專題25圓中的相交弦模型

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【理論基礎(chǔ)】相交弦定理

如圖25-1，已知在。0中，弦48與弦CD交于點尸，點P在0O內(nèi)nK4?必=尸。?尸￡）。

【證明】

如圖25-2,連接/C,BD,

AAPC=ZDPB

.二《，

ZA=ND

AAPCsADPB

PAPC

"PD~PB

PA?PB=PC?PD

圖25-2

【模型變式】如圖25-3,已知在。。中，48為直徑，CD為弦，45與CD相交于點P,

點P在0O內(nèi)n弘?PB=PC?PD。

【例1】如圖是以點。為圓心，為直徑的圓形紙片，點C在。。上，將該圓形紙片沿直

線C。對折，點8落在。O上的點。處(不與點N重合)，連接C8,CD,AD.設(shè)CD與直

徑N8交于點E.若AD=ED,則度；繪的值等于

【例2】如圖，在△48。中，AB=AC,。是△NBC的外接圓，連接8。并延長交邊NC于

點D.

(1)如圖1,求證：NBAC=2NABD；

(2)如圖2,過點3作于點H,延長交。。于點G,連接OC,CG,0c交

BG于點、F,求證：BF=2HG；

(3)如圖3,在(2)的條件下，若/D=2,CD=3,求線段39的長.

D

VUG

o

一、單選題

1.如圖，四邊形/BCD內(nèi)接于圓，已知/C=3C,延長/。到尸使得￡>9=8。=3,已知

/4EB=90°,且/E：ED=3：1,則BE的長為（）

A.2.5B.20C.—D.3

2

2.如圖，已知。。的半徑為3,弦CO=4,A為。。上一動點（點A與點C、。不重合），

連接NO并延長交8于點￡,交。。于點3,P為CD上一點,當//PB=120。時，則"出尸

的最大值為（）

A.4B.6C.8D.12

3.如圖，已知弦與弦CO交于點P,且P為N3的中點，延長交于點￡,若

AC=2,BD=3,則CE+8￡=()

A.9B.D.6A/3

二、填空題

4.如圖，△48C內(nèi)接于。O,為。。的直徑，。為。O上一點（位于下方），CO交

4B于點E,若NBDC=45°,BC=64i，CE=2DE,則CE的長為

5.如圖，。。的直徑N3過麗的中點/,若/C=30。，AB、CD交于點E,連接NC、BD,

則黑

BE

6.如圖，A、B、C、。是OO上的四個點，4B=AC,AD交BC于點、E,若AE=2,ED=4,

則4B=

C

B

E

7.如圖，已知四邊形48。內(nèi)接于。0,半徑工0=6,對角線/。、8。交于￡點，且=

EC=2,則AD=.

8.如圖，點/、B、C、。在。。上，是。。的直徑，且么。=30,若/ABC=NCAD,

BC交AD于點E,則CE-BC為.

9.如圖，點A、。在以8c為直徑的。。上，且。是/C的中點，AC與BD交于點、E若AE=3,

CD=2括，則CE的長為.

三、解答題

10.我們定義：如果圓的兩條弦互相垂直且相交，那么這兩條弦互為“十字弦”，也把其中的

一條弦叫做另一條弦的“十字弦”.如圖1,己知。。的兩條弦則/2、CD互為“十

字弦”，43是CO的“十字弦”，CD也是的“十字弦”.

【概念理解】

(1)若0。的半徑為5,一條弦/2=8,則弦的“十字弦”CO的最大值為，最小值為.

圖1

(2)如圖2,若。。的弦CD恰好是。O的直徑，弦AB與CD相交于H,連接/C,若AC=12,

DH=1,CH=9,求證：/5、CD互為“十字弦”;

【問題解決】

(3)如圖3,在。。中，半徑為加，弦與CD相交于〃,48、CO互為“十字弦”且N3=C￡>,

H=5,則CD的長度.

DH

II.如圖，已知N5為。。的直徑，弦CD_L/8,垂足為〃

⑴求證：AH-AB=AC2；

⑵若過/的直線與弦CD(不含端點)相交于點E,與。。相交于點尸，求證：AE'AF=AC\

⑶若過/的直線與直線CD相交于點尸，與。。相交于點Q,判斷/尸?/0=/。2是否成立(不

必證明).

12.如圖，N8是。。的直徑，弦CD_L/3于點E,尸為石上一點，DF=BD＞連接C尸分

別交4B,于點G,H.

(1)求證：FH=GH；

(2)若4H:CH=3:4,且Z尸=15,求G8的長.

13.如圖，48為。O