人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期中考試考前模擬試卷

一.選擇題（共12小題，滿分36分，每小題3分）

1.（3分）為推動(dòng)世界冰雪運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，我國(guó)將于2022年舉辦北京冬奧會(huì)，在此之前進(jìn)行

了冬奧會(huì)會(huì)標(biāo)的征集活動(dòng)，以下是部分參選作品，其文字上方的圖案既是軸對(duì)稱圖形又

是中心對(duì)稱圖形的是（）

2.（3分）一元二次方程/+4x-3=0的一次項(xiàng)系數(shù)、二次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)的和是（）

A.1B.8C.7D.2

3.（3分）用配方法解一元二次方程2?-2x-1=0,下列配方正確的是（）

A.（x1）2衛(wèi)B.鼠」）2衛(wèi)

,X4442

（~>（1\2r-?（、2

C（X為）D.（x至）而

4.（3分）若x=-1是方程/+x+,”=0的一個(gè)根，則此方程的另一個(gè)根是（）

A.-1B.0C.1D.2

5.（3分）拋物線y=-（x-1）2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.（1,3）B.（-1,3）C.（-1,-3）D.（1,-3）

6.（3分）拋物線y=2xi-4x+c經(jīng)過(guò)三點(diǎn)（-4,_yi）,（-2,72）,《，”），則>1,

”，”的大小關(guān)系是（）

A.”>y3>yiB.C.yz>y\>y3D.

7.（3分）已知拋物線y=（%-2）2+\,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.拋物線開口向上

B.拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2

C.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,1）

D.當(dāng)x<2時(shí)，y隨x的增大而增大

8.（3分）將拋物線-6x+5先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得

到的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為（）

A.y=（x-4）2-6B.y=（x-1）2-3C.y=（x-2）2-2D.y=（x-4）2-2

9.（3分）已知a是不為0的常數(shù)，函數(shù)y=ar和函數(shù)y=-0?+。在同一平面直角坐標(biāo)系

第1頁(yè)共23頁(yè)

內(nèi)的圖象可以是（)

10.（3分）A8為。0的直徑，延長(zhǎng)A3到點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作。。的切線，切點(diǎn)為C,連接

D.40°

11.(3分)如圖，在RtZ\ABC中，ZC=90°,ZBAC=40°,將Rt^ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得

到RtZVlHC,且點(diǎn)。落在A8上，則NB5C的度數(shù)為（)

B.120°C.135°D.140°

12.（3分）如圖，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長(zhǎng)線和△ABC的外接圓相交于點(diǎn)。，與

BC相交于點(diǎn)G,則下列結(jié)論：①/BAO=NCW：②若NB4C=60°,則NBEC=120°；

③若點(diǎn)G為8c的中點(diǎn)，則NBG￡>=90°；@BD=DE.其中一定正確的個(gè)數(shù)是（）

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二.填空題（共7小題，滿分21分，每小題3分）

13.（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（2,-3）與點(diǎn)。（加，〃+1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則

-n=.

14.（3分）關(guān)于x的方程（m-l）/-2x+l=0有實(shí)數(shù)根，則機(jī)的取值范圍是.

15.（3分）已知〃7,"是方程Phr-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則層-“+2022的值是.

16.（3分）如圖，四邊形ABCQ是。。的內(nèi)接四邊形，BC是。。的直徑，OELBC交AB

于點(diǎn)E,若/AOC=150°,BE=4,則AE的長(zhǎng)為.

17.（3分）如圖，3,尸8是。。的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B.連接OA,OB,AB,PO,

18.（3分）如圖，小明同學(xué)用一張長(zhǎng)1工機(jī)，寬7cm的矩形紙板制作一個(gè)底面積為21c機(jī)2

的無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒，他將紙板的四個(gè)角各剪去一個(gè)同樣大小的正方形，將四周向上折疊

即可（損耗不計(jì)）.設(shè)剪去的正方形邊長(zhǎng)為xcm,則可列出關(guān)于x的方程

為?

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19.（3分）如圖，水池中心點(diǎn)0處豎直安裝一水管，水管噴頭噴出拋物線形水柱，噴頭上

下移動(dòng)時(shí)，拋物線形水柱隨之豎直上下平移，水柱落點(diǎn)與點(diǎn)0在同一水平面.安裝師傅

調(diào)試發(fā)現(xiàn)，噴頭高2.5加時(shí)，水柱落點(diǎn)距0點(diǎn)25”；噴頭高4時(shí)，水柱落點(diǎn)距0點(diǎn)3m.那

么噴頭高，〃時(shí)，水柱落點(diǎn)距0點(diǎn)4〃?.

三.解答題(共6小題，滿分63分)

20.(12分)解方程：

(1)x2-8x=0；

(2)2(x-3)2+/-9=0；

(3)(x+1)2=2x7；

(4)x(2x-5)=4x-10.

21.（10分）如圖，四邊形ABCQ是。。的內(nèi)接四邊形，AD=CD-NBAC=70°,ZACB

=50°.

(1)求NABD的度數(shù);

(2)求N8AD的度數(shù).

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22.（10分）某商場(chǎng)以每件220元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品共900件，起初，商場(chǎng)按每件280

元的價(jià)格銷售該商品，每天可售出30件，銷售兩天后，為慶?！?18購(gòu)物節(jié)”，商場(chǎng)決

定開展降價(jià)促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品每降價(jià)1元，平均每天可多售出3件.

（1）若要使該商品每天的銷售利潤(rùn)達(dá)到降價(jià)前的兩倍，則每件商品應(yīng)降價(jià)多少元？

（2）在（1）的條件下，要使該商品盡快售完，需開展幾天的降價(jià)促銷活動(dòng)？

23.（10分）如圖，己知的直徑4B=12,弦AC=10,。是標(biāo)的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作。E

LAC,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

（1）求證：OE是。0的切線；

（2）求4E的長(zhǎng).

24.（9分）如圖1,點(diǎn)C在線段AB上，（點(diǎn)C不與A、8重合），分別以AC、8C為邊

在A8同側(cè)作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE,連接AE、BD交于點(diǎn)P.

【觀察猜想】

①AE與BD的數(shù)量關(guān)系是；

②NAPQ的度數(shù)為.

【數(shù)學(xué)思考】

如圖2,當(dāng)點(diǎn)C在線段A8外時(shí)，（1）中的結(jié)論①、②是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予

證明；若不成立，請(qǐng)你寫出正確結(jié)論再給予證明；

【拓展應(yīng)用】

如圖3,點(diǎn)E為四邊形ABC。內(nèi)一點(diǎn)，且滿足NAED=NBEC=90°,AE=DE,BE=CE,

對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)、P,AC=10,則四邊形ABC。的面積為________.

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25.（12分）已知拋物線y=o?+3x+4的對(duì)稱軸是直線x=3,與x軸相交于A,8兩點(diǎn)（點(diǎn)

2

8在點(diǎn)A右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C.

（1）求拋物線的解析式和4,3兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖1,若點(diǎn)P是拋物線上8、C兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與8、C重合），是否

存在點(diǎn)尸，使四邊形尸80c的面積最大？若存在，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)及四邊形PB0C面積的

最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖2,若點(diǎn)“是拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線，交直線BC于點(diǎn)N,

當(dāng)MN=3時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

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2023期中九年級(jí)考試考前模擬一

參考答案與試題解析

選擇題（共12小題，滿分36分，每小題3分）

1.（3分）為推動(dòng)世界冰雪運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，我國(guó)將于2022年舉辦北京冬奧會(huì)，在此之前進(jìn)行

了冬奧會(huì)會(huì)標(biāo)的征集活動(dòng)，以下是部分參選作品，其文字上方的圖案既是軸對(duì)稱圖形又

是中心對(duì)稱圖形的是（）

【解答】解：A.不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意;

B.既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

C.是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

D.不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意.

故選：B.

2.（3分）一元二次方程f+4x-3=0的一次項(xiàng)系數(shù)、二次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)的和是（）

A.1B.8C.7D.2

【解答】解：關(guān)于x的一元二次方程/+?-3=0的一次項(xiàng)系數(shù)、二次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)

分別為4、1和-3.

所以一元二次方程/+4x-3=0的一次項(xiàng)系數(shù)、二次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)的和是4+1-3=2.

故選：D

3.（3分）用配方法解一元二次方程2?-2x-1=0,下列配方正確的是（）

A.B.

"4442

U（X”）qD.（X下）而

【解答】解：方程2?-2x-1=0,

整理得：

2

配方得：/-X+L=3,即（X-1）2=3.

4424

故選：C.

4.（3分）若x=-1是方程/+工+m=0的一個(gè)根，則此方程的另一個(gè)根是（）

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A.-1B.0C.1D.2

【解答】解：設(shè)/+x+，%=0另一個(gè)根是a,

,-l+a=-1,

.?.a=0,

故選：B.

5.（3分）拋物線y=-（x-1）2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.（1,3）B.（-1,3）C.（-1,-3）D.（1,-3）

【解答】解：y=-a-1）2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,3）.

故選：A.

6.（3分）拋物線尸）-4x+c經(jīng)過(guò)三點(diǎn)（-4,ji）,（-2,y2）,（"*）,則yi,

”，y3的大小關(guān)系是（）

A.y2>y3>y\B.y]>y2>y3C.y2>y]>y3D.y\>y3>y2

【解答】解：-4x+c=2（x-1）2+c-2.

拋物線開口向上，對(duì)稱軸是直線x=l.

.?.當(dāng)x<l時(shí)，），隨x的增大而減小，

?拋物線y=2?-4x+c經(jīng)過(guò)三點(diǎn)（-4,yi）,（-2,”）,弓，"）,-4<-2<-j-

<1,

^?y\>y2>y3f

故選：B.

7.（3分）已知拋物線y=（x-2）2+1,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.拋物線開口向上

B.拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2

C.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,1）

D.當(dāng)x<2時(shí);），隨x的增大而增大

【解答】解：A選項(xiàng)，；a=l>0,

，拋物線開口向上，故該選項(xiàng)不符合題意；

8選項(xiàng)，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2,故該選項(xiàng)不符合題意；

C選項(xiàng)，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,1）,故該選項(xiàng)不符合題意;

。選項(xiàng)，當(dāng)xV2時(shí)，y隨x的增大而減小，故該選項(xiàng)符合題意;

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故選：D.

8.(3分)將拋物線y=/-6X+5先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得

到的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為()

A.y=(x-4)2-6B.尸(x-1)2-3C.尸(x-2)2-2D.y=(%-4)2-2

【解答】解：：y=/-6x+5,

；.y=(x-3)2-4.

...將拋物線)'=(x-3)2-4先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到

的拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：y=(x-3-1)2-4+2,即)=(x-4)2-2.

故選：D.

9.(3分)己知a是不為0的常數(shù)，函數(shù)y=ar和函數(shù)y="在同一平面直角坐標(biāo)系

內(nèi)的圖象可以是()

【解答】解：當(dāng)a>0時(shí)，y=ax的函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和一，三象限，y=-a/+”的圖象

開口向下，與y軸交于正半軸.

當(dāng)a<0時(shí)，y=at函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和二，四象限，y=-a?+a的圖象開口向上，與y

軸交于負(fù)半軸.

故選：C.

10.(3分)AB為。。的直徑，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作。。的切線，切點(diǎn)為C,連接

AC,ZP=40°,。為圓上一點(diǎn)，則NQ的度數(shù)為()

第9頁(yè)共23頁(yè)

A.20°B.25°C.30°D.40°

???尸。為。。的切線，

：.ZOCP=90°,

???NCOP+NP=90°,

VZP=40°,

：.ZCOP=50°,

ZD-|ZCOP=25°，

故選:B.

11.（3分）如圖，在RtZ\4BC中，ZC=90°，NBAC=40°,將Rtz^ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得

到Rt^AHC,且點(diǎn)。落在AB上，則的度數(shù)為（）

【解答】解：:將RtA4BC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到RtZ\AB'C,

.\AB=AB',NC=NACB'=90°,ZBAC=ZB'AC=W,

：.ZB'BA=70°,

VZC=90°,ZBAC=40°,

/.ZABC=5O0,

第10頁(yè)共23頁(yè)

：.ZB'BC=\20°,

故選：B.

12.（3分）如圖，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長(zhǎng)線和AABC的外接圓相交于點(diǎn)。，與

8c相交于點(diǎn)G,則下列結(jié)論：①②若NBAC=60°,則NBEC=120°；

③若點(diǎn)G為8C的中點(diǎn)，則NBG￡）=90°；@BD=DE.其中一定正確的個(gè)數(shù)是（）

【解答】解：是△48C的內(nèi)心,

平分NBAC,

：.ZBAD^ZCAD,故①正確；

AZEBC=—ZABC,AECB=^/ACB,

22

'：ZBAC=60°,

AZABC+ZACB=\2Q°,

/.ZBEC=1800-NEBC-NECB=180°-—(ZABC+ZACB)=120°,故②正確;

第11頁(yè)共23頁(yè)

'：ZBAD=ZCAD,

，BD=DC，

:.OD±BC,

?.?點(diǎn)G為BC的中點(diǎn)，

；.G一定在0。上，

：.ZBGD=9Q°,故③正確；

如圖，連接BE,

.?.BE平分NABC,

NABE=NCBE,

,：NDBC=ZDAC=ABAD,

：.NDBC+NEBC=ZEBA+ZEAB,

：.ZDBE^ZDEB,

:.DB=DE,故④正確.

...一定正確的①②③④，共4個(gè).

故選：D.

二.填空題（共7小題，滿分21分，每小題3分）

13.（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（2,-3）與點(diǎn)。（〃1,〃+1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則機(jī)

-n=-4.

【解答】解：由點(diǎn)尸（2,-3）與點(diǎn)。（加，〃+1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得：

m=-2,〃+1=3,

所以n=2.

貝ljtn-〃=-2-2=-4,

故答案為：-4.

14.（3分）關(guān)于x的方程（m-l）/-2x+l=0有實(shí)數(shù)根，則，〃的取值范圍是“W2.

【解答】解：當(dāng)m-1=0時(shí)，即機(jī)=1時(shí)，原方程即為-2x+l=0,解得x」，符合題意；

2

當(dāng)）?-1W0,即mW1時(shí)，

?.?關(guān)于X的方程（W-1）/-2x+l=o有實(shí)數(shù)根，

；.△=（-2）2-4（〃？-1）20,

解得且加W1,

第12頁(yè)共23頁(yè)

綜上所述，，"W2,

故答案為：〃?W2.

15.(3分)已知in,n是方程7+x-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m2-n+2022的值是2026.

【解答】解：???〃?，"是方程/+x-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

m^+m-3=0,m+n--1.

nr--m+3,

：.n?-〃+2022=-7M+3-〃+2022=-(m+n)+2025=-(-1)+2025=2026.

故答案為：2026.

16.(3分)如圖，四邊形A8CO是。。的內(nèi)接四邊形，BC是。。的直徑，OELBC交AB

于點(diǎn)E,若NAOC=150°,BE=4,則AE的長(zhǎng)為2.

，N84C=90°,

：四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形,

；.NB+/AOC=180°,

VZADC=\50°,

：.ZB=30°,

「OELBC,

；.OE=—BE,BC=2OB,

2

令OE=x,則8E=2r,

?**OB=VBE2-0E2=5/3X,

***BC=2y[^x,

：.AB=^-BC=3X,

2

：.AE=AB-BE=x,

第13頁(yè)共23頁(yè)

.-.AE=AB￡=AX4=2.

22

故答案為：2.

17.（3分）如圖，PA,PB是。。的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B.連接OA,OB,AB,P0,

尸。與AB交于點(diǎn)C.若NAPB=60°,OC=i,則的周長(zhǎng)為.

【解答】解：：孫、P8是。。的兩條切線，

：.OALPA,0B1PB,OP平分/APB,PA=PB,

VZAPB=60°,

△孫B是等邊三角形，A8=2AC,PO1.AB,

：.ZB4B=60°,

AZOAC^ZPAO-ZPAB=90a-60°=30°,

；.AO=2OC,

,:oc=\,

；.AO=2,

1'?AC—yf3'

；.4B=2AC=2禽，

△以B的周長(zhǎng)=6代.

故答案為：6,\/3.

18.（3分）如圖，小明同學(xué)用一張長(zhǎng)11cm,寬7cm的矩形紙板制作一個(gè)底面積為21cm2

的無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒，他將紙板的四個(gè)角各剪去一個(gè)同樣大小的正方形，將四周向上折疊

即可（損耗不計(jì)）.設(shè)剪去的正方形邊長(zhǎng)為X。"，則可列出關(guān)于x的方程為（11-2x）

（7-2%）=21.

第14頁(yè)共23頁(yè)

【解答】解：由題意可得：（11-2x）（7-2x）=21,

故答案為：（11-2%）（7-2%）=21.

19.（3分）如圖，水池中心點(diǎn)0處豎直安裝一水管，水管噴頭噴出拋物線形水柱，噴頭上

下移動(dòng)時(shí)，拋物線形水柱隨之豎直上下平移，水柱落點(diǎn)與點(diǎn)。在同一水平面.安裝師傅

調(diào)試發(fā)現(xiàn)，噴頭高2.5團(tuán)時(shí)，水柱落點(diǎn)距。點(diǎn)2.5網(wǎng)噴頭高4時(shí)，水柱落點(diǎn)距0點(diǎn)3m.那

么噴頭高8，”時(shí),水柱落點(diǎn)距。點(diǎn)4,”.

【解答】解：由題意可知，在調(diào)整噴頭高度的過(guò)程中，水柱的形狀不發(fā)生變化,

當(dāng)噴頭高2.5m時(shí)，可設(shè)＞=4/+&1+2.5,

將（2.5,0）代入解析式得出6.25a+2.5b+2.5=0,

整理得2.5a+b+l=00；

噴頭高4機(jī)時(shí)，可設(shè)y=ar+fex+4；

將（3,0）代入解析式得9a+3%+4=0②，

聯(lián)立可求出“=-2,b——,

33

設(shè)噴頭高為h時(shí)，水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)4m,此時(shí)的解析式為），=-2/+2彳+力，

33

將（4,0）代入可得-2x42+2X4+/?=0,

33

解得〃=8.

故答案為：8.

第15頁(yè)共23頁(yè)

三.解答題(共6小題，滿分63分)

20.(12分)解方程：

(1)x2-8x=0；

(2)2(x-3)2+/-9=0；

(3)(x+1)2=2x7；

(4)x(2x-5)=4x-10.

【解答】解：(1)7-8x=0,x(x-8)=0,

令x=0或x-8=0,

解得：xi=0,X2=S；

(2)2(x-3)2+/-9=0,

2(x-3)2+(x+3)(x-3)=0,

(x-3)[2(x-3)+(x+3)J=0,

(x-3)(3x-3)=0,

令x-3=0或3x-3=0,

解得：xi=3,X2—1；

(3)(x+1)2=2X-1,

)?+2x+\=2x-1,

X2+2X+1-2x+l=0,

7+2=0,

/=-2<0,

原方程無(wú)實(shí)數(shù)根；

(4)x(2x-5)=4x-10,

x(2x-5)=2⑵-5),

x(2x-5)-2(2x-5)=0,

(2x-5)(x-2)=0,

令2x-5=0或x-2—0,

解得：x1m=2.

X12

21.(10分)如圖，四邊形A8CO是。。的內(nèi)接四邊形，AD=CD?ZBAC=70°,ZACB

=50。.

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(1)求/ABD的度數(shù);

(2)求N8AD的度數(shù).

【解答】解：（1）84c=70°,NAC8=50°,

AZA?C=1800-ZBAC-ZACB=60a,

：俞=而，

.,./A8O=/CBO=2NA8C=30°；

2

(2)由圓周角定理得：NACD=乙48。=30°,

NBCD=NACB+/AC￡)=80°,

,/四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形，

；.284。=180°-ZBCD=100°.

22.(10分)某商場(chǎng)以每件220元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品共900件，起初，商場(chǎng)按每件280

元的價(jià)格銷售該商品，每天可售出30件，銷售兩天后，為慶?！?18購(gòu)物節(jié)”，商場(chǎng)決

定開展降價(jià)促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品每降價(jià)1元，平均每天可多售出3件.

(1)若要使該商品每天的銷售利潤(rùn)達(dá)到降價(jià)前的兩倍，則每件商品應(yīng)降價(jià)多少元？

(2)在(1)的條件下，要使該商品盡快售完，需開展幾天的降價(jià)促銷活動(dòng)？

【解答】解：(1)設(shè)每件商品應(yīng)降價(jià)x元，

由題意，得<280-%-220)(30+3x)=(280-220)X30X2,

解得xi=20,X2=30.

答：每件商品應(yīng)降價(jià)20元或30元；

(2)?.?要使該商品盡快售完，

.?.每件商品應(yīng)降價(jià)30元.

設(shè)需要開展y天的降價(jià)促銷活動(dòng).

由題意，得900-30X2=(30+3X30)y.

解得),=7.

答：需開展7天的降價(jià)促銷活動(dòng).

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23.(10分)如圖，已知。。的直徑A8=12,弦AC=10,。是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作OE

VAC,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求證：QE是。。的切線；

(2)求4E的長(zhǎng).

【解答】(1)證明：連接O。，

為前的中點(diǎn)，

???BD=CD.

/BOD=/COD=工NBOC,即NBOC=2NBO￡>,

2

'：ZBOC=2ZA,

：.ZBOD=ZA,

：.OD//AE,

'：DErAC,

：.ZAED=90°,

：.ZODE=90°,

OD±DE,

則OE為圓。的切線；

(2)解：過(guò)點(diǎn)。作OFLAC,

：AC=10,

：.AF=CF=^AC=5,

2

NOFE=NDEF=NODE=90°,

四邊形OFED為矩形，

：.FE=OD=^AB,

2

；A8=12,

第18頁(yè)共23頁(yè)

:.FE=6,

則AE=AF+FE=5+6^11.

24.（9分）如圖1,點(diǎn)C在線段AB上，（點(diǎn)C不與A、8重合），分別以AC、BC為邊

在A3同側(cè)作等邊三角形ACQ和等邊三角形8CE,連接AE、2。交于點(diǎn)P.

【觀察猜想】

①AE與BD的數(shù)量關(guān)系是一AE=BD；

②NAP。的度數(shù)為60°.

【數(shù)學(xué)思考】

如圖2,當(dāng)點(diǎn)C在線段A8外時(shí)，（1）中的結(jié)論①、②是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予

證明；若不成立，請(qǐng)你寫出正確結(jié)論再給予證明；

【拓展應(yīng)用】

如圖3,點(diǎn)E為四邊形4BCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足NAED=N8EC=90°,AE=DE,BE=CE,

對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)P,AC=10,則四邊形ABC。的面積為50.

【解答】解：【觀察猜想】：結(jié)論：AE=BD./AP￡>=60°.

理由：設(shè)AE交8于點(diǎn)O.

?；/XADC,/XECB都是等邊三角形,

第19頁(yè)共23頁(yè)

：.CA=CDfZACD=ZECB=60°,CE=CB,

：.ZACE=ZDCB,

：.AACE^ADCB(SAS),

???AE=BD,NCAO=/ODP,

丁ZAOC=ZDOPf

：.ZDPO=ZACO=60°,

即NAPO=60°.

故答案為AE=8E>,60°.

【數(shù)學(xué)思考】：結(jié)論仍然成立.

理由：設(shè)AC交80于點(diǎn)0.

VAADC,△ECB都是等邊三角形，

：.CA=CD,ZACD=ZECB=60Q,CE=CB,

：.NACE=NDCB

：.^ACE^/\DCB(SAS),

：.AE=BD,ZR\O=ZODC,

,//AOP=/DOC,

：.ZAPO=ZDCO=6O0,

即NAPD=60°.

【拓展應(yīng)用】：

第20頁(yè)共23頁(yè)

設(shè)AC交BE于點(diǎn)O.

?：/\ADE,AECB都是等腰直角三角形，

；.ED=EA,NAED=NBEC=9Q°,CE=EB,

：.NAEC=NDEB

：./\AEC^ADEB(SAS),

.?.AC=B￡)=10,NPBO=NOCE,

'：NBOP=/EOC,

:.NBPO=NCEO=90°,

J.ACLBD,

：.Sn^ABCD=—tAC^DP+^'AC'PB=^AC*(DP+PB)=」?AU8E>=50.

2222

故答案為50.

25.(12分)已知拋物線)，=蘇+條什4的對(duì)稱軸是直線x=3,與x軸相交于A,8兩點(diǎn)(點(diǎn)

8在點(diǎn)A右側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式和A,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)如圖1,若點(diǎn)P是拋物線上8、C兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與8、C重合)，是否

存在點(diǎn)P,使四邊形尸BOC的面積最大？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及四邊形PBOC面積的

最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

第21頁(yè)共23頁(yè)

(3)如圖2,若點(diǎn)M是拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線，交直線B