概率與統(tǒng)計中的排列與組合目錄排列與組合基本概念古典概型及其計算條件概率與獨立性隨機變量及其分布數(shù)學期望與方差參數(shù)估計與假設檢驗01排列與組合基本概念從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個元素中取出m個元素的一個排列。排列定義$A_n^m=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$，其中$A_n^m$表示從n個元素中取出m個元素的排列數(shù)。排列公式排列定義及公式從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素，并成一組，叫做從n個元素中取出m個元素的一個組合。$C_n^m=frac{n!}{m!(n-m)!}$，其中$C_n^m$表示從n個元素中取出m個元素的組合數(shù)，$n!$表示n的階乘。組合定義及公式組合公式組合定義區(qū)別排列與元素的順序有關，而組合與元素的順序無關。聯(lián)系排列數(shù)$A_n^m$和組合數(shù)$C_n^m$之間存在關系：$A_n^m=C_n^mtimesm!$。這是因為排列是在組合的基礎上，再對選出的元素進行排序。因此，排列數(shù)等于組合數(shù)與選出元素的階乘之積。排列與組合關系02古典概型及其計算樣本空間有限古典概型中，所有可能的基本事件數(shù)量是有限的。等可能性每個基本事件發(fā)生的可能性是相等的。古典概型定義123從n個不同元素中取出m個元素（0≤m≤n），按照一定的順序排成一列，叫做從n個元素中取出m個元素的一個排列。排列定義$A_n^m=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$，表示從n個元素中取出m個元素進行排列的所有可能情況數(shù)。排列數(shù)公式如密碼組合、彩票號碼等。排列的應用場景古典概型中排列應用組合定義01從n個不同元素中取出m個元素（0≤m≤n），不考慮順序，叫做從n個元素中取出m個元素的一個組合。組合數(shù)公式02$C_n^m=frac{A_n^m}{m!}=frac{n!}{m!(n-m)!}$，表示從n個元素中取出m個元素進行組合的所有可能情況數(shù)。組合的應用場景03如抽獎、撲克牌游戲等。古典概型中組合應用03條件概率與獨立性條件概率定義及公式條件概率定義在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，記作P(A|B)。條件概率公式P(A|B)=P(AB)/P(B)，其中P(AB)表示事件A和事件B同時發(fā)生的概率，P(B)表示事件B發(fā)生的概率。VS如果事件A的發(fā)生與否對事件B的發(fā)生概率沒有影響，則稱事件A與事件B相互獨立。判斷方法如果P(AB)=P(A)P(B)，則事件A與事件B相互獨立。獨立性概念獨立性概念及判斷方法排列組合問題中經(jīng)常涉及到條件概率的計算，例如“在n個球中隨機取出m個球，其中有k個紅球的概率”就可以通過條件概率來計算。在計算排列組合問題的概率時，需要注意各個事件之間的獨立性或相關性，以及是否滿足條件概率的定義和公式。條件概率還可以用于解決一些復雜的排列組合問題，例如“在n個不同元素中取出m個元素的所有排列中，滿足某種特定條件的排列有多少個”等問題。通過引入條件概率，可以將這類問題轉(zhuǎn)化為更容易求解的形式。條件概率在排列組合中應用04隨機變量及其分布隨機變量是定義在樣本空間上的實值函數(shù)，它將樣本空間中的每一個樣本點映射到一個實數(shù)。定義隨機變量可分為離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量。離散型隨機變量的取值是有限個或可列個，而連續(xù)型隨機變量的取值則是充滿一個區(qū)間。分類隨機變量定義和分類離散型隨機變量的分布律可用分布列來描述，即列出隨機變量所有可能取值及其對應的概率。分布列二項分布、泊松分布、幾何分布等。常見離散型隨機變量分布離散型隨機變量分布律概率密度函數(shù)連續(xù)型隨機變量的概率分布可用概率密度函數(shù)來描述，它是一個非負可積函數(shù)，其函數(shù)值表示隨機變量落在某一區(qū)間的概率大小。常見連續(xù)型隨機變量分布正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布等。連續(xù)型隨機變量概率密度函數(shù)05數(shù)學期望與方差性質(zhì)常數(shù)的數(shù)學期望等于該常數(shù)本身。隨機變量的期望等于其概率加權和。隨機變量和的期望等于各隨機變量期望的和。定義：數(shù)學期望是試驗中每次可能結(jié)果的概率乘以其結(jié)果的總和，反映隨機變量平均取值的大小。數(shù)學期望定義和性質(zhì)獨立隨機變量和的方差等于各隨機變量方差的和。隨機變量線性變換的方差等于原方差乘以變換系數(shù)的平方。常數(shù)的方差為0。定義：方差是衡量隨機變量或一組數(shù)據(jù)時離散程度的度量，即各數(shù)值與其平均數(shù)差值的平方和的平均數(shù)。性質(zhì)方差定義和性質(zhì)二項分布泊松分布正態(tài)分布指數(shù)分布常見分布數(shù)學期望和方差01020304數(shù)學期望為np，方差為np(1-p)，其中n為試驗次數(shù)，p為成功概率。數(shù)學期望和方差均為λ，其中λ為泊松分布的參數(shù)。數(shù)學期望為μ，方差為σ2，其中μ為正態(tài)分布的均值，σ為正態(tài)分布的標準差。數(shù)學期望為1/λ，方差為1/λ2，其中λ為指數(shù)分布的參數(shù)。06參數(shù)估計與假設檢驗點估計用樣本統(tǒng)計量來估計總體參數(shù)，如樣本均值、樣本方差等。要點一要點二區(qū)間估計根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，構(gòu)造一個包含總體參數(shù)的置信區(qū)間，并給出置信水平。參數(shù)估計方法原理：先對總體參數(shù)提出一個假設，然后利用樣本信息來判斷這個假設是否合理。假設檢驗原理及步驟假設檢驗原理及步驟包括原假設和備擇假設。提出假設根據(jù)假設選擇合適的檢驗統(tǒng)計量。構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量確定拒絕域根據(jù)顯著性水平和檢驗統(tǒng)計量的分布，確定拒絕原假設的區(qū)域。作出決策根據(jù)檢驗統(tǒng)計量的值是否落在拒絕域內(nèi)，作出接受或拒絕原假設的決策。假設檢驗原理及步驟排列組合在參數(shù)估計中的應用在計算樣本量、構(gòu)造置信區(qū)間等方面，需要利用排列