2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)

第04練基本不等式（精練）

【A組在基礎(chǔ)中考查功底】

一、單選題

9

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)y=4無2+=的最小值是（）

X

A.7B.9C.12D.-9

【答案】C

Q

【分析】已知函數(shù)y=4f+馬，且Y>。，符合基本不等式的條件，根據(jù)基本不等式即可求和的最小值.

【詳解】因?yàn)閥=4Y+2,所以{x|x*0},所以Y>o,

所以丁=4/+黑2、"2=12,

xVx

當(dāng)且僅當(dāng)?2=3,即工=±逅時取等號，

X22

所以Xnin=12,

故選：C.

4

2.（2023?陜西渭南?統(tǒng)考一模）已知%>1,則y=%+—；取得最小值時冗的值為（）

x-1

A.3B.2C.4D.5

【答案】A

【分析】根據(jù)基本不等式求最值，考查等號成立的條件即可求解.

【詳解】無>1,,無一1>0,貝!]>=X+±=%—1+4+122）（尤一1八4+1=5,當(dāng)且僅當(dāng)尤一1=±,即x=3時

x-1x-1Vx-1X-1

等號成立.

故選：A

3.（2023?全國-IWJ二專題練習(xí)）已知x<0,貝!|XH----2有（）

x

A.最大值0B.最小值0C.最大值一4D.最小值一4

【答案】C

【分析】利用均值不等式求解即可.

【詳解】因?yàn)閤<0,

當(dāng)且僅當(dāng)=即時等號成立,

所以—X>0,-x-1>2x=_l

所以尤+』V-2,尤+!一2W-4,即尤+!一2有最大值T,

XXX

故選：C

4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）己知｛可｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，且。6+2%+?io=20,則%?%的最大值為（）

A.10B.20C.25D.50

【答案】C

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，化簡原式，得到%+4=1。，用基本不等式求最值.

【詳解】:4+2%+4o=（4+40）+2%=2%+2%=2。，.?.07+〃8=1。，

由已知，得%>°，。8>。

??.%.44[生要]=[?]=25,當(dāng)且僅當(dāng)%=4=5時等號成立.

故選：C.

丫2+3

5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知x>l,則^~^的最小值為（）

X—1

A.6B.8C.10D.12

【答案】A

【分析】將原式整理為"—x-1+2H-------，然后利用基本不等式求最值即可.

x-1x-1

【詳解】因?yàn)?>1,所以％—1>0,

口=（1）2+2（1）+4=1+2+二22+島）二=6,當(dāng)且僅的》_1=4，即x=3時等號成立.

x-1x-1x-1rX-1x-1

故選：A.

6.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知x>0,y>0,2"8>,=2,則一+丁的最小值是（）

x3y

A.2B.2A/2C.4D.26

【答案】C

【分析】首先根據(jù)已知條件得到“+3y=l,再利用基本不等式的性質(zhì)求解即可.

【詳解】因?yàn)?'8=2'-23>'=2'+3》=2,所以尤+3y=l,

因?yàn)閤>0,y>0,

所以,+；=（尤+3打區(qū)型=4.

=2+—+—>2+2

x3y3yx'3yx

當(dāng)且僅當(dāng)即無=1,>=）時等號成立.

3yx26

故選：C

7.（2023秋?湖北十堰?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）己知b>\,且2。+。=2,則7二+的最小值是（）

424。—12b—1

45

A.1B.—C.2D.一

32

【答案】c

【分析】由2a+6=2得（4a-1）+（26-1）=2,巧用常數(shù)的關(guān)系即可求解.

【詳解】因?yàn)?〃+6=2,所以（4°-1）+（2》-1）=2,則

11=；［（4aT）+（26T）］（6+

------------1------------>2,

4〃-12b-l

2Z?-14a-}1

當(dāng)且僅當(dāng)不=亦？即皿時’等號成立?

故選：c.

二、多選題

8.（2023春?江蘇揚(yáng)州?高三揚(yáng)州市新華中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知第一象限內(nèi)的點(diǎn)尸（a,切在直線x+y-l=0上，則（）

A.-+->3+272B.<z2+Z?2<-

ab2

C.lntz+lnZ?>-21n2D.2a-b>-

2

【答案】AD

【分析】首先根據(jù)題意得到a+b=l,且。>0,b>0,再利用基本不等式和二次函數(shù)的性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】依題意，有a+b=l,且a>0,人>0.

對選項(xiàng)A,因此工+3=（。+力[,+￡]=3+2+字23+20,

ab\abJab

當(dāng)且僅當(dāng)a=0-1,6=2-0時，等號成立.故選項(xiàng)A正確;

對選項(xiàng)B,a2+b2=a2+（l-a）2=2a2-2a+l=2^a-^+g.

因?yàn)?<a<l,所以2（“-工［+!2工，故選項(xiàng)5錯誤；

12）22

對選項(xiàng)C,因?yàn)?=1,所以Ina+ln6=ln（a6）41n'=-21n2,

444

故選項(xiàng)C錯誤，

對選項(xiàng)D,2。3=2"-（?）=221>27=,，故選項(xiàng)。正確.

2

故選：AD

9.（2023春?云南昆明?高三云南省昆明市第十二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)加雷科德在《礪智石》

一書中先把“=”作為等號使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用和“〉”符號，并逐步被數(shù)學(xué)界接受，不等號的

引入對不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)，若。>0力>0,則下面結(jié)論正確的是（）

A.若a>b,則上<\

ab

149

B.若一+；=4,則a+b有最小值］

ab4

C.若而+）2=2,則a+Z?>4

D.若。+匕=2,則仍有最大值1

【答案】ABD

【分析】利用不等式性質(zhì)判斷A；利用“1”的妙用計(jì)算判斷B；確定b的取值范圍，求出范圍作答；利用均值

不等式計(jì)算判斷D作答.

【詳解】對于A,a>b>0,則:>=，即工<），A正確；

ababab

141141774/71lh4/7Q

對于B,a>0,b>09-+-=4,則〃+人=_1（_!_+3）（〃+加=_!_（5+^+絲）>_l（5+22.空）=_,

ab4ab4abAVab4

b4/73

當(dāng)且僅當(dāng)一=丁，即。=2。=7時取等號，B正確；

ab2

22

對于C,a>0,b>0由而+廿=2得：a=——b>0,有0<。<^/5\貝！|〃+6,C不正確；

9bb

對于D,。>0力>0,a+b=2,貝!（小『=1,當(dāng)且僅當(dāng)。=6=1時取等號，D正確.

2

故選：ABD

10.（2023春?江蘇鎮(zhèn)江?高三?？奸_學(xué)考試）若。力€（0,收），則下列選項(xiàng)中成立的是（）

A.a（6-a）<9B.^ab=a+b+3,則必29

C.1+二的最小值為1D.若a+b=2,則1+?的最小值為2應(yīng)

a+3ab

【答案】AB

【分析】根據(jù)基本不等式，求解判斷各個選項(xiàng)即可.

【詳解】由基本不等式可得，當(dāng)0<a<6時，有妝6-小廣+丁[=9,當(dāng)且僅當(dāng)q=6-a,即〃=3時，等號成立;

當(dāng)時，a（6-a）<0,所以A項(xiàng)正確;

因?yàn)閍,be（0,"）,貝！+當(dāng)且僅當(dāng)。=6時等號成立,

貝?。゛b=a+6+3N2A/^K+3,即-2y/ab—3>0>

令/=而>0,貝！|/-2,-320,解得723或rW—1（舍去）,

所以，石23,所以B項(xiàng)正確；

因?yàn)閍,be（0,+oo）,所以。2+7：3+3+^A^-32^（a2-3=b

4

當(dāng)且僅當(dāng)"+3==三，。無解，所以該式取不到1,C項(xiàng)錯誤；

a+3

E、，,,八、,121/12、\（b2a\\（\b2a，式3

因?yàn)閍,be（0,+oo）,所以一+7=7（a+b）|一+1|=彳〔一+丁+32j—+3=72+-,

ab2\ab）21〃bJ2\^\abJ2

當(dāng)且僅當(dāng)2=學(xué)，且a+b=2,即a=2應(yīng)-2,。=4-20時，等號成立，D項(xiàng)錯誤.

ab

故選：AB.

三、填空題（共0分

11.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在長方體ABCD-A4GA中，點(diǎn)E，尸分別在棱，BB1上，且所工人瓦若

A3=2,AD=1,M=3,則3/的最小值為

【答案】2

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)E（2,0,，〃），F(xiàn)（0,l,?）,m>0,“20,表示出AE,戰(zhàn)，根據(jù)垂直得到AE?歷=0,

即可得到“〃=1+相2,再分機(jī)=0和機(jī)W0兩種情況討論，最后利用基本不等式計(jì)算可得.

【詳解】解:以點(diǎn)G為坐標(biāo)原點(diǎn)，m,C,B,,cc所在直線分別為無，y,，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系G-盯z,

則4(2,1,0),設(shè)E(2,0,m),F(0,l,n),3>m>0,3>n>Q,則A2=(0,-1,〃z),EF=(-2,1,n-m).

因?yàn)镋F-L\E,所以AEE/U。，即-1+加)=0,化簡得=1+.

當(dāng)"7=0時，顯然不符合題意

當(dāng)機(jī)>0時〃=1+機(jī)N■?利=2,當(dāng)且僅當(dāng)工=〃?’

即相=1時等號成立.

mNmm

故與尸的最小值為2.

故答案為：2

3r-3

⑵（2。23?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)抬尸一石在上的最大值為---------------

【答案】|3

【分析】令=貝！k>o,則］⑺二…2，利用基本不等式計(jì)算可得.

t

3r-3

【詳解】解：因?yàn)?（龍）=「；」%￡（i,+8）,令1—1=，，貝!k>o,

2x-x+l

?/\3z3/3,33

則八12?+1）2-（/+1）+12?+%+22+3+2-2^3+37,

2

當(dāng)且僅當(dāng)力=-,，=1即x=2時，等號成立.

t

3

故f（x）的最大值為￡.

故答案為：!3

14

13.（2023?全國?IWJ三專題練習(xí)）已知0<々<3,則—F-的最小值是_____.

a3-a

【答案】3

【分析】利用基本不等式求得正確答案.

【詳解】由于0v〃v3,-3<-tz<0,所以。<3-。<3,

，+工工一耳匕+雇工JIE~a

3

當(dāng)且僅當(dāng)土衛(wèi)=￥，3-4=2aM=1時等號成立.

故答案為：3

14.（2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正實(shí)數(shù)人6滿足a+46=l,則他的最大值為

【答案】4

lo

【分析】由話=」/464工，竺竺［,代入即可得出答案.

4412J

2

1471。+4b111

【詳解】ab=—a-4b<—=-X—=-----f

4424416

當(dāng)且僅當(dāng)“a=46”，即a==：時取等,

28

所以他的最大值為1.

10

故答案為：Y-

lo

【B組在綜合中考查能力】

一、單選題

1.（2023?重慶沙坪壩?高三重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知尤>0,y>0,且個+2無+y=6,則2x+y的最小值為

（）.

A.4B.6C.8D.12

【答案】A

【分析】利用基本不等式和消元思想對本題目進(jìn)行求解.

【詳解】解：已知x>0,y>0,且xy+2x+y=6,

6-2x

y=----

）x+l

6_,YR8

2x+y=2x+----=2（x+l）H----------4>4,當(dāng)且僅當(dāng)2（x+l）=------,%=1時取等號,

'x+lx+lx+l

故2x+y的最小值為4.

故選:A

2.（2023春?浙江寧波?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）非零實(shí)數(shù)。涉,c滿足如，手，或成等差數(shù)列，則土式的最小值為（）

abcb

A.2A/2B.|+V2C.3D.3+2夜

【答案】B

hr（icnh

【分析】根據(jù)外，牛，絲成等差數(shù)列，可將6用a，c表示，再將所求化簡，利用基本不等式即可得解.

abc

【詳解】因?yàn)樯?，華，或成等差數(shù)列，

abc

所以2歐二防Jcjl+c）

bcaac

所以〃=與三，

cr+c

22222222422

a+2c=a+2c=（a+2c）（a+c）=^+2c+3ac

則=京5=—27?

a2+c2

=-+^+4^-+2AEX=-+V2,

22c2a-2飛2c2a22

22

當(dāng)且僅當(dāng)4=:，即/=岳2時，取等號，

2c-a~

所以的最小值為1+0.

b2

故選:B.

3.（2023春?河北唐山?高三開灤第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓(x-iy+(y-l)2=4關(guān)于直線

10

依+勿_4=0（°>0/>0）對稱，貝1]7；-+不的最/J、值為（)

2ab

A.二B.-C.-D.2

【答案】B

【分析】求出圓心坐標(biāo)，進(jìn)而求出a,b的關(guān)系，再利用基本不等式中“1”的妙用求解作答.

【詳解】圓（x-iy+（y-l）2=4的圓心為（1,1）,依題意，點(diǎn)（L1）在直線方+辦一4=0（°>0力>0）上,

因此一4=0,即a+6=4(a>0,6>0),

2ab42a

當(dāng)且僅當(dāng)，=鄉(xiāng)，即。=2力=”時等號成立,

2ab33

所以1的最9小值為93

2ab8

故選:B.

4.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知正數(shù)x,>滿足lg（2y—x）=lg（2y）-lgx,則y的最小值為（）

A.；B.1C.2D.4

【答案】C

【分析】先根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算得了=產(chǎn)不，再利用基本不等式求解.

2（1）

【詳解】由正數(shù)無，>滿足lg（2y-x）=lg（2y）-lg尤，得lg（2y-x）=1g三,

所以2y-x=紅，］\，結(jié)合x>0,y>0,得x-l>0,

x2（x-l）

------------\

x21c1

所以y=寸（1）+-----+2>——+2=2,

2(1)2(1)x-\2x-lJ

當(dāng)且僅當(dāng)尤-1=，時，即x=2時取等號,

x-1

故選：c

5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）“不以規(guī)矩，不能成方圓”出自《孟子?離婁章句上》.“規(guī)”指圓規(guī)，“矩”指由相互垂直

的長短兩條直尺構(gòu)成的方尺，是古人用來測量、畫圓和方形圖案的工具.敦煌壁畫就有伏羲女婿手執(zhí)規(guī)矩的記載（如

圖（1））.今有一塊圓形木板，以“矩”量之，如圖（2）.若將這塊圓形木板截成一塊四邊形形狀的木板，且這塊四邊

3

形木板的一個內(nèi)角a滿足cosa=（,則這塊四邊形木板周長的最大值為（）

圖⑴圖⑵

A.20cmB.200cmC.20gcmD.30cm

【答案】D

【分析】作出圖形，利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得這個矩形周長的最大值.

【詳解】由題圖(2)得，圓形木板的直徑為JlO、5?=5若(cm).

設(shè)截得的四邊形木板為ABC。，設(shè)NA=a,AB=c,BD=a,AD=b,BC=n,CD=m,如下圖所示.

由cosa=1且0<cz<7i可得sina=71-cos2a=—,

在△ABO中，由正弦定理得」一=5如，解得〃=40.

sma

在△ABD中，由余弦定理，得〃之=〃+°2_2Z?ccosa,

所以，80=^+C2-|z>C=(/7+C)2-yte>(/>+C)2-yxfci=-^i，

即(6+C)24400,可得0<b+c420,當(dāng)且僅當(dāng)6=c=10時等號成立.

在△BCD中，ABCD=Tt-a,

由余弦定理可得8。=/=-23cos(…)=療+/+刎

,、24zX24(m+n\4(m+nY

=[m+n)--mn>[m+nj--x-~4=------------—>

即(利+〃)~4100,即0<〃7+〃W10,當(dāng)且僅當(dāng)〃z=〃=5時等號成立，

因此，這塊四邊形木板周長的最大值為30cm.

故選：D.

二、多選題

6.(2023春?河北石家莊?高三校聯(lián)考開學(xué)考試)下列說法正確的是()

A.若則函數(shù)y=2x+/一；■的最小值為一］

41

B.若實(shí)數(shù)。，人滿足且a+b+c=2,貝lj--+--的最小值是3

〃+1b+c

C.若實(shí)數(shù)。，/?滿足〃>0,b>0,且2a+b+"=6,貝!J2a+Z?的最大值是4

n2h2

D.若實(shí)數(shù)“，/?滿足〃>0,b>0,且a+Z?=2,貝U-----+------的最小值是1

。+1b+1

【答案】BD

【分析】結(jié)合均值不等式求解.

對A,2苫+丁二=-+調(diào)整式子；

2x-lIl-2xy

j41\(4…IE

對B,--+--=---+--(a+l+6+c),“1”的妙用；

a+1b+c3(Q+1b+cJ

對C,6-（2〃+6）=岫4口與女］,組成不等式求解;

〃/71I4

對D,令a+l=m,b+\=n,貝!|----+----=m+n+一+——4=——?

a+1b+1mnmn

【詳解】對A,x<1,函數(shù)y=2x+—'―=Jl-2x+—1—]+14-2」(1-2彳)?一—+1=-1,

22x-lIl-2xjVl-2x

當(dāng)且僅當(dāng)l-2x=」i，即x=0時取等號，即函數(shù)y=2尤+，的最大值為T,A錯；

l-2x2x-l

對B,<7>0,Z?>0,c>0,且a+Z;+c=2,貝!|

5+2[^mnL3)

4當(dāng)4+，V+1+"C)』5+3+

a+1b+c3(a+lb+c)3a+1b+c3\a+1b+c

當(dāng)且僅當(dāng)如0=￡±1,即。=1,b+c=1時取等號，則工+4的最小值是3,B對;

。+1b+ca+1b+c

對C,〃>0,b>Q9日.2a+b+ab=6,.?.6—(2a+6)=a64；p^],即6-(2°+匕)式?"。)，解得2a+Z?24,

212yz8

當(dāng)且僅當(dāng)2〃=b=2時取等號，C錯;

對D,a>0,b>0,且〃+Z?=2,令。+1=機(jī)>1,b+\=n>\,貝!|根+〃=4,

2222

ab(m-1)(n-1)114m+n4、4,

匚uI-------'-------=------------'----------=m+"H-----1------4=-------=N------------——1

所以〃+1Z?+1mnmnmnmn(m+n\，當(dāng)且僅當(dāng)根=〃=2,即々=〃=1

時取等號，D對.

故選：BD

7.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)"。滿足2"=3"=18。＜1,則下列說法正確的有（）

A.3a>2bB.b<2c

121a+b

C.—=—I—D.>3+2正

cab

【答案】BD

【分析】設(shè)2"=3〃=18。=/<1,可得與，之間的等式關(guān)系，再用換底公式進(jìn)行變形，可得。，仇c分子相同，通

121

過化簡3a-2"判斷正負(fù)，即可判斷A；同理可判斷“2c大小，即可判斷B；分別化簡-,一+7，即可判斷C；對

cab

竺^進(jìn)行化簡，用對數(shù)運(yùn)算法則，展開后，再用基本不等式即可判斷D.

C

【詳解】解：取2。=3'=18，=，，所以有，<1,則ln%vO,

iIn/7iInr_,Int_

貝nr(lI。=log?，=7^7,A=1。83，=<°，。=logi8%=777<。，

In2In3In18

因?yàn)?〃2b~31221n%_In《31n3—21n2)_In/(ln27-ln4)

In2In3In21n3In21n3

因?yàn)镮n27—In4>0,In/v0,In2In3>0,

所以3々-2/?<0,即3a<2Z?,故選項(xiàng)A錯誤；

因?yàn)?cb-21nZIni_In/(21n3-lnl8)_Inr(ln9-lnl8)

—"h718-h?3-Inl81n3-Inl81n3

0^/ln9—lnl8<0,ln^<0,lnl81n3>0,

所以2c—Z?>0,即人v2c,故選項(xiàng)B正確；

1In18In2+In9In2+21n3In22In312

因y/j-=------=------------=--------------=------1-----=--1--f

c\nt\ntInrkitInfab

故選項(xiàng)c錯誤；

In/In/

〃+組布+而

cIn%

lnl8

2In3In2

?(In2+21n3)=3H-----1---

In2In3

*2攬33+2區(qū)

當(dāng)且僅當(dāng)普==時取等，顯然等號不成立,

m2m3

故巴2>3+2夜，故選項(xiàng)D正確.

C

故選：BD

三、填空題

8.(2023?山東日照?山東省日照實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知正實(shí)數(shù)羽，滿足e2T'+3-3x=ei+>,貝武+工的

xy

最小值為.

【答案】I7

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(x)=e*+x,利用單調(diào)性可得2-3x=y-l,再利用均值不等式即可求解.

【詳解】由e2-3，+3-3x=e〉T+y,得e?.+2-3x=e1+y-l,

令/(x)=e*+x,則/(x)在R上單調(diào)遞增，所以2-3x=y-1,即3x+y=3,

又因?yàn)閤，Y是正實(shí)數(shù)，

所以』+L2+宇=4.叁2、庠+!=)

xyx3yxy3\xy33

yx3

當(dāng)且僅當(dāng)2,即％=y=9時等號成立，

xy4

7

故答案為：—

9.(2023?江西鷹潭?統(tǒng)考一模)ABC的內(nèi)角4民。的對邊分別為〃也。，若助cosC+3ccos5=5asinA,且A為銳

2

角，則當(dāng)幺取得最小值時，7To的值為___________.

be2b+c

【答案】叵

15

【分析】根據(jù)正弦定理將表達(dá)式邊化角變形，結(jié)合正弦和角公式即可求得sinA,結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式求得cosA,

2

代入余弦定理表示出代入幺中由基本不等式即可求得最小值，并求得取最小值時反。關(guān)系，進(jìn)而求得的

be2b+c

值.

【詳解】由正弦定理將防cosC+3ccosB=5asinA變形可得

3sinBcosC+3sinCcosB=5sin2A,

即3sin(B+C)=5sin2A,

3

由sin(5+C)=sinA>0可得sinA=—,

一4

而A是銳角，所以cosA=《，

Q

貝!J由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2--bc,

Q

則//+i-丁Cb2+c28三亞H=2,

元=-L=F-藍(lán)bc55

29

當(dāng)且僅當(dāng)6=c時，幺取得最小值三,

be5

故/J/，故“=坐6，

所以+=嚶.

2b+c15

故答案為：眄

15

10.(2023?天津?yàn)I海新?天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)校考模擬預(yù)測)平面四邊形ABCD中，AB//CD,AB=4,

DC=\,AD=2,ZZMB=60。，點(diǎn)E在直線8。上，點(diǎn)/在直線AC上，S.BE=ABD,CF=(彳>0,〃>0),

AEDF=4>則2+〃的最小值為.

［答案］4、+11

3

【分析】過點(diǎn)。作?；赜?。點(diǎn)，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知得出點(diǎn)以及向量的坐標(biāo),

o3

根據(jù)ADD尸=4,得出了+―=3,然后根據(jù)基本不等式“1”的代換，即可得出答案.

【詳解】過點(diǎn)。作于。點(diǎn).

因?yàn)锳D=2,ZDAB=60°,

所以O(shè)A=1,OD=乖）,OB=AB—OA=3.

如圖，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB,OD所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系,

則0（0,0）,A（-l,0）,5（3,0）,D（0,A/3）,C（1,V3）,

所以，C4=卜2,-括），BD=（-3,A/3）,罰=（4,0）,DC=（1,0）,

所以，BE=2BD=（-34,收1,0尸=〃。4=卜2〃,一也〃），

所以，AE=AB+BE=（4-32,扇），=℃+仃=（1-2〃,一瓦）.

因?yàn)锳￡.￡>k=4,

所以有（4一3/1）（1_2〃）+⑨*卜右〃）=4_8〃_32+3幾〃=4,

Q3

所以8〃+3幾=3勿，所以7+―=3,

Z〃

+H11』2厘+3^±11

所以,

3NX〃33

當(dāng)且僅當(dāng)華=2,即彳=邁過,〃=也爐時等號成立.

幾〃33

故答案為：勺&1U.

3

四、解答題

11.（2023春嚀夏銀川?高三銀川一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)a,b,c均為正數(shù)，且a+b+c=l,證明:

（I）ab+bc+ac<-；

/b2c2

（II）——十——+—>1.

bca

【答案】（I）證明見解析；（H）證明見解析.

【詳解】（I）由〃之+〃之？々/?,c2+b2>2bc9a2+c2>2ac^t

a1+1）1+C1>ab+bc+ca9

由題設(shè)得》錯才二】L

即a2+/+<?+2Q/?+2/?C+2C〃=1,

所以3（ab+bc+ca）41,艮［Jab+bc+ca<^.

，方22

（II）因?yàn)閈-b>2a\-c>2b,\-a>2c

bc9a9

〃2h2r2a2h2c2a2h2r2

所以---1------1-----\-（a+b+c）>2（a+b+c）BP-----1------1>a+b+c所以1------1>1.

bca9bca9bca

本題第（I）（II）兩問，都可以由均值不等式，相加即得到.在應(yīng)用均值不等式時，注意等號成立的條件:“一正二定三

相等

【考點(diǎn)定位】本小題主要考查不等式的證明，熟練基礎(chǔ)知識是解答好本類題目的關(guān)鍵.

【C組在創(chuàng)新中考查思維】

一、單選題

1.（2023秋?河北邢臺?高三統(tǒng)考期末）若。>0力>1,且片僅+4從+2/）=8一%3,則（）

A.8a2+4"+3匕的最小值為8若B.8/+4尸+36的最小值為8夜

C.8a2+4"+36的最小值為16D.8/+4〃+36沒有最小值

【答案】A

【分析】先將題意整理成（"+2戶）（2片+6）=8,然后利用基本不等式可得到8a2+4b2+3b>2,6（/+2⑹（2/+6）,

最后檢驗(yàn)2（"+2bz）=3（2a2+b）是否成立即可

【詳解1由標(biāo)僅+4/+2"）=8-2",得2/+4a2b?+a2b+2Z?3=（a2+2b1）（2a2+Z?）=8.

因?yàn)閍>0,b>l,所以。2+2〃>0,2。2+6>0.

所以8/+4/+3匕=2（/+2b2）+3（2/+6”2眄/+2%（2a?+b）=2748=8后,

,、,、’4b2-3b=4a2

當(dāng)且僅當(dāng)2（a"?3（2f）,即，2+2用（2"38時’等號成立。

'4/-3匕=4",、，、

由/22、/2,得（12〃—36）（4〃一同=64,

（/+2燈（2/+6）=8、八'

設(shè)函數(shù)/修）=（12。2-36）（462-4-64,6>1,

則由/⑴<0,/（2）>0,得”6）在（1,2）上至少一個零點(diǎn)，

此時/=匕2_7>0,故存在a>0,b>l,使得不等式8a2+4/+3628石中的等號成立，

故8a2+4b2+3b的最小值為8欄.

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：這道題關(guān)鍵的地方在于檢驗(yàn)2(6+2")=3(2〃+6)是否成立，需要構(gòu)造

“3=(12"-36)(4/-6)-64,6>1,并結(jié)合零點(diǎn)存在定理進(jìn)行驗(yàn)證

2.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/■(x)=ln(J77T-q+l,正實(shí)數(shù)。力滿足“20+f(6-4)=2,則

4ba

-------1-----------------7-的最小值為(

alab+b

65

A.1B.2C.4D.

y

【答案】B

【分析】先判斷函數(shù)是嚴(yán)格遞減的函數(shù)，且有對稱中心，找出之間的關(guān)系可求.

【詳解】=ln(J%2+1一％)+1+1n(+i+*+]=2

故函數(shù)/(%)關(guān)于(0,1)對稱，又/(%)在R上嚴(yán)格遞減;

/(2a)+/S—4)=2,「.2〃+。一4=0即2a+〃=4.

4ba4ba4ba4ba

alab+b1ab(2a+b)a4b\a4b

當(dāng)且僅當(dāng)a=16=14時取得.

故選：B.

二、多選題

3.(2023?浙江?校聯(lián)考三模)已知x>0,y>0,且V+y3=x_y,貝|()

D.x2+y2>-

2

【答案】BC

【分析】對于A、B選項(xiàng)，利用條件構(gòu)造(x+y)2,比值換元將問題轉(zhuǎn)化為單變量函數(shù)

求值域問題;

對于C、D選項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)/⑺=婷+/+丁一x,〃y)=0,通過分析單調(diào)性判斷即可.

【詳解】??,尤3+;/=%->,/.(x+y)(x2-xy+y2)=x-y,x+y=

x2-xy+y2

令]=f,因?yàn)閂+J?=尤-%羽>>0,所以x-y>0,

即看>1，則。+4=7^=1+;^”1）

'I-r十1i—r十I

當(dāng)，=2時，（x+y）2=l；

當(dāng)，>1且％w2時，令〃=.一2,4￡（-1,。）1」（。,+8）,

/

貝!1（龍+"=1+77,一7727=1+11-e（O,l）j[l,

綜上（x+ype■，竿，則檔即B正確;

又因?yàn)槿?y3=x-y,所以y3+y+x3-x=0

令/⑺=/+/+/-x,/（y）=O,

顯然了⑺在(0,+8)上單調(diào)遞增，/⑺)的零點(diǎn)y滿足y>0

f（0）=x3-x<0,解得x<l.

所以要證V+y2<l,即證y<"T，

因?yàn)榱刷嗽冢ā?+8）上單調(diào)遞增，所以即證/G/I二系）>0

____/____、3_________fx+2（Jl-x2）

jfQ/（Vl-X2）=pl-X2j+y/l-X2-X-（1-X2）=y/1-X2—J^=~>0

y1-x2+x

\7

所以成立，即爐+V<1成立，c正確

222

因?yàn)镺vyvx,所以當(dāng)x.0時，x+y<2x^09x+y<2x^0,AD錯誤.

故選：B、C.

4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)正數(shù)滿足〃+人=1,則有（）

A.ab<—

4

731

B.a33+b3<-

4

C.--[&+-|>8+4^

aybJ

「“2/

D.+---->-

b+1Q+24

【答案】ACD

【分析】對于A,由基本不等式推論可判斷選項(xiàng)；對于B,利用分解因式結(jié)合A