關(guān)于高量空間對(duì)稱(chēng)性和守恒定律12§19-2空間對(duì)稱(chēng)變換一、位置變換A’B’ABQ

設(shè)變換是三維位形空間的算符，它將點(diǎn)變?yōu)榱硪稽c(diǎn)（19.1）對(duì)每一個(gè)都有確定值。變換是不改變?nèi)魏蝺牲c(diǎn)距離的那些變換：第2頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天3對(duì)稱(chēng)變換群：對(duì)某些物理系統(tǒng)，若位置變換的一個(gè)集合是此系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)變換，即保持這個(gè)系統(tǒng)不變的變換，則這個(gè)集合必構(gòu)成一個(gè)群，稱(chēng)為這個(gè)系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)變換群。滿足群的四個(gè)條件：1．單位元存在：2．結(jié)合律成立：3．封閉性：4．逆元存在：第3頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天4二、態(tài)函數(shù)的變換態(tài)函數(shù)用算符作一個(gè)整體的變換。整體變換：新函數(shù)在新點(diǎn)處的值等于老函數(shù)在老點(diǎn)上的值，即（19.3）新老函數(shù)的關(guān)系用一個(gè)函數(shù)空間的變換算符表示：變換不影響其歸一化，是幺正算符：（19.4）第4頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天5考慮連續(xù)兩次變換：（只對(duì)作用）

得構(gòu)成一個(gè)群。（19.5）

群與群是什么關(guān)系呢？

由于所以（19.6）同態(tài)，即第5頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天6三、態(tài)矢量的變換在Hilbert空間中，狀態(tài)經(jīng)過(guò)變換之后成為新態(tài)，則可定出一個(gè)幺正變換算符：（19.7）

由于

可得

即

所以

（19.8）（19.9）

第6頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天7(19.8)：Hilbert空間中D(Q)的定義式。(19.9)：與的形式關(guān)系。右矢形式：

兩邊乘,有令，得即第7頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天8四、算符的變換設(shè)對(duì)稱(chēng)變換前，

現(xiàn)在分別對(duì)，作對(duì)稱(chēng)變換Q，即

，

則

第8頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天9對(duì)位置算符R，其本征值方程為

所以

有

（19.13）（19.14）用D(Q)作用，得

用Q-1作用在等式

（本征值為Qr的R的本征方程）因?yàn)閨Qr>為任意矢量，所以比較（19.13）和（19.14）,得第9頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天10的雙重身份：Hilbert空間中的算符，只對(duì)作用位形空間中的矢量，只對(duì)作用。第10頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天11§19-3空間反演一、空間反演算符

通常:，根據(jù)19.4式：

，空間反演群：函數(shù)空間的空間反演算符:和空間反演變換的定義是：空間反演算符是：，第11頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天12偶宇稱(chēng)奇宇稱(chēng)無(wú)確切宇稱(chēng)其他情況因?yàn)?，所以的本征值為?/p>

空間反演算符既是幺正算符又是厄米算符與相應(yīng)的左矢形式為：第12頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天13二、算符在空間反演下的變換1．位置算符R在Hilbert空間中：

所以在函數(shù)空間中：所以（19.23）（19.24）第13頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天142．動(dòng)量算符P由于則所以（19.25）（19.26）第14頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天15即P與L對(duì)易3．軌道角動(dòng)量算符L所以：共同的本征函數(shù)是球諧函數(shù)（19.27）第15頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天16矢量算符：在空間反演下改變符號(hào)，如R,P軸矢量（贗矢量）算符：在空間反演下不變，如角動(dòng)量算符L并規(guī)定自旋算符是軸矢量算符。真標(biāo)量：在空間反演下不改變符號(hào)贗標(biāo)量：在空間反演下改變符號(hào)第16頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天17§19-4空間平移、平移群無(wú)限小空間平移變換

（19.28）不是線性算符，得

即在位置表象中，將作用于態(tài)函數(shù)上，

第17頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天18對(duì)于有限的平移，有

（19.30）是線性算符，與同構(gòu)。第18頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天19二、態(tài)矢量的平移算符在Hilbert空間中，有（19.31）

（19.32）由，知（19.33）

所以態(tài)矢量的平移算符正是位置本征矢量的上升算符第19頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天20三、位置算符和動(dòng)量算符的平移變換對(duì)位置算符R：由（19.15）式得（19.34）

對(duì)動(dòng)量算符P，由知所以（19.35）即動(dòng)量算符在平移變換下是不變的。第20頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天21§19-5空間轉(zhuǎn)動(dòng)一、空間轉(zhuǎn)動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)群

繞n軸轉(zhuǎn)角的無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)算符：3D正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)群：繞所有的軸轉(zhuǎn)一切角度的正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)算符的集合構(gòu)成的群。

第21頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天22二、函數(shù)空間和Hilbert空間中的轉(zhuǎn)動(dòng)算符（由19.4）（略高階項(xiàng)）

函數(shù)空間中：

（應(yīng)用

和）在位置表象中態(tài)函數(shù)的轉(zhuǎn)動(dòng)變換是

第22頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天23Hilbert空間中：

第23頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天24三、算符的變換位置算符R

第24頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天25

：Levi-Civitasymbol（6.19）式

第25頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天26四、標(biāo)量算符和矢量算符2.動(dòng)量算符P和角動(dòng)量算符L：1.標(biāo)量算符：在轉(zhuǎn)動(dòng)下不變得單分量算符，滿足2.矢量算符：在3D位形空間轉(zhuǎn)動(dòng)下，函數(shù)空間或Hilbert空間中與位置算符有同樣變換特性的三分量算符，滿足

或第26頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天27標(biāo)量和矢量算符按空間反演變換下的性質(zhì)分別有“真”和“贗”或“真”和“軸”之分。矢量算符的任意分量與軌道角動(dòng)量算符的任意分量的對(duì)易關(guān)系：第27頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天28五、自旋空間中的轉(zhuǎn)動(dòng)變換

自旋是一種角動(dòng)量，S與L一樣是軸矢量，即在空間反演下不改變符號(hào)；S與L三個(gè)分量的對(duì)易關(guān)系類(lèi)似：自旋空間中與空間轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的變換算符為：

第28頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天29在帶有自旋粒子的態(tài)空間（直積空間）中：空間平移算符為

，并只對(duì)位形Hilbert空間有作用；

空間反演算符為，對(duì)自旋算符的作用為

空間轉(zhuǎn)動(dòng)算符為

第29頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天30§19-6空間變換對(duì)稱(chēng)性和守恒定律、系統(tǒng)在空間變換下的對(duì)稱(chēng)性系統(tǒng)在某一空間對(duì)稱(chēng)變換下具有不變性或?qū)ΨQ(chēng)性，不是指系統(tǒng)在變換后狀態(tài)不變，而是指系統(tǒng)在變換前后運(yùn)動(dòng)規(guī)律不變。設(shè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)滿足Schr?dinger方程施以一個(gè)空間變換

第30頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天31如果系統(tǒng)在這一變換下具有不變性或?qū)ΨQ(chēng)性，則要求：即

在空間變換下，Schr?dinger方程變?yōu)椋旱?1頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月