx=/(Z>)-/(A)D.ff'(x)dx=F(b)-F(a)

JaJaC

6.下列定積分中積分值為0的是（）.對的答案：A

1e—%-eie+eA

A.------drB.''clx

-12-i2

C.I(x3+cosx)dxD.f(x2+sinx)dx

J-71J-71

7.下列定積分計算對的的是（）.對的答案:D

f16

A.j2xdx=2B.J]dx=15

_三

,冗

C.1/sinx|dx=0D.sinjdx=0

~2—7V

分析：以上兩題重要考察“奇函數(shù)在對稱區(qū)間的定積分知為o"，這一點(diǎn)要

記住!

8.下列無窮積分中收斂的是（）.對的答案:C

「+824-00p4-001

A.fInxdxB.[e'dxC.[—dx

z

JiJoJix

D.r二

J|VI

解:G+oo41dx=-1-+00=1,故無窮積分收斂

J1XX1

9.無窮限積分「"二口=（）.對的答案:C

J1X

A.0B.--C.-D.oo

22

冷刀產(chǎn)-2+°0

角牛：-1rd4x=_—1x=----1--=—1

J1/22/12

二、填空題

l.d%.口=.應(yīng)當(dāng)填寫：尸2dx

注意：重要考察不定積分與求導(dǎo)數(shù)（求微分）互為逆運(yùn)算，一定要注意是先積分

后求導(dǎo)（微分），還是先求導(dǎo)（微分）后積分。本題是先積分后微分，別忘了dx.

2.函數(shù)/（x）=sin2x日勺原函數(shù)是.應(yīng)當(dāng)填寫：

--cos2x+c

2

r1

角星:sin2xdx=——cos2x+C

J2

3.若廣(X)存在且持續(xù)，則[j4(x)r=.應(yīng)當(dāng)填寫:

廣(X)

注意：本題是先微分再積分最終在求導(dǎo)。

4.若■(尤)(比=(尤+1)2+C,則/(X)=.應(yīng)當(dāng)填寫：2(x+1)

5.若j/(x)dx=F(x)+c,則JeT/(ef)dx=.應(yīng)當(dāng)填寫：

-F(e-x)+c

注意:J/()d()=F()+C,湊微分I公=-de-"

6.—[eln(x2+l)dx=__________.應(yīng)當(dāng)填寫：0

dxJi

注意:定積分日勺成果是“數(shù)值”，而常數(shù)日勺導(dǎo)數(shù)為0

7.積分「，J，、2改=一4應(yīng)當(dāng)填寫：0

J-1(必+I)2

注意：奇函數(shù)在對稱區(qū)間日勺定積分為0

8.無窮積分廠.應(yīng)當(dāng)填寫：收斂時

J。(x+1)2

解:Eni，故無窮積分收斂。

J。(x+1)2x+10

三、計算題(如下的I計算題要純熟掌握!這是考試的10分類型題)

j—~=J(x-2)dr=^x2-2x+c

4.計算卜sin^dx解：

jxsinxdx=-xcosx+jcosxdx=-xcosx+sinx+c

5.計算J(%+l)lmxk

解：j(x+l)lnxdr=-(%+1產(chǎn)=;(x+1)21nx_g=

^■(x+1)2Inx-^j(x+11Y2

2+—)dx=—(x+l)2Inx---x-lnx+C=

1-

一(x2+2x)lnx-----x+c

24

￡1I12?

6.計算解：￡^ydx=-J^e^dC—)=-ex=e-e^

i

e21

7.1f.dx

J1xvl+lnx

解：「Jdx='/1d(l+Inx)=2jl+In=2(73-1)

J1xVl+lnx"Vl+lnx11

71

8.「xcos2Mlx解:pxcos2xdx二Lsin2x2--J萬sin2出

Jo

71

_1c5_1

——cos2x-——

4o2

9.feln(%+l)dx

J0

解:J。ln(x+l)dx=^〃n(x+DoJ?！猟x=xln(x+l)0J°——

人1J.41J.

e1J(1)dx—e—1—[x—ln(x+1)]|0一

。％+1

lne=l

注意：純熟解答以上各題要注意如下兩點(diǎn)

(1)常見湊微分類型一定要記住

dx=-d(kx±C),xdx=—dx2,exdx=dexdx=-d—dx=2dG,

k2xx?x

—dx=dlnx,sinxdx=-dcosx,cosxdx=dsinx

x

hb/?h

(2)分部積分：fuvdx=[udv=uv-f，?？加腥N類型要清晰。

JaJaaJa

四'應(yīng)用題(如下的應(yīng)用題必須純熟掌握!這是考試的20分類型題)

1.投產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為36(萬元)，且邊際成本為C(x)=2x+40(萬元

/百臺).試求產(chǎn)量由4百臺增至6百臺時總成本的增量，及產(chǎn)量為多少時，

可使平均成本抵達(dá)最低.

解：當(dāng)產(chǎn)量由4百臺增至6百臺時，總成本日勺增量為

AC=+40)dx=(x2+40x)|^=100(萬元)

C(x)=「C(x)dx+c=f'(2t+40)ck+36=x2+40x+36,

J0J00

C(x)=x+40+型，令C'(x)=1—七=—~=0，即x?=36,

x廠x

解得x=6.x=6是惟一的I駐點(diǎn)，而該問題確實(shí)存在使平均成本抵達(dá)

最小日勺值。因此產(chǎn)量為6百臺時可使平均成本抵達(dá)最小.

2.已知某產(chǎn)品的邊際成本C'(x)=2(元/件)，固定成本為0,邊際收益R(x)=12-0.

02羽問產(chǎn)量為多少時利潤最大？在最大利潤產(chǎn)量的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)50件，利潤

將會發(fā)生什么變化？

解：由于邊際利潤L'(x)=R(x)—C(無)=12-0.02%-210-0.02%

令Z/(x)=O,得x=500;x=500是惟一駐點(diǎn)，而該問題確實(shí)存在

最大值.

因此，當(dāng)產(chǎn)量為500件時，利潤最大.

當(dāng)產(chǎn)量由500件增長至550件時，利潤變化量為

1*550°|550_.、

2

AL=(10-0.02x)ck=(10x-O.Olx)|5oo=500-525=-25(兀)

即利潤將減少25元.

3.生產(chǎn)某產(chǎn)品日勺邊際成本為C'(x)=8x(萬元/百臺)，邊際收入為R(x)=100-2x(萬

元/百臺)，其中x為產(chǎn)量，問產(chǎn)量為多少時，利潤最大？從利潤最大時日勺產(chǎn)量再生產(chǎn)

2百臺，利潤有什么變化？

解：L'(x)=R(x)-C'(x)=(100-2x)-8x=100-10%

令Z/(x)=O,得％=10(百臺);又％=10是L(x州唯一駐點(diǎn)，該問題確實(shí)存在最

大值，

故x=10是乙(x)日勺最大值點(diǎn)，即當(dāng)產(chǎn)量為10(百臺)時，利潤最大.

又△L=j：〃(x)dx=［：(100—10無)dx=(100x—=—20

即從利潤最大時日勺產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺，利潤將減少20萬元.。

4.已知某產(chǎn)品的邊際成本為C(q)=4q-3(萬元/百臺)，q為產(chǎn)量(百臺)，固定成

本為18(萬元)，求最低平均成本.

解：由于總成本函數(shù)為C(q)=「4q-3)由=2/-3q+c

當(dāng)夕=0時，C(0)=18,得c=18；即C(q)=2q2-3^+18

又平均成本函數(shù)為A(q)=g"=2q-3+”

qq

令4(q)=2-鳥=0,解得q=3(百臺)，該題確實(shí)存在使平均成本最

q

低日勺產(chǎn)量.

因此當(dāng)q=3時，平均成本最低.最底平均成本為A(3)=2x3-3+y=9

(萬元/百臺)

5.設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品日勺總成本函數(shù)為C(x)=3+x(萬元)，其中x為產(chǎn)量，單位:百

噸.銷售x噸時日勺邊際收入為R(x)=15-2%(萬元/百噸),求:⑴利潤最大時

的產(chǎn)量；

(2)在利潤最大時日勺產(chǎn)量的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)1百噸，利潤會發(fā)生什么變化？

解：(1)由于邊際成本為C(x)=l,邊際利潤Z/(x)=R(x)—。(無)=14—2

X

令〃(x)=0,得x=7；由該題實(shí)際意義可知，x=7為利潤函數(shù)

L(x)日勺極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn).因此，當(dāng)產(chǎn)量為7百噸時利潤最大.

(2)當(dāng)產(chǎn)量由7百噸增長至8百噸時，利潤變化量為AL=，(14-2X)&=(14X-X2)[=

—1(萬元)

即利潤將減少1萬元.

線性代數(shù)部分綜合練習(xí)題

一、單項選擇題

1.設(shè)A為3x2矩陣,5為2x3矩陣,則下列運(yùn)算中()可以進(jìn)行.

對的答案：A

A.ABB./加C.A+BD.B

分析:左邊矩陣的列數(shù)等于右邊矩陣的行數(shù)，乘法才故意義。

2.設(shè)A,3為同階可逆矩陣，則下列等式成立的是（）對的答案：B

A.(AB)T=ATBT(AB)T=5TAT

C.（田）-1=川面尸(AfiT)T=

注意:轉(zhuǎn)置矩陣、逆矩陣的性質(zhì)要記住

3.如下結(jié)論或等式對日勺日勺是（）.對時答案：C

A.若A,3均為零矩陣，則有A=5B.^AB=AC,且AwO,則5=C

C.對角矩陣是對稱矩陣D.若A/0,5/0,則ABwO

4.設(shè)A是可逆矩陣，且A+AB=/,則.對的答案：C

A.BB.1+BC.I+BD.(I-ABY1

注意：由于A(I+B)=I,因此A1=I+B

5.設(shè)A=(l2),5=(-13),/是單位矩陣，則A4—/=().

對的答案:D

120-3

6.設(shè)A=00-13,則4A)=().對的答案：C

24-1-3

A.4B.3C.2D.1

120-3120-31[120-3

解：00-1300-13-00-13故秩(A)=2

24-1-300-130000

7.設(shè)線性方程組AX=匕的增廣矩陣通過初等行變換化為

13126

0-1314

,則此線性方程組日勺一般解中自由未知量的個數(shù)為

0002-1

00000

()對的答案:A

A.1B.2C.3D.4

分析：自由未知量日勺個數(shù)=n(未知量個數(shù))一秩(A)=4-3=1,

考試要直接會用眼看出來。

8.線性方程組+0=1解的狀況是().對的答案:A

再+%2=0

A.無解B.只有0解C.有唯一解D.有無窮多

解

解r(A)=l#r④=2,故無解。

11UUU-1

注意:化成階梯型矩陣后，最終一行出現(xiàn)矛盾方程“0=K”就無解。

9.設(shè)線性方程組=6有無窮多解的充足必要條件是().

對的答案:D

A.r(A)=r(A)<mB.r(A)<nC.m<nD.r(A)=r(A)<n

注意：線性方程組解得狀況鑒定定理在理解日勺基礎(chǔ)上要背下來。

10.設(shè)線性方程組AX=A有唯一解,則對應(yīng)的齊次方程組AX=O().

A.無解B.有非零解C.只有零解D.解

不能確定

對時答案：C

注意:AX=b有唯一解，闡明

(4)=廠(4)=〃,故改成人*=0時，r(4)=",所以，只有唯一零解。

但要注意:若AX=O只有唯一零解，而人*=1?也許無解(或說解不確定)

二、填空題

1.若矩陣A=[-12],B=[2-31],則,應(yīng)當(dāng)填寫：

-23-f

4-62

J-23-11

解：2-31=

2JL」[4M2

2.設(shè)A,3均為〃階矩陣，則等式(A-5)2=4一2AB+1成立日勺充足必要條件

是,應(yīng)當(dāng)填寫：人,3是可互換矩陣或人1}=15人

~102_

3.設(shè)人=tzO3,當(dāng)〃=時,A是對稱矩陣.應(yīng)當(dāng)填寫：0

23-1

注意：對稱矩陣元素的分布有關(guān)主對角線對稱，因此對稱陣是可以看出來的。

4.設(shè)A,8均為”階矩陣，且(/-B)可逆,則矩陣A+5X=X的解X=.

應(yīng)當(dāng)填寫：(I-B^A

解：A+3X=X,X—BX=A,(1—3)X=A,X=(/—3尸4

5.若線性方程組[~一3=0有非零解，則7t.應(yīng)當(dāng)填寫：—1

%+AJC2=0

1-11-1

解：A=->,4=—1H寸，r(A)=1<n=2,)有非零解。

1202+1

6.設(shè)齊次線性方程組=0,且秩（A）=r<%則其一般解中的自由未知

量日勺個數(shù)等于..應(yīng)當(dāng)填寫:A-r

注意：關(guān)鍵是由=0要看出未知量日勺個數(shù)是n

1-123

7.齊次線性方程組AX=O日勺系數(shù)矩陣為A=010-2則此方程組的一般

0000

解為

1-11

解:01-2

000

再=-2X3-x4

方程組的一般解為（其中％3,是自由未知量）

2S

三、計算題（如下的各題要純熟掌握!這是考試的15分類型題）

012

1.設(shè)矩陣人=114求逆矩陣

2-10

-21

-21

]_

1

2

注意:本題也可改成如下日勺形式考:

例如：解矩陣方程AX=B，其中

答案:

又如:

-113

2.設(shè)矩陣/1-15，求逆矩陣(1+A),

1-2-1

100

解:由于I+A=010+且

001

0131001050100-106-5

105010->0131010-53-3

1-200010-2-50012-11

-106-5

因此(1+A)T-53-3

2-11

11

12-3

3.設(shè)矩陣A0-2,B=，計算(B4尸.

0-12

20

1

12-3-5-3

解：由于340-2

0-1242

0

-5-310-1-11111-1101

(BAI)=T%

420142010-2401-2

因此

121

4.設(shè)矩陣A=,B=，求解矩陣方程XA=3.

352

-i

1210121010-5212-52

解:由于,即

35010-1-31013-1353-1

-1

121212-5210

因此X=

2335233-1-11

Xi+2X3-x4=0

5.求線性方程組（一七+%-3%3+2工4=0日勺一般解.

2匹-x2+5X3-3X4=0

102-11「102-iirio2-1

解:由于A=-11-32-01-11-^01-11

2-15-30-11-10000

因止匕一般解為

（其中/，乙是自由未知量）

氏=/一巧

2項—5%2+2%=-3

6.求線性方程組\占+2%-％=3的一般解.

-2%1+14X2-6X3=12

2-5