思想01運(yùn)用分類討論的思想方法解題【目錄】TOC\o"12"\h\z\u 1 2 2 5考點(diǎn)一：由情境的規(guī)則引起的分類討論 5考點(diǎn)二：由定義引起的分類討論 9考點(diǎn)三：由平面圖形的可變性引起的分類討論 12考點(diǎn)四：由變量的范圍引起的分類討論 16考點(diǎn)五：由空間圖形的可變性引起的分類討論 23高考命題中，以知識(shí)為載體，以能力立意、思想方法為靈魂，以核心素養(yǎng)為統(tǒng)領(lǐng)，兼顧試題的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值．高考試題一是著眼于知識(shí)點(diǎn)新穎巧妙的組合，二是著眼于對(duì)數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力的考查．如果說數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)的內(nèi)容，可用文字和符號(hào)來記錄和描述，那么數(shù)學(xué)思想方法則是數(shù)學(xué)的意識(shí)，重在領(lǐng)會(huì)、運(yùn)用，屬于思維的范疇，用于對(duì)數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識(shí)、處理和解決．高考中常用到的數(shù)學(xué)思想主要有分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等．當(dāng)被研究的問題出現(xiàn)多種情況且綜合考慮無法深入時(shí)，我們通常將可能出現(xiàn)的所有情況分別進(jìn)行討論，得出每種情況下相應(yīng)的結(jié)論，這就是分類討論的思想，包含分類與整合兩部分，既化整為零，各個(gè)擊破，又集零為整．基本步驟是：（1）研究討論的必要性，確定討論對(duì)象；（2）確定分類依據(jù)，并按標(biāo)準(zhǔn)分類；（3）逐類解決，獲得各類的結(jié)果；（4）歸納整合，得到結(jié)果．分類的基本原則是：（1）標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不重不漏；（2）層次明晰，不混不亂．分類討論應(yīng)用的熱點(diǎn)：（1）由概念、定義、公式、定理、性質(zhì)等引起的分類討論，如直線的斜率是否存在，冪、指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，等比數(shù)列的公比是否為等．（2）由數(shù)學(xué)運(yùn)算規(guī)則引起的分類討論，如除法運(yùn)算中分母不為零，偶次方根為非負(fù)數(shù)，不等式兩邊同乘（除）以一個(gè)數(shù)（式）的符號(hào)等．（3）由變量的范圍引起的分類討論，如對(duì)數(shù)的真數(shù)與底數(shù)的范圍，指數(shù)運(yùn)算中底數(shù)的范圍，函數(shù)在不同區(qū)間上單調(diào)性受參變量的影響等．（4）由圖形的可變性引起的分類討論，如圖形類型、位置，點(diǎn)所在的象限，角大小的可能性等．（5）由情境的規(guī)則引起的分類討論，情境問題的規(guī)則在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)常需要分類討論思想，如體育比賽的規(guī)則等．1．（2023?天津）若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為．【答案】，，，．【解析】①當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；②當(dāng)方程滿足且△時(shí)，有即，，，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，不滿足，當(dāng)時(shí)，△，滿足；③△時(shí)，，，，記的兩根為，，不妨設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，且，，，但此時(shí)，舍去，，，且，但此時(shí)，舍去，故僅有1與兩個(gè)解，即有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有，舍去，，舍去，故僅有和兩個(gè)解，即有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，綜上，，，，．故答案為：，，，．2．（2023?新高考Ⅰ）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．【解析】（1），則，①當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減，②當(dāng)時(shí)，令得，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．證明：（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，要證，只需證，只需證，設(shè)（a），，則（a），令（a）得，，當(dāng)時(shí)，（a），（a）單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，（a），（a）單調(diào)遞增，所以（a），即（a），所以得證，即得證．3．（2023?甲卷）已知，．（1）若，討論的單調(diào)性；（2）若恒成立，求的取值范圍．【解析】（1）已知，函數(shù)定義域?yàn)?，若，此時(shí)，可得，因?yàn)?，，所以?dāng)，即時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，，單調(diào)遞減；（2）不妨設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)?，，令，，此時(shí)，不妨令，可得，所以單調(diào)遞增，此時(shí)（1），①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，此時(shí)，則當(dāng)時(shí)，恒成立，符合題意；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以，又（1），所以在區(qū)間上存在一點(diǎn)，使得，即存在，使得，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，可得當(dāng)時(shí)，，不符合題意，綜上，的取值范圍為，．考點(diǎn)一：由情境的規(guī)則引起的分類討論【例1】三人各拋擲骰子一次，落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)能組成等差數(shù)列的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A

【解析】根據(jù)題意，將一個(gè)骰子連續(xù)拋擲三次，每次都有6種情況，則共有種情況，它落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)能組成等差數(shù)列，分兩種情況討論：①若落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)若不同，則為1，2，3或1，3，5，或2，3，4或2，4，6或3，4，5或4，5，共有6種可能，每種可能的點(diǎn)數(shù)順序可以顛倒，即有種情況；即有種情況，②若落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)全相同，有6種情況，共有種情況，落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)能組成等差數(shù)列的概率為故選【變式11】一袋中有紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球各一個(gè)，每次從中取出一個(gè)，記下顏色后放回，當(dāng)三種顏色的球全部取出時(shí)停止取球，則恰好取5次球時(shí)停止取球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B

【解析】分兩種情況3，1，1及2，2，1，這兩種情況是互斥的，下面計(jì)算每一種情況的概率，當(dāng)取球的個(gè)數(shù)是3，1，1時(shí)，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是，滿足條件的事件數(shù)是，這種結(jié)果發(fā)生的概率是，同理求得第二種結(jié)果的概率是，根據(jù)互斥事件的概率公式得到，故選【變式12】甲、乙、丙、丁四支球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)小組賽，比賽分三輪，每輪兩場比賽，具體賽程如下表：第一輪甲VS乙丙VS丁第二輪甲VS丙乙VS丁第三輪甲VS丁乙VS丙規(guī)定：每場比賽獲勝的球隊(duì)記3分，輸?shù)那蜿?duì)記0分，平局兩隊(duì)各記1分，三輪比賽結(jié)束后以總分排名．總分相同的球隊(duì)以抽簽的方式確定排名，排名前兩位的球隊(duì)出線．假設(shè)甲、乙、丙三支球隊(duì)水平相當(dāng)，彼此間勝、負(fù)、平的概率均為，丁的水平較弱，面對(duì)其他任意一支球隊(duì)勝、負(fù)、平的概率都分別為，，每場比賽結(jié)果相互獨(dú)立．求丁的總分為7分的概率；判斷此時(shí)丁能否出線，并說明理由；若第一輪比賽結(jié)束，甲、乙、丙、丁四支球隊(duì)積分分別為3，0，3，0，求丁以6分的成績出線的概率．【解析】記第

i

輪比賽丁勝、平、負(fù)的事件分別為

，每場比賽結(jié)果相互獨(dú)立．丁總分為7分，則丁三場比賽兩勝一平，記丁三輪比賽兩勝一平的事件為

D

，；丁總分7分一定出線．理由如下：丁三場比賽中贏兩場，這兩場丁的對(duì)手總分最多6分．小組賽兩隊(duì)出線，所以丁一定出線．第一輪比賽，甲勝乙，丙勝丁，又丁總分為6分，則丁對(duì)戰(zhàn)甲、乙都獲勝，此時(shí)，乙隊(duì)總分最多3分，少于丁隊(duì)總分，①第二輪中若甲負(fù)于丙或平丙時(shí)，甲總分最多4分，少于丁隊(duì)總分，此時(shí)甲、乙兩隊(duì)少于丁隊(duì)總分，丁一定出線，其相應(yīng)的概率

，②第二輪中若甲勝丙、第三輪中丙平乙或負(fù)于乙時(shí)，丙總分最多4分，此時(shí)丙、乙兩隊(duì)少于丁隊(duì)總分，丁一定出線，其相應(yīng)的概率

，③第二輪中若甲勝丙、第三輪中丙勝乙時(shí)，甲、丁、丙隊(duì)總分均為6分，此時(shí)由抽簽確定出線，三隊(duì)中有兩隊(duì)出線，每隊(duì)出線概率為

，丁隊(duì)出線的概率

，綜上，丁以6分出線的概率為

．【變式13】2021年4月23日是第26個(gè)“世界讀書日”，某校組織“閱百年歷程，傳精神力量”主題知識(shí)競賽，有基礎(chǔ)題、挑戰(zhàn)題兩類問題．每位參賽同學(xué)回答n次，每次回答一個(gè)問題，若回答正確，則下一個(gè)問題從挑戰(zhàn)題庫中隨機(jī)抽??；若回答錯(cuò)誤，則下一個(gè)問題從基礎(chǔ)題庫中隨機(jī)抽?。?guī)定每位參賽同學(xué)回答的第一個(gè)問題從基礎(chǔ)題庫中抽取，基礎(chǔ)題答對(duì)一個(gè)得10分，否則得0分；挑戰(zhàn)題答對(duì)一個(gè)得30分，否則得0分．已知小明能正確回答基礎(chǔ)類問題的概率為，能正確回答挑戰(zhàn)類問題的概率為，且每次回答問題是相互獨(dú)立的．記小明前2題累計(jì)得分為X，求X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望；記第k題小明回答正確的概率為，，證明：當(dāng)時(shí)，，并求的通項(xiàng)公式．【解析】依題意，X的可能取值為0，10，所以X的概率分布為X01040P所以，當(dāng)時(shí)，分兩種情形：①若第次回答正確，則第k次回答挑戰(zhàn)題，這種情形下第k次回答正確的概率為②若第次回答錯(cuò)誤，則第k次回答基礎(chǔ)題，這種情況下第k次回答正確的概率為所以，得證．所以，因?yàn)?，，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列．所以，即

考點(diǎn)二：由定義引起的分類討論【例2】若數(shù)列中不超過的項(xiàng)數(shù)恰為，則稱數(shù)列是數(shù)列的生成數(shù)列，稱相應(yīng)的函數(shù)是數(shù)列生成的控制函數(shù)．已知，且，數(shù)列的前m項(xiàng)和為，若，則m的值為__________．【答案】11

【解析】m為偶數(shù)時(shí)，則，則m為奇數(shù)時(shí)，則，則，m為偶數(shù)時(shí)，則，m為奇數(shù)時(shí)，則，若，則，或，因?yàn)?，得，故答案為：【變?1】記，若是等差數(shù)列，則稱m為數(shù)列的“等差均值”；若是等比數(shù)列，則稱m為數(shù)列的“等比均值”．已知數(shù)列的“等差均值”為2，數(shù)列的“等比均值”為記，數(shù)列的前n項(xiàng)和為若對(duì)任意的正整數(shù)n都有，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是__________．【答案】

【解析】由題得，所以…，

①…，

②①②，得，又時(shí)，滿足上式，所以又由題得，所以…，③…，

④③④，得，，又時(shí)，滿足上式，所以，所以，顯然數(shù)列是等差數(shù)列．因?yàn)閷?duì)任意的正整數(shù)n，都有，所以，即，解得，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是故答案為【變式22】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，若表示不超過x的最大整數(shù)，如，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；若，求數(shù)列的前2020項(xiàng)的和．【解析】數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又也適合上式，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，3，4，…，19時(shí)，，當(dāng)，21，22，…，199時(shí)，，當(dāng)，201，202，…，1999時(shí)，，當(dāng)，2001，…，2020時(shí)，，故數(shù)列的前2020項(xiàng)和為

【變式23】將連續(xù)正整數(shù)1，2，，從小到大排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)，為這個(gè)數(shù)的位數(shù)如當(dāng)時(shí)，此數(shù)為，共有15個(gè)數(shù)字，，現(xiàn)從這個(gè)數(shù)中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字，為恰好取到0的概率．求當(dāng)時(shí)，求的表達(dá)式．令為這個(gè)數(shù)中數(shù)字0的個(gè)數(shù)，為這個(gè)數(shù)中數(shù)字9的個(gè)數(shù)，，，求當(dāng)時(shí)的最大值．【解析】當(dāng)時(shí)，這個(gè)數(shù)中總共有192個(gè)數(shù)字，其中數(shù)字0的個(gè)數(shù)為11，所以恰好取到0的概率當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，表示不超過x的最大整數(shù)，當(dāng)時(shí)，故同理有由可知，19，29，39，49，59，69，79，89，90，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由于關(guān)于k單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，的最大值為又，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為考點(diǎn)三：由平面圖形的可變性引起的分類討論【例3】過點(diǎn)的直線與圓相切，則直線的方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C

【解析】根據(jù)題意，圓，其圓心為，半徑；分2種情況討論：①直線l的斜率不存在，則其方程為，與圓相切，符合題意；②直線l的斜率存在，設(shè)其方程為，即，直線l與圓相切，則有，解可得，此時(shí)直線l的方程為則直線l的方程為或故選：【變式31】（多選題）已知雙曲線C：的左右焦點(diǎn)分別為，，過的直線交雙曲線C的右支于P、Q兩點(diǎn)，若為等腰直角三角形，則C的離心率可能為（

）A． B． C． D．【答案】BC

【解析】由題意，為等腰直角三角形，假設(shè)，則，則，且，所以，又，，所以在中，由余弦定理，可得，

，得假設(shè)，則，，則

軸，所以，因?yàn)?，所以，則得假設(shè)，則計(jì)算過程及結(jié)果與一致．故選【變式32】已知圓，過點(diǎn)的直線l交圓O于兩點(diǎn)，且，請(qǐng)寫出一條滿足上述條件的直線l的方程__________．【答案】或

【解析】如圖，取AB中點(diǎn)N，連接CM，由題意，，而由垂徑定理，N為AB中點(diǎn)，故，由題意，，而，故由得到，解得，即C到直線l的距離為，若l的斜率存在，設(shè)l：，由C到l的距離為，得到，解得，直線l的方程為，若l的斜率不存在，則，顯然C到l的距離為，符合題意．故l的方程為或?qū)懗鲆粭l直線方程即可【變式33】已知點(diǎn)M是橢圓C：上一點(diǎn)，，分別為橢圓C的上、下焦點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，的面積為求橢圓C的方程：設(shè)過點(diǎn)的直線l和橢圓C交于兩點(diǎn)A，B，是否存在直線l，使得與是坐標(biāo)原點(diǎn)的面積比值為5：若存在，求出直線l的方程：若不存在，說明理由．【解析】由

，由

，

，故

，

，

，

，即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

．假設(shè)滿足條件的直線

l

存在，當(dāng)直線

l

的斜率不存在時(shí)，不合題意，當(dāng)直線

l

的斜率存在時(shí)，不妨設(shè)直線

l

：

，

，

，顯然

，聯(lián)立，得

，所以

，因?yàn)?/p>

，

，得

，即

，由，，得

，將代入得

，所以直線

l

的方程為

，故存在直線

l

，使得

與

的面積比值為5：考點(diǎn)四：由變量的范圍引起的分類討論【例4】已知函數(shù)，設(shè)s為正數(shù)，則在中（

）A．不可能同時(shí)大于其它兩個(gè) B．可能同時(shí)小于其它兩個(gè)C．三者不可能同時(shí)相等 D．至少有一個(gè)小于【答案】D

【解析】函數(shù)，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，且，對(duì)A：若，則

，則

，故A錯(cuò)誤；對(duì)B、C：當(dāng)時(shí)，則

，故；當(dāng)時(shí)，則，故；當(dāng)時(shí)，則，故；當(dāng)時(shí)，則，故；綜上所述：不可能同時(shí)小于，當(dāng)時(shí)三者同時(shí)相等，故B、C錯(cuò)誤；對(duì)D：構(gòu)造，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，則，令，可得，則，故，即，使得，反證：假設(shè)均不小于，則，顯然不成立，故假設(shè)不成立，故D正確．故選【變式41】已知，關(guān)于x的方程有且僅有一個(gè)解，則t的取值范圍是__________．【答案】

【解析】因?yàn)椋?/p>

，所以

，且

，則

，即

，設(shè)

，則

，即

有且僅有一個(gè)解，因?yàn)?/p>

解的個(gè)數(shù)

解的個(gè)數(shù)

且

，所以下面討論

解的個(gè)數(shù)；由

，得

其中

，當(dāng)

時(shí)，①+②

得

，令

，

，則

，即

，因?yàn)?/p>

，所以

為增函數(shù)，所以

，令

，

，則

，令

得

，當(dāng)

，

，即

單調(diào)遞減，當(dāng)

，

，即

單調(diào)遞增，所以

，ⅰ當(dāng)

，即

時(shí)，方程

無解，即函數(shù)

與

的圖像沒有交點(diǎn)；ⅱ當(dāng)

，即

時(shí)，方程

有一解，即函數(shù)

與

的圖像有一個(gè)交點(diǎn)；ⅲ當(dāng)

，即

時(shí)，當(dāng)

時(shí)，

，當(dāng)

時(shí)，

，所以方程

有兩解，即函數(shù)

與

的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)

時(shí)，由①②消去y，得

③，由于

，且

，故

，即

，對(duì)③式兩邊取自然對(duì)數(shù)，得

，即

，兩邊取自然對(duì)數(shù)，得

，令

，

，則

，由

得

，令

，

，則

，由

得

，當(dāng)

時(shí)，

；當(dāng)

時(shí)，

；所以當(dāng)

時(shí)，

；ⅰ當(dāng)

，即

時(shí)，

恒成立，所以

，因?yàn)?/p>

，

，所以

，即

當(dāng)且僅當(dāng)

，且

時(shí)等號(hào)成立；所以

在

上為減函數(shù)，又因?yàn)楫?dāng)

時(shí)，

；

時(shí)，

，所以方程

恰有一解，此時(shí)函數(shù)

與

的圖像有一個(gè)交點(diǎn)；ⅱ當(dāng)

時(shí)，即

時(shí)，因?yàn)楫?dāng)

時(shí)

；

時(shí)

，所以存在

，

，使得

，所以

，當(dāng)x變化時(shí)，

的變化情況如下表：x負(fù)正負(fù)減增減由上表可知，

在

內(nèi)是減函數(shù)，在

內(nèi)是增函數(shù)，在

內(nèi)是減函數(shù)，下面證明

，

；

，令

，則當(dāng)

時(shí)，

，所以

在

內(nèi)是增函數(shù)，所以

，即

；

，

，令

，

，易證

為減函數(shù)，所以當(dāng)

，

，即

；因?yàn)?/p>

，所以

，又因?yàn)楫?dāng)

時(shí)，

，當(dāng)

時(shí)，

，所以

在區(qū)間

，

，

各有一個(gè)解，此時(shí)函數(shù)

與

的圖像有三個(gè)交點(diǎn)；綜上所述，函數(shù)

與

且

圖像的交點(diǎn)情況如下：當(dāng)

時(shí)，沒有交點(diǎn)；當(dāng)

時(shí)，有1個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)

時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)

時(shí)，有1個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)

時(shí)，有3個(gè)交點(diǎn)；所以

或

，即

或

，故答案為：

．【變式42】已知函數(shù)，為常數(shù)，若函數(shù)在原點(diǎn)的切線與函數(shù)的圖象也相切，求b；當(dāng)時(shí)，，使成立，求M的最大值；若函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且，證明：【解析】函數(shù)過原點(diǎn)，所以切點(diǎn)即為原點(diǎn)，，，又，在點(diǎn)處的切線方程為由得：，與函數(shù)的圖象相切，，解得：或；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，、使得成立，的最大值是；的圖象與x軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)、，方程的兩個(gè)根為、，故，兩式相減得：，，，要證：，即證，也就是證：令，則在上恒成立，，又，因此在上是增函數(shù)，則，即故，即成立．【變式43】已知函數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性；若，證明：曲線與直線恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，且這兩個(gè)公共點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．【解析】，當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞減，在單遞增；當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．證明：①當(dāng)時(shí)，，令，不是方程的根，，令，，則，在，上單調(diào)遞增，又，，由零點(diǎn)存在性定理可知，在上有一個(gè)零點(diǎn)，又，，由零點(diǎn)存在性定理可知，在上有一個(gè)零點(diǎn)，有兩個(gè)零點(diǎn)，即：與恰有兩個(gè)公共點(diǎn)；②證兩個(gè)公共點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，設(shè)為與的一個(gè)交點(diǎn)，則，又，，點(diǎn)也是與的一個(gè)交點(diǎn)，又與恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，兩交點(diǎn)分別為：，，又點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，兩個(gè)公共點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，綜述：與恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，且兩個(gè)公共點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．考點(diǎn)五：由空間圖形的可變性引起的分類討論【例5】如圖，在棱長為2的正方體中，P為線段的中點(diǎn)，Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．存在點(diǎn)Q，使得B．存在點(diǎn)Q，使得平面C．三棱錐的體積是定值D．存在點(diǎn)Q，使得PQ與AD所成的角為【答案】B

【解析】對(duì)于A：正方體中，而P為線段的中點(diǎn)，即為的中點(diǎn)，所以，故BD，PQ不可能平行，所以A錯(cuò)；對(duì)于B：若Q為中點(diǎn)，則，而，故，又面，面，則，故，，，面，則面，所以存在Q使得平面，所以B對(duì)；對(duì)于C：由正方體性質(zhì)知：，而面，故與面APD不平行，所以Q在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，到面APD的距離不一定相等，故三棱錐的體積不是定值，所以C錯(cuò)；對(duì)于D：構(gòu)建如下圖示空間直角坐標(biāo)系，則，，且，所以，，設(shè)，，則，令，則，當(dāng)則；當(dāng)時(shí)，當(dāng)則；當(dāng)則；所以不在上述范圍內(nèi)，所以D錯(cuò)．故選：【變式51】已知點(diǎn)P為平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)的圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，現(xiàn)將坐標(biāo)平面沿y軸折成的二面角，則A，P兩點(diǎn)間距離的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D

【解析】記坐標(biāo)系二、三象限所在半平面為半平面①當(dāng)