運籌學(xué)電子教案-LP單純形法與表格匯報人：文小庫2024-01-23目錄CONTENTSLP單純形法概述LP單純形法算法單純形表格解析LP問題的應(yīng)用實例LP單純形法的擴(kuò)展與改進(jìn)01LP單純形法概述線性規(guī)劃問題是在一組線性不等式約束下，最大化或最小化一個線性目標(biāo)函數(shù)的問題。線性規(guī)劃問題可以分為標(biāo)準(zhǔn)型和非標(biāo)準(zhǔn)型，其中標(biāo)準(zhǔn)型的目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是大于等于0。線性規(guī)劃問題可以描述為求解一組線性方程組的問題，其中變量x的數(shù)量是有限的。線性規(guī)劃問題定義最小化cTx，其中c是常數(shù)向量，x是決策變量向量。目標(biāo)函數(shù)Ax<=b，其中A是常數(shù)矩陣，b是常數(shù)向量。約束條件x>=0。非負(fù)約束LP問題的標(biāo)準(zhǔn)形式LP問題可以解釋為在一組半平面（由約束條件確定）中尋找一個頂點（由目標(biāo)函數(shù)確定），使得該頂點到原點的距離最小。在三維空間中，LP問題可以解釋為在三個平面（約束條件）之間尋找一個點，使得該點到原點的距離最小。在二維空間中，LP問題可以解釋為在兩條直線（約束條件）之間尋找一個點，使得該點到原點的距離最小。LP問題的幾何解釋02LP單純形法算法確定初始可行基選擇一個初始基和對應(yīng)的可行解，確保所有約束都滿足。構(gòu)建初始單純形表格根據(jù)初始基，構(gòu)建初始單純形表格，包括基變量、非基變量、目標(biāo)函數(shù)系數(shù)等。確定主元素在初始單純形表格中，選擇主元素（最大或最小值），作為迭代的目標(biāo)。初始單純形表格確定迭代方向計算步長更新單純形表格判斷是否滿足終止條件單純形迭代步驟根據(jù)迭代方向，計算步長，即主元素所在列的系數(shù)與對應(yīng)基變量的比值。根據(jù)主元素所在列的系數(shù)，確定迭代方向（上升或下降）。檢查是否滿足迭代終止條件，如主元素是否達(dá)到最優(yōu)值或達(dá)到預(yù)設(shè)的最大迭代次數(shù)。根據(jù)步長，更新單純形表格中的主元素和非基變量。主元素達(dá)到最優(yōu)值當(dāng)主元素所在列的系數(shù)為0時，表示該主元素已經(jīng)達(dá)到最優(yōu)值，迭代終止。達(dá)到預(yù)設(shè)的最大迭代次數(shù)當(dāng)達(dá)到預(yù)設(shè)的最大迭代次數(shù)時，即使主元素未達(dá)到最優(yōu)值，也會終止迭代。滿足其他終止條件根據(jù)具體情況，可以設(shè)置其他終止條件，如目標(biāo)函數(shù)值變化小于預(yù)設(shè)閾值等。迭代終止條件03020103單純形表格解析123檢驗數(shù)基變量與非基變量最優(yōu)解判別值表格中的數(shù)值含義在單純形表格中，基變量與非基變量的數(shù)值表示了線性規(guī)劃問題中變量的狀態(tài)。基變量數(shù)值為正，表示該變量當(dāng)前處于基態(tài)；非基變量數(shù)值為0，表示該變量當(dāng)前未被選中作為基變量。檢驗數(shù)是單純形法中用于判斷最優(yōu)解的數(shù)值。當(dāng)檢驗數(shù)為負(fù)時，表示對應(yīng)的基變量可以退出基態(tài)，進(jìn)一步迭代求解；當(dāng)檢驗數(shù)為正時，表示對應(yīng)的基變量無法退出基態(tài)，需要繼續(xù)迭代。最優(yōu)解判別值是用于判斷線性規(guī)劃問題是否達(dá)到最優(yōu)解的數(shù)值。當(dāng)最優(yōu)解判別值為0時，表示線性規(guī)劃問題已經(jīng)達(dá)到最優(yōu)解。基變量狀態(tài)在單純形表格中，基變量的狀態(tài)表示了該變量在當(dāng)前迭代中的取值情況?；兞繝顟B(tài)包括取值、對應(yīng)系數(shù)列的值以及所在行的檢驗數(shù)。非基變量狀態(tài)非基變量的狀態(tài)表示了該變量在當(dāng)前迭代中的取值情況以及是否有可能成為基變量。非基變量的狀態(tài)包括取值、對應(yīng)系數(shù)列的值以及所在行的檢驗數(shù)。最優(yōu)解判別狀態(tài)最優(yōu)解判別狀態(tài)表示了線性規(guī)劃問題是否達(dá)到最優(yōu)解的狀態(tài)。當(dāng)最優(yōu)解判別值為0時，表示線性規(guī)劃問題已經(jīng)達(dá)到最優(yōu)解；否則，表示線性規(guī)劃問題還未達(dá)到最優(yōu)解，需要繼續(xù)迭代求解。表格中的變量狀態(tài)迭代步驟在單純形表格中，迭代步驟表示了求解線性規(guī)劃問題的過程。每一步迭代包括基變量的選擇、非基變量的處理以及最優(yōu)解判別值的計算等步驟。迭代方向表示了求解線性規(guī)劃問題的方向。在單純形法中，迭代方向包括進(jìn)基和離基兩種情況。進(jìn)基表示將一個非基變量變?yōu)榛兞浚浑x基表示將一個基變量變?yōu)榉腔兞?。終止條件是用于判斷線性規(guī)劃問題是否已經(jīng)求解完畢的條件。當(dāng)滿足終止條件時，表示線性規(guī)劃問題已經(jīng)達(dá)到最優(yōu)解，迭代過程結(jié)束；否則，需要繼續(xù)迭代求解。迭代方向終止條件表格中的迭代過程04LP問題的應(yīng)用實例01020304確定生產(chǎn)任務(wù)和目標(biāo)建立數(shù)學(xué)模型應(yīng)用LP單純形法求解實施優(yōu)化方案生產(chǎn)計劃優(yōu)化根據(jù)市場需求、產(chǎn)品特點和企業(yè)資源，確定生產(chǎn)任務(wù)和目標(biāo)，如產(chǎn)量、成本、利潤等。將生產(chǎn)計劃問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，建立數(shù)學(xué)模型，包括目標(biāo)函數(shù)、約束條件和決策變量。利用線性規(guī)劃求解方法，如LP單純形法，求解數(shù)學(xué)模型，得到最優(yōu)解。根據(jù)最優(yōu)解，制定生產(chǎn)計劃，優(yōu)化資源配置，提高生產(chǎn)效率。確定運輸任務(wù)和目標(biāo)建立數(shù)學(xué)模型應(yīng)用LP單純形法求解實施優(yōu)化方案運輸問題求解根據(jù)貨物需求、運輸資源和運輸成本，確定運輸任務(wù)和目標(biāo)，如運輸量、運輸時間和運輸成本等。將運輸問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，建立數(shù)學(xué)模型，包括目標(biāo)函數(shù)、約束條件和決策變量。利用線性規(guī)劃求解方法，如LP單純形法，求解數(shù)學(xué)模型，得到最優(yōu)解。根據(jù)最優(yōu)解，制定運輸計劃，優(yōu)化運輸路線和車輛調(diào)度，提高運輸效率。1234確定投資目標(biāo)和風(fēng)險偏好應(yīng)用LP單純形法求解建立數(shù)學(xué)模型實施優(yōu)化方案投資組合優(yōu)化根據(jù)投資者需求和風(fēng)險承受能力，確定投資目標(biāo)和風(fēng)險偏好。將投資組合問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，建立數(shù)學(xué)模型，包括目標(biāo)函數(shù)、約束條件和決策變量。利用線性規(guī)劃求解方法，如LP單純形法，求解數(shù)學(xué)模型，得到最優(yōu)解。根據(jù)最優(yōu)解，制定投資組合方案，優(yōu)化資產(chǎn)配置，實現(xiàn)投資收益最大化。05LP單純形法的擴(kuò)展與改進(jìn)對偶問題的定義對于原問題中的約束條件和目標(biāo)函數(shù)，構(gòu)造一個新的優(yōu)化問題，稱為對偶問題。對偶問題的性質(zhì)對偶問題的最優(yōu)解與原問題的最優(yōu)解具有密切關(guān)系，通過對偶問題的求解可以獲得原問題的解。對偶理論的應(yīng)用在運籌學(xué)中，對偶理論廣泛應(yīng)用于線性規(guī)劃、運輸問題、分配問題等領(lǐng)域。對偶理論大M方法大M方法是一種求解線性規(guī)劃問題的算法，通過引入一個非常大的常數(shù)M來處理約束條件中的“小于等于”關(guān)系。大M方法的步驟首先將原問題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，然后使用單純形法求解，在迭代過程中不斷調(diào)整M的值，直到找到最優(yōu)解。大M方法的優(yōu)缺點大M方法簡單易行，但需要選擇合適的M值，否則可能導(dǎo)致求解結(jié)果不準(zhǔn)確。大M方法的定義兩階段方法是將一個復(fù)雜的線性規(guī)劃問題分解為兩個階段進(jìn)行求解的方法。第一階段是預(yù)處理階段，第二階段是求解階段。兩階段方法的定義在預(yù)處理階段，通過一系列的變換將原問