隱零點(diǎn)問題-2024屆高考數(shù)學(xué)拓展

隱零點(diǎn)問題

題目11(2023?荊門模擬)設(shè)函數(shù)/㈤=e，+bsin+8).若函數(shù)/Q)在(0,/⑼)處的切線

的斜率為2.

(1)求實(shí)數(shù)b的值；

(2)求證：/(%)存在唯一的極小值點(diǎn)g,且/(g)>—1.

題目120(2023?綿陽模擬)已知函數(shù)/(力)=QC—Inx,aER.

(1)若。=工,求函數(shù)/(/)的最小值及取得最小值時(shí)的x的值；

e

(2)若函數(shù)/(力)4/e，—(Q+l)ln力對(duì)cG(0,+oo)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

題目區(qū)(2023?咸陽模擬)已知/(c)=3—1/'—Sd+aMc>0)(aeR).

(1)討論函數(shù)/(⑼的單調(diào)性；

⑵當(dāng)Q=o時(shí)，判定函數(shù)g(c)=/(力)+ln2—］為2零點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說明理由.

題目0(2023?天津模擬)已知函數(shù)/㈤=Inx—ax+1,g(x)=x(^—x).

(1)若直線y=2x與函數(shù)/(⑼的圖象相切,求實(shí)數(shù)a的值；

⑵當(dāng)a=—1時(shí)，求證：/(x)<g{x)+x2.

建目(2023?包頭模擬)已知函數(shù)/㈤=ae-n3+1)—1.

(1)當(dāng)a=e時(shí),求曲線y=/Q)在點(diǎn)(0,/(O))處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積;

(2)證明：當(dāng)a>1時(shí),f(G沒有零點(diǎn).

題目(2023?石家莊模擬)已知函數(shù)/(⑼="一Inx—2.

(1)討論函數(shù)/3)的單調(diào)性；

(2)若對(duì)任意的xE(1,+8),都有xlnx+x>k{x—1)成立,求整數(shù)k的最大值.

隱零點(diǎn)問題

題目11(2023?荊門模擬)設(shè)函數(shù)/(0=e0+bsin①，4C(—兀，+8).若函數(shù)/Q)在(0,/⑼)處的切線

的斜率為2.

(1)求實(shí)數(shù)b的值；

(2)求證：/(%)存在唯一的極小值點(diǎn)g,且/(g)>—1.

【答案】⑴解：?."(X)=e'+bsinx,

：./'(6)=e*+bcosx,

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，/(2)在(0,/(0))處的切線的斜率k=f(0)=e°+bcos0=1+6,

由已知k=l+b=2,解得6=1.

⑵證明由⑴得/(/)=e'+sinX,xE(―7t,+oo),

ff(2)=e*+cosx,

令g[x}=e^+cosx,xE(—兀,+oo),則gf(x)=e"—sinx,

當(dāng)力G(—7r,0]時(shí)，ex>0,sinc40,g'Q)=e'一sinx>0,

當(dāng)cG(0,+co)時(shí)，e'>1,sinc<1,g'(c)=e^—sinx>0,

???當(dāng)Ne(—7t,+oo)時(shí),gr(x)>0,g(x)在區(qū)間(—7T,+oo)上單調(diào)遞增，

又???g(—兀)=ef+cos(—兀)=/-lV0,g(一5)=e2+cos(-y)=e2>0,

**?存在唯一x0E(一兀，一~,

使g(g)=ex°+cosg=0,

又TgQ)在區(qū)間(—7T,+8)上單調(diào)遞增，

x=g是g(力)在(—兀，+8)上的唯一零點(diǎn)，

.??/3)=e*+cos/在區(qū)間(一兀，+oo)上單調(diào)遞增，且((g)=e&+cosg=0,

當(dāng)力e(―7T,Xo)時(shí)，/'(劣)<0,f(x)在區(qū)間(一兀，X0)上單調(diào)遞減；

當(dāng)％C(g,+oo)時(shí)，r(rc)>0,f(x)在區(qū)間(x0,+oo)上單調(diào)遞增，

f(x)存在唯一極小值點(diǎn)x0.

又?:e^+cosx0=0,

..e=—cosXQ,

Xo

/./(rc0)=e+siiix0=sinXQ-COSN()=V^siri(60—

又Vx0E(一兀，一■，

"冬，

sm

f(.Xo)=V2sin(s0-^-)e(-1,1),

題目l_?J(2023?綿陽模擬)已知函數(shù)/(c)=ax—Inx,aER.

(1)若a=L,求函數(shù)/(⑼的最小值及取得最小值時(shí)的劣的值；

e

(2)若函數(shù)/(劣)(Q+l)lnc對(duì)cG(0,+oo)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】解：⑴當(dāng)a=工時(shí)，

e

f(x)=-x—In/，定義域?yàn)?0,+8),

所以/，(/)=工—工=三二2

exex

令/'(%)=0得力=e,

所以當(dāng)力G(0,e)時(shí)，/'(力)<0,/(rr)單調(diào)遞減；

當(dāng)力C(e,+oo)時(shí)，(Q)>0,/Q)單調(diào)遞增,

所以函數(shù)/(力)在力=e處取得最小值，/Q)min=/(e)=0.

(2)因?yàn)楹瘮?shù)/(1)&xex—(a+l)ln/對(duì)/G(0,+oo)恒成立,

所以xex—a(x+In力)以0對(duì)6C(0,+oo)恒成立,

令h{x}=xex—a(x+Inx),a;>0,

則hr(力)=Q+l)ex—a(l+—

\x7

①當(dāng)a=0時(shí)，〃㈤=(c+l)ex>0,從乃在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

所以由h(x)=xex可得h(x)>0,

即滿足rce'—Q(rc+ln⑼>0對(duì)rcG(0,+oo)恒成立；

②當(dāng)QV0時(shí)，則一Q>0,無'(/)>0,

h(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

因?yàn)楫?dāng)N趨近于o+時(shí)，爪⑼趨近于負(fù)無窮，不成立，故不滿足題意;

x

③當(dāng)Q>0時(shí)，令八'(/)=0得Q=xe9

x

令fc(rc)=e——fk'(re)=e'+g>0恒成立，

xx2

故k(i)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

因?yàn)楫?dāng)力趨近于正無窮時(shí)，k(x)趨近于正無窮，

當(dāng)力趨近于0時(shí)，k(x)趨近于負(fù)無窮，

X()

所以mx0E(0,+8),使得h'(x0)=0,Q=xoe,

所以當(dāng)cG(0,g)時(shí)，

hr(%)<0,h{x)單調(diào)遞減，

當(dāng)力e(g,+co)時(shí)，〃3)>0,h(x)單調(diào)遞增，

所以只需九3)min=九(g)

=Noe&'_Q(/o+lnXQ)

=ge'°(l—g—Ing))0即可；

所以1—g—Ing>0,l>g+lnx0,

x

因?yàn)閤0=aee~°,

所以Ing=Ina—xG,

所以Ing+g=Ina41=Ine,

解得OVaWe,所以aG(0,e],

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0,e].

題目區(qū)I(2023?咸陽模擬)已知/㈤=(①一iyex-^-x3+ax(x>0)(aCR).

o

(1)討論函數(shù)/(⑼的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a=0時(shí)，判定函數(shù)g(c)=/Q)+lnC一。/零點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說明理由.

【答案】解：(1)由題知，

fr(T)=(a?—l)e”一a(/—1)=(力一1)(i+1)(e*一Q).

若當(dāng)0V/V1時(shí)，/'(力)<0;

當(dāng)c>1時(shí)，r(劣)>0,

??JQ)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+oo)上單調(diào)遞增；

若lVaVe,即OVlna<1,

當(dāng)OVcVlnQ或c>l時(shí)，[(劣)>0;

當(dāng)InQV力V1時(shí)，/'3)<0;

??J3)在區(qū)間(O,lna)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(InQ,1)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增;

若a=e,f(%)>0,

/./(X)在定義域上是增函數(shù)；

若0>6,即InQ>1,

當(dāng)。V力V1或n>Ina時(shí)，/(⑼>0;

當(dāng)1V%VInQ時(shí)，/(力)<0;

??"(力)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,InQ)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(InQ,+8)上單調(diào)遞增.

⑵當(dāng)a=0時(shí)，g(rc)=lnx—(6一1)%”,定義域?yàn)?0,+8),

:.gr(6)=——x+(力之一l)e'=(力+1)(力一D(e。--二),

設(shè)h[x)=ex—―(x>0),

x

hr(力)=■--r>0,

x2

：.h{x}在定義域上是增函數(shù)，

從十)—Ve—2V0,/z(l)—e—1>0,

???存在唯一gG(],1),使肌20)=0,

即e&—--=0,e3=—,—x=Ing,

ggG

當(dāng)0VcVg時(shí)，h{x)V0,即g，(x)>0;當(dāng)rc0<cV1時(shí)，h(x)>0,

即gf(x)<0;

當(dāng)力>1時(shí),h[x}>0,即g'3)>0,

???g(0在區(qū)間(0,g)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(%1)上單調(diào)遞減，

在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增，

2Xo

???當(dāng)/=g時(shí)，g⑸取極大值g(x0)=Ing—工就+(x0—l)e=—三就+」—2,

2121XQ

設(shè)FQ)=―^-rr2+-1--2([~V①V1),易知F{x}在區(qū)間1)上單調(diào)遞減.

???g(g)<g(方)=-《<0,

g(x)在(0,1)內(nèi)無零點(diǎn)，?.?g⑴=―<0,g⑵=e2—2+In2>0,

???ff(X)在(1,+8)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),

綜上所述，g[x)有且只有一個(gè)零點(diǎn).

題目[T}(2023?天津模擬)已知函數(shù)/㈤=Inx—ax+1,g(C)=x(ex—x).

(1)若直線y=2x與函數(shù)/(2)的圖象相切,求實(shí)數(shù)a的值；

(2)當(dāng)a=—1時(shí),求證:f(x)<g[x)+x2.

【答案】(1)解:設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(g,/(g)),由/'(x)=——a,

x

得/'(xo)=--a9

g

所以切線方程為g—(Ing—ag+1)=

因?yàn)橹本€g=22與函數(shù)/(力)的圖象相切，

H—Q=2

所以<'解得Q=—1.

1ng=0,

⑵證明：當(dāng)a=-1時(shí)，/(力)=Inx+x+lf

令令力)=g{x}-f⑸+x2

=xex—\nx—x—l(x>0),

則F'(s)=3+l)e'---1

X

1),

X

令G{x}=xex—l(x>0),

則G'3)=(4+1)1>0,

所以函數(shù)GQ)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，

又G(O)=-1<0,G(l)=e-l>0,

所以函數(shù)GQ)存在唯一的零點(diǎn)名代(0,1),

且當(dāng)cC(0,g)時(shí)，G㈤<0,P㈤V0;當(dāng)a；e(g,+8)時(shí),G(x)>0,F'(T)>0.

所以函數(shù)FQ)在(0,T0)上單調(diào)遞減，在(g,+8)上單調(diào)遞增，

故F(s)min=斤(g)=ge""—lnx0-x0-\,

由GQo)=0得ge痢一1=0,

兩邊取對(duì)數(shù)得InJC0+T0=0,

故F(so)=0,

所以g(x)—f(x)+0,

即+/.

題目回(2023?包頭模擬)已知函數(shù)/(⑼=aex-ln(x+1)-1.

(1)當(dāng)a=e時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積；

(2)證明：當(dāng)a>1時(shí),于(x)沒有零點(diǎn).

【答案】(1)解：當(dāng)a=e時(shí)，/(力)=ex+[—ln(x+1)—1,

/(O)=e-"(/)=*--

x-TL

f(O)=e-l,

故曲線n=f(i)在點(diǎn)(0,/(O))處的切線方程為g—(e—1)=(e—1)力，即g=(e—l)x+e—1.

因?yàn)樵撉芯€在c,g軸上的截距分別為一1和e—1,

所以該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積

S=]義|"1|義(e—1)=-21.

(2)證明當(dāng)Q>1時(shí)，

因?yàn)?(rr)=aex—\n(x+1)—1,

所以廣()=aex-1

Xx+1

=ae%c+：)—1,

x+1

令g{x)=aex(x+1)—1(%>—1),

則gr(x)=aex(x+2),

因?yàn)镼>1,%>—1，所以g，(/)>0,

所以gQ)在(-1,+oo)上單調(diào)遞增，

又g(-1)=-l<0,g(0)=a-l>09

故g(力)在(—1,0)上有唯一的零點(diǎn)6,即g(￡)=0,

因此有Q/(6+1)=1.當(dāng)力e(―1,6)時(shí)，g(x)v0,即1㈤v0；

當(dāng)力e(6,+oo)時(shí)，g(x)>o,即/'(力)>0.

所以/(⑼在(一1,6)上單調(diào)遞減，在(￡,+8)上單調(diào)遞增，故/(0)為最小值.由ae"(6+l)=l,得

—ln(6+l)=lnQ+6，

所以當(dāng)一iv6Vo時(shí)，

于⑻=a￡—ln(8+1)-1

=+6-1+lna=lna+

6+1'

因?yàn)閍>l,所以Ina>0,

又因?yàn)橐?V￡V0,

所以，1>0,所以〃6)>o.

所以/3)>/(')>o.

因此當(dāng)a>1時(shí)，/3)沒有零點(diǎn).

1題縣區(qū)〔(2023?石家莊模擬)已知函數(shù)/3)=力—Inc—2.

(1)討論函數(shù)/(①)的單調(diào)性；

(2)若對(duì)任意的2G(1,+8),都有reinx+x>k(x—1)成立,求整數(shù)k的最大值.

【答案】解：⑴函數(shù)/(%)=x—\nx—2的定義域是(0,+oo),f(a?)=1——,