2023年中考數(shù)學(xué)二輪專題訓(xùn)練:幾何探究壓軸題

1.已知//）是V48C的中線，點(diǎn)芥是線段”）上一點(diǎn),過點(diǎn)“作/C的平行線，過點(diǎn)力

作/。的平行線，兩平行線交于點(diǎn)”，連結(jié)〃二

【方法感知】如圖①，當(dāng)點(diǎn)〃與點(diǎn)。重合時，易證：（不需證明）

【探究應(yīng)用】如圖②，當(dāng)點(diǎn)〃與點(diǎn)。不重合時，求證：四邊形/c/i.是平行四邊形.

【拓展延伸】如圖③，記/8與/：7,,的交點(diǎn)為G,C〃的延長線與的交點(diǎn)為N,且N

為4/的中點(diǎn).

NG

(1)~GA

（2）若C41/8,8（'=5時，則對?的長為

2.己知：如圖，正方形/次：/）與正方形/"?（；.

（2）如圖②，求匕的值；

RG

（3）如圖③，分別取（萬、8*的中點(diǎn)M、N,試探究：MN與BE的關(guān)系,并說明理由.

3.在V48c中，AB/C，點(diǎn)/）是射線C為上的一動點(diǎn)（不與點(diǎn)〃、C重合），以//）

為一邊在//）的右側(cè)作V//）K，使ZJiAE-ZBAC,連接C￡.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)/）在線段C8上，且WC=90。時，那么N/XZ,-度；

（2）設(shè)WC=a,NAME=".

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段C7T上，/84％90。時，請你探究。與夕之間的數(shù)量關(guān)系，

并證明你的結(jié)論；

②如圖3,當(dāng)點(diǎn)。在線段C8的延長線上，WC/90。時，請將圖3補(bǔ)充完整寫出此

時a與夕之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

4.已知，W8C為等邊三角形，點(diǎn)。在邊8c上.

圖1圖2圖3

【基本圖形】如圖1,以"）為一邊作等邊三角形v//用，連結(jié)c0.可得Q；+a）=/c

（不需證明）.

【遷移運(yùn)用】如圖2,點(diǎn)〃是4C邊上一點(diǎn)，以?！橐贿呑鞯冗吶荳比方.求證：

CE+（：1）=（：!'.

【類比探究】如圖3,點(diǎn)〃是/C邊的延長線上一點(diǎn)，以/）/，.為一邊作等邊三角

M）EF.試探究線段CK，C1）,。,?三條線段之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，請寫出你的結(jié)

論并說明理由.

5.綜合與實(shí)踐

二輪復(fù)習(xí)中，劉老師以“最值問題”為專題引導(dǎo)同學(xué)們進(jìn)行復(fù)習(xí)探究.

問題模型：等腰三角形/8C,ZBAC=\2QP,AB=AC=2,

⑴探究1：如圖1，點(diǎn)/）為等腰三角形/8C底邊8c上一個動點(diǎn)，連接//）,則//）的最

小值為，判斷依據(jù)為：

⑵探究2：在探究I的結(jié)論下，繼續(xù)探究，作的平分線交8c'于點(diǎn)￡,點(diǎn)”,

G分別為//3//）上一個動點(diǎn)，求的最小值；

（3）探究3：在探究1的結(jié)論下，繼續(xù)探究，點(diǎn)、M為線段C/）上一個動點(diǎn)，連接力股，將/AY

順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段/N,連接M）,求線段/川的最小值.

6.問題提出

圖1

（1）如圖1,在RtZVf*'中，4c8=90。，4=50°,將其折疊，使點(diǎn)8落在/。邊

上的獷處，折痕經(jīng)過點(diǎn)C,交根于點(diǎn)、D,則的度數(shù)為；

問題探究

（2）如圖2,正方形/次刀的一條對稱軸/交（力于點(diǎn)H,點(diǎn)￡在/上，連接

AE.BE、CE.DE.若正方形的邊長為2,BE-BC,求線段”，的長.

問題解決

⑶如圖3,有一塊三角形空地加《7經(jīng)測量，/C=8C=45米，ZJC8=90°.現(xiàn)要過

點(diǎn)C邊修建一條小路PC,滿足45°<ZACP<90°,點(diǎn)4關(guān)于PC的對稱點(diǎn)為D,連接

D4,DBJ）B交PC于前E.若8A=35米，請利用所學(xué)知識，求/龍的長.

7.已知△水為是等腰直角三角形，CACB,

⑴如圖1,V(7)點(diǎn)是等腰直角三角形，點(diǎn)。在的延長線上，CD^CE,連接肘)，

求證：HE1AH；

(2)如圖2,點(diǎn)尸是斜邊加/上動點(diǎn)，點(diǎn)G是///延長線上動點(diǎn)，總有N/，'C8=NCG”,

探究GF,8G的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)如圖3,點(diǎn)”是一點(diǎn)，連接尸"，若匚45。，Al--m,BF-n,直接寫出

VCW”的面積為(用機(jī)，〃表示).

8.課本再現(xiàn)

如圖1,在等邊38c中，“為邊/C上一點(diǎn)，/)為8c上一點(diǎn)，且44=。)，連接//)

與8〃相交于點(diǎn)/1.

(1)//)與HE的數(shù)量關(guān)系是,//)與BE構(gòu)成的銳角夾角NBFD的度數(shù)是

深入探究

(2)將圖1中的//)延長至點(diǎn)G,使〃G-4」，連接8G,CG,如圖2所示.求證GA

平分/8GC.(第一問的結(jié)論，本問可直接使用)

遷移應(yīng)用

(3)如圖3,在等腰Y48C'中，AB^AC,I),“分別是邊8C,/C上的點(diǎn)，//)與打;

相交于點(diǎn)”.若N8"=N8/，7),且B/；=34",求處的值.

CD

9.四邊形/8C/)中，Al)//BC,M為48上一點(diǎn),連/)M、HD.

WDM平分/ADB，ZBDC=/BCD,

①如圖1,求證：W1DC；

②如圖2,若CN平分/小力，交朋)于F,交4B于N,AC1BI),

ZA1X)+ZBCO=_；

⑵在(1)的條件下求N/)￡O+NC"O的值；

(3)如圖3,當(dāng)NODE=2ZAD￡,N()€l；=2ZJta；時,試探究ZAMD+NBNC與ZDOC

的數(shù)量關(guān)系，證明你的結(jié)論.

10.綜合與實(shí)踐

問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖①，在Y48C/)中，BELAD，

垂足為E,尸為⑵的中點(diǎn)，連接//，8”,試猜想〃7,?與8/」的數(shù)量關(guān)系，并加以證

明.

圖①圖②

圖③

(1)獨(dú)立思考：請解答老師提出的問題；

(2)實(shí)踐探先希望小組受此問題的啟發(fā)，將Y/8C/)沿著8"(尸為Q)的中點(diǎn))所在直

線折疊，如圖②，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為右，連接/X”并延長交48于點(diǎn)G,請判斷4G與8G

的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

(3)問題解決：智慧小組突發(fā)奇想，將Y48C/)沿過點(diǎn)8的直線折疊，如圖③，點(diǎn)”的

對應(yīng)點(diǎn)為/,使4'8_LC。于點(diǎn)H,折痕交彳。于點(diǎn)M,連接/'M，交Q)于點(diǎn)N.該小

組提出一個問題：若此Y48C/)的面積為20,邊長48=5,BC=26求圖中陰影部

分(四邊形BHNM)的面積.請你思考此問題，直接寫出結(jié)果.

11.問題提出：已知矩形48Q),點(diǎn)“為居上的一點(diǎn)，El-LAB，交W)于點(diǎn)將

△AW繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90°)得至ijVO/--,則Ab：'與/)/,"有怎樣的數(shù)量關(guān)

系.

【問題探究】

探究一：如圖，已知正方形4/0),點(diǎn)片為/力上的一點(diǎn)，I：!'LAB,交于點(diǎn)

(1)如圖1,直接寫出空的值」

Ah

(2)將△/切/?‘繞點(diǎn)8順時針旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接44、/)“，猜想/)/，.與

的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

探究二：如圖，已知矩形AHC1),點(diǎn)片為48上的一點(diǎn)，EblAH,交W)于點(diǎn)

如圖3,若四邊形ABCD為矩形，空史,將△以沙繞點(diǎn)"順時針旋轉(zhuǎn)

BC2

HO。<a<90°)得到Vy呼'(〃、/<的對應(yīng)點(diǎn)分別為￡、點(diǎn))，連接AE'、DF'，則

織的值是否隨著a的變化而變化.若變化，請說明變化情況；若不變，請求出色

DEDF

的值.

【一般規(guī)律】

如圖3,若四邊形4伙刀為矩形，BC：mAH,其它條件都不變，將△/捌??繞點(diǎn)"順時

針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90°)得到VE'nr,連接AE'，DE'，請直接寫出/與DF’的數(shù)量

關(guān)系.

12.定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.

(1)根據(jù)定義判矩形

已知：如圖1,在平行四邊形彳比刀中，/仁班)是它的兩條對角線，AC=BD.求證:

平行四邊形/雙力是矩形.

(2)動手操作有發(fā)現(xiàn)

如圖2,在矩形/8C/)中，芥是8C的中點(diǎn)，將V//加沿,折疊后得到△〃我，點(diǎn)〃在

矩形4軟刀內(nèi)部，延長"交CD于點(diǎn)G.猜想線段G/J與GC有何數(shù)量關(guān)系？并證明你

的結(jié)論.

⑶類比探究到一般

如圖3,將⑵中的矩形改為平行四邊形，其它條件不變，⑵中的結(jié)論是否仍然成

立，請說明理由.

(4)解決問題巧應(yīng)用

如圖4,保持⑵中的條件不變，若G點(diǎn)是C/)的中點(diǎn)，且/8=2,請直接寫出矩形ABCD

的面積.

13.在中，CA=CB,ZACH=a，點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)4C重合的任意一點(diǎn),

連接4。將線段4,繞點(diǎn)尸逆時針旋轉(zhuǎn)，，得到線段/)/,,連接//),HI)，CP.

上C七

DAB

圖①圖②

(1)觀察猜想

如圖①，當(dāng)a=60°時，條的值是，直線8/)與直線C/,相交所成的較小角的度

數(shù)是.

⑵類比探究

如圖②，當(dāng)a-900時，請寫出有的值及直線與直線(7相交所成的較小角的度數(shù),

并就圖②的情形說明理由.

14.(1)(問題背景)如圖1,在等邊38(‘中，點(diǎn)"是8c邊上一點(diǎn)，連接力”，以力”

為邊作等邊V/MN(Z,M,N按逆時針方向排列)，連接CN,求證：AC-CM+CN

(2)(變式探究)如圖2,已知△/8CS2V(/)K,指出圖中的另外一對相似三角形并進(jìn)

行證明;

(3)(拓展應(yīng)用)如圖3,在W8C和V//)“中，ZBAC=ZJ)AE-90°,

48。=匕4/%=30。，點(diǎn)。在8(：邊上，求的值.

15.(1)【操作發(fā)現(xiàn)】如圖1,四邊形/8C7)、CKG/J都是矩形，—

AG2

AB9,4)12,小明將矩形"(/繞點(diǎn)C順時針轉(zhuǎn)a°(04a4360),如圖2所示.

①若至的值不變，請求出黑的值，若變化，請說明理由.

BEBE

②在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)&E、尸在同一條直線上時，畫出圖形并求出4G的長度.

（2）【類比探究】如圖3,W8C中，AB=AC=2yf5,皿（：=a。,tan48（：=g,G

為8C中點(diǎn)，。為平面內(nèi)一個動點(diǎn)，且=道，將線段B/）繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)a0得到

5

DIT,則四邊形"C8’面積的最大值為一.（直接寫出結(jié)果）

16.如圖1,在矩形48（.7）中，BC=3,動點(diǎn)P從8出發(fā)，以每秒1個單位的速度，沿

射線8c方向移動，作V//8關(guān)于直線/X的對稱△4*，設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動時間為?S）.

⑴若/8=2行.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)/T落在〃：上時，求證：VN4sVACB,

②是否存在異于圖2的時刻，使得△PC/T是直角三角形？若存在，請直接寫出所有符

合題意的,的值？若不存在，請說明理由.

（2）當(dāng)P點(diǎn)不與C點(diǎn)重合時，若直線與直線C/）相交于點(diǎn)M，且當(dāng)，<3時存在某一時

刻有結(jié)論〃%W=45。成立，試探究：對于1>3的任意時刻，結(jié)論“//〃”一45?！笔欠?/p>

總是成立？請說明理由.

17.在正方形中，“是邊C/）上一點(diǎn)（點(diǎn)K不與點(diǎn)C、。重合），連結(jié)8/：

D

AGDD

感知：如圖①，過點(diǎn)A作//「IWi,交8C于點(diǎn)求證V/8/，'三V8CK.

探究：如圖②，取勵:的中點(diǎn)M,過點(diǎn)M作卜G1交BC于點(diǎn)",交//)于點(diǎn)G.

(1)求證：BE=IG.

(2)連結(jié)CM,若CM一1,求"G的長.

應(yīng)用如圖③，取8/,二的中點(diǎn)連結(jié)CM.過點(diǎn)C作CG_L8芯交力。于點(diǎn)G,連結(jié)

4G、MG.若CM=3,求四邊形GMC%'的面積.

18.點(diǎn)/，在四邊形/8C/)的對角線4c上，直角三角板尸以：繞直角頂點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)，其邊

PE、/少分別交8C、CD邊于點(diǎn)“、N.

操作發(fā)現(xiàn)：如圖①，若四邊形Z8Q)是正方形，當(dāng)〃8('時，可知四邊形FMCN是

正方形，顯然PM二PN.當(dāng)尸M與8C不垂直時，判斷確定/，例、/W之間的數(shù)量關(guān)系;

.(直接寫出結(jié)論即可)

類比探究：如圖②，若四邊形/8C7)是矩形，試說明”:她■.

PNA1)

拓展應(yīng)用：如圖③，改變四邊形/水力、V48C的形狀，其他條件不變，且滿足

圖①圖②圖③

參考答案:

1.【拓展