熱點(diǎn)11計(jì)數(shù)原理

從新高考考查情況來(lái)看，排列組合與二項(xiàng)式定理是新高考命題的熱點(diǎn)，主要考查分類(lèi)、

分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，排列與組合的綜合應(yīng)用，分組分配問(wèn)題等，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)、二項(xiàng)

式系數(shù)、特定項(xiàng)的系數(shù)、系數(shù)和問(wèn)題、最值問(wèn)題、參數(shù)問(wèn)題等，一般以選擇題和填空題的形

式出現(xiàn)，難度中等.主要考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸、分類(lèi)討論思想，數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等

核心素養(yǎng).

滿分技巧

1、求二項(xiàng)式系數(shù)和或各項(xiàng)的系數(shù)和的解題技巧：

(1)形如(以+份"，(a^+bx+cy'Xa,b,cGR)的式子求其展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦

值法，只需令x=l即可.

(2)對(duì)形如(辦+處)"(〃，%6R)的式子求其展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x=y=l即可.

(3)若火x)=ao+aix+a2^+…則展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為人1),

奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為的+〃2++.?尸/⑴+/(-1),

2

偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為0+/+痣+…=/6"T).

2

2、解決排列問(wèn)題的常見(jiàn)方法：

(1)“在”與“不在”的有限制條件的排列問(wèn)題，既可以從元素入手，也可以從位置入手，原

則是誰(shuí)“特殊”誰(shuí)優(yōu)先.不管是從元素考慮還是從位置考慮，都要貫徹到底，不能既考慮元素

又考慮位置.

(2)解決相鄰問(wèn)題的方法是“捆綁法”，即把相鄰元素看作一個(gè)整體和其他元素一起排列,

同時(shí)要注意捆綁元素的內(nèi)部排列.

（3）解決不相鄰問(wèn)題的方法是“插空法”，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的

元素插在前面元素排列的空當(dāng)中.

（4）對(duì)于定序問(wèn)題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列.

（5）若某些問(wèn)題從正面考慮比較復(fù)雜，可從其反面入手，即采用“間接法”.

3、解決組合問(wèn)題的常見(jiàn)方法：

組合問(wèn)題的限制條件主要體現(xiàn)在取出的元素中“含''或"不含''某些元素，在解答時(shí)可用直

接法，也可用間接法.用直接法求解時(shí)，要注意合理地分類(lèi)或分步；用間接法求解時(shí)，要注

意題目中“至少”“至多”等關(guān)鍵詞的含義，做到不重不漏。

:熱點(diǎn)解讀

熱點(diǎn)L以實(shí)際情景為背景的排列組合問(wèn)題

主要以接近生活的實(shí)際情況為主，多以選擇或填空為主。主要考查分類(lèi)、分步計(jì)數(shù)原理

的應(yīng)用，突出分類(lèi)討論思想、轉(zhuǎn)化化歸思想的應(yīng)用，問(wèn)題情景的設(shè)置越來(lái)越接近生活，能否

將實(shí)際問(wèn)題合理、正確地轉(zhuǎn)化成排列組合問(wèn)題，是解決這類(lèi)試題的關(guān)鍵。

熱點(diǎn)2.二項(xiàng)式定理及相關(guān)運(yùn)用

二項(xiàng)式定理是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要組成部分，高考中二項(xiàng)式定理是考點(diǎn)之一，二項(xiàng)式定理的

應(yīng)用在高考中一般以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，難度不大。

）艮時(shí)檢測(cè)

A卷（建議用時(shí)60分鐘）

一、單選題

1.（2021?河北衡水中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在2020中俄高加索聯(lián)合軍演的某一項(xiàng)演練中，中方參加

演習(xí)的有5艘軍艦，4架飛機(jī)；俄方有3艘軍艦，6架飛機(jī).若從中、俄兩方中各選出2個(gè)

單位（1架飛機(jī)或一艘軍艦都作為一個(gè)單位，所有的軍艦兩兩不同，所有的飛機(jī)兩兩不同），

且選出的四個(gè)單位中恰有一架飛機(jī)的不同選法共有（）

A.51種B.224種C.240種D.336種

【答案】C

【分析】按中方選一架飛機(jī)或俄方選一架飛機(jī)分類(lèi)討論，每類(lèi)再分步選擇即可得.

【詳解】不同的選法有:C；C；C；C：+C；C：C；Cl=5x4x3x1+10x1x3x6=60+180=240

（種）.故選：C.

2.（2021?湖北?模擬預(yù)測(cè)）某校的6名高二學(xué)生打算參加學(xué)校組織的“籃球隊(duì)”“微電影社團(tuán)”“棋

藝社''"美術(shù)社””合唱團(tuán)”5個(gè)社團(tuán)，若每名同學(xué)必須參加且只能參加1個(gè)社團(tuán)，每個(gè)社團(tuán)至多

2人參加，則這6人中至多有1人參加“微電影社團(tuán)''的不同參加方法種數(shù)為（）

A.1140B.3600C.5040D.6840

【答案】C

【分析】分兩類(lèi)：一類(lèi)是有1人參加“微電影社團(tuán)“，則從6人中選1人參加該社團(tuán)，其余5

人參加剩下4個(gè)社團(tuán)，人數(shù)安排有1,1j,2和0,1,2,2兩種情況;一類(lèi)是無(wú)人參加“微電影社團(tuán)”,

則6人參加剩下4個(gè)社團(tuán)，人數(shù)安排有1,1,2,2和0,2,2,2兩種情況，進(jìn)而結(jié)合兩個(gè)計(jì)數(shù)原理

即可求出結(jié)果.

【詳解】可分兩類(lèi)：第一類(lèi)，若有1人參加“微電影社團(tuán)”，則從6人中選1人參加該社團(tuán),

其余5人參加剩下4個(gè)社團(tuán)，人數(shù)安排有1,1,1,2和0,1,2,2兩種情況，所以不同的參加方法

空g，A：+

種數(shù)為C；=36（X）：第二類(lèi)，若無(wú)人參加“微電影社團(tuán)”，則6人參加

【A3

剩下4個(gè)社團(tuán)，人數(shù)安排有1,1,2,2和0,2,2,2兩種情況，所以不同的參加方法種數(shù)為

r2C2

故不同的參加方法種數(shù)為3600+1440=5040,

故選：C.

3.（2021?江蘇?南京市中華中學(xué)高三期中）已知（l-2x）”的二項(xiàng)展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第10項(xiàng)的

二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開(kāi)式中含/的系數(shù)為（）

A.-312B.31C.-220D.220

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可得”=11,求出展開(kāi)式即可得出.

【詳解】（l-2x）"的展開(kāi)式的通項(xiàng)為J=C；T，（-2x）’=（-2）'C:/，

由題可得第3項(xiàng)與第10項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則亡=。：，所以〃=11,

則展開(kāi)式中含V的系數(shù)為（-2）2。；=220.故選：D.

4.（2021?江蘇常州?高三期中）已知（l-2x）2⑼=%+6x+…+%⑼d⑼，貝ij

幺+4+4+…+續(xù)=（）

2222322021

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，分別令x=O和無(wú)=：，代入計(jì)算即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，令x=（）,得?！?。-。產(chǎn)’小，令X=；,得

/11、2021,a2,.a2O2l

（1-1）-a0+—+^-++^r，

因此卜票■+墨+..?+冷號(hào)=-%=T.故選：B.

5.（2021?江蘇?南京師大附中高三期中）2021年初，某市因新冠疫情面臨醫(yī)務(wù)人員不足和醫(yī)

療物資緊缺等諸多困難，全國(guó)各地志愿者紛紛馳援.現(xiàn)有5名醫(yī)生志愿者需要分配到兩家醫(yī)

院（每人去一家醫(yī)院，每家醫(yī)院至少去1人），則共有（）

A.12種B.30種C.18種D.15種

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，先將5名醫(yī)生志愿者分為兩組，再將分成的兩組，安排的兩家不用的醫(yī)

院，結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理，即可求解.

【詳解】由題意，現(xiàn)有5名醫(yī)生志愿者需要分配到兩家醫(yī)院（每人去一家醫(yī)院，每家醫(yī)院至

少去1人），

可按兩步分析：（丨）可先將5名醫(yī)生志愿者分為2組，由兩種可能的分法：

①一組4人，一組1人，共有C；C：種不同的分組方法;

②一組3人，一組2人，共有C；C；種不同的分組方法,

（2）再將分成的兩組，安排兩家醫(yī)院，結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理，共有（C；C；+C；C；）&=30種不

同的安排方式.故選：B.

6.（2021?江蘇海安?高三期中）“冰墩墩”是2022年北京冬奧會(huì)吉祥物，在冬奧特許商品中，

己知一款“冰墩墩''盲盒外包裝上標(biāo)注隱臧款抽中的概率為9，出廠時(shí)每箱裝有6個(gè)盲盒.小

明買(mǎi)了一箱該款盲盒，他抽中網(wǎng)0W仁6,ZWA0個(gè)隱藏款的概率最大，則上的值為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】由題意可得小明抽中&個(gè)隱藏款的概率為嘯jy"C*-56~*

,進(jìn)而可得

66

C：.56-*>C*-'-57-*

解不等式組即可求出結(jié)果.

C：.56T>虛.5"*

C*-56-*

【詳解】由題意可得小明抽中％個(gè)隱藏款的概率為C；其中

66

0<k<6,keN,

丄」

「ks6dQk.56d>.57-^

k1-k

要使得丄牙一最大，只需要最大，貝5F9.554Hn則

丄〉丄

6—kk+\

L<<l

6k6

又因?yàn)?K左則％=1,故選：B.

7.（2021?山東省濟(jì)南市萊蕪第一中學(xué)高三期中）已知正整數(shù)”28,若（x-丄）（1-X）”的展開(kāi)

X

式中不含X5的項(xiàng)，則〃的值為（）

A.8B.9C.10D.11

【答案】C

【分析】根據(jù)題意要使展開(kāi)式中不含工5項(xiàng)，即。一燈”展開(kāi)式中/項(xiàng)和爐項(xiàng)的系數(shù)和為0,

建立方程進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：（1-x）”展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為C；（-1）4,則（l-x）"展開(kāi)式中X4項(xiàng)的系數(shù)為C；,

f項(xiàng)的系數(shù)為C：,

（X--）（1-X）"=x（l-X）"-X-'（1-X）",J.要使展開(kāi)式中不含的項(xiàng)，

X

.C4=Cb,即〃（“T）（"2）（〃-3）="（〃一」（"-2乂”-3）（〃-4）（"-5）,

4x3x2x16x5x4x3x2x1

即巒_9〃_]0=0,又〃w8,所以〃=10,故選：C.

8.（2021?福建?莆田二中高三期中）現(xiàn)某校數(shù)學(xué)興趣小組給一個(gè)底面邊長(zhǎng)互不相等的直四棱

柱容器的側(cè)面和下底面染色,提岀如下的“四色問(wèn)題”：要求相鄰兩個(gè)面不得使用同一種顏色,

現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的染色方案有（）

A.18種B.36種C.48種D.72種

【答案】D

【分析】分別求解選用4種顏色和3種顏色，不同的染色方案，綜合即可得答案.

【詳解】若選擇4種顏色，則前后側(cè)面或左右側(cè)面用1種顏色，其他3個(gè)面，用3種顏色,

有24：=48種；

若選擇3種顏色，則前后側(cè)面用1種顏色，左右側(cè)面用1種顏色，底面不同色，所以有用=24

種，

綜上,不同的染色方案有24+48=72種.故選：D

9.（2021?浙江?慈溪中學(xué)高三期中）用數(shù)字1、2、3組成五位數(shù)，且數(shù)字1、2、3至少都出

現(xiàn)一次，這樣的五位數(shù)共有（）個(gè)

A.120B.150C.210D.240

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，采用排除法，首先計(jì)算不考慮重復(fù)與否的全部情況數(shù)目，進(jìn)而計(jì)算出其

中不符合條件的只有,1個(gè)數(shù)字和只含有2個(gè)數(shù)字的情況數(shù)目，進(jìn)而由全部情況數(shù)目減去不符

合條件的情況數(shù)目，即可得解.

【詳解】首先考慮全部的情況，即每個(gè)數(shù)位均有3種選擇，共有3$=243個(gè),

其中包含數(shù)字全部相同只有3種情況，還有只含有2個(gè)數(shù)字的共有舊x（25-2）=90個(gè),

因此，滿足條件的五位數(shù)的個(gè)數(shù)為243-3-90=150個(gè).故選：B.

10.（2021?河北?唐山市第十中學(xué)高三期中）若

42（22012

（l+x）'+（l+x）+（l+x）s++（1+x）"-=a（）+ayX+a2x++a20|2x,則如等于（）

A.C2012B.C；（）i3C.Ch"D.C；oi2

【答案】C

【分析】由已知條件可知的為展開(kāi)式中丁的系數(shù)，利用二項(xiàng)式定理及組合數(shù)的性質(zhì)即可得

出答案.

【詳解】解：由已知條件可知的為展開(kāi)式中V的系數(shù)，

則%=C；+C；+C；++Ci2=c：+c；+c；++C；＜“2=C；+C；++C募

=C；++6012-=C；oi2+Goi2=C；oi3.故選：C.

11.（2021?湖南?模擬預(yù)測(cè)）某體育彩票規(guī)定：從01至36共36個(gè)號(hào)中選出7個(gè)作為一注，

每注2元.某人想從01至10中選3個(gè)連續(xù)的號(hào)，從11至20中選2個(gè)連續(xù)的號(hào)，從21至

30中選1個(gè)號(hào)，從31至36中選1個(gè)號(hào)組成一注，若這人想把滿足這種特殊要求的號(hào)買(mǎi)全，

則他要花的錢(qián)數(shù)為（）

A.3360B.6720元C.4320元D.8640元

【答案】D

【分析】分三步，第一步先從01至10中選3個(gè)連續(xù)的號(hào)，再?gòu)?1至20中選2個(gè)連續(xù)的號(hào)，

然后從21至30中選1個(gè)號(hào)，最后從31至36中選1個(gè)號(hào)，由分步乘法計(jì)數(shù)原理求解.

【詳解】從01至10中選3個(gè)連續(xù)的號(hào)共有8種選法；從11至20中選2個(gè)連續(xù)的號(hào)共有9

種選法；

從21至30中選1個(gè)號(hào)共有10種選法；從31至36中選1個(gè)號(hào)共有6種選法，

所以共有8x9x10x6=4320種選法，要花4320x2=8640元.故選：D

12.（2022?上海?高三專(zhuān)題練習(xí)）算籌是在珠算發(fā)明以前我國(guó)獨(dú)創(chuàng)并且有效的計(jì)算工具，為我

國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了很大貢獻(xiàn).在算籌計(jì)數(shù)法中，以“縱式”和“橫式”兩種方式來(lái)表示數(shù)字,

123456789

縱式1IIIII1111HillTTJ￥

橫式———=三丄1

表示多位數(shù)時(shí)，個(gè)位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類(lèi)推，遇零則置

空，如圖；

丄可二M6728

1IT￥6708

如果把5根算籌以適當(dāng)?shù)姆绞饺糠湃胂旅娴谋砀裰?，那么可以表示的三位?shù)的個(gè)數(shù)為

（）

A.46B.44C.42D.40

【答案】B

【分析】按每一位算籌的根數(shù)分類(lèi)，列舉出所有的情況，根據(jù)2根或2根以上的算籌可以表

示兩個(gè)數(shù)字，計(jì)算出每種情況下所表示的三位數(shù)的個(gè)數(shù)，利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.

【詳解】按每一位算籌的根數(shù)分類(lèi)一共有15種情況,分別為（5,0,0）、（4,1,0）、（4,0,1）、（3,2,0）、

（3,1,1）、（3,0,2）、（2,3,0）、（2,2,1）、（2,1,2）、（2,0,3）、（1,4,0）、（1,3,1）、（1,2,2）、（1』,3）、

（1,0,4）,

2根或2根以上的算籌可以表示兩個(gè)數(shù)字，運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理，得上面情況能表示的三

位數(shù)字個(gè)數(shù)分別為：2、2、2、4、2、4、4、4、4、4、2、2、4、2、2,

根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，得5根算籌能表示的三位數(shù)字個(gè)數(shù)為：

2+2+2+4+2+4+4+4+4+4+2+2+4+2+2=44.故選：B.

13.（2021?重慶中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在二項(xiàng)式（x-2y）6的展開(kāi)式中，設(shè)二項(xiàng)式系數(shù)和

為A,各項(xiàng)系數(shù)和為B,x的奇次基項(xiàng)的系數(shù)和為C,則罷=（）

【答案】A

AR

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式的性質(zhì)求得A,用特值法可求得B,C,再計(jì)算色即可

【詳解】在二項(xiàng)式（x-2y）6的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)和A=26=64,

令x—y—1,得各項(xiàng)系數(shù)和B—（-1-=1,

令/（x）=（x-2）6,得x的奇次幕項(xiàng)的系數(shù)和C=，⑴二/（-1）=把=-364,

22

g、[AB6416..刈人

所以工―麗?彳故選：A-

二、多選題

14.（2021?遼寧丹東?高三期末）對(duì)于二項(xiàng)式（戸+丄）"（〃eAT）,以下判斷正確的有（）

X

A.存在〃eN"，展開(kāi)式中有常數(shù)項(xiàng)B.對(duì)任意〃eN*，展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)

C.對(duì)任意展開(kāi)式中沒(méi)有x的一次項(xiàng)D.存在“eN”,展開(kāi)式中有x的一次項(xiàng)

【答案】AD

【分析】利用展開(kāi)式的通項(xiàng)公式依次對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，得到答案.

r

【詳解】設(shè)二項(xiàng)式（V+丄）"（〃eN*）展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為J,則Tr+l=C^r\-）=

XX

不妨令“=4,則r=3時(shí)，展開(kāi)式中有常數(shù)項(xiàng)，故答案A正確，答案B錯(cuò)誤；

令〃=3,則廠=2時(shí)，展開(kāi)式中有”的一次項(xiàng)，故C答案錯(cuò)誤，D答案正確.故選：AD

2320

15.（2021?湖北襄陽(yáng)?高三期末）若（1—2犬）故°=a0+alx+a2x+a3x+--+02020a（xeR）,

則（）

2020_]

A.%=1B.+,—=----------

c3+1ra,a%〃20,0.

c-q>+%+%+…+*=―-—D-5+京2+聲+…+于而=T

【答案】ACD

2020o20

【分析】設(shè)“X)=(1-2X)=4+平+県2+叼？+…+42020f，利用賦值法可判斷各選

項(xiàng)的正誤.

2IL232020

【詳解】設(shè)/(x)=(l-2X)°=a?+atx+a2x+ci,x+???+a^?nx,

2O2O

對(duì)于A選項(xiàng)，ao=/(O)=l=l,A對(duì)；對(duì)于BC選項(xiàng)，

/(1)=a()+a,+a2+a3+.??+a2O2()=1

a2020

J(-1)=4-q+“2-。3+…+2020=3

())2020

的“/!-/(-!L1-3

所以，a[+ai+a5+---+a20]9=-j-----=---，

%+旳+4+…+”2020=''⑴+，('=3,+!,B錯(cuò)，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，

爭(zhēng)爭(zhēng)+號(hào)+…+舞=%+?+/+崇+???+舞一％=/({H(0)=0T=T，D對(duì).故

選：ACD.

16.（2021?山西大附中模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于多項(xiàng)式+’的展開(kāi)式，下列結(jié)論正確的是（）

A.各項(xiàng)系數(shù)之和為1B.各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和為2口

C.存在常數(shù)項(xiàng)D.R的系數(shù)為40

【答案】BCD

【分析】令x=l，可以判斷A；多項(xiàng)式的+展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和與多項(xiàng)

式的展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和相等，可判斷選項(xiàng)B；利用通項(xiàng)公式可判斷C,D.

【詳解】由題意令x=l可得，各項(xiàng)系數(shù)之和為26,故A錯(cuò)誤;

6展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和與多項(xiàng)式的，+：+xj展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)

多項(xiàng)式的+

之和相等，故令x=l,得各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和為2凡故B正確;

由（l+：-xj=l+,易知該多項(xiàng)式的展開(kāi)式中一定存在常數(shù)項(xiàng)，故C正確；由題

中的多項(xiàng)式可知，若出現(xiàn)V,可能的組合只有＜-X）3和結(jié)合排列組合的

性質(zhì)可得r的系數(shù)為C：xl3xC；x2°x（-l）3+C：xlixC；x2ix（-l）4=40,故D正確.故選：

BCD.

17.（2021?海南?三模）從1,2,3,4,5,6中任取三個(gè)不同的數(shù)組成一個(gè)三位數(shù)，則在

所有組成的數(shù)中（）

A.奇數(shù)有60個(gè)B.包含數(shù)字6的數(shù)有30個(gè)

C.個(gè)位和百位數(shù)字之和為6的數(shù)有24個(gè)D.能被3整除的數(shù)有48個(gè)

【答案】AD

【分析】對(duì)于A,先排好個(gè)位數(shù)，再排十位和百位，故可求排列數(shù)，故可判斷A的正誤.對(duì)

于B,可從余下的5個(gè)數(shù)中選擇兩個(gè)，再全排列后可得所求的排列數(shù)，故可判斷B的正誤.

對(duì)于C,可就個(gè)位、百位的數(shù)字分類(lèi)討論，從而可得所求的排列數(shù)，故可判斷C的正誤；

對(duì)于D,可根據(jù)各數(shù)字之和為3的倍數(shù)分類(lèi)討論后可得所求的排列數(shù)，故可判斷D的正誤.

【詳解】對(duì)于A,先從1,3,5中任取一個(gè)數(shù)放在個(gè)位，再任取兩個(gè)數(shù)放在十位和百位，

?共有3A；=60個(gè)，故A正確；對(duì)于B,先從6以外的數(shù)中任取2個(gè)，對(duì)3個(gè)數(shù)全排列，?

共有C；A；=60個(gè)，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,個(gè)位和百位的數(shù)可以是{1,5},{2,4},順序可以交換，再?gòu)氖Ｏ碌臄?shù)中任選一個(gè)放

在十位上，所以一共有2x2C；=16個(gè)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,要使組成的數(shù)能被3整除，則各位數(shù)之和為3的倍數(shù)，取出的數(shù)有{1,2,3},{1,2,6},

{1,3,5},{1,5,6},{2,3,4},{2,4,6},{3,4,5},{4,5,6},共8種情況，所以組成的能被3整

除的數(shù)有8A；=48個(gè)，故D正確.

故選：AD.

三、填空題

18.(2021?浙江?臺(tái)州一中高三期中)已知(丁一力卜-9)的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為-1,

則。=,該展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為.

【答案】2-640

【分析】利用賦值法，令x=l,可得各項(xiàng)系數(shù)和，進(jìn)而可得。的值，再利用通項(xiàng)公式求得特

定項(xiàng).

【詳解】令”=1,可得(丁一--yl=l-a,即1一4=一1,解得a=2,

又(2x-ej的通項(xiàng)“晨?(201?(-%-2y=q.{-l)r-2?.尸，r<6,且reN,

故該展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為:x3?(-庁4.一_2.或.(-1?"x°=-640,故答案為：2，-640.

19.(2022?浙江?模擬預(yù)測(cè))已知多項(xiàng)式

5623456

(2x-l)—(x+1)=a0+atx+a2x+<23x+a4x+a5x+a6x,則q=,

q+a2+3a3+5a4+1la5+2lab=.

【答案】4-81

［分析】結(jié)合二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式分別求出(2x7)5和(》+庁的各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)而可以求

出結(jié)果.

【詳解】結(jié)合二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可知：

(2x-iy的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為C(2X)5-'(-1)'=(-1丫25一。0》,則%的系數(shù)為

(-1)425-4(^=10；

(x+l)6的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為C；，-"T=Q：xb-"',則x的系數(shù)為C：=6；因此q=10-6=4；

則(2x-l)5中爐的系數(shù)為(_I)325-3C=YO；則(x+l,中f的系數(shù)為C：=15；因此

出=-40-15=-55；

則(2x-l)5中丁的系數(shù)為(-1)2*2G=80；則(x+l)6中X，的系數(shù)為C：=20；因此

。3=80—20=60；

則(2x7)5中/的系數(shù)為(―『2"七；=—80；則。+1)6中/的系數(shù)為C：=15；因此

%=-80-15=-95；

則(2x7)5中f的系數(shù)為(-1)°25-。以=32；則(x+庁中戸的系數(shù)為屐=6；因此

%=32-6=26；

則(X+庁中1的系數(shù)為以=1；因此%=T；

則4+6+3?3+5/+1也+214=4+(-55)+3*60+5乂(-95)+1326+2卜(—1)=-81故答案

為：4;-81.

20.(2021?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))有3個(gè)少數(shù)民族地區(qū)，每個(gè)地區(qū)需要一各支醫(yī)醫(yī)生和兩名支

教教師，現(xiàn)將3名支醫(yī)醫(yī)生(1男2女)和6名支教教師(3男3女)分配到這3地區(qū)去工

作，

(1)要求每個(gè)地區(qū)至少有一名男性，則共有種不同分配方案；

(2)要求每個(gè)地區(qū)至少有一名女性，則共有種不同分配方案.

【答案】324432

【分析】(1)使用間接法求解，先計(jì)算對(duì)立事件至少有一個(gè)地區(qū)全是女性的分配方案，再計(jì)

算所有分配方案即可求解問(wèn)題：(2)使用間接法求解，先計(jì)算對(duì)立事件至少有一個(gè)地區(qū)全是

男性的分配方案，再用總方案相減即可求解結(jié)果.

【詳解】(1)要求每個(gè)地區(qū)至少有一名男性的對(duì)立事件是至少有一個(gè)地區(qū)全是女性的分配方

案有C；C；A；=6x6x6=216,

每個(gè)地區(qū)需要一各支醫(yī)醫(yī)生和兩名支教教師的總分配方案有=6x15x6=540

所以要求每個(gè)地區(qū)至少有一名男性的分配方案有540-216=324；

(2)有一個(gè)地區(qū)全是男性的分配方案有C：C；冬父=3x6x6=108

所以要求每個(gè)地區(qū)至少有一名女性的分配方案有540-108=432.故答案為：324,432

【點(diǎn)睛】組合問(wèn)題常有以下兩類(lèi)題型變化:(1)“含有”或"不含有''某些元素的組合題型:“含”，

則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑?/p>

中去選?。?/p>

(2)“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的題型：若直接法分類(lèi)復(fù)雜時(shí)，逆向思維，間接求解.

21.(2021?河北邯鄲?高三期末)2021年7月下旬河南省多地遭遇了暴雨洪澇災(zāi)害，社會(huì)各

界眾志成城支援河南，邯鄲市某單位組織4輛救援車(chē)隨機(jī)前往河南省的A,B,C三個(gè)城市

運(yùn)送物資，則每個(gè)城市都至少安排一輛救援車(chē)的概率為.

4

【答案】I

【分析】求出總共的安排方式和每個(gè)城市都至少安排一輛車(chē)的情況即可求出.

【詳解】四輛車(chē)前往三個(gè)城市安排方式有，種，毎個(gè)城市都至少安排一輛車(chē)共種，

因此每個(gè)城市都至少安排一輛救援車(chē)的概率為色姿=3.故答案為：言.

3"99

22.(2021?浙江?模擬預(yù)測(cè))我們想把9張寫(xiě)著1~9的卡片放入三個(gè)不同盒子中，滿足每個(gè)

盒子中都有3張卡片，且存在兩個(gè)盒子中卡片的數(shù)字之和相等，則不同的放法有

種.

【答案】198

【分析】首先列出至少有兩個(gè)卡片之和相等的盒子的情況，然后利用全排列即可求解.

【詳解】由題意可知，設(shè)存在的這兩個(gè)盒子中卡片的數(shù)字之和相等，設(shè)其相等的和為X.

當(dāng)％=11時(shí),共有1種情況，即{(L3,7),(2,4,5)}；

當(dāng)x=12時(shí),共有3種情況,即{(1,2,9),(3,4,5)},{(1,3,8),(2,4,6)},{(1,5,6),(2,3,7))；

當(dāng)％=13時(shí),共有5種情況，即{(1,3,9),(2,4,7)},{(1,3,9),(2,5,6)},{(1,4,8),(2,5,6)},

{(1,5,7),(2,3,8)},{(1,5,7),(3,4,6)}；

當(dāng)x=14時(shí)，共有7種情況,即{(1,4,9),(2,5,7)},{(1,4,9),(3,5,6)},{(1,5,8),(2,3,9)},

{(1,5,8),(3,4,7)},{(1,6,7),(2,3,9)},{(1,6,7),(2,4,8)},{(2,4,8),(3,5,6))；

當(dāng)*=15時(shí)，共有2種情況，即{(1,5,9),(2,6,7),(3,4,8)},{(1,6,8),(2,4,9),(3,5,7)}

當(dāng)x=16時(shí)，共有7種情況,即{(1,6,9),(3,5,8)},{(1,6,9),(4,5,7)},{(1,7,8),(2,5,9)},

{(1,7,8),(3,4,9)},{(2,5,9),(3,6,7)},{(2,6,8),(3,4,9)},{(2,6,8),(4,5,7)}：

當(dāng)x=17時(shí),共有5種情況,即{(1,7,9),(4,5,8)},{(2,7,8),(3,5,9)},{(3,5,9)74,6,7)},

{(3,6,7),(4,5,8)},{(1,7,9),(3,6,8))；

當(dāng)x=18時(shí),共有2種情況,即{(2,7,9),(4,6,8)},{(3,7,8),(4,5,9)}；

當(dāng)x=19時(shí)，共有1種情況，即{(3,7,9),(5,6,8)}；

綜上所述，共有1+3+5+7+2+7+5+2+1=33(種)情況，

不同的放法共有：33A；=198種.故答案為：198.

23.(2021?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))中國(guó)體育彩票堅(jiān)持“公益體彩樂(lè)善人生”公益理念，為支持中國(guó)體

育事業(yè)發(fā)展做出了貢獻(xiàn)，其中“大樂(lè)透”是群眾特別喜歡購(gòu)買(mǎi)的一種體育彩票，其規(guī)則是從前

區(qū)1到35的號(hào)碼中選5個(gè)，后區(qū)1到12的號(hào)碼中選2個(gè)組成一注彩票.其中復(fù)式玩法允許

從前區(qū)選5個(gè)以上，后區(qū)選2個(gè)以上號(hào)碼，那么從前區(qū)1到35的號(hào)碼中選7個(gè)號(hào)碼，從后

區(qū)1到12的號(hào)碼中選3個(gè)，組成的彩票注數(shù)為.

【答案】63

【分析】由題意分兩步，第一步從前區(qū)所選7個(gè)號(hào)碼中任選5個(gè)號(hào)碼，第二步從后區(qū)所選3

個(gè)號(hào)碼中任選2個(gè)號(hào)碼，再由由分步計(jì)數(shù)乘法原理求解.

【詳解】第一步從前區(qū)所選7個(gè)號(hào)碼中任選5個(gè)號(hào)碼有C；=21(種)情況，

第二步從丿萬(wàn)區(qū)所選3個(gè)號(hào)碼中任選2個(gè)號(hào)碼有C；=3(種)情況，

由分步計(jì)數(shù)乘法原理，組成的彩票注數(shù)為21x3=63(注).故答案為：63

24.(2021?重慶中學(xué)模擬預(yù)測(cè))2020年初，我國(guó)突發(fā)新冠肺炎疫情.面對(duì)“突發(fā)災(zāi)

難”，舉國(guó)上下一心，克服困難積極復(fù)工，復(fù)產(chǎn)，復(fù)學(xué).復(fù)學(xué)后，通過(guò)心理問(wèn)卷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)

某校高三年級(jí)有6位學(xué)生心理問(wèn)題凸顯，需要心理老師干預(yù).已知該校髙三年級(jí)有三位心理

老師，每位心理老師至少安排一位學(xué)生，至多安排三位學(xué)生，問(wèn)共有種心理輔導(dǎo)

安排方法.

【答案】450

【分析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將6位學(xué)生分為3組，②將分好的3組安排給3

個(gè)老師進(jìn)行心理輔導(dǎo)，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

C：C：C；

將6位學(xué)生分為3組，若每組2人，有=15種分組方法，若一組3人，一組2人,

最后1組1人，有C：C；=60種分組方法，則有15+60=75種分組方法，②將分好的3組安

排給3個(gè)老師進(jìn)行心理輔導(dǎo)，有=6種情況,則有75x6=450種安排方法,故答案為：450.

25.（2021?廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）+展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)為.

【答案】17

【分析】把11+x+J轉(zhuǎn)化為l+［x+g）］,利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，可得通項(xiàng)為：

+對(duì)r分別取值進(jìn)行計(jì)算，求出所有含X的次數(shù)，即可求出結(jié)果.

【詳解】h+x+lj=

'展開(kāi)式通項(xiàng)為：7；+,=C/A-+-^,0<r<8,re^V.

通過(guò)通項(xiàng)可知：（中含x的次數(shù)為0；（中含光的次數(shù)為1、-1；心中含x的次數(shù)為2、0、

-2；

式中含X的次數(shù)為3、1、-1、-3；4中含X的次數(shù)為4、2、0、-2、-屮；7；中含X的次數(shù)為

5、3、1、5、-3、-5；5中含x的次數(shù)為6、4、2、-2、-4、-6；4中含x的次數(shù)為7、5、3、

1、-1>-3、-5、-7；

7；中含％的次數(shù)為8、6、4、2、0、?2、-4、-6、-8.

由上可知：（1+X+丄）展開(kāi)式含X的次數(shù)為8、7、6、5、4、3、2、1、0、-1、-2、-3、-4、

-5、-6、-7、-8；

故［1+x+g）展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)為17項(xiàng).故答案為：17.

四、解答題

26.（2021?江蘇如東?高三期中）已知（一+2）的展開(kāi)式中，第4項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第4項(xiàng)

的系數(shù)之比為

（1）求展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和；

（2）將展開(kāi)式中所有項(xiàng)重新排列，求有理項(xiàng)不相鄰的概率.

【答案】（1）系數(shù)和為：2187,二項(xiàng)式系數(shù)和為：128；（2）—

14

【分析】（1）根據(jù)題意先求出，“，令戶1求出系數(shù)和，由2"'求出二項(xiàng)式系數(shù)和；

（2）根據(jù)題意求岀有理項(xiàng)項(xiàng)數(shù)，進(jìn)而利用插空法求得答案.

（1）由題意，C>23=gc：3.2"T=23=2"i=機(jī)=7,所以展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為:

（1+2）7=3'=2187,二項(xiàng)式系數(shù)和為：2,=128.

（2）展開(kāi)式的第r+1項(xiàng)為0卜2廣]=2,Jq，展開(kāi)式一共有8項(xiàng),當(dāng)「=0,2,4,6

\/

時(shí)為有理項(xiàng)，所以由插空法得有理項(xiàng)不相鄰的概率為：卒■=].

B卷（建議用時(shí)90分鐘）

一、單選題

1.（2021?福建?廈門(mén)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）武漢疫情爆發(fā)后，某醫(yī)院抽調(diào)3名醫(yī)生，5名護(hù)

士支援武漢的三家醫(yī)院，規(guī)定每家醫(yī)院醫(yī)生一名，護(hù)士至少一名，則不同的安排方案有（）

A.900種B.1200種C.1460種D.1820種

【答案】A

【分析】結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理以及全排列和部分平均分組問(wèn)題即可求出結(jié)果.

【詳解】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

①將3名醫(yī)生安排到三家醫(yī)院，有=6種安排方法，

②將5名護(hù)士分為3組，安排到三家醫(yī)院，有C；用=150種安排方法,

則有6x150=900種不同的安排方案,故選:4

2.（2021?山東蒲澤?二模）已知正整數(shù)論7,若（x」）（l-x）"的展開(kāi)式中不含x5的項(xiàng)，則"

X

的值為（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

【分析】結(jié)合二項(xiàng)式的展開(kāi)式，求出V的項(xiàng)的系數(shù)，根據(jù)題意建立方程，解方程即可求岀

結(jié)果.

【詳解】（1-幻"的二項(xiàng)展開(kāi)式中第&+1項(xiàng)為

乂因?yàn)椋▁-丄）（l-x）"=x（l-x）"—丄（1-x）"的展開(kāi)式不含戸的項(xiàng)

XX

所以xC：（-l）4x4-丄&（_1）6*6=0C>5-C%5=0即C；=C；所以〃=10,故選：D.

X

3.（2021?廣東?模擬預(yù)測(cè)）某單位在春節(jié)七天的假期間要安排值班表，該單位有值班領(lǐng)導(dǎo)3

人，值班員工4人，要求每位值班領(lǐng)導(dǎo)至少值兩天班，每位值班員工至少值一天班，每天要

安排一位值班領(lǐng)導(dǎo)和一位值班員工一起值班,且一人值多天班時(shí)要相鄰的安排方案有（）

A.249種B.498種C.1052種D.8640種

【答案】D

【分析】先安排值班領(lǐng)導(dǎo)：選1位值班領(lǐng)導(dǎo)值三天班，則安排3位領(lǐng)導(dǎo)值班共有C；A；種方

案.再安排值班員工：分4名員工中有1名員工值四天班，其他員工各值一天班；1名員工值

兩天班，另一名員工值三天班，剩余2名員工各值一天班；3名員工各值兩天班，1名員工

值一天班，三種情況分別得出方案數(shù)，再根據(jù)分步乘法原理可得選項(xiàng).

【詳解】解：先安排值班領(lǐng)導(dǎo):選1位值班領(lǐng)導(dǎo)值三天班，則安排3位領(lǐng)導(dǎo)值班共有=18

（種）方案.

再安排值班員工：若4名員工中有1名員工值四天班，其他員工各值一天班，則有C；=4（種）

選法；

若1名員工值兩天班，另一名員工值三天班，剩余2名員工各值一天班，則有C；C；=12（種）

選法;

若3名員工各值兩天班，I名員工值一天班，則有C：=4（種）選法，

故安排4名員工值班共有（4+12+4）A：=480（種）方案.

因此，該單位在春節(jié)七天的假期間值班表安排方案共有18x480=8640（種）.故選：D.

4.（2021?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）四色定理（FoN/ro/oHzeore⑼又稱(chēng)四色猜想，是世界近代三大

數(shù)學(xué)難題之一.它是于1852年由畢業(yè)于倫敦大學(xué)的格斯里提出來(lái)的，其內(nèi)容

是“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國(guó)家著上不同的顏色”四色問(wèn)題的證

明進(jìn)程緩慢，直到1976年，美國(guó)數(shù)學(xué)家運(yùn)用電子計(jì)算機(jī)證明了四色定理.某校數(shù)學(xué)興趣小組

在研究給四棱錐P-A8CD的各個(gè)面涂顏色時(shí)，提出如下的“四色問(wèn)題”：要求相鄰面（含公

共棱的平面）不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，那么不同的涂法有（）

A.36種B.72種C.48種D.24種

【答案】B

【分析】先確定底面ABC。的涂色種數(shù)，然后依次確定側(cè)面A4B、平面P8C的涂色方法種

數(shù)，對(duì)側(cè)面PCD與側(cè)面的所涂顏色是否相同進(jìn)行分類(lèi)討論，確定側(cè)面皿＞的涂色方法

種數(shù)，利用分步和分類(lèi)計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.

【詳解】如下圖所示:

底面ABC。的涂色有4種選擇，側(cè)面R4B有3種選擇，側(cè)面P8C有2種選擇.

①若側(cè)面PCD與側(cè)面/V歸所涂顏色相同，則側(cè)面A4￡＞有2種選擇：

②若側(cè)面PC。與側(cè)面所涂顏色不同，則側(cè)面PCD有1種選擇，側(cè)面上4￡＞有1種選擇.

綜上所述，不同的涂法種數(shù)為4x3x2x（2+l）=72種.故選：B.

5.（2021?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）英因數(shù)學(xué)家泰勒（B.hW”,1685-1731）以發(fā)現(xiàn)泰勒公式和泰勒

級(jí)數(shù)聞名于世.由泰勒公式，我們能得到e=l+[+1+4++丄+式/（其中e為自然對(duì)數(shù)

1!2!3!n\（%+1）!

,、e0

的底數(shù)，n!=?（/J-l）x（n-2）xx2xl）,其拉格朗日余項(xiàng)是用=；~屈.可以看

2

出，右邊的項(xiàng)用得越多，計(jì)算得到的-的近似值也就越精確.若西區(qū)近似地表示e的泰勒公

2

式的拉格朗日余項(xiàng)&,R“不超過(guò)向時(shí).，正整數(shù)〃的最小值是（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】根據(jù)題意建立不等式，利用驗(yàn)證的方式求解即可.

22

【詳解】依題意得正而4而歷，即（〃+1）整3000,（5+l）!=6x5x4x3x2xl=720,

（6+l）!=7x6x5x4x3x2xl=5040＞3000,所以"的最小值是6.故選：B

6.（2021?吉林松原?高三階段練習(xí)）“五一”小長(zhǎng)假期間，某學(xué)生會(huì)組織看望留守老人活動(dòng)，

現(xiàn)安排A,B,C,D,E,F,G,"共8名學(xué)生的小組去看望甲，乙，丙，丁四位留守

老人，小組決定兩名學(xué)生看望一位老人，考慮到學(xué)生與老人住址距離問(wèn)題，學(xué)生A不安排看

望老人甲，學(xué)生8不安排看望老人乙，則安排方法共有（）

A.1260種B.2520種C.1440種D.1890種

【答案】C

【分析】利用組合計(jì)數(shù)，結(jié)合乘法計(jì)數(shù)原理求得每?jī)晌粚W(xué)生看望一位老人的總安排方法數(shù),

以及A看望老人甲、B看望老人乙的情況和A看望老人甲同時(shí)B看望老人乙的方法種數(shù)，

然后利用集合的元素個(gè)數(shù)的容斥原理計(jì)算可得所求.

【詳解】8名學(xué)生看望四位老人，每?jī)晌粚W(xué)生看望一位老人共有CjC：C；=2520種安排方法，

其中A看望老人甲的情況有C；C：C：=630種；B看望老人乙的情況有C；或儀=630種；

4看望老人甲，同時(shí)B看望老人乙的情況有=180種，

,符合題意的安排方法有2520-630-630+180=1440種，故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查組合應(yīng)用問(wèn)題，關(guān)鍵是從正面計(jì)算，并利用集合的容斥原理求解.

二、多選題

2工+十）的二項(xiàng)式展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則

7.（2021?江蘇如皋?高三期末）已知

下列結(jié)論正確的是（）

A.二項(xiàng)展開(kāi)式中無(wú)常數(shù)項(xiàng)B.二項(xiàng)展開(kāi)式中倒數(shù)第5項(xiàng)為90d

C.二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為36D.二項(xiàng)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為

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【答案】CD

【分析】先利用二項(xiàng)式展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,可求出〃的值，從而可求出二項(xiàng)式

展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，然后逐個(gè)分析判斷即可

【詳解】解：因?yàn)榈亩?xiàng)式展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,所以2"=64,解得

n=6,

所以的二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為（M=C；（2x）6T（j=]=26，C；I予，

3

對(duì)于A,當(dāng)6-三廠=0,得r=4,所以展開(kāi)式的第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,二項(xiàng)式展開(kāi)式中倒數(shù)第5項(xiàng)為二項(xiàng)式展開(kāi)式的第3項(xiàng)，即4=262.2產(chǎn)3=240/,

所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,令x=l,則得=36,所以二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為3、所以C正確；

對(duì)于D,二項(xiàng)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)，即為267.以433=160x=，所以D

正確，故選：CD

8.（2021?遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模）十七