專題1.1整式的乘除【典例1】【知識回顧】有這樣一類題：代數(shù)式ax?y+6+3x?5y?1的值與x的取值無關(guān)，求a的值；通常的解題方法；把x，y看作字母，a看作系數(shù)合并同類項，因為代數(shù)式的值與x的取值無關(guān)，所以含x項的系數(shù)為0，即原式=a+3x?6y+5，所以a+3=0，即【理解應(yīng)用】（1）若關(guān)于x的多項式(2m?3)x+2m2?3m的值與x（2）已知3(2x+1)(x?1)?x(1?3y)+6(?x2+xy?1)【能力提升】（3）如圖1，小長方形紙片的長為a、寬為b，有7張圖1中的紙片按照圖2方式不重疊地放在大長方形ABCD內(nèi)，大長方形中有兩個部分（圖中陰影部分）未被覆蓋，設(shè)右上角的面積為S1，左下角的面積為S2，當(dāng)AB的長變化時，S1-S（1）根據(jù)含x項的系數(shù)為0建立方程，解方程即可得；（2）先根據(jù)整式的加減求出3A+6B的值，再根據(jù)含x項的系數(shù)為0建立方程，解方程即可得；（3）設(shè)AB=x，先求出S1,S2，從而可得S1?S2，再根據(jù)“當(dāng)解：（1）(2x?3)m+2=(2m?3)x?3m+2m∵關(guān)于x的多項式(2x?3)m+2m2?3x∴2m?3=0，解得m=3（2）令A(yù)=(2x+B=?x原式=3A+6B=3(2=6=15xy?6x?9=(15y?6)x?9，∵3A+6B的值與x無關(guān)，∴15y?6=0，解得y=2（3）解：設(shè)AB=x，由圖可知，S1=a(x?3b)=ax?3ab，則S=ax?3ab?2bx+4ab=(a?2b)x+ab，∵當(dāng)AB的長變化時，S1∴S1?∴a?2b=0，∴a=2b．1．（2023春·貴州六盤水·七年級統(tǒng)考期中）已知a1，a2，a3，…，a2022均為負(fù)數(shù)，則M=a1+a2A．M=N B．M>N C．M<N D．無法確定2．（2023秋·全國·七年級專題練習(xí)）設(shè)x，y為任意有理數(shù)，定義運算：x?y=(x+1)(y+1)?1，得到下列五個結(jié)論：①x?y=y?x；②x?y+z=x?y+x?z；③(x+1)?(x?1)=x?x?1；④x?0=0；⑤(x+1)?(x+1)=x?x+2?x+1．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）設(shè)x+y+z=2020，且x2019=y2020=A．673 B．20203 C．202134．（2023春·江蘇南京·七年級南京市人民中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，長為y(cm)，寬為x(cm)的大長方形被分割為7小塊，除陰影A，B外，其余5塊是形狀、大小完全相同的小長方形，其較短的邊長為①小長方形的較長邊為y?15；②陰影A的較短邊和陰影B的較短邊之和為x?y+5；③若x為定值，則陰影A和陰影B的周長和為定值；④當(dāng)x=15時，陰影A和陰影B的面積和為定值．A．①③ B．②④ C．①③④ D．①④5．（2023春·浙江杭州·七年級統(tǒng)考期中）若a=255，b=344，c=433，d=522，則a，b，c，6．（2023秋·七年級單元測試）計算1?7．（2023春·浙江杭州·七年級?？计谥校┤绻鹸?1x?2x?3x?48．（2023秋·湖南長沙·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）若a+b+c=0，a3+b9．（2023秋·上海·七年級專題練習(xí)）若a,b,c滿足a+b+c=1,?a210．（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）建黨100周年主題活動中，702班潯潯設(shè)計了如圖1的“紅色徽章”其設(shè)計原理是：如圖2，在邊長為a的正方形EFGH四周分別放置四個邊長為b的小正方形，構(gòu)造了一個大正方形ABCD，并畫出陰影部分圖形，形成了“紅色徽章”的圖標(biāo)．現(xiàn)將陰影部分圖形面積記作S1，每一個邊長為b的小正方形面積記作S2，若S111．（2023秋·七年級課時練習(xí)）若x2+3mx?13x（1）直接寫出m、n的值，即m=___________，n=___________；（2）求代數(shù)式?m12．（2023春·浙江杭州·七年級?？计谥校┗卮鹣铝袉栴}：（1）填空：a?ba+ba?baa?ba（2）猜想：a?ban?1+an?2（3）利用（2）猜想的結(jié)論計算：①210②21013．（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）閱讀下列材料：小明為了計算1+2+2設(shè)S=1+2+2則2S=2+2②?①得，2S?S=S=2請仿照小明的方法解決以下問題：（1）2+2（2）求1+1（3）求?2+（4）求a+2a2+3a314．（2023秋·湖南永州·七年級?？计谥校┮?guī)定兩數(shù)a，b之間的一種運算，記作a,b，如果ac=b．我們叫例如：因為23=8，所以2,8=3設(shè)3,3=m，3,5=n，則3m=3，則3,15=m+n，即3,3（1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：2,4=_________；5,1=_________；（2）計算5,2+（3）利用“雅對”定義證明：2n,315．（2023春·江西撫州·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）我們學(xué)過單項式除以單項式、多項式除以單項式，那么多項式除以多項式該怎么計算呢？我們也可以用豎式進(jìn)行類似演算，即先把被除式、除式按某個字母的指數(shù)從大到小依次排列項的順序，并把所缺的次數(shù)項用零補齊，再類似數(shù)的豎式除法求出商式和余式，其中余式為0或余式的次數(shù)低于除式的次數(shù).例：計算8x2+6x+1÷2x+1（1）x3（2）利用上述方法解決：若多項式2x4+4x3（3）已知一個長為x+2，寬為x?2的長方形A，若將它的長增加6，寬增加a就得到一個新長方形B，此時長方形B的周長是A周長的2倍（如圖）.另有長方形C的一邊長為x+10，若長方形B的面積比C的面積大76，求長方形C的另一邊長.16．（2023春·浙江金華·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數(shù)學(xué)等式．例如圖1可以得到(a+b)2（1）寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式______；（2）利用（1）中得到的結(jié)論，解決下面的問題：若a+b+c=15,ab+ac+bc=35，則a2（3）小明同學(xué)用圖3中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張邊長分別為a、b的長方形紙片拼出一個面積為(2a+b)(a+2b)長方形圖形，則x+y+z=_______．（4）如圖4所示，將兩個邊長分別為a和b的正方形拼在一起，B，C，G三點在同一直線上，連接AG和GE，若兩正方形的邊長滿足a+b=12,?17．（2023秋·江蘇常州·七年級?？计谥校┮阎?張如圖1所示的長為a，寬為b(a>b)的小長方形紙片，按圖2的方式不重疊地放在矩形ABCD內(nèi)，未被覆蓋的部分（兩個矩形）用陰影表示．設(shè)左上角與右下角的陰影部分的面積的差為S．設(shè)BC=t．（1）用a、b、t的代數(shù)式表示S=

___________

．（2）當(dāng)BC的長度變化時，如果S始終保持不變，則a、b應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系是什么？（3）在（2）的條件下，用這7張長為a，寬為b的矩形紙片，再加上x張邊長為a的正方形紙片，y張邊長為b的正方形紙片（x，y都是正整數(shù)），拼成一個大的正方形（按原紙張進(jìn)行無空隙、無重疊拼接），則當(dāng)x+y的值最小時，求拼成的大的正方形的邊長為多少（用含b的代數(shù)式表示）？并求出此時的x、18．（2023春·四川達(dá)州·七年級統(tǒng)考期末）把圖1的長方形看成一個基本圖形，用若干相同的基本圖形進(jìn)行拼圖（重合處無縫隙）．（1）如圖2，將四個基本圖形進(jìn)行拼圖，得到正方形ABCD和正方形EFGH，用兩種不同的方法計算圖中陰影部分的面積（用含a，b的代數(shù)式表示），并寫出一個等式；（2）如圖3，將四個基本圖形進(jìn)行拼圖，得到四邊形MNPQ，求陰影部分的面積（用含a，b的代數(shù)式表示）；（3）如圖4，將圖3的上面兩個基本圖形作為整體圖形向左運動x個單位，再向上運動2b個單位后得到一個長方形圖形，若AB=b，BC把圖中陰影部分分割成兩部分，這兩部分的面積分別記為S1，S2，若m=S1?19．（2023春·江蘇泰州·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，4張長為x，寬為y（x＞y）的長方形紙片拼成一個邊長為（x＋y）的正方形ABCD．（1）當(dāng)正方形ABCD的周長是正方形EFGH周長的三倍時，求xy（2）當(dāng)空白部分面積是陰影部分面積的二倍時，求xy（3）在（2）的條件下，用題目條件中的4張長方形紙片，m張正方形ABCD紙片和n張正方形EFHG紙片（m，n為正整數(shù)），拼成一個大的正方形（拼接時無空隙、無重疊），當(dāng)m，n為何值時，拼成的大正方形的邊長最??？20．（2023春·廣東佛山·七年級統(tǒng)考期末）【閱讀材料】“數(shù)形結(jié)合”是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想方法．比如：在學(xué)習(xí)“整式的乘法”時，我們通過構(gòu)造幾何圖形，用“等積法”直觀地推導(dǎo)出了完全平方和公式：a+b2【方法應(yīng)用】根據(jù)以上材料提供的方法，完成下列問題：（1）由圖2可得等式：__________；由圖3可得等式：__________；（2）利用圖3得到的結(jié)論，解決問題：若a+b+c=15，ab+ac+bc=35，則a2（3）如圖4，若用其中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張邊長分別為a、b的長方形紙片拼出一個面積為2a+ba+2b長方形（無空隙、無重疊地拼接），則x+y+z=（4）如圖4，若有3張邊長為a的正方形紙片，4張邊長分別為ab的長方形紙片，5張邊長為b的正方形紙片．從中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張．把取出的這些紙片拼成一個正方形（無空隙、無重疊地拼接），則拼成的正方形的邊長最長可以為______．【方法拓展】（5）已知正數(shù)a，b，c和m，n，l，滿足a+m=b+n=c+l=k．試通過構(gòu)造邊長為k的正方形，利用圖形面積來說明al+bm+cn<k專題1.1整式的乘除【典例1】【知識回顧】有這樣一類題：代數(shù)式ax?y+6+3x?5y?1的值與x的取值無關(guān)，求a的值；通常的解題方法；把x，y看作字母，a看作系數(shù)合并同類項，因為代數(shù)式的值與x的取值無關(guān)，所以含x項的系數(shù)為0，即原式=a+3x?6y+5，所以a+3=0，即【理解應(yīng)用】（1）若關(guān)于x的多項式(2m?3)x+2m2?3m的值與x（2）已知3(2x+1)(x?1)?x(1?3y)+6(?x2+xy?1)【能力提升】（3）如圖1，小長方形紙片的長為a、寬為b，有7張圖1中的紙片按照圖2方式不重疊地放在大長方形ABCD內(nèi)，大長方形中有兩個部分（圖中陰影部分）未被覆蓋，設(shè)右上角的面積為S1，左下角的面積為S2，當(dāng)AB的長變化時，S1-S（1）根據(jù)含x項的系數(shù)為0建立方程，解方程即可得；（2）先根據(jù)整式的加減求出3A+6B的值，再根據(jù)含x項的系數(shù)為0建立方程，解方程即可得；（3）設(shè)AB=x，先求出S1,S2，從而可得S1?S2，再根據(jù)“當(dāng)解：（1）(2x?3)m+2=(2m?3)x?3m+2m∵關(guān)于x的多項式(2x?3)m+2m2?3x∴2m?3=0，解得m=3（2）令A(yù)=(2x+B=?x原式=3A+6B=3(2=6=15xy?6x?9=(15y?6)x?9，∵3A+6B的值與x無關(guān)，∴15y?6=0，解得y=2（3）解：設(shè)AB=x，由圖可知，S1=a(x?3b)=ax?3ab，則S=ax?3ab?2bx+4ab=(a?2b)x+ab，∵當(dāng)AB的長變化時，S1∴S1?∴a?2b=0，∴a=2b．1．（2023春·貴州六盤水·七年級統(tǒng)考期中）已知a1，a2，a3，…，a2022均為負(fù)數(shù)，則M=a1+a2A．M=N B．M>N C．M<N D．無法確定【思路點撥】令a2+a3+???+a2021=x，則M=【解題過程】解：令a2+a3+???+a2021∴M-N=a1x+a1a∵a1，a2，a3∴a1即M>N．故選：B．2．（2023秋·全國·七年級專題練習(xí)）設(shè)x，y為任意有理數(shù)，定義運算：x?y=(x+1)(y+1)?1，得到下列五個結(jié)論：①x?y=y?x；②x?y+z=x?y+x?z；③(x+1)?(x?1)=x?x?1；④x?0=0；⑤(x+1)?(x+1)=x?x+2?x+1．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【思路點撥】根據(jù)題中定義的運算，對各結(jié)論中新定義的運算進(jìn)行計算，判斷即可解答．【解題過程】解：∵x?y=(x+1)(y+1)?1，y?x=(y+1)(x+1)?1，∴x?y=y?x，故①正確；∵x?y+z=(x+1)(y+1)?1+z=xy+x+y+z，x?y+x?z=(x+1)(y+1)?1+(x+1)(z+1)?1=xy+x+y+xz+x+z=xy+xz+2x+y+z，∴x?y+z≠x?y+x?z，故②錯誤；∵(x+1)?(x?1)=(x+1+1)(x?1+1)?1=(x+2)x?1=xx?x?1=(x+1)(x+1)?1?1=x∴(x+1)?(x?1)=x?x?1，故③正確；∵x?0=(x+1)(0+1)?1=x+1?1=x，∴x?0≠0，故④錯誤；∵(x+1)?(x+1)=(x+1+1)(x+1+1)?1=(x+2)x?x+2?x+1=(x+1)(x+1)?1+(2+1)(x+1)?1+1=(x+1)∴(x+1)?(x+1)≠x?x+2?x+1故⑤錯誤．綜上所述，正確的個數(shù)為2．故選：B．3．（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）設(shè)x+y+z=2020，且x2019=y2020=A．673 B．20203 C．20213【思路點撥】令x2019=y【解題過程】解：設(shè)x則x=2019a,y=2020a,z=2021a將x，y，z的值代入x+y+z=2020可得：2019a+2020a+2021a=2020解得：a=∵z3xyz=3y(y?a)(y+a)=3y(∴=(=9=9=9×2020×=故選：B.4．（2023春·江蘇南京·七年級南京市人民中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，長為y(cm)，寬為x(cm)的大長方形被分割為7小塊，除陰影A，B外，其余5塊是形狀、大小完全相同的小長方形，其較短的邊長為①小長方形的較長邊為y?15；②陰影A的較短邊和陰影B的較短邊之和為x?y+5；③若x為定值，則陰影A和陰影B的周長和為定值；④當(dāng)x=15時，陰影A和陰影B的面積和為定值．A．①③ B．②④ C．①③④ D．①④【思路點撥】①觀察圖形，由大長方形的長及小長方形的寬，可得出小長方形的長為（y-15）cm，說法①正確；②由大長方形的寬及小長方形的長、寬，可得出陰影A，B的較短邊長，將其相加可得出陰影A的較短邊和陰影B的較短邊之和為（2x+5-y）cm，說法②錯誤；③由陰影A，B的相鄰兩邊的長度，利用長方形的周長計算公式可得出陰影A和陰影B的周長之和為2（2x+5），結(jié)合x為定值可得出說法③正確；④由陰影A，B的相鄰兩邊的長度，利用長方形的面積計算公式可得出陰影A和陰影B的面積之和為（xy-25y+375）cm2，代入x=15可得出說法④錯誤．【解題過程】解：①∵大長方形的長為ycm，小長方形的寬為5cm，∴小長方形的長為y-3×5=（y-15）cm，說法①正確；②∵大長方形的寬為xcm，小長方形的長為（y-15）cm，小長方形的寬為5cm，∴陰影A的較短邊為x-2×5=（x-10）cm，陰影B的較短邊為x-（y-15）=（x-y+15）cm，∴陰影A的較短邊和陰影B的較短邊之和為x-10+x-y+15=（2x+5-y）cm，說法②錯誤；③∵陰影A的較長邊為（y-15）cm，較短邊為（x-10）cm，陰影B的較長邊為3×5=15cm，較短邊為（x-y+15）cm，∴陰影A的周長為2（y-15+x-10）=2（x+y-25），陰影B的周長為2（15+x-y+15）=2（x-y+30），∴陰影A和陰影B的周長之和為2（x+y-25）+2（x-y+30）=2（2x+5），∴若x為定值，則陰影A和陰影B的周長之和為定值，說法③正確；④∵陰影A的較長邊為（y-15）cm，較短邊為（x-10）cm，陰影B的較長邊為3×5=15cm，較短邊為（x-y+15）cm，∴陰影A的面積為（y-15）（x-10）=（xy-15x-10y+150）cm2，陰影B的面積為15（x-y+15）=（15x-15y+225）cm2，∴陰影A和陰影B的面積之和為xy-15x-10y+150+15x-15y+225=（xy-25y+375）cm2，當(dāng)x=15時，xy-25y+375=（375-10y）cm2，說法④錯誤．綜上所述，正確的說法有①③．故選：A．5．（2023春·浙江杭州·七年級統(tǒng)考期中）若a=255，b=344，c=433，d=522，則a，b，c，【思路點撥】把a，b，c，d各數(shù)的指數(shù)轉(zhuǎn)為相等，再比較底數(shù)即可．【解題過程】解：∵a=2b=3c=4d=525<32<64<81，∴25即d<a<c<b．故答案為：d<a<c<b．6．（2023秋·七年級單元測試）計算1?【思路點撥】設(shè)x＝12【解題過程】解：設(shè)x＝則原式＝＝＝故答案為：167．（2023春·浙江杭州·七年級?？计谥校┤绻鹸?1x?2x?3x?4【思路點撥】先根據(jù)多項式乘多項式法則展開得出原式=x2?5x＋4x【解題過程】解：（x?1）（x?2）（x?3）（x?4）＋m=（x?1）（x?4）（x?2）（x?3）＋m===∵（x?1）（x?2）（x?3）（x?4）＋m是一個完全平方式，∴m=1故答案為：1．8．（2023秋·湖南長沙·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）若a+b+c=0，a3+b【思路點撥】由題意得a+b+c3=0，a+b=?c，a+c=?b，b+c=?a，再根據(jù)a3+b3+c3=0可得出abc=0，從而可判斷出a、【解題過程】解：∵a+b+c=0，∴a+b+c3=0，a+b=?c，a+c=?b即a3整理得：a3即?a又∵a∴abc=0，∴a、b、c中有一個等于零，假設(shè)a=0，則b+c=0，即b=?c，則a23故答案為：0．9．（2023秋·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）若a,b,c滿足a+b+c=1,?a2【思路點撥】關(guān)鍵整式的乘法法則運算，并整體代入變形即可.【解題過程】解：因為a+b+c=1,所以a+b+c2=1，即因為a所以ab+ac+bc=?1因為a+b+c所以a3因為a+b+c=1,所以3+ab1?c即3+ab+ba+ac3?1abc=1因為a+b+c即a4a4a4aa故答案為：410．（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）建黨100周年主題活動中，702班潯潯設(shè)計了如圖1的“紅色徽章”其設(shè)計原理是：如圖2，在邊長為a的正方形EFGH四周分別放置四個邊長為b的小正方形，構(gòu)造了一個大正方形ABCD，并畫出陰影部分圖形，形成了“紅色徽章”的圖標(biāo)．現(xiàn)將陰影部分圖形面積記作S1，每一個邊長為b的小正方形面積記作S2，若S1【思路點撥】根據(jù)圖形中陰影部分均為三角形，利用三角形面積公式，找到底和高可求出ΔDGI與ΔMNC面積，求ΔKMD面積使用正方形面積減去三個三角形面積，可求得S1，S【解題過程】解：如圖所示，對需要的交點標(biāo)注字母：SΔDGIS==ab+3SΔMNC∴S1S2∵S1∴2ab+5化簡得：2a=7∴ab故答案為：7411．（2023秋·七年級課時練習(xí)）若x2+3mx?13x（1）直接寫出m、n的值，即m=___________，n=___________；（2）求代數(shù)式?m【思路點撥】（1）根據(jù)多項式乘多項式法則計算，然后根據(jù)積中不含有x與x3項可以求解m、n（2）將m、n的值代入代數(shù)式求值即可．【解題過程】（1）解：x2=x=x4∵積中不含有x與x3∴3m?3=0，3mn+1=0，解得m=1，n=?1故答案為：1，?1（2）解：當(dāng)m=1，n=?1?====9412．（2023春·浙江杭州·七年級?？计谥校┗卮鹣铝袉栴}：（1）填空：a?ba+ba?baa?ba（2）猜想：a?ban?1+an?2（3）利用（2）猜想的結(jié)論計算：①210②210【思路點撥】（1）利用多項式乘多項式運算法則對每個式子進(jìn)行計算即可；（2）根據(jù)（1）中的各個式子的規(guī)律，可以寫出相應(yīng)的猜想；（3）利用（2）中的猜想，對算式進(jìn)行變形即可解答本題．【解題過程】解：a?ba+ba?b==aa?b==a故答案為：a2?b2；（2）根據(jù)（1）中的規(guī)律，可得猜想：a?ban?1+an?2故答案為：an（3）①2==(2?1)(==2048?1?1=2046；②2==13==683?1=682．13．（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）閱讀下列材料：小明為了計算1+2+2設(shè)S=1+2+2則2S=2+2②?①得，2S?S=S=2請仿照小明的方法解決以下問題：（1）2+2（2）求1+1（3）求?2+（4）求a+2a2+3a3【思路點撥】（1）根據(jù)閱讀材料可得：設(shè)s＝2+22+???+220①，則2s＝22＋23（2）設(shè)s＝1+12+122（3）設(shè)s＝?2+?22+???+?2（4）設(shè)s＝a+2a2+3a3+???+nan①，as＝a2+2a【解題過程】解：根據(jù)閱讀材料可知：（1）設(shè)s＝2+22s＝22＋23＋…＋220＋221②，②?①得，2s?s＝s＝221?2；故答案為：221?2；（2）設(shè)s＝1+112s＝1②?①得，12s?s＝-12s＝∴s＝2-12故答案為：2-12（3）設(shè)s＝?2+-2s＝?22②?①得，-2s?s＝-3s＝?2101∴s＝2101（4）設(shè)s＝a+2aas＝a2②-①得：as-s=-a-a2設(shè)m=-a-a2am=-a2④-③得：am-m=a-an+1∴m=a?a∴as-s=a?an+1a?1∴s=a?an+1a?114．（2023秋·湖南永州·七年級?？计谥校┮?guī)定兩數(shù)a，b之間的一種運算，記作a,b，如果ac=b．我們叫例如：因為23=8，所以2,8=3設(shè)3,3=m，3,5=n，則3m=3，則3,15=m+n，即3,3（1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：2,4=_________；5,1=_________；（2）計算5,2+（3）利用“雅對”定義證明：2n,3【思路點撥】（1）由于22=4，50（2）設(shè)（5，2）=m，（5，7（3）設(shè)：（2n，3n）=a，（2，3【解題過程】（1）∵22∴2,4=2∵50∴5,1=0∵33∴3,27故答案為：2；0；3；（2）（5理由如下：設(shè)（5，2∴5m∵（5∴（5故答案為：（5（3）設(shè)（2∴（2∴（2即2an∴an=bn，∴a=b，即（2n，15．（2023春·江西撫州·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）我們學(xué)過單項式除以單項式、多項式除以單項式，那么多項式除以多項式該怎么計算呢？我們也可以用豎式進(jìn)行類似演算，即先把被除式、除式按某個字母的指數(shù)從大到小依次排列項的順序，并把所缺的次數(shù)項用零補齊，再類似數(shù)的豎式除法求出商式和余式，其中余式為0或余式的次數(shù)低于除式的次數(shù).例：計算8x2+6x+1÷2x+1（1）x3（2）利用上述方法解決：若多項式2x4+4x3（3）已知一個長為x+2，寬為x?2的長方形A，若將它的長增加6，寬增加a就得到一個新長方形B，此時長方形B的周長是A周長的2倍（如圖）.另有長方形C的一邊長為x+10，若長方形B的面積比C的面積大76，求長方形C的另一邊長.【思路點撥】（1）根據(jù)多項式除以多項式的法則計算．（2）根據(jù)多項式除以多項式的法則計算．（2）通過面積關(guān)系求長方形的邊長．【解題過程】（1）解：用豎式計算如下，的商是，余式是．∴答案為：，．（2）多項式能被整除，則∴a+4-（-2）=0，-b-（-2）=0．∴a=-6，b=2．∴ab=（-6）2=36．（3）長方形A的周長為：2（x+2+x-2）=4x．長方形B的周長為：2（x-2+a+x+2+6）=4x+2a+12．∵長方形B的周長是A周長的2倍．∴4x+2a+12=8x．∴a=2x-6．∴長方形B的面積為：（x+2+6）（x-2+2x-6）=（x+8）（3x-8）=3x2+16x-64．∴長方形C的面積為：3x2+16x-140．∴長方形C的另一邊長為：（3x2+16x-140）÷（x+10）=3x-14．∴長方形C的另一邊長為：3x-14．16．（2023春·浙江金華·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數(shù)學(xué)等式．例如圖1可以得到(a+b)2（1）寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式______；（2）利用（1）中得到的結(jié)論，解決下面的問題：若a+b+c=15,ab+ac+bc=35，則a2（3）小明同學(xué)用圖3中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張邊長分別為a、b的長方形紙片拼出一個面積為(2a+b)(a+2b)長方形圖形，則x+y+z=_______．（4）如圖4所示，將兩個邊長分別為a和b的正方形拼在一起，B，C，G三點在同一直線上，連接AG和GE，若兩正方形的邊長滿足a+b=12,?【思路點撥】（1）由大正方形等于9個長方形面積的和；（2）將所求式子轉(zhuǎn)化為a2（3）將式子化簡為(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2，即可確定x（4）陰影部分的面積等于兩個正方形面積減去兩個直角三角形面積．【解題過程】解：（1）由圖可知大正方形面積為(a+b+c)2，大正方形由9個長方形組成，則有(a+b+c)故答案為(a+b+c)2（2）由（1）可得a2∵a+b+c=15，ab+ac+bc=35，∴a故答案為155；（3）∵(2a+b)(a+2b)=2a∴x=2，y=2，z=5，∴x+y+z=9；故答案為9；（4）由已知，陰影部分的面積等于兩個正方形面積減去兩個直角三角形面積，即a2∵a+b=12，ab=20，∴1217．（2023秋·江蘇常州·七年級?？计谥校┮阎?張如圖1所示的長為a，寬為b(a>b)的小長方形紙片，按圖2的方式不重疊地放在矩形ABCD內(nèi)，未被覆蓋的部分（兩個矩形）用陰影表示．設(shè)左上角與右下角的陰影部分的面積的差為S．設(shè)BC=t．（1）用a、b、t的代數(shù)式表示S=

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．（2）當(dāng)BC的長度變化時，如果S始終保持不變，則a、b應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系是什么？（3）在（2）的條件下，用這7張長為a，寬為b的矩形紙片，再加上x張邊長為a的正方形紙片，y張邊長為b的正方形紙片（x，y都是正整數(shù)），拼成一個大的正方形（按原紙張進(jìn)行無空隙、無重疊拼接），則當(dāng)x+y的值最小時，求拼成的大的正方形的邊長為多少（用含b的代數(shù)式表示）？并求出此時的x、【思路點撥】（1）先用a、b、t分別表示出陰影部分的長和寬，進(jìn)而分別表示出陰影的面積，然后作差求解即可；（2）根據(jù)差與BC無關(guān)即可求出a、b的關(guān)系；（3）根據(jù)題意可得出拼得的正方形的面積為7ab+xa2+yb2=b【解題過程】（1）解：記左上角陰影部分的面積為S1，右下角陰影部分的面積為S左上角陰影部分長方形的長為t?a，寬為3b，∴S1右下角陰影部分長方形的長為t?4b，寬為a，∴S2∴S==3bt?3ab?at+4ab=ab+（3b?a）t．（2）解：當(dāng)t的長度變化時，要使得S始終保持不變，即上面代數(shù)式的值與t無關(guān)，∴3b?a=0，即a、b滿足的關(guān)系是：a=3b．（3）解：拼成的大正方形的面積為：7張邊長為a，寬為b的矩形的面積+x張邊長為a的正方形的面積+y張邊長為b的正方形的面積，∴拼成的大正方形的面積為：7ab+xa∵a=3b，∴7ab+x=b∵b2∴9x+y+21是完全平方數(shù)，而x、y都是正整數(shù)，∴9x+y+21?9+1+21=31，當(dāng)9x+y+21=36時，x=1，y=6，此時x+y=7，當(dāng)9x+y+21=49時，x=3，y=1，此時或者x=2，y=10，此時x+y=12；或者x=1，y=19，此時x+y=20．當(dāng)9x+y+21取更大的完全平方數(shù)時，x+y的值也變大，故x+y的最小值為4，此時拼成的大正方形的面積為49b2，則邊長為7b18．（2023春·四川達(dá)州·七年級統(tǒng)考期末）把圖1的長方形看成一個基本圖形，用若干相同的基本圖形進(jìn)行拼圖（重合處無縫隙）．（1）如圖2，將四個基本圖形進(jìn)行拼圖，得到正方形ABCD和正方形EFGH，用兩種不同的方法計算圖中陰影部分的面積（用含a，b的代數(shù)式表示），并寫出一個等式；（2）如圖3，將四個基本圖形進(jìn)行拼圖，得到四邊形MNPQ，求陰影部分的面積（用含a，b的代數(shù)式表示）；（3）如圖4，將圖3的上面兩個基本圖形作為整體圖形向左運動x個單位，再向上運動2b個單位后得到一個長方形圖形，若AB=b，BC把圖中陰影部分分割成兩部分，這兩部分的面積分別記為S1，S2，若m=S1?【思路點撥】（1）陰影部分的面積有兩種計算方法，①S陰影＝S大正方形?4S基本圖形；②直接根據(jù)正方形EFGH的邊長求正方形EFGH的面積；（2）先證明四邊形ABCD是正方形，然后用S陰影＝S正方形?4S基本圖形；（3）把S1，S2分別用含a、b、x的式子表示出來，然后計算m＝S1?S2，即可證明m與x無關(guān)．【解題過程】（1）解：①∵在圖2中，四邊形ABCD是正方形，∴正方形ABCD的面積為S正方形＝（a＋b）2．∵四個基本圖形的面積為4ab，∴S陰影＝(a＋b)2?4ab；②∵四邊形EFGH是正方形，∴EH＝EF＝a?b，∴S陰影＝EH2＝(a?b)2；∴（a＋b）2?4ab＝（a?b）2．（2）解：∵NP＝a＋b，MN＝a＋b，∴四邊形EFGH是正方形，∴S陰影＝MN2?4ab＝(a＋b)2?4ab，即S陰影＝(a＋b)2?4ab＝a2?2ab＋b2．（3）證明：根據(jù)圖形可知，AF＝a＋x?2b，m＝S1?S2＝2b?2b＋bx?（a?2b＋x）b?3b?b＝4b2＋bx?（ab?2b2＋bx）?3b2＝4b2＋bx?ab＋2b2?bx?3b2＝3b2?ab∴S與x無關(guān)．19．（2023春·江蘇泰州·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，4張長為x，寬為y（x＞y）的長方形紙片拼成一個邊長為（x＋y）的正方形ABCD．（1）當(dāng)正方形ABCD的周長是正方形EFGH周長的三倍時，求xy（2）當(dāng)空白部分面積是陰影部分面積的二倍時，求xy（3）在（2）的條件下，用題目條件中的4張長方形紙片，m張正方形ABCD紙片和n張正方形EFHG紙片（m，n為正整數(shù)），拼成一個大的正方形（拼接時無空隙、無重疊），當(dāng)m，n為何值時，拼成的大正方形的邊長最小？【思路點撥】（1）根據(jù)正方形ABCD的周長是正方形EFGH周長的3倍列等式可得：x=2y，從而得結(jié)論；（2）先求得空白部分的面積，再利用面積差可得陰影部分的面積和，根據(jù)題意列方程求解，從而得結(jié)論；（3）根據(jù)題意可得出大的正方形面積為4xy+m(x+y)2+n(x?y)2，根據(jù)（2）中的結(jié)論x=2y，即大的正方形面積可化為(8+9m+n)y2，由題意可知因為大正方形的邊長一定是b的整數(shù)倍，則8+9m+n是平方數(shù)，因為m【解題過程】（1）解：由題意得：4(x+y)=3×4(x-y)，解得：x=2y，∴xy（2）解：如圖，空白部分的面積=S==x陰影部分的面積和=正方形ABCD的面積-空白部分的面積==2xy?y由題意得：x2整理得：(x?2y)2解得：x=2y，∴xy（3）解：由題意得：拼成一個大的正方形的面積=4xy+m(x+y)由（2）知：x=2y，∴4xy+m=4?2y?y+9m=(8+9m+n)y因為大正方形的邊長一定是y的整數(shù)倍，∴8+9m+n是平方數(shù)，∵m，n都是正整數(shù)，∴8+9m+n最小是25，即9m+n=17，∴m=1，n=8，此時4xy+m(x+y)則m=1，n=8時，拼成的大正方形的邊長最?。?0．（2023春·廣東佛山·七年級統(tǒng)考期末）【閱讀材料】“數(shù)形結(jié)合”是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想方法．比如：在學(xué)習(xí)“整式的乘法”時，我們通過構(gòu)造幾何圖形，用“等積法”直觀地推導(dǎo)出了完全平方和公式：a+b2【方法應(yīng)用】根據(jù)以上材料提供的方法，完成下列問題：（1）由圖2可得等式：__________；由圖3可得等式：__________；（2）利用圖3得到的結(jié)論，解決問題：若a+b+c=15，ab+ac+bc=35，則a2（3）如圖4，若用其中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張邊長分別為a、b的長方形紙片拼出一個面積為2a+ba+2b長方形（無