清單03一元一次方程（五大考點梳理+題型解讀+解決實際問題12種題型）【知識導(dǎo)圖】【知識清單】考點一、一元一次方程的概念1．方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程．【例1】（2022秋?潁州區(qū)期末）下列各式中，是方程的個數(shù)為（）①x＝0；②3x﹣5＝2x+1；③2x+6；④x﹣y＝0；⑤＝5y+3；⑥a2+a﹣6＝0．A．2個 B．3個 C．5個 D．4個2．一元一次方程：只含有一個未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1，這樣的方程叫做一元一次方程．細(xì)節(jié)剖析：判斷是否為一元一次方程，應(yīng)看是否滿足：①只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)為1；②未知數(shù)所在的式子是整式，即分母中不含未知數(shù)．【例2】（2022秋?漢臺區(qū)期末）已知（m﹣3）x|m|﹣2＝18是關(guān)于x的一元一次方程，則（）A．m＝2 B．m＝﹣3 C．m＝±3 D．m＝13．方程的解：使方程的左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做這個方程的解．【例3】（2023春?蒸湘區(qū)校級期末）若x＝﹣1是方程2x+m﹣6＝0的解，則m的值是（）A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8【變式】（2022秋?寧陽縣期末）若一元一次方程ax+b＝0的解是x＝1，則a，b的關(guān)系為（）A．相等 B．互為相反數(shù) C．互為倒數(shù) D．互為負(fù)倒數(shù)4．解方程：求方程的解的過程叫做解方程．考點二、等式的性質(zhì)與去括號法則1．等式的性質(zhì)：等式的性質(zhì)1：等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等．等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等．【例4】（2022秋?雅安期末）下列等式變形錯誤的是（）A．若，則x﹣1＝2x B．若x﹣1＝3，則x＝4 C．若x﹣3＝y(tǒng)﹣3，則x﹣y＝0 D．若3x+4＝2x，則3x﹣2x＝﹣42．合并法則：合并時，把系數(shù)相加(減)作為結(jié)果的系數(shù)，字母和字母的指數(shù)保持不變．3．去括號法則：（1）括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后各項的符號與原括號內(nèi)相應(yīng)各項的符號相同．（2）括號外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號后各項的符號與原括號內(nèi)相應(yīng)各項的符號相反．考點三、一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步驟：(1)去分母：在方程兩邊同乘以各分母的最小公倍數(shù)．(2)去括號：依據(jù)乘法分配律和去括號法則，先去小括號，再去中括號，最后去大括號．(3)移項：把含有未知數(shù)的項移到方程一邊，常數(shù)項移到方程另一邊．(4)合并：逆用乘法分配律，分別合并含有未知數(shù)的項及常數(shù)項，把方程化為ax＝b(a≠0)的形式．(5)系數(shù)化為1：方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)得到方程的解(a≠0)．(6)檢驗：把方程的解代入原方程，若方程左右兩邊的值相等，則是方程的解；若方程左右兩邊的值不相等，則不是方程的解．【例5】（2022秋?東寶區(qū)期末）解方程：（1）4﹣2x＝﹣3（2﹣x）；（2）．考點四、列方程解應(yīng)用題的步驟：①審：審題，分析題中已知什么，求什么，明確各數(shù)量之間關(guān)系②設(shè)：設(shè)未知數(shù)（一般求什么，就設(shè)什么為x） ③找：找出能夠表示應(yīng)用題全部意義的一個相等關(guān)系④列：根據(jù)這個相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，進(jìn)而列出方程⑤解：解所列出的方程，求出未知數(shù)的值⑥答：檢驗所求解是否符合題意，寫出答案（包括單位名稱）【例6】（2022秋?匯川區(qū)期末）如圖，已知數(shù)軸上有A，B兩點，它們分別表示數(shù)a，b，且（a+6）2+|b﹣12|＝0．（1）填空：a＝，b＝；（2）點C以2個單位長度/秒的速度從點A向點B運動，到達(dá)點B后停止運動．若點D為AC中點，點E為BC中點，在點C運動過程中，線段DE的長度是否發(fā)生改變？若不變，求線段DE的長度，若變化，請說明原因；（3）在（2）的條件下，點P以1個單位長度/秒的速度同時從原點O向點B運動，P點到達(dá)B點后停止運動，問點P運動多少秒后，點P與點C相距2個單位長度？【例7】（2022秋?秦淮區(qū)期末）根據(jù)國家發(fā)改委實施“階梯電價”的有關(guān)文件要求，某市結(jié)合地方實際，決定從2015年5月1日起對居民生活用電實施“階梯電價”收費，具體收費標(biāo)準(zhǔn)見下表：一戶居民一個月用電量的范圍電費價格（元/千瓦時）不超過150千瓦時的部分a超過150千瓦時，但不超過300千瓦時的部分b超過300千瓦時的部分a+0.32015年5月份，該市居民甲用電100千瓦時，交費60元；居民乙用電200千瓦時，交費125元．（1）求上表中a、b的值；（2）實施“階梯電價”收費以后，該市一戶居民月用電多少千瓦時，其當(dāng)月交費285元？【例8】．（2022秋?常州期末）列方程解決問題：小華和媽媽一起玩成語競猜游戲，商定如下規(guī)則：小華猜中1個成語得2分，媽媽猜中1個成語得1分，結(jié)果兩人一共猜中了30個成語，得分恰好相等．請問小華猜中了幾個成語？考點五、用一元一次方程解決實際問題的常見類型1.行程問題：路程＝速度×?xí)r間2.和差倍分問題：增長量＝原有量×增長率3.利潤問題：商品利潤＝商品售價－商品進(jìn)價4.工程問題：工作量＝工作效率×工作時間，各部分勞動量之和＝總量5.銀行存貸款問題：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期數(shù)6.數(shù)字問題：多位數(shù)的表示方法：例如：7.數(shù)字問題；8.分配問題；9.比賽積分問題；10.水流航行問題（順?biāo)俣?靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度）．題型1.配套問題1.某生產(chǎn)教具的廠家準(zhǔn)備生產(chǎn)正方體教具，教具由塑料棒和金屬球組成（一條棱用一根塑料棒，一個頂點由一個金屬球鑲嵌），安排一個車間負(fù)責(zé)生產(chǎn)這款正方體教具，該車間共有34名工人，每個工人每天可生產(chǎn)塑料棒100根或金屬球75個，如果你是車間主任，你會如何分配工人成套生產(chǎn)正方體教具？2.某車間有62個工人，生產(chǎn)甲、乙兩種零件，每人每天平均能生產(chǎn)甲種零件12個或乙種零件23個．已知每3個甲種零件和2個乙種零件配成一套，問應(yīng)分配多少人生產(chǎn)甲種零件，多少人生產(chǎn)乙種零件，才能使每天生產(chǎn)的這兩種零件剛好配套？題型2.銷售問題銷售問題中有四個基本量：成本（進(jìn)價）、銷售價（收入）、利潤、利潤率。（1）商品利潤＝商品售價－商品成本價（2）商品利潤率＝×100%（3）商品銷售額＝商品銷售價×商品銷售量（4）商品的銷售利潤＝（銷售價－成本價）×銷售量（5）商品打幾折出售，就是按原標(biāo)價的百分之幾十出售，如商品打6折出售，即按原標(biāo)價的60%出售．3.小明和父母打算去某火鍋店吃火鍋，該店在網(wǎng)上出售“25元抵50元的全場通用代金券”（即面值50元的代金券實付25元就能獲得），店家規(guī)定代金券等同現(xiàn)金使用，一次消費最多可用3張代金券，而且使用代金券的金額不能超過應(yīng)付總金額．（1）如果小明一家應(yīng)付總金額為145元，那么用代金券方式買單，他們最多可以優(yōu)惠多少元；（2）小明一家來到火鍋店后，發(fā)現(xiàn)店家現(xiàn)場還有一個優(yōu)惠方式：除鍋底不打折外，其余菜品全部6折．小明一家點了一份50元的鍋底和其他菜品，用餐完畢后，聰明的小明對比兩種優(yōu)惠，選擇了現(xiàn)場優(yōu)惠方式買單，這樣比用代金券方式買單還能少付15元．問小明一家實際付了多少元？題型3儲蓄問題(1)顧客存入銀行的錢叫做本金，銀行付給顧客的酬金叫利息，本金和利息合稱本息和，存入銀行的時間叫做期數(shù)，利息與本金的比叫做利率。利息的20%付利息稅(2)利息=本金×利率×期數(shù)本息和=本金+利息

利息稅=利息×稅率（20%）(3)利潤=每個期數(shù)內(nèi)的利息/本金×100%4．小明一年前存入銀行一筆錢，年利率為2.25%，到期共獲得本息和為10225元，求小明一年前存入銀行的本金是多少元？5．小麗的媽媽在銀行存入5000元，存期一年，到期銀行代扣利息稅22.5元，求這項儲蓄的年利率是多少？（國家規(guī)定存款利息的納稅辦法是：利息稅＝利息×20%，儲戶取款時由銀行代扣代收）．題型4.工程問題在解決有關(guān)工作量問題的應(yīng)用題時，常把整個的工作量看做1，若單獨完成需要的時間為,則工作效率為6.在某一城市美化工程招標(biāo)時，有甲、乙兩個工程隊投標(biāo)．經(jīng)測算：甲隊單獨完成這項工程需要60天，乙隊單獨完成這項工程需要90天；若由甲隊先做20天，剩下的工程由甲、乙兩隊合作完成．（1）甲、乙兩隊合作多少天？（2）甲隊施工一天需付工程款3.5萬元，乙隊施工一天需付工程款2萬元．若該工程計劃在70天內(nèi)完成，在不超過計劃天數(shù)的前提下，是由甲隊或乙隊單獨完成該工程省錢？還是由甲乙兩隊全程合作完成該工程省錢？題型5.和、差、倍、分問題1.和、差關(guān)系：通過關(guān)鍵詞語“多、少、和、差、不足、剩余……”來體現(xiàn).2.倍、分關(guān)系：通過關(guān)鍵詞語“是幾倍、增加幾倍、增加到幾倍、增加百分之幾、增長率……”來體現(xiàn).3.比例問題：全部數(shù)量=各種成分的數(shù)量之和.此類題目通常把一份設(shè)為x.解題的關(guān)鍵是弄清“倍、分”關(guān)系及“和、差”關(guān)系.7.一桶油第一次用去，第二次比第一次多用去40千克，還剩下23千克，原來這桶油有多少千克？8.甲、乙、丙、丁四人一共做了820個零件，如果把甲做的個數(shù)加10個，乙做的個數(shù)減去20個，丙做的個數(shù)乘以2，丁做的個數(shù)除以2，那么四人做的個數(shù)正好相等，問乙實際上做了多少個零件?題型6.數(shù)字問題9.一個兩位數(shù)，把它的個位數(shù)字與十位數(shù)字交換位置得到新兩位數(shù)，原兩位數(shù)的個位數(shù)字比原兩位數(shù)的十位數(shù)字大2，且新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和為154，求原兩位數(shù)是多少？10.一個正兩位數(shù)的個位數(shù)字是a，十位數(shù)字比個位數(shù)字大2（1）請列式表示這個兩位數(shù)，并化簡；（2）把這個兩位數(shù)的十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字交換位置得到一個新的兩位數(shù)，試說明新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和能被22整除．11.一個兩位數(shù)，十位數(shù)字是個位數(shù)字的兩倍，將這個兩位數(shù)的十位數(shù)字與個位數(shù)字對調(diào)后得到的兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)小27，求這個兩位數(shù)．題型7.比例分配問題比例分配問題解題思路：1.通常設(shè)一份為X2.通常先用字母表示適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，并用含有這個字母的代數(shù)式表示其他相關(guān)的量，再根據(jù)題中的相等關(guān)系列出方程，然后解這個方程，寫出問題的答案12.甲、乙、丙三人共同出資做生意，甲投資了萬元，乙投資了萬元，丙投資了萬元，年終時，共賺得利潤萬元，甲、乙、丙三人按比例進(jìn)行分配，各可以分得多少利潤？13.六年級和七年級分別有192人和133人，現(xiàn)在需要從兩個年級選出133人參加“讀書節(jié)”活動，并且要使六年級，七年級剩余學(xué)生數(shù)之比為2：1，問應(yīng)從六年級，七年級各選出多少人？題型8.比賽積分問題14.某電視臺組織知識競賽，共設(shè)30道選擇題，各題分值相同，每題必答．下表記錄了3個參賽者的得分情況．參賽者答對題數(shù)答錯題數(shù)得分A282108B26496C24684（1）每答對1題得多少分？（2）參賽者D得54分，他答對了幾道題？15.某次籃球聯(lián)賽共有十支隊伍參賽，部分積分表如下．根據(jù)表格提供的信息解答下列問題：隊名比賽場次勝場負(fù)場積分A1814432B1811729C189927（1）列一元一次方程求出勝一場、負(fù)一場各積多少分？（2）某隊的勝場總積分能等于它的負(fù)場總積分嗎？若能，試求勝場數(shù)和負(fù)場數(shù)；若不能，說出理由．（3）試就某隊的勝場數(shù)求出該隊的負(fù)場總積分是它的勝場總積分的正整數(shù)倍的情況？題型9.日歷問題在某月的月歷上，橫行上左右相鄰的兩個數(shù)是連續(xù)整數(shù)，它們的差為1，同一豎列上的兩個相鄰的數(shù)是相差7的整數(shù)，根據(jù)它們的數(shù)量關(guān)系可以列方程求解。16.某公司新研發(fā)一種辦公室用壁掛式電磁日歷，底板是一塊長方形磁塊，再用31枚圓柱形小鐵片標(biāo)上數(shù)字吸附在底板上作為日期，如圖1是2007年10月份日歷（1）用長方形和正方形分別圈出相鄰的3個數(shù)和9個數(shù)，若設(shè)圈出的數(shù)的中心數(shù)為a，用含a的整式表示這3個數(shù)的和與9個數(shù)的和，結(jié)果分別為3a，9a．（2）用某種圖形圈出相鄰的5個數(shù)，使這5個數(shù)的和能表示成5a的形式，請在圖2中畫出一個這樣的圖形．（3）用平行四邊形圈出相鄰的四個數(shù)，是否存在這樣的4個數(shù)使得a+b+c+d＝114？如果存在就求出來，不存在說明理由．（4）第一次翻動31枚日歷鐵片，第二次翻動其中的30枚，第三次翻動其中的29枚，……，第31次只翻動其中的一枚，按這樣的方法翻動日歷鐵片，能否使鐵板上所有的31枚鐵片原來有數(shù)字的一面都朝下，試通過計算證明你的判斷．17.生活與數(shù)學(xué)．（1）小明在某月的日歷上象圖①樣圈了2×2個數(shù)，若正方形的方框內(nèi)的四個數(shù)的和是44，那么這四個數(shù)是．（直接寫出結(jié)果）（2）小莉也在日歷上象圖②樣圈出5個數(shù)，呈十字框形，若這五個數(shù)之和是60，則中間的數(shù)是．（直接寫出結(jié)果）（3）小虎說他在日歷上向圖③樣圈了五個數(shù)，算了它們的和是65．你認(rèn)為小虎計算正確嗎？說明理由．拓展與推廣：若干個偶數(shù)按每行8個數(shù)排成如圖④所示：（1）寫出圖④中方框內(nèi)的9個數(shù)的和與中間的數(shù)的關(guān)系是．（2）小明說若用圖④中所畫的方框去框9個數(shù)，其和可以是360，你能求出所框的中間一個數(shù)是多少嗎？（3）小華畫了一個如圖⑤所示的斜框，小華能用這個斜框框出9個數(shù)的和為2016嗎？若能，請求出第一行中間一個數(shù)，若不能，請說明理由．題型10.行程問題1.行程問題中有三個基本量：路程、時間、速度。關(guān)系式為：①路程=速度×?xí)r間；②速度=；③時間=。2.順逆風(fēng)（水）速度之間的關(guān)系：①順?biāo)L(fēng)）速度=靜水（無風(fēng)）速度+水流速度（風(fēng)速）；②逆水（風(fēng)）速度=靜水（無風(fēng)）速度－水流速度（風(fēng)速）。3.追擊問題的一個最基本的公式：追擊時間速度差追擊的路程．相遇問題的基本公式為：速度和相遇時間路程．4.環(huán)形跑道問題環(huán)形跑道問題特殊場地行程問題之一。是多人（一般至少兩人）多次相遇或追及的過程解決多人多次相遇與追擊問題的關(guān)鍵是看我們是否能夠準(zhǔn)確的對題目中所描述的每一個行程狀態(tài)作出正確合理的線段圖進(jìn)行分析。在做出線段圖后，反復(fù)的在每一段路程上利用：路程和=相遇時間×速度和

路程差=追及時間×速度差

解環(huán)形跑道問題的一般方法：環(huán)形跑道問題，從同一地點出發(fā)，如果是相向而行，則每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，則每追上一圈相遇一次．這個等量關(guān)系往往成為我們解決問題的關(guān)鍵。18.快車以200km/h的速度由甲地開往乙地再返回甲地，慢車以75km/h的速度同時從乙地出發(fā)開往甲地．已知當(dāng)快車回到甲地時，慢車距離甲地還有225km，則（1）甲乙兩地相距多少千米？（2）從出發(fā)開始，經(jīng)過多長時間兩車相遇？（3）幾小時后兩車相距100千米？題型11.方案決策問題19.當(dāng)前在多措并舉、全力推進(jìn)青少年校園足球熱烈氛圍中，某體育用品商店對甲、乙兩品牌足球開展促銷活動，已知甲、乙兩品牌足球的標(biāo)價分別是：160元/個，60元/個，現(xiàn)有如下兩種優(yōu)惠方案：方案一：不購買會員卡時，甲品牌足球享受8.5折優(yōu)惠，乙品牌足球買5個（含5個）以上時所有球享受8.5折，5個以下必須按標(biāo)價購買；方案二：辦理一張會員卡100元，會員卡只限本人使用，全部商品享受7.5折優(yōu)惠．（1）若購買甲品牌足球3個，乙品牌足球4個，哪一種方案更優(yōu)惠？多優(yōu)惠多少元？（2）如果購買甲品牌足球若干個，乙品牌足球6個，方案一與方案二所付錢數(shù)一樣多，求購買甲品牌的足球個數(shù)．20.某電器商銷售一種微波爐和電磁爐，微波爐每臺定價800元，電磁爐每臺定價200元．“雙十一”期間商場決定開展促銷活動，活動期間向客戶提供兩種優(yōu)惠方案．方案一：買一臺微波爐送一臺電磁爐；方案二：微波爐和電磁爐都按定價的90%付款．現(xiàn)某客戶要到該賣場購買微波爐2臺，電磁爐x臺（x＞2）．（1）若該客戶按方案一購買，需付款元．（用含x的代數(shù)式表示）若該客戶按方案二購買，需付款元．（用含x的代數(shù)式表示）（2）若x＝5時，通過計算說明此時按哪種方案購買較為合算？