專題14隨機(jī)抽樣與用樣本估計(jì)總體知識(shí)點(diǎn)一簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(1)定義：設(shè)一個(gè)總體含有N個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)不放回地抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本(n≤N)，如果每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等，就把這種抽樣方法叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.(2)最常用的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法.例1．（1）、（2023上·高一課時(shí)練習(xí)）下列4個(gè)抽樣中，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的個(gè)數(shù)是（）①?gòu)臒o(wú)數(shù)個(gè)個(gè)體中抽取50個(gè)個(gè)體作為樣本；②倉(cāng)庫(kù)中有1萬(wàn)支奧運(yùn)火炬，從中一次性抽取100支火炬進(jìn)行質(zhì)量檢查；③某連隊(duì)從200名黨員官兵中，挑選出50名最優(yōu)秀的黨員官兵趕赴某市參加抗震救災(zāi)工作；④一彩民選號(hào)，從裝有36個(gè)大小、形狀都相同的號(hào)簽的盒子中無(wú)放回地抽出6個(gè)號(hào)簽.A．0 B．1C．2 D．3（2）、（2024上·遼寧沈陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）總體由編號(hào)為01，02，…，19，20的20個(gè)個(gè)體組成．利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取6個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第7個(gè)數(shù)字開(kāi)始，由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選取的第6個(gè)個(gè)體的編號(hào)為（

）7816

6572

0802

6314

0702

4369

9728

01983204

9234

4935

8200

3623

4869

6938

7481A．01 B．02 C．04 D．14（3）、（2021上·高一課時(shí)練習(xí)）用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從含個(gè)個(gè)體的總體中，逐個(gè)抽取一個(gè)容量為3的樣本，若其中個(gè)體a在第一次就被抽取的可能性為，那么（）A．8 B．24C．72 D．無(wú)法計(jì)算（4）、（2023上·上海浦東新·高二統(tǒng)考期末）“二十四節(jié)氣歌”是以“春、夏、秋、冬”開(kāi)始的四句詩(shī).某校高二共有學(xué)生400名，隨機(jī)抽查100名學(xué)生并提問(wèn)二十四節(jié)氣歌，只能說(shuō)出一句的有45人，能說(shuō)出兩句及以上的有38人，據(jù)此估計(jì)該校高二年級(jí)的400名學(xué)生中，對(duì)“二十四節(jié)氣歌”一句也說(shuō)不出的有人.1．（2023下·陜西寶雞·高一寶雞中學(xué)校考階段練習(xí)）某校在一次期中作業(yè)檢查中，對(duì)高一（6）班61位同學(xué)的作業(yè)進(jìn)行抽樣調(diào)查，先采用抽簽法從中剔除一個(gè)人，再?gòu)挠嘞碌?0人中隨機(jī)抽取6人，下列說(shuō)法正確的是（

）A．這種抽樣方法對(duì)于被剔除的個(gè)體是不公平的，因?yàn)樗麄兪チ吮怀榈降臋C(jī)會(huì)B．每個(gè)人被抽到的機(jī)會(huì)不相等C．每個(gè)人在整個(gè)抽樣過(guò)程中被抽到的機(jī)會(huì)相等，因?yàn)槊總€(gè)人被剔除的可能性相等，那么，不被剔除的機(jī)會(huì)也是相等的D．由于采用了兩步進(jìn)行的抽樣，所以無(wú)法判斷每個(gè)人被抽的可能性是多少2．（2024上·山東濰坊·高一山東省高密市第一中學(xué)?？几?jìng)賽）國(guó)家高度重視青少年視力健康問(wèn)題，指出要“共同呵護(hù)好孩子的眼睛，讓他們擁有一個(gè)光明的未來(lái)”.某校為了調(diào)查學(xué)生的視力健康狀況，決定從每班隨機(jī)抽取5名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.若某班有50名學(xué)生，將每一學(xué)生從01到50編號(hào)，從下面所給的隨機(jī)數(shù)表的第2行第4列的數(shù)開(kāi)始，每次從左向右選取兩個(gè)數(shù)字，則選取的第四個(gè)號(hào)碼為（

）隨機(jī)數(shù)表如下0154

3287

6595

4287

53467953

2586

5741

3369

83244597

7386

5244

3578

6241A．13 B．32 C．44 D．363．（2023下·安徽阜陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）中國(guó)古典數(shù)學(xué)先后經(jīng)歷了三次發(fā)展高潮，即兩漢時(shí)期、魏晉南北朝時(shí)期和宋元時(shí)期，并在宋元時(shí)期達(dá)到頂峰，而南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家秦九韶正是其中的代表人物．作為秦九韶的集大成之作，《數(shù)書九章》一書所承載的數(shù)學(xué)成就非同一般．可以說(shuō)，但凡是實(shí)際生活中需要運(yùn)用到數(shù)學(xué)知識(shí)的地方，《數(shù)書九章》一書皆有所涉及，例如“驗(yàn)米夾谷”問(wèn)題：今有谷3318石，抽樣取谷一把，數(shù)得168粒內(nèi)有秕谷22粒，則糧倉(cāng)內(nèi)的秕谷約為（

）A．321石 B．166石 C．434石 D．623石4．（2024上·北京房山·高一統(tǒng)考期末）為估計(jì)某森林內(nèi)松鼠的數(shù)量，使用以下方法：先隨機(jī)從森林中捕捉松鼠100只，在每只松鼠的尾巴上作上記號(hào)后放回森林.再隨機(jī)從森林中捕捉50只，若尾巴上有記號(hào)的松鼠共有5只，估計(jì)此森林內(nèi)約有松鼠只.知識(shí)點(diǎn)二分層抽樣(1)定義：在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣.(2)應(yīng)用范圍：當(dāng)總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí)，往往選用分層抽樣.例2．（1）、（2024上·四川成都·高二統(tǒng)考期末）某校高二年級(jí)選擇“理化生”，“理化地”，“史政地”和“史政生”組合的學(xué)生人數(shù)分別為480，40，120和80，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)生中選出72人參加一項(xiàng)活動(dòng)，則“史政生”組合中選出的學(xué)生人數(shù)為.（2）、（2024上·廣西桂林·高一統(tǒng)考期末）某公司生產(chǎn)、、三種型號(hào)的新能源汽車，產(chǎn)量分別為1200輛、6000輛和2000輛.為檢驗(yàn)該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取46輛進(jìn)行檢驗(yàn)，則種型號(hào)的新能源車應(yīng)抽取輛.（3）、（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某學(xué)校高三年級(jí)有男生640人，女生360人．為了解高三學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，采用分層抽樣的方法抽取樣本，現(xiàn)從男、女學(xué)生中共抽取50名學(xué)生，則男、女學(xué)生的樣本容量分別為（

）A．30，20 B．18，32 C．25，25 D．32，18（4）、（2022上·北京·高一北京市第一六一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某地組織一次中學(xué)生若干學(xué)科考試，若考試成績(jī)按等級(jí)性排列，位次由高到低分為、、、、，各等級(jí)人數(shù)所占比例依次為：等級(jí)15%，等級(jí)40%，等級(jí)30%，等級(jí)14%，等級(jí)1%.現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從參加其中一個(gè)學(xué)科等級(jí)性考試的學(xué)生中抽取200人作為樣本，則該樣本中獲得或等級(jí)的學(xué)生人數(shù)為（

）A．110 B．55 C．80 D．901．（2023·云南·高二學(xué)業(yè)考試）某單位有甲、乙、丙三個(gè)部門，分別有職員27人、63人和81人，現(xiàn)按分層抽樣的方法從各部門中抽取組建一個(gè)代表隊(duì)參加上級(jí)部門組織的某項(xiàng)活動(dòng)；其中乙部門抽取7人，則該單位共抽取人.2．（2024上·上海黃浦·高二統(tǒng)考期末）某高中二年級(jí)共有學(xué)生425名，其中男生204名，女生221名，為了解該校高二年級(jí)學(xué)生的身高情況，從中抽取50名學(xué)生測(cè)量身高，若采用分層隨機(jī)抽樣的方法，則要抽取男生的人數(shù)為．3．（2023上·廣西·高三南寧三中校聯(lián)考階段練習(xí)）北京時(shí)間2023年10月31日8時(shí)11分，神舟十六號(hào)載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場(chǎng)成功著陸，載人飛行任務(wù)取得圓滿成功．某高中學(xué)校在有120名同學(xué)的“航天”社團(tuán)中隨機(jī)抽取24名參加一個(gè)交流會(huì)，若按社團(tuán)中高一、高二、高三年級(jí)的成員人數(shù)比例分層隨機(jī)抽樣，則高一年級(jí)抽取6人，若按性別比例分層隨機(jī)抽樣，則女生抽取15人，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．24是樣本容量B．120名社團(tuán)成員中男生有50人C．高二與高三年級(jí)的社團(tuán)成員共有90人D．高一年級(jí)的社團(tuán)成員中女生最多有30人4．（2022上·浙江·高二校聯(lián)考期中）某小區(qū)有500人自愿接種新冠疫苗，其中49~59歲的有140人，18~20歲的有40人，其余為符合接種條件的其他年齡段的居民．在一項(xiàng)接種疫苗的追蹤調(diào)查中，要用分層抽樣的方法從該小區(qū)18~20歲的接種疫苗的人群中抽取4人，則樣本容量為（

）A．14 B．18 C．32 D．50知識(shí)點(diǎn)三用樣本估計(jì)總體(1)頻率分布表的畫法：第一步：求極差，決定組數(shù)和組距，組距＝eq\f(極差,組數(shù))；第二步：分組，通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開(kāi)區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；第三步：登記頻數(shù)，計(jì)算頻率，列出頻率分布表.(2)頻率分布直方圖：反映樣本頻率分布的直方圖(如圖)橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示eq\f(頻率,組距)，每個(gè)小矩形的面積表示樣本落在該組內(nèi)的頻率.1.頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系(1)最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù).(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的.(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.例3．（1）、（2024上·云南昆明·高二統(tǒng)考期末）我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，城市缺水問(wèn)題較為突出.某市政府為了制定居民節(jié)約用水相關(guān)政策，抽樣調(diào)查了該市200戶居民月均用水量（單位：），繪制成頻率分布直方圖如圖1，則下列說(shuō)法不正確的是（

）A．圖中小矩形的面積為0.24B．該市居民月均用水量眾數(shù)約為C．該市大約有85%的居民月均用水量不超過(guò)D．這200戶居民月均用水量的中位數(shù)大于平均數(shù)（2）、（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某人統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩家零售商店在周一到周五的營(yíng)業(yè)額（單位：百元）情況，得到了如下的莖葉圖（其中莖表示十位數(shù)，葉表示個(gè)位數(shù)），關(guān)于這5天的營(yíng)業(yè)額情況，下列結(jié)論正確的是（

）A．甲、乙兩家商店?duì)I業(yè)額的極差相同B．甲、乙兩家商店?duì)I業(yè)額的中位數(shù)相同C．從營(yíng)業(yè)額超過(guò)3000元的天數(shù)所占比例來(lái)看，甲商店較高D．甲商店?duì)I業(yè)額的方差小于乙商店?duì)I業(yè)額的方差（3）、（2023·四川甘孜·統(tǒng)考一模）某市氣象部門根據(jù)2022年各月的每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值（單位：）數(shù)據(jù)，繪制折線圖：那么，下列敘述錯(cuò)誤的是（

）A．2022年月最高氣溫平均值逐漸上升B．全年中各月最低氣溫平均值不高于的月份有5個(gè)C．全年中，2月份的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大D．從2022年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值都呈下降趨勢(shì)1．（2022上·陜西咸陽(yáng)·高二咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）某地教育局為了解“雙減”政策的落實(shí)情況，在轄區(qū)內(nèi)初一年級(jí)在校學(xué)生中抽取了100名學(xué)生，調(diào)查了他們課下做作業(yè)的時(shí)間，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．該地初一年級(jí)學(xué)生做作業(yè)的時(shí)間超過(guò)3小時(shí)的概率估計(jì)為35%B．估計(jì)該地初一年級(jí)有一半以上的學(xué)生做作業(yè)的時(shí)間超過(guò)2小時(shí)C．估計(jì)該地初一年級(jí)有10%的學(xué)生做作業(yè)的時(shí)間超過(guò)4小時(shí)D．估計(jì)該地初一年級(jí)有一半以上的學(xué)生做作業(yè)的時(shí)間在2小時(shí)至3小時(shí)之間2．（2024上·上?！じ叨y(tǒng)考期末）某同學(xué)將觀察學(xué)校柚子樹(shù)生長(zhǎng)習(xí)性作為自主研究課題，他觀察了校園內(nèi)6株柚子樹(shù)成熟結(jié)果個(gè)數(shù)（兩位數(shù)）并用莖葉圖（如圖所示）做了記錄，則這6株柚子樹(shù)成熟結(jié)果個(gè)數(shù)的中位數(shù)為（

）A．21 B．21.5 C．22 D．22.53．（2022上·全國(guó)·高一期末）為迎接黨的二十大勝利召開(kāi)，某校開(kāi)展了“學(xué)黨史，悟初心”系列活動(dòng)．學(xué)校對(duì)學(xué)生參加各項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)進(jìn)行了調(diào)查，并將數(shù)據(jù)繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖．若參加“書法”的人數(shù)為80人，則參加“大合唱”的人數(shù)為（

）A．60人 B．100人 C．160人 D．400人例4．（2024上·遼寧葫蘆島·高一統(tǒng)考期末）某市在萬(wàn)成年人中隨機(jī)抽取了名成年市民進(jìn)行平均每天讀書時(shí)長(zhǎng)調(diào)查．根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制市民平均每天讀書時(shí)長(zhǎng)的頻率分布直方圖（如圖），將平均每天讀書時(shí)長(zhǎng)不低于小時(shí)的市民稱為“閱讀愛(ài)好者”，并將其中每天讀書時(shí)長(zhǎng)不低于小時(shí)的市民稱為“讀書迷”．(1)試估算該市“閱讀愛(ài)好者”的人數(shù)，并指出其中“讀書迷”約為多少人；(2)省某機(jī)構(gòu)開(kāi)展“儒城”活動(dòng)評(píng)選，規(guī)則如下：若城市中的成年人平均每天讀書時(shí)長(zhǎng)不低于小時(shí)，則認(rèn)定此城市為“儒城”．若該市被認(rèn)定為“儒城”，則評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)滿足什么條件？（精確到）(3)該市要成立“墨葫蘆”讀書會(huì)，吸納會(huì)員不超過(guò)萬(wàn)名．根據(jù)調(diào)查，如果收取會(huì)費(fèi)，則非閱讀愛(ài)好者不愿意加入讀書會(huì)，而閱讀愛(ài)好者愿意加入讀書會(huì)．為了調(diào)控入會(huì)人數(shù)，設(shè)定會(huì)費(fèi)參數(shù)，適當(dāng)提高會(huì)費(fèi)，這樣“閱讀愛(ài)好者”中非“讀書迷”愿意加入的人數(shù)會(huì)減少，“讀書迷”愿意加入的人數(shù)會(huì)減少．問(wèn)會(huì)費(fèi)參數(shù)至少定為多少時(shí)，才能使會(huì)員的人數(shù)不超過(guò)萬(wàn)人？例5．（2024上·上海黃浦·高二統(tǒng)考期末）某果園種植了甲、乙兩個(gè)品種的蘋果，現(xiàn)從這兩個(gè)品種中各隨機(jī)抽取10個(gè)，測(cè)得它們的質(zhì)量（單位：kg）．其分布如莖葉圖所示（百位數(shù)和十位數(shù)部分作為“莖”，個(gè)位數(shù)部分作為“葉”）．(1)試分別求這兩個(gè)品種蘋果質(zhì)量的樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差；（結(jié)果精確到0.01）(2)哪個(gè)品種的蘋果質(zhì)量更均勻？為什么？例6．（2023上·江西吉安·高一江西省遂川中學(xué)?？计谀┠承８呷?）班全體女生的一次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞,但可見(jiàn)部分如下,據(jù)此解答如下問(wèn)題：(1)求高三（1）班全體女生的人數(shù)；(2)求分?jǐn)?shù)在之間的女生人數(shù)；并計(jì)算頻率分布直方圖中間的矩形的高；(3)求該班女生數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的估計(jì)值.(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的終點(diǎn)值代表)例7．（2024上·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一統(tǒng)考期末）2023年秋末冬初，呼和浩特市發(fā)生了流感疾病.為了徹底擊敗病毒，人們更加講究衛(wèi)生講究環(huán)保.某學(xué)校開(kāi)展組織學(xué)生參加線上環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，現(xiàn)從中抽取200名學(xué)生，記錄他們的首輪競(jìng)賽成績(jī)并作出如圖所示的頻率直方圖，根據(jù)圖形，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：(1)若從成績(jī)低于60分的同學(xué)中按分層抽樣方法抽取5人成績(jī)，求5人中成績(jī)低于50分的人數(shù)；(2)以樣本估計(jì)總體，利用組中值估計(jì)該校學(xué)生首輪競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)；(3)首輪競(jìng)賽成績(jī)位列前的學(xué)生入圍第二輪的復(fù)賽，請(qǐng)根據(jù)圖中信息，估計(jì)入圍復(fù)賽的成績(jī)（記為）.知識(shí)點(diǎn)四用樣本估計(jì)總體(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).(2)中位數(shù)：把n個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).(3)平均數(shù)：把eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)稱為a1，a2，…，an這n個(gè)數(shù)的平均數(shù).(4)標(biāo)準(zhǔn)差與方差：設(shè)一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差和方差分別是s＝eq\r(\f(1,n)[（x1－\o(x,\s\up2(－))）2＋（x2－\o(x,\s\up2(－))）2＋…＋（xn－\o(x,\s\up2(－))）2])，s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up2(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up2(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up2(－)))2].例8．（1）、（2024·陜西安康·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知五個(gè)數(shù)，，，，的平均數(shù)為，則這五個(gè)數(shù)的方差為（

）A． B． C． D．（2）、（2024上·云南·高二統(tǒng)考期末）一組數(shù)據(jù)按從小到大排列為、、、、、、，若該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是眾數(shù)的倍，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是．1．（2024上·遼寧沈陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）若，，…，的平均數(shù)是，方差是100，則，，…，的平均數(shù)和方差分別是（

）A．40，199 B．19，199 C．19，200 D．19，4002．（2023下·江蘇蘇州·高一南京航空航天大學(xué)蘇州附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2，方差是，那么另一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，方差分別為，例9、（2023上·四川成都·高二?？计谥校┠硨W(xué)校為了了解高二年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，對(duì)高二年級(jí)的200名學(xué)生進(jìn)行了一次測(cè)試。已知參加此次測(cè)試的學(xué)生的分?jǐn)?shù)全部介于45分到95分之間，該校將所有分?jǐn)?shù)分成5組：，，····，，整理得到如下頻率分布直方圖（同組數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)的中間值作為代表）.(1)求的值，并估計(jì)此次校內(nèi)測(cè)試分?jǐn)?shù)的平均值；(2)試估計(jì)這200名學(xué)生的分?jǐn)?shù)的方差，并判斷此次得分為52分和94分的兩名同學(xué)的成績(jī)是否進(jìn)入到了范圍內(nèi)?（參考數(shù)據(jù)：）例10、（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）為了響應(yīng)政府號(hào)召，增加