§8.3直線、平面平行的判定與性質(zhì)

【最新考綱】1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨

論證，認(rèn)識和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定.2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證

明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡單命題.

1.線面平行的判定定理和性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言

平面外一條直線與此平面內(nèi)的

l//a

一條直線平行，則該直線與此

判定定理aUa、=l〃a

平面平行（簡記為“線線平行

/__7Ida.

=線面平行”）

一條直線與一個平面平行，則

l//a'

過這條直線的任一平面與此平

性質(zhì)定理鼻〉/.=>l//h

面的交線與該直線平行（簡記

aCB=b.

為“線面平行=線線平行”）

2.面面平行的尹定定理和性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言

一個平面內(nèi)的兩條相交直a//H'

h//ff

線與另一個平面平行，則

判定定理1^1aCb=P

這兩個平面平行（簡記為口

“線面平行=面面平行”）

bUa,

如果兩個平行平面同時和a//B1

性質(zhì)定理第三個平面相交,那么它

60尸力

們的交線平行7^7

【概念方法微思考】

1.一條直線與一個平面平行，那么它與平面內(nèi)的所有直線都平行嗎？

提示不都平行.該平面內(nèi)的直線有兩類，一類與該直線平行，一類與該直線異面.

2.一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別對應(yīng)平行，那么這兩個

平面平行嗎？

提示平行.可以轉(zhuǎn)化為“一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行”，這就是面面平

行的判定定理.

題組一思考辨析

1.判斷下列結(jié)論是否正確（請在括號中打“”或“X”）

（1）若一條直線平行于一個平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行于這個平面.（X）

（2）平行于同一條直線的兩個平面平行.（X）

（3）如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.（X）

（4）如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面.（V）

（5）若直線。與平面a內(nèi)無數(shù)條直線平行，則。〃a.（X）

（6）若直線a〃a,則a〃夕.（X）

題組二教材改編

2.平面a〃平面少的一個充分條件是（）

A.存在一條直線a,a//a,a//p

B.存在一條直線a,aUa,a//p

C.存在兩條平行直線a,b,aC.a,hC.fi,a//P，b//a

D.存在兩條異面直線a,b,aC.a,bC.0,a//fi,b//a

答案D

解析若aC￡=l,a//1,aCa,aip,則a〃a,a//P，故排除A.若and=/,aC.a,a//1,則

a//p,故排除B.若an￡=/,aCa,a//l,bU0,b//I,則“〃.，b//a,故排除C.故選D.

3.如圖，在正方體N8CD一小81Goi中，E為。9的中點(diǎn)，則8。與平面NEC的位置關(guān)系

為.

答案平行

解析連接BD,設(shè)8On/C=。，連接E。，

在△8DG中，E為。。?的中點(diǎn)，。為5。的中點(diǎn)，

所以E0為LBDDi的中位線，則BD\//EO,

而BOg平面ZCE,E0U平面ZCE,

所以8。1〃平面/CE.

題組三易錯自糾

4.（2019?荊州模擬）對于空間中的兩條直線加，n和一個平面a,下列命題中的真命題是（）

A.若機(jī)〃a,n//a,則

B.若加〃a,〃Ua,則，〃〃”

C.若加〃a,〃丄a,則加〃〃

D.若，"丄a,〃丄a,則m〃”

答案D

解析對A,直線機(jī)，〃可能平行、異面或相交，故A錯誤；對B,直線，〃與〃可能平行,

也可能異面，故B錯誤；對C,"，與〃垂直而非平行，故C錯誤；對D,垂直于同一平面

的兩直線平行，故D正確.

5.若平面a〃平面夕，直線a〃平面a,點(diǎn)8右￡,則在平面廳內(nèi)且過5點(diǎn)的所有直線中（）

A.不一定存在與。平行的直線

B.只有兩條與“平行的直線

C.存在無數(shù)條與“平行的直線

D.存在唯一與。平行的直線

答案A

解析當(dāng)直線。在平面￡內(nèi)且過8點(diǎn)時，不存在與。平行的直線，故選A.

6.設(shè)a,夕，y為三個不同的平面，a,6為直線，給出下列條件：

①aUa,bU°,a//P，b//a；?a//y,p//y；

③a丄y,夕丄y；④a丄a,厶丄￡,a//b.

其中能推出a〃/的條件是.（填上所有正確的序號）

答案②④

解析在條件①或條件③中，a〃4或a與￡相交；

由a〃八尸〃尸a〃.，條件②滿足；

在④中，。丄a,a〃6=b丄a,又6丄夕，從而a〃夕，④滿足.

題型一直線與平面平行的判定與性質(zhì)

命題點(diǎn)1直線與平面平行的判定

例1如圖，在幾何體/88E中，四邊形/8CD是矩形，丄平面BEC,BE1.EC,AB=

BE=EC=2,G,F分別是線段BE,。。的中點(diǎn).

求證：G尸〃平面/￡）￡

證明方法一如圖，取4E的中點(diǎn)，，連接，G,HD,

又G是8E的中點(diǎn)，

所以GH〃/IB,且GH=148.

2

又尸是8的中點(diǎn)，

所以DF=-CD.

2

由四邊形N8C。是矩形得

AB//CD,AB=CD,

所以G//〃DF,且GH=DF,

從而四邊形，GF。是平行四邊形，

所以GF//DH.

又。“U平面GFQ平面4DE,

所以GF〃平面ADE.

方法二如圖，取N8的中點(diǎn)/，連接MG,MF.

又G是8E的中點(diǎn)，可知GM〃/

又/EU平面GMQ平面4DE,

所以GM〃平面ADE.

在矩形NBCD中，

由〃，斤分別是48,C。的中點(diǎn)得“〃/D

又/OU平面/OE,MFQ平面ADE.

所以A/尸〃平面ZZM.

又因為GA/CMF=A/,GMU平面GMF,WU平面GMF,

所以平面GM尸〃平面ADE.

因為GFU平面GMF,

所以GF〃平面

命題點(diǎn)2直線與平面平行的性質(zhì)

例2(2019?東三省四市教研聯(lián)合體模擬)在如圖所示的幾何體中，四邊形488是正方形,

以丄平面E,尸分別是線段P8的中點(diǎn)，PA=AB=l.

(1)證明：EF〃平面PDC；

(2)求點(diǎn)F到平面PDC的距離.

(1)證明取尸C的中點(diǎn)A7,連接。加，

,:M,尸分別是PC,P8的中點(diǎn)，

：.MF//CB,MF=~CB,

2

為D4的中點(diǎn)，四邊形/8C￡>為正方形，

：.DE//CB,DE=~CB,

2

C.MF//DE,MF=DE,.?.四邊形QEPA1為平行四邊形，

：.EF//DM,

,：EFQ平面PDC,DMU平面PDC,

〃平面PDC.

(2)解〃平面PDC,...點(diǎn)F到平面PDC的距離等于點(diǎn)E到平面PDC的距離.

丄平面Z8C。，：.PALDA,

在Rt△以。中，PA=AD=\,：.DP=\j2,

丄平面48c￡>,：.PALCB,

:CB丄4B,PAHAB=A,PA,18U平面以8,

丄平面PAB,

；.CB丄PB,貝U尸C=3,

：.PD2+DC2=PC2,

???△PQC為直角三角形，其中尸。丄CQ,

.??s》”=!xIX小也,

22

連接EP,EC,易知VEPDC=VC-PDE,

設(shè)E到平面POC的距離為肌

'JCDLAD,CDVPA,ADHPA=A,AD,R4U平面HD,

.?.CD丄平面PAD,

則lx/zx也=lx1X-X-X1,

32322

；.〃=乎，到平面尸。C的距離為當(dāng).

思維升華判斷或證明線面平行的常用方法

(1)利用線面平行的定義(無公共點(diǎn)).

(2)利用線面平行的判定定理(Ha,bUa,a//b=^a//a).

(3)利用面面平行的性質(zhì)(a〃6，aUa=a〃p).

(4)利用面面平行的性質(zhì)(a〃夕，a耶,a〃a=a〃份.

跟蹤訓(xùn)練1(2018?崇左聯(lián)考)如圖，在四棱錐產(chǎn)一/8。中，平面以C丄平面力8CD,且以丄ZC,

PA=AD=2,四邊形N8CD滿足8C〃4￡>,ABLAD,AB=BC=l點(diǎn)E,F分別為側(cè)棱尸2,

PC上的點(diǎn)，且絲="="%#0).

PBPC

(1)求證：EF〃平面以￡(；

(2)當(dāng)2=；時，求點(diǎn)D到平面AFB的距離.

PFPF

(1)證明?.,急=H=42W0),：.EF//BC.

■:BC//AD,：.EF//AD.

又EFQ平面P4D,/OU平面以。，

...EF〃平面PAD.

⑵解發(fā)=丄，

2

是PC的中點(diǎn)，

在RtZ\R4C中，R4=2,4C=価,

.?.PC=\以2+得=*,

：.PF=-PC=^.

22

?.?平面以C丄平面A8CD,且平面以CD平面48cz)=4C,PA1AC,刃U平面為C,

以丄平面ABCD,：.PA丄BC.

又4BUD,BC//AD,J.BCVAB,

^PAClAB=A,PA,48U平面以8,

；.8C丄平面PAB,

:.BC丄PB,...在RtZ\P8C中，5F=-PC=—.

22

連接8。，DF,設(shè)點(diǎn)。到平面/總的距離為4,

在等腰三角形84F中，BF=AF=^,AB=1,

2

?&=退

?,、AABF，

4

又%相。=1,點(diǎn)尸到平面力8。的距離為1,

，由—BD=VD-AFB,得丄X1X1=1X"X近，

334

解得d=#,即點(diǎn)O到平面/FB的距離為羋.

題型二平面與平面平行的判定與性質(zhì)......一師生共研

例3如圖所示，在三棱柱/8C-481G中，E,F,G,，分別是AC,4B，4cl的中

點(diǎn)，求證：

(1)5，C,H,G四點(diǎn)共面；

(2)平面￡7%〃平面BCHG.

證明(1)VG,"分別是46,4G的中點(diǎn)，

；.GH是△小BCi的中位線,

：.GH//B\C\.

又,：B\C\〃BC,：.GH//BC,

：.B,C,H,G四點(diǎn)共面.

(2)V￡,尸分別是＜C的中點(diǎn),

：.EF//BC.

'：EFQ平面BCHG,BC'U平面BCHG,

〃平面BCHG.

又G,￡分別為小8i,的中點(diǎn)，且小8i=/8,

：.AiG//EB,A\G=EB,

四邊形NiEBG是平行四邊形，

：.A\E//GB.

又；4EQ平面BCHG,G8U平面8cHG,

〃平面BCHG.

又,：AECEF=E,A\E,EFU平面EE4i,

，平面￡7%〃平面BCHG.

引申探究

1.在本例中，若將條件“E,F,G,〃分別是AC,A\B\,小。的中點(diǎn)”變?yōu)椤癉i,D

分別為BG,8c的中點(diǎn)”，求證：平面小8。|〃平面ZCi。.

證明如圖所示，連接4C,ACi,交于點(diǎn)"，

?.?四邊形//CG是平行四邊形，

是小C的中點(diǎn)，連接

■:D為8c的中點(diǎn)，

：.A\B//DM.

??7山U平面平面小

二。河〃平面AiBDi,

又由三棱柱的性質(zhì)知，且。心=8。，

四邊形BOG。為平行四邊形，

：.DC\//BD\.

又。C何平面89U平面

，QCi〃平面AiBDi,

又DCiCDM=D,DC\,。拉U平面AC。，

因此平面平面AC\D.

2.在本例中，若將條件“E,F,G,H分別是4B,AC,AB,小G的中點(diǎn)”變?yōu)椤包c(diǎn)，

jn

。分別是ZC,4cl上的點(diǎn)，且平面8CQ〃平面，試求常的值.

解連接48,ABi,交于點(diǎn)0,連接09.

由平面8Go〃平面ABQ,

且平面小8。Cl平面BC\D=BC\,平面/山GC平面AB\D\=D\O,

所以BCJ/DQ,則皿■nAieuL

D\C\OB

同理，AD\//C\D,

又AD〃G。，

所以四邊形/OGOI是平行四邊形，

所以

又AC=A\C\,

所以g=型，所以図=1,即四=].

D\C\ADADDC

思維升華證明面面平行的方法

(1)面面平行的定義.

(2)面面平行的判定定理.

(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行.

(4)兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行.

(5)利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化.

跟蹤訓(xùn)練2(2018?合肥質(zhì)檢)如圖，在多面體45CCEF中，四邊形/BCD是正方形，8下丄平

面/BCD,丄平面N8CD,BF=DE,M為棱4E的中點(diǎn).

(1)求證：平面〃平面EFC；

⑵若48=1,BF=2,求三棱錐/-CEF的體積.

(1)證明如圖，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)、N,

則N為ZC的中點(diǎn)，連接

又M為棱ZE的中點(diǎn)，

：.MN//EC.

:MN&平面EFC,ECU平面EFC,

；.MN〃平面EFC.

/丄平面Z8CD,DE丄平面ABCD,且BF=DE,

:.BF〃DE且BF=DE,

...四邊形BDEF為平行四邊形，

：.BD//EF.

；BD@平面EFC,EEU平面EFC,

〃平面EFC.

入MNCBD=N,MN,BDU平面BDM,

平面8Z3M〃平面EFC.

⑵解連接EN,FN.

在正方形/BCD中，ACLBD,

又8斤丄平面力BCD,：.BF±AC.

又BFCBD=B,BF,BDU平面3DEF,

丄平面BDEF,

又N是/C的中點(diǎn)，

V-St#A-NEF-V:板"C-NEF,

防=2展WF=2X；X/NXSANEF=2X：X當(dāng)X；X也義2=最

三棱錐N-CE尸的體積為4

3

題型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用......?師生共研

例4如圖所示，四邊形EPG”為空間四邊形N88的一個截面，若截面為平行四邊形.

(1)求證：力3〃平面EFG”，CD〃平面EFGH；

(2)若4B=4,CD=6,求四邊形EFGH周長的取值范圍.

(1)證明?..四邊形EFGH為平行四邊形,

：.EF//HG.

："GU平面/BO,ERI平面4BD,

.?.EF〃平面ABD.

又產(chǎn)U平面/BC,平面/8OC平面Z8C=N3,

：.EF//AB,又；ABQ平面EFGH,EFU平面EFGH,

平面EFG”.同理可證，CD〃平面EFGH.

(2)解設(shè)￡F=x(0<x<4),

■:EF//AB,FG//CD,

.0=)區(qū)=巫=仁母=］上

CB46BCBC4

3

：.FG^6--x.

2

?.?四邊形EFGH為平行四邊形,

：.四邊形EFGH的周長/=2[+6—目=i2-x.

又。034,/.8</<12,

即四邊形EFGH周長的取值范圍是(8,12).

思維升華利用線面平行的性質(zhì)，可以實現(xiàn)與線線平行的轉(zhuǎn)化，尤其在截面圖的畫法中，常

用來確定交線的位置，對于最值問題，常用函數(shù)思想來解決.

跟蹤訓(xùn)練3如圖，E是正方體N8CO—4i8iCQi的棱。。的中點(diǎn)，過/,C,E三點(diǎn)作平面

a與正方體的面相交.

(1)畫出平面a與正方體Z8CO—//iG*各面的交線；

(2)求證：平面a.

⑴解如圖，交線即為EC,AC,AE,平面a即為平面/EC.

(2)證明連接4C,BD,設(shè)BD與4c交于點(diǎn).O,連接EO,

?.?四邊形48。為正方形，.二。是8。的中點(diǎn)，

又E為。。1的中點(diǎn).

：.OE//BD\,又0EU平面a,BDN平面a.

BD\〃平面a.

1.下列命題中正確的是()

A.若a,b是兩條直線，且?！?,那么。平行于經(jīng)過b的任何平面

B.若直線a和平面a滿足o〃a,那么a與a內(nèi)的任何直線平行

C.平行于同一條直線的兩個平面平行

D.若直線a,6和平面a滿足a〃b,a//a,bQa,則b〃a

答案D

解析A中，。可以在過b的平面內(nèi)；B中，。與a內(nèi)的直線也可能異面；C中，兩平面可相

交；D中，由直線與平面平行的判定定理知b〃a,正確.

2.（2018?荷澤模擬）已知加，〃是兩條不同的直線，a,夕，y是三個不同的平面，則下列說法

正確的是（）

A.若，"〃a,n//a,則m〃”

B.若a丄y,夕丄＞，則a〃夕

C.若w〃a,n//[i,m//n,則a〃夕

D.若，"丄a,〃丄a,則m〃”

答案D

解析若丄a,〃丄a,則加〃“，D正確；分析知選項A,B,C中位置不能確定，均不正

確，故選D.

3.（2018?濟(jì)南模擬）如圖所示的三棱柱48C一小8心中，過小亂的平面與平面/8C交于OE,

則DE與48的位置關(guān)系是（）

A.異面

B.平行

C.相交

D.以上均有可能

答案B

解析在三棱柱/8C-48C中，

?.73U平面/BC,458平面N8C,

."由1〃平面4BC.

?.?過小囪的平面與平面4BC交于DE,

：.DE//A\B\,J.DE//AB.

4.（2018?大同模擬）若平面a截三棱錐所得截面為平行四邊形，則該三棱錐與平面a平行的棱

有（）

A.0條B.1條

C.2條D.0條或2條

答案C

解析如圖，設(shè)平面a截三棱錐所得的四邊形EFG”是平行四邊形，

則跖〃G〃，E/R平面BCD,GbU平面88,

所以E■尸〃平面BCD,

又EFU平面4CD,平面平面

則￡1尸〃CO,EFU平面EFGH,CD（t平面EFGH,

則CD〃平面EFGH,

同理/8〃平面EFGH,

所以該三棱錐與平面a平行的棱有2條，故選C.

5.（2017?全國I）如圖，在下列四個正方體中，A,8為正方體的兩個頂點(diǎn)，M,N,。為所

在棱的中點(diǎn)，則在這四個正方體中，直線與平面MAQ不平行的是（）

答案A

解析A項，作如圖①所示的輔助線，其中。為8c的中點(diǎn)，則。反

平面朋N0=0,與平面腦V0相交，

直線48與平面相交；

B項，作如圖②所示的輔助線，則Z8〃CD,CD//MQ,

J.AB//MQ,

又力出I平面MV。，MQU平面MNQ,平面A/N。；

C項，作如圖③所示的輔助線，則/8〃CD,CD//MQ,

J.AB//MQ,

又力出I平面MV。，MQU平面MNQ,平面A/N。；

D項，作如圖④所示的輔助線，則/8〃CD,CD//NQ,

J.AB//NQ,

又48a平面MNQ,NQU平面MNQ,

平面MNQ.

故選A.

6.a,4是兩個平面，m,〃是兩條直線，有下列四個命題：

①如果加丄力，機(jī)丄a,n//ft,那么a丄人

②如果zn丄a,n//a,那么"?丄〃；

③如果a〃4，mC.a,那么機(jī)〃￡；

④如果機(jī)〃ma〃夕，那么機(jī)與a所成的角和〃與夕所成的角相等.

其中正確的命題有.（填寫所有正確命題的序號）

答案②③④

解析當(dāng)〃?丄〃，加丄a,〃〃￡時，兩個平面的位置關(guān)系不確定，故①錯誤，經(jīng)判斷知②③④

均正確，故正確答案為②③④.

7.（2018?貴陽模擬）設(shè)機(jī)，〃是兩條不同的直線，a,p,y是三個不同的平面，給出下列四個

命題：

①若mUa,n//a,則w〃〃：

②若a〃4，加丄a,貝丄州

③若aG尸=〃，〃7〃〃，m//af則加〃尸；

④若“〃a,n//p,m//n,則a〃4.

其中是真命題的是.（填序號）

答案②

解析①〃?〃〃或加，〃異面，故①錯誤；易知②正確；③m〃B或mUp,故③錯誤；④a〃夕

或儀與尸相交，故④錯誤.

8.棱長為2的正方體中，M是棱441的中點(diǎn)，過C,M,Oi作正方體的

截面，則截面的面積是.

答案-

2

解析由面面平行的性質(zhì)知截面與面的交線A/N是△447的中位線，所以截面是梯形

CD\MN,易求其面積為2

2

9.如圖所示，正方體481Goi中，/8=2,點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在C。上.若

EF〃平面48C，則線段EF的長度為.

答案也

解析在正方體中，/8=2,

."C=2亞

又E為AD中點(diǎn)、,EF〃平面ABC,EFU平面4DC,平面/DCC平面

J.EF//AC,...F為。C中點(diǎn)，

:.EF=%C=@

10.如圖所示，在正四棱柱N8CO—a81Gd中，E,F,G,，分別是棱C。，G。，DQ,

。。的中點(diǎn),N是8c的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形E尸G”及其內(nèi)部運(yùn)動，則“只需滿足條件

時，就有MN〃平面8山DZV（注：請?zhí)钌夏阏J(rèn)為正確的一個條件即可，不必考慮全部可能情況）

答案點(diǎn)〃在線段尸〃上（或點(diǎn)〃與點(diǎn)”重合）

解析連接HN,FH,FN,則HN//BD,

:.平面FHN〃平而BiBDDi,只需MGFH,

則MNU平面:.MN〃平面BiBDDi.

11.（2019?南昌模擬）如圖，在四棱錐產(chǎn)一/88中，ZABC^ZACD=90°,NBAC=/CAD

=60°,以丄平面Z8CO,PA=2,Z8=l.設(shè)/，N分別為PD,的中點(diǎn).

（1）求證：平面CMN〃平面R43

（2）求三棱錐P-ABM的體積.

（1）證明'.'M,N分別為PD,的中點(diǎn)，〃必，

又MNQ平面PAB,7MU平面刃B,

:.MN〃平面PAB.

在RtZ\4C。中，ZCAD=60°,CN=AN,

NACN=60。.

又NBAC=60°,J.CN//AB.

:CNQ平面PAB,48U平面為8,

；.CN〃平面PAB.

又CNCMN=N,CN,MNU平面CMN,

平面CMN〃平面PAB.

(2)解由⑴知，平面CA/N〃平面以8,

.?.點(diǎn)”到平面PAB的距離等于點(diǎn)C到平面PAB的距離.

?.78=1,NABC=90。,NB4c=60。,:.BC=0

，三棱錐尸一NBA/的體積〃=匕心歷8=VC-PAB=VP-ABC=~X-X1X^/3X2=^.

323

12.如圖，四棱柱ABCD-AiBiCiDi的底面ABCD是正方形.

(I)證明：平面小8?！ㄆ矫鍯AS；

(2)若平面4BC￡>n平面80iC=直線/,證明：B\D\//l.

證明⑴由題設(shè)知且88|=。5，

所以四邊形8囪。1。是平行四邊形，

所以BD//B\D\.

又BDQ平面CDB,2Q|U平面CD山

所以BD〃平面CD\B\.

因為ZiA〃81ci〃5c且4A=5iG=8C,

所以四邊形小BCDi是平行四邊形，

所以/i8〃OC

又4BQ平面CDB,OiCU平面CDiBi,

所以小8〃平面CDB.

又因為BD,48U平面小8。，

所以平面AiBD〃平面CDiBi.

(2)由(1)知平面45。〃平面CDB,

又平面/8CZ>n平面直線/,

平面48CDC平面小直線BD,

所以直線/〃直線8。，

在四棱柱/8CC—48|CQi中，四邊形8。。山|為平行四邊形，

所以5i必〃5。,所以Bi。"/.

13.如圖，正方體/BCD—小BIGOI的棱長為1,E,尸是線段當(dāng)。上的兩個動點(diǎn)，且EF=也,

2

則下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.ACLBF

B.三棱錐力-8EF的體積為定值

C.EF〃平面4BCD

D.異面直線ZE,8尸所成的角為定值

答案D

解析?.IBC。一小為正方體，

易證/C丄平面BDDB,

?.?BPU平面BDD\B\,

：.AC±BF,故A正確；

對于選項B,,:E,F,B在平面BDDiBi上,

：.A到平面BEF的距離為定值，

V￡F=—,8到直線￡F的距離為1,

2

...△BEF的面積為定值，

...三棱錐"一5底尸的體積為定值，故B正確；

對于選項C,,:EF〃BD,8OU平面/BCD,EFft平面ABCD,

:.EF〃平面4BCD,故C正確；

對于選項D,異面直線/E,3尸所成的角不為定值，令上底面中心為。，當(dāng)尸與田重合時，

E與。重合，易知兩異面直線所成的角是N小/。，當(dāng)E與4重合時，點(diǎn)尸與。重合，連

接BG,易知兩異面直線所成的角是N08G,可知這兩個角不相等，故異面直線/E,BF

所成的角不為定值，故D錯誤.

14.如圖所示，側(cè)棱與底面垂直，且底面為正方形的四棱柱N8C。一小中，/4=2,

AB=\,M,N分別在BC上移動，始終保持MN〃平面。CG。”設(shè)BN=x,MN=y,

則函數(shù)y=/（x）的圖象大致是（）

答案C

解析過"作"0〃。。，交AD于點(diǎn)、Q,連接0N.

?.?M0Q平面OCG。，。。匸平面。CC0,

平面DCQDi,

；MV〃平面DCC\D\,

MNC\MQ=M,

平面腦V0〃平面DCCiDi.

又平面ABCD與平面MNQ和DCCQi分別交于QN和。C,

：.NQ//DC,可得QN=CO=48=1,AQ=BN=x,

.:此=曲：=益

AQAD乂

在RtZ\A/0N中，MN^MQ^QN2,即儼=4丫2+1,

.,,JP-4X2=1（x>0,月1）,

二函數(shù)卜=/）的圖象為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線上支的一部分.故選C.

15.如圖，在三棱錐S-/8C中，△Z8C是邊長為6的正三角形，S4=S8=SC=10,平面

DEFH分別與AB,BC,SC,S4交于Z）,E,F,H,且。，￡分別是N8,8c的中點(diǎn)，如果

直線S8〃平面。EF”,那么四邊形。EF”的面積為（）

A莖B.亜

22

C.15D.453

答案C

解析取/C的中點(diǎn)G,連接SG,BG.

易知SG丄4C,BGL4C,SGHBG=G,SG,8GU平面SG8,故NC丄平面SG8,

所以/C丄S3.

因為S3〃平面。E/H,S8U平面S/8,平面SABC平面DEFH=HD,則S8〃”D

同理S8〃FE.

又D,E分別為8c的中點(diǎn)，則，，尸也為/S,SC的中點(diǎn)，

從而得HF〃AC且HF’AC,

2

DE//ACS.DE=~AC,

2

所以HF//DE且HF=DE,

所以四邊形。EM為平行四邊形.

因為NC丄SB,SB//HD,DE//AC,

所以?！陙A〃。，所以四邊形。E尸〃為矩形，

其面積S=//F”￡>=眄網(wǎng)=15

16.如圖，在四棱錐「一/8cZ）中，以丄底面/8C。，四邊形488為直角梯形，4c與BD

相交于點(diǎn)。，AD//BC,ADLAB,A