數(shù)值分析習題講解ppt課件目錄CONTENCT緒論線性方程組的直接解法線性方程組的迭代解法非線性方程求根插值法與曲線擬合數(shù)值積分與微分常微分方程的數(shù)值解法01緒論研究對象特點數(shù)值分析的研究對象與特點數(shù)值分析是研究用計算機求解數(shù)學問題的數(shù)值計算方法及其理論的學科，是數(shù)學的一個分支。數(shù)值分析以計算機為工具，以數(shù)字為處理對象，注重算法的構(gòu)造、設計和分析。數(shù)值計算的誤差主要來源于模型誤差、觀測誤差、截斷誤差和舍入誤差。誤差來源根據(jù)誤差的性質(zhì)和來源，可分為絕對誤差、相對誤差、截斷誤差和舍入誤差等。誤差分類數(shù)值計算的誤差來源與分類算法的穩(wěn)定性是指算法在輸入數(shù)據(jù)有微小變化時，輸出結(jié)果的變化程度。穩(wěn)定的算法能夠抵抗輸入數(shù)據(jù)的擾動，保證輸出結(jié)果的準確性。算法的收斂性是指當?shù)螖?shù)趨于無窮時，迭代結(jié)果是否趨近于精確解。收斂的算法能夠保證在有限次迭代后得到足夠精確的結(jié)果。算法的穩(wěn)定性與收斂性收斂性穩(wěn)定性02線性方程組的直接解法80%80%100%高斯消元法通過對方程組的增廣矩陣進行初等行變換，將其化為行階梯形矩陣，然后通過回代求解未知數(shù)。首先將增廣矩陣的第一列除第一行外的元素全部消為0，然后將第二列除前兩行外的元素全部消為0，以此類推，直到將增廣矩陣化為行階梯形矩陣。然后通過回代，依次求出未知數(shù)的值。在消元過程中，需要選取主元，避免主元為0的情況。同時，需要注意數(shù)值穩(wěn)定性問題，避免大數(shù)吃小數(shù)的情況。高斯消元法的基本思想高斯消元法的步驟高斯消元法的注意事項列主元消元法的基本思想：在高斯消元法的基礎上，每次消元前選取列中絕對值最大的元素作為主元，然后進行消元。列主元消元法的步驟：首先選取第一列中絕對值最大的元素作為主元，將其所在的行與第一行交換。然后對第一列除第一行外的元素進行消元。接著選取第二列中絕對值最大的元素作為主元，將其所在的行與第二行交換（如果主元不在第二行）。然后對第二列除前兩行外的元素進行消元。以此類推，直到將增廣矩陣化為行階梯形矩陣。最后通過回代求解未知數(shù)。列主元消元法的注意事項：在選取主元時，需要保證主元的絕對值大于一定閾值，以避免出現(xiàn)除以0的情況。同時，需要注意數(shù)值穩(wěn)定性問題，避免大數(shù)吃小數(shù)的情況。列主元消元法追趕法的基本思想追趕法的步驟追趕法的注意事項針對三對角矩陣線性方程組，通過追趕過程（即LU分解）和回代過程求解未知數(shù)。首先進行追趕過程，將三對角矩陣分解為兩個二對角矩陣L和U的乘積。然后進行回代過程，先求解Ly=b得到y(tǒng)，再求解Ux=y得到x。在追趕過程中，需要注意存儲中間變量以便后續(xù)計算。同時，在回代過程中需要注意計算順序和精度問題。追趕法03線性方程組的迭代解法迭代公式收斂性誤差估計雅可比迭代法當?shù)仃嚨淖V半徑小于1時，雅可比迭代法收斂?？山o出迭代解的誤差估計式，用于判斷迭代是否達到所需精度。通過構(gòu)造迭代矩陣，將線性方程組轉(zhuǎn)化為迭代格式進行求解。與雅可比迭代法類似，但每次迭代時利用已求出的最新近似值進行計算。迭代公式收斂性加速技巧當系數(shù)矩陣嚴格對角占優(yōu)或正定且對角元素占優(yōu)時，高斯-賽德爾迭代法收斂。可采用松弛法、外推法等加速技巧提高收斂速度。030201高斯-賽德爾迭代法在高斯-賽德爾迭代法的基礎上引入松弛因子，通過調(diào)整松弛因子來加速收斂。迭代公式當松弛因子在合適范圍內(nèi)取值時，超松弛迭代法收斂速度通常比雅可比和高斯-賽德爾迭代法快。收斂性可通過理論或經(jīng)驗公式確定最優(yōu)松弛因子，使得收斂速度達到最快。最優(yōu)松弛因子超松弛迭代法04非線性方程求根

二分法初始區(qū)間選擇確保非線性方程在初始區(qū)間內(nèi)存在根，且函數(shù)在區(qū)間兩端取值異號。迭代過程每次將區(qū)間一分為二，根據(jù)中值定理，新的區(qū)間內(nèi)必存在方程的根。重復此過程，直至區(qū)間長度小于預設精度。收斂性二分法具有全局收斂性，收斂速度與初始區(qū)間長度和預設精度有關。選擇一個接近方程根的初始值，以確保迭代過程的收斂性。初始值選擇根據(jù)泰勒級數(shù)展開，得到牛頓迭代法的迭代公式。通過不斷迭代，逐步逼近方程的根。迭代公式牛頓迭代法具有局部收斂性，當初始值足夠接近方程根時，收斂速度非?？?。收斂性牛頓迭代法迭代公式根據(jù)割線法的迭代公式，通過不斷迭代，逐步逼近方程的根。與牛頓迭代法相比，割線法無需計算函數(shù)的導數(shù)。初始值選擇選擇兩個接近方程根的初始值，以確保迭代過程的收斂性。收斂性割線法具有局部收斂性，當初始值足夠接近方程根時，收斂速度較快。與牛頓迭代法相比，割線法的收斂速度稍慢一些。割線法05插值法與曲線擬合構(gòu)造拉格朗日插值多項式所用的基函數(shù)，具有局部性。插值基函數(shù)利用拉格朗日插值基函數(shù)構(gòu)造的插值多項式，滿足插值條件。插值多項式拉格朗日插值的誤差與插值節(jié)點的選取有關，節(jié)點越多，精度越高。誤差分析拉格朗日插值法牛頓插值多項式利用差商構(gòu)造的插值多項式，具有繼承性和易變性。誤差分析牛頓插值的誤差同樣與插值節(jié)點的選取有關，節(jié)點越多，精度越高。差商定義牛頓插值法中的關鍵概念，表示函數(shù)值之間的差分與自變量的差分之比。牛頓插值法01020304最小二乘法原理線性最小二乘法非線性最小二乘法誤差分析曲線擬合的最小二乘法用于擬合非線性模型的最小二乘法，需通過迭代算法求解。用于擬合線性模型的最小二乘法，可得到擬合直線的斜率和截距。通過最小化誤差的平方和來尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。最小二乘法的誤差與模型的選取和數(shù)據(jù)的質(zhì)量有關，模型越復雜，精度越高。06數(shù)值積分與微分123牛頓-柯特斯公式是一種數(shù)值積分方法，通過在被積函數(shù)上選取等距節(jié)點，并利用拉格朗日插值多項式進行近似計算。公式定義該公式可以理解為用一系列小矩形的面積和來近似表示被積函數(shù)與坐標軸圍成的面積。幾何意義牛頓-柯特斯公式的誤差與節(jié)點數(shù)及被積函數(shù)的性質(zhì)有關，增加節(jié)點數(shù)可以提高精度，但計算量也會相應增加。誤差分析牛頓-柯特斯公式公式定義01復化求積公式是一種將復雜積分轉(zhuǎn)化為簡單積分進行近似計算的方法，通過將積分區(qū)間劃分為若干個子區(qū)間，并在每個子區(qū)間上應用簡單的求積公式。幾何意義02復化求積公式可以理解為用一系列小矩形的面積和來近似表示被積函數(shù)與坐標軸圍成的面積，每個小矩形的寬度相同，高度由被積函數(shù)在子區(qū)間上的取值決定。誤差分析03復化求積公式的誤差與子區(qū)間的劃分方式及被積函數(shù)的性質(zhì)有關，增加子區(qū)間的數(shù)量可以提高精度，但計算量也會相應增加。復化求積公式算法原理龍貝格算法是一種自適應的數(shù)值積分方法，通過遞歸地對積分區(qū)間進行劃分并應用復化梯形公式或復化辛普森公式，得到一系列近似值，再利用外推技巧對這些近似值進行加速收斂。算法步驟首先確定初始步長h和最大遞歸層數(shù)N，然后從底層開始逐層向上遞歸計算各層的近似值，直到達到最大遞歸層數(shù)。在每一層中，利用外推技巧對前一層的結(jié)果進行加速收斂。誤差分析龍貝格算法的誤差與初始步長h、最大遞歸層數(shù)N及被積函數(shù)的性質(zhì)有關。適當選擇h和N可以使得算法達到較高的精度要求。龍貝格算法07常微分方程的數(shù)值解法010203歐拉公式局部截斷誤差改進歐拉方法歐拉方法通過初始點和斜率，利用歐拉公式進行遞推求解。分析歐拉方法的局部截斷誤差，理解其精度和穩(wěn)定性。通過預測-校正等方法，提高歐拉方法的精度和穩(wěn)定性。03變步長龍格-庫塔方法通過自適應步長選擇，提高龍格-庫塔方法的計算效率。01龍格-庫塔公式介紹龍格-庫塔方法的基本思想和公式，理解其高精度和穩(wěn)定性。02局部截斷誤差分析龍格-庫塔方法的局