2022級高二上學(xué)期第一次考試數(shù)學(xué)試題

考試說明：本試卷滿分150分，考試時間120分鐘，分卷I,卷II兩部分，卷I選擇題部分請

將答案用2B鉛筆涂在答題卡上，卷U答案請用0.5毫米以上簽字筆寫在答題卡上

第I卷(選擇題)

一、單選題(本大題共8個小題，每小題5分，共40分)

1.已知數(shù)組a=(x,1,1),b=(—2,2,y),a-b=0,則2無一y=()

A.1B.-1C.2D.-2

2.已知圓心為(-2,1)的圓與y軸相切，則該圓的標(biāo)準方程是()

A.(x+2)2+(y-l)2=lB.(X+2)2+(^-1)2=4

C.(x-2)2+(y+l)2=1D.(x-2)2+(y+l)2=4

3.直線xsina+y+2=0的傾斜角的取值范圍是()

A.[0,1)B.o,-

4JL4)

c兀c)](n2>n

C.0,—D.0,——J——，—

L4jL4」(24J

4.長方體ABCO-AgGA中，AAt=AB=2,BC=4,M、N分別為棱AB、CG中點，則用、N

兩點的距離為()

A.2V2B.2>/3C.3D.3V2

22

_xy右焦點分別為F「F”且cosNfJPE=；,則耳巴

5.已知點尸是橢圓1=1上一點，橢圓的左、

259

的面積為()

C巫D.2立

A.6B.12C.」

2

6.如圖，正方體A8CO—4隹。12的棱長為1,E產(chǎn)分別為棱BC,GA的中點，則三棱錐IIIB「AEF

的體積為()

a

AB

7.若函數(shù)y=—54—（x—l）2的圖象與直線x—2y+〃?=0有公共點,則實數(shù)的取值范圍為（）

A.[--1,1]B.[-2>/^-1,-2\/^+1]

C.[-25/5+1,-1]D.[-3,1]

8.設(shè)橢圓。：捺+￡=13>8>0）的左、右焦點分別為月、F2,其焦距為2c,點。（c,5在橢圓的外部,

點P是橢圓。上的動點，且|P制+|PQ|<（恒巴卜恒成立，則橢圓離心率的取值范圍是（）

二、多選題（本題共4個小題，選對5分，漏選2分，錯選0分，共20分）

9.已知直線/:x+y—3=0與圓C:（x-l）2+y2=i,若點「為直線/上的一個動點，下列說法正確的是（）

A.直線/與圓C相交

B.與直線/平行且截圓。的弦長為正的直線為x+y=0或x+y—2=0

C.若點。為圓C上的動點，則|PQ|的取值范圍為[夜一1,行+1]

D.過點P作圓C的兩條切線，切點分別為A,B,則|PC|?|AB|的最小值為2

10.如圖，在棱長為2的正方體A8CO-A4GA中，E,F,G分別為棱A。，A4，CQ的中點，則

（）

A.EF-EB-6

B.gGJ■平面BEF

C.直線A5交平面EFC于點P,則

3

2

D.點兒到平面B防的距離為一

3

11.圓。：爐+y2-2x=0和圓Q：x?+>2+2x-8y=0的交點為A,B,則有（）

A.公共弦AB所在直線方程為無一2y=0

B.線段A3中垂線方程為2x+y-2=0

C.公共弦A3的長為工

5

D.P為圓。|上一動點，則P到直線A5距離的最大值為@+1

12.在棱長為2的正方體48。一AAGA中，M,N分別為BQ,與&的中點，點P在正方體的表面上

運動，且滿足MP_LCN.記點P的軌跡為。，則（）

A.點P可以是側(cè)面8CC￡的中心B.C是菱形

C.線段的最大值為一D.。的面積是2逐

2

第n卷（非選擇題）

三、填空題（本大題共4個小題，每題5分，共20分）

13.直線x+y-3=0與圓尤2+/=25的位置關(guān)系是.（相交，相切，相離）

14.直線y=x+3和x、y軸分別交于A、B兩點，點。在橢圓土+5=1上運動，則橢圓上點。到直線AB

169

的最大距離為

x2y2

15.己知橢圓。：下+R"=l（a>b>0）的上、下頂點分別為A、B,右焦點為尸，B關(guān)于直線A尸的對稱

點為若過A,B',/三點的圓的半徑為。，則C的離心率為.

16.已知曲線G=—f與曲線g：y=j2—f,長度為1的線段A5的兩端點A、8分別在曲線G、

。2上沿順時針方向運動，若點4從點（-1,0）開始運動，點3到達點（、/5,0）時停止運動，則線段所掃過

的區(qū)域的面積為.

四、解答題（本大題共6小題，17題10分，其余各題12分，共60分）

17.已知直線/的方程為3x-4y+2=0.

（1）求圓心為（1,0）且與直線/相切的圓的標(biāo)準方程;

（2）求直線x—y—1=0與2x+y—2=0的交點A坐標(biāo)，并求點A關(guān)于直線/的對稱的點的坐標(biāo).

18.四棱錐P—ABC。的底面是邊長為2的菱形，ND鉆=60。，對角線AC與3。相交于點O,PO1底

面A88,尸3與底面45CD所成的角為60。，E是PB的中點.

(1)求異面直線DE與Q4所成角的余弦值；

(2)證明：OE〃平面R4。，并求點E到平面的距離.

19.已知圓M:(X+3)2+/=4,圓N:(x—3)2+y2=ioo,動圓p與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心產(chǎn)

的軌跡為曲線C.

(1)求C的方程；

(2)是否存在過點的直線交曲線C于A5兩點，使得。為A5中點？若存在，求該直線方程，若不

存在，請說明理由.

20.某公園有一圓柱形建筑物，底面半徑為2米，在其南面有一條東西走向的觀景直道(圖中用實線表示)，

建筑物的東西兩側(cè)有與直道平行的兩段輔道(圖中用虛線表示)，觀景直道與輔道距離5米.在建筑物底面中

心。的北偏東45°方向10&米的點A處，有一臺360°全景攝像頭，其安裝高度低于建筑物高度.請建立恰

當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并解決問題：

?A

攝像頭

西輔道o東輔道

西景觀建筑物觀景直道東

(1)在西輔道上與建筑物底面中心。距離4米處的游客，是否在攝像頭監(jiān)控范圍內(nèi)？

(2)求觀景直道不在攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)的長度.

21.如圖，在三棱錐產(chǎn)一ABC中，ABA.BC,M,N分別為AC,A5的中點，PMA.AB.

p

(1)求證：ABLPN；

(2)若A6=BC=2,BP=PM=3,求二面角N-PM—8的余弦值.

22

22.已知橢圓后：1+多=1(。>b>0)的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點，且橢圓E過

a'b"

T(2,I),直線/:y=x+m與橢圓E交于A、B.

(1)求橢圓E的標(biāo)準方程；

(2)設(shè)直線7M、7B的斜率分別為匕、k2,證明：4+&=0.

數(shù)學(xué)試題答案

1.C

【分析】由空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可得答案.

【詳解】因為Q=(x,l/)，b=(-2,2,y),a-b=0,所以一2x+2+y=0,2x-y=2.故選：C.

2.B

【分析】圓的圓心為(-2,1),半徑為2,得到圓方程.

【詳解】根據(jù)題意知圓心為((—2,1)),半徑為2,故圓方程為：(x+2)2+(y-l)2=4.故選：B.

3.B

【分析】設(shè)直線的傾斜角為6.由已知，可推得—iKtanewi.

分兩種情況8e時以及時，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)求解即可得到結(jié)果.

【詳解】設(shè)直線的傾斜角為6.

因為，一l<sina〈l,Z=-sina,所以，一1<%<1.

又％=tan8,則一1<tan6?1.

當(dāng)。e0,^^時，/(。)=1211夕單調(diào)遞增，解一iWtanOKl,可得04，K?；

當(dāng)時，f(e)=tan。單調(diào)遞增，解—iWtanOWl,可得亨4?！茨?/p>

JI3)、

綜上所述，00,——，4.故選：B.

L4」L4)

4.D

【分析】連接MC,利用兩次勾股定理求解.

【詳解】連接MC,在RtZ\MBC中，MCyBM'BC?=J1+16=VI7,

在Rt^NCM中，MN=\lNC2+CM2=Vl+17=3A/2.故選：D.

5.C

【分析】設(shè)歸耳|=〃?，歸6|=〃，由橢圓定義得加+〃=io,

27

由余弦定理求出機〃=—,從而利用三角形面積公式求出答案.

2

22

【詳解】由橢圓三+《=1,得a=5,b=3,c=4.

259

設(shè)|P耳|=加，歸用=〃,

.?.“+〃=10,在鳥中，由余弦定理可得：

2222

(2c)=zn+n-2mn-cosN月PF2=(m+n)-2mn-2mn-；,

Q07

可得64=100——mn，得mn=一,

32

故s△4戶外'機",sinNFJPFz=；x：xJl-(g)=#2.故選：C.

6.A

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得F平面的距離為4=亞，SF旦

4

根據(jù)等體積法解決即可.

【詳解】建立如圖所示O-.Z空間直角坐標(biāo)系,

因為正方體43。。一44￡。的棱長為1,

所以AE=(—蝴=(0,1,1),=

設(shè)平面AB［E的法向量為〃=(x,y,z)，

n-AE=—x+y=0

所以｛2■,令y=l,得x=2,z=—l,

n-AB]=y+z=0

所以〃=(2,1,T),所以E平面ABE的距離為1=

又因為AE=BiE=g

所以5-［鵬；—］喇=；.行.胃”=4,

所以三棱錐片—AEF的體積為％_A￡F=匕_八監(jiān)?手.*=捺，故選：A.

7.A

【分析】作出函數(shù)y=—，4—(x—l)2的圖象,利用直線與圓的位置關(guān)系求解.

【詳解】函數(shù)y=—卜(%^1F的圖象如圖所示:

由圖象知：當(dāng)直線過點A(—1,0)時，m=l：

當(dāng)直線與半圓相切時：d=H券=2,解得加=一2后一1或m=2逐一1(舍去)；

因為函數(shù)y=-，4—(x-l)2的圖象與直線x—2y+〃?=0有公共點,

所以實數(shù)，"的取值范圍是卜26-1,1],故選：A.

8.D

【分析】由點。在橢圓外部得一不等關(guān)系，變形后得離心率e的一個范圍，|「川+|PQ|<￡月用恒成立,

利用橢圓定義變形后，結(jié)合平面上兩點間距離的性質(zhì)得一不等關(guān)系，從而以得e的一個范圍，

兩者再結(jié)合橢圓的性質(zhì)可得結(jié)論.

【詳解】：?點在橢圓的外部，則=+:丁〉1,可化為2。2>/,...￡>立即6>，2.

I2Ja4b~a22

由橢圓的定義得|P￡|+|PQ|=2a—|咽+|PQ|,-|Pf；|+|PeHPQ\-\PF2\<\QF2\=^,

電I+IPQK引用恒成立，2a+g<|x2c,解得￡>[,即e>$

9.BCD

【分析】A選項，圓心(1,0)到/:x+y—3=0的距離大于圓的半徑，A錯誤；

B選項，設(shè)與直線I平行直線方程為x+y+C^O,利用點到直線距離和垂徑定理得到方程，求出C=0或-2；

C選項，圓心C到直線的距離加上半徑為|PQ|的最大值，減去半徑為|？。|的最小值，求出答案；

D選項，推導(dǎo)出要想最小，只需△P4C的面積最小，由三角形面積得到只需C尸最小,

數(shù)形結(jié)合得到PC最小值為從而得到答案.

【詳解】A選項，C:（x-l）2+y2=i的圓心為（1,0）,半徑為1,則圓心（1,0）到/：x+y—3=0的距離為

故直線/與圓C相離，A錯誤;

Vi+i

B選項，設(shè)與直線/平行直線方程為x+y+c=0,則圓心（1,0）到/:x+y—3=0的距離為d=21a，

V1+1

丁,解得d等故等等解得5或一2,

由垂徑定理得解+

故與直線/平行且截圓。的弦長為3的直線為x+y=0或x+y—2=0,B正確;

C選項，圓心C到直線的距離加上半徑為|PQ|的最大值，減去半徑為|PQ|的最小值，

由A可知I,圓心。到直線的距離為血，故|P。|的取值范圍為[0—1,0+1],C正確；

D選項，由題意可知，PC與A3相垂直，且四邊形Q4c8的面積為g|PC|」A8|,

故要想|PC|—|A8|取得最小值，則只需四邊形24cB的面積最小，因為四邊形P4CB的面積等于△PAC面

積的2倍，故只需△P4C的面積最小，

因為&PAc=glPA|"AC|=；|PA|=g7i7FF^L

其中CP_L直線/:x+y—3=0時，|PCI最小，最小為

故四邊形Q4CB的面積最小值為2xgj（&）2-|=1,貝AB|最小值為2,D正確.故選：BCD.

10.BCD

【分析】對于ABD,以。為原點，DA,DC,。。所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

然后利用空間向量逐個分析判斷即可，對于C,延長石尸，ZM交于點M,連接MC交A3于點尸，然后利

用三角形相似可求得結(jié)果.

【詳解】如圖，以。為原點，DA,DC,。。所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則。(0,0,0),4(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A(2,0,2),g(2,2,2),C((0,2,2),"(0,0,2),

因為E,F,G分別為棱A。-AA-CO的中點，

所以E(l,0,2),F(2,0,l),G(0,l,0),

對于A,因為EF=(l,0,-1),EB=Q,2,-2),所以EE?硝=l+0+2=3,所以A錯誤，

對于B,因為4G=(—2,—1,—2),BE=(-1,-2,2),BF=(0,-2,l),

所以4G?B￡=2+2—4=0,4G?6b=0+2—2=0,

所以4G_LBE,B{G±BF,即3?_LBE,B.G1BF,

因為區(qū)EBF=B,BE,BFu平面BEF,所以BQL平面BEF,所以B正確，

對于C,延長ER,DA交于點M,連接MC交A3于點P,因為F為棱的中點，

所以A,尸=AQ=1,ZEA,F=ZMA^=90°,ZA,FE=ZAFM,

所以△用尸之尸，所以E&=AM=1,

Ap

因為AP〃CD,所以4PsAA/DC,所以f絲=￡二，

MDDC

1Ap1

因為A3=CO,所以一=——,所以AP=—A8,所以C正確,

AB3

m-BE=-x-2y+2z=0

對于D,設(shè)平面班產(chǎn)的法向量為，〃=(x,y,z),則＜,令丁=1,則元加=(2,1,2),

m-BF=-2y+z=0

22

因為￡4,=(1,0,0),所以點A到平面際'的距離為d■--=—，所以D正確，故選:BCD.

Jy4+1+43

11.ABD

【分析】直接把兩圓的方程作差判斷A；

利用直線方程的點斜式寫出線段A5的中垂線方程判斷B；

求出公共弦長判斷C；

由到A3的距離加上的半徑判斷D.

【詳解】對于A,由％2+)2-2犬=0與％2+>2+2%一8>=0,兩式作差可得4%—8丁=0,即x-2y=0,

公共弦A8所在直線方程為x-2y=0,故A正確；

對于B,圓G:犬+了2-2%=0的圓心為(1,0),圓。2?2+/2+2工一8》=0的圓心(—1,4),

AB的中點坐標(biāo)(0,2),上那=g,AB的中垂線的斜率為—2,可得AB的中垂線方程為y-2=-2x(x-0),

即2x+y—2=0,故B正確；

對于C,圓心。到直線x—2y=0的距離"=爰，半徑為廠=1,則IAB=2,士=警’故C錯

誤；

對于D,P為圓?上一動點，圓心。到直線x—y=0的距離為手，半徑r=l,則P到直線A3的距離的

最大值為1+(^,故D正確.故選：ABD.

12.ACD

【分析】以。為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x,y,z),結(jié)合空間向量的坐標(biāo)表示與數(shù)量積的運算,

逐項判定，即可求解.

【詳解】如圖所示，以。為坐標(biāo)原點，分別以D4,DC,。。所在的直線分別為x軸、y軸和z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得0(0,0,0),M(1,1,1),N(l,2,2),C(0,2,0),

所以CW=(l,0,2),設(shè)以(x,y,z),則MP=(x———

對于A中，當(dāng)點P可以是側(cè)面BCG片的中心，可得P(L2,1),此時MP=(0,1,0),

可得MP-CN=0,所以MPJ_CN,所以A正確;

對于B中，因為MPLCN,所以lx(x—l)+2(z—1)=0,可得x+2z—3=0,

當(dāng)x=2時，z=；；當(dāng)x=0時，z=|,取尸12,2,；),”[o,O,|),連接EF,

FG,GH,HE,則￡尸="6=(0,2,0),EH=FG=(—2,0,；)所以四邊形EFGH為矩形，貝U

EF-CN=Q,EHCN=Q,即￡FJ_C/V,EH1CN,

又斯和E77為平面￡FG”中的兩條相交直線，所以CN上平面EFGH,又由EM=(-,

=即EM=MG,所以用為EG的中點，則Me平面1

因為點尸在正方體的表面上運動，所以點尸的軌跡為四邊形EFGH,

又由EF=GH=2,EH=FG=y[5,所以EFHEH,

則點P的軌跡為矩形，不是菱形，所以B錯誤；

所以矩形EFG”的面積S=跖?￡：”=2石，所以D正確，

因為EG=,EF2+EH2=3,所以MP的最大值為絲=3，所以C正確.

22

【分析】結(jié)合圓心到直線x+y—3=0的距離來進行判斷.

3

【詳解】圓f+V25的圓心為(0,0),半徑為5,(0,0)到直線x+y-3=0的距離<5,

所以直線x+y—3=0與圓/+>2=25相交.

故答案為：相交.

14.4>/2

【解析】設(shè)點C坐標(biāo)為橢圓的參數(shù)形式，利用點到直線的距離公式和三角函數(shù)的有界性，即可求解.

【詳解】設(shè)C(4cos6,3sin6),則點解到AB的距離

」14cos。一3sin6+3|15cos(。+0)+3],84rr

a=--------T=-------=-------7=------<—i==4A

V2V2V2

3

其中tan^9=—.

故答案為：4>/2.

【點睛】本題考查橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用、點到直線的距離、三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

15.-/0.5

2

【分析】由題意得到過A,B,尸三點的圓的半徑也為。，求出線段AF的垂直平分線的方程及線段AB的

垂直平分線，求出交點及圓心坐標(biāo)，從而利用半徑列出方程，求出上c=上1，得到離心率.

a2

【詳解】由題意得:過A,8,F三點的圓的半徑也為。，其中A(0,b),/(。,0),線段A尸的中點坐標(biāo)為

bc

故直線AE的斜率為-巳，故線段AF的垂直平分線的斜率為上，故線段AE的垂直平分線的方程為

cb

又線段AB的垂直平分線為y=0,

cb2

聯(lián)立與y=0得：------

(cb2

故圓心坐標(biāo)為,0

[22c

12-

故。=￡+幺，其中〃=〃—02,解得：￡=1,故答案為：1.

22ca22

/3萬，3

16.——1—71

88

【分析】根據(jù)已知條件知，曲線C與曲線。2是兩個半圓，分別求出起點、終點處時4、B的坐標(biāo)，可得線

段A8掃過的面積，進而通過三角形面積公式及扇形面積公式計算可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)A、分別為A、8點的起點，&、分別為A、B點、.運動的終點，則圖中陰影部分即為線

段A8掃過的面積.如圖所示,

4(*2，%)，

曲線G方程：y=，1一％?=>?+,2=](y20),

曲線G方程：y=,2-fzi>x2+y2=2(y>0),

y；+(%一(-i))~=i[x.=-i

,BfJ：

y=，2-％2[y=i

2fV2

^+(X-V2)'=1"E

2rv?立]

4

%—A/—*2y9=

記Sc,,為圓f+>2=1的面積，Sq為圓i+>2=2的面積，5A0B1為DB］與AQ、圍成的面積，S.

為4尸與鳥尸、人&圍成的面積，，為上半圓環(huán)的面積，S為線段A8掃過的面積.

則S=g（Sc2—ScJ=g（2?—乃）=；萬,

因為A4=i,0A=1，04=0，所以A耳2+。42=。耳2,

所以。4_L44,所以N40B|=45。,

1

V-q--711_

A.DB.°ODB.8--xlxl=

242

又因為人%=1，。&=1，OB2=42,所以。42，A2與，所以/4。員=45°,

所以S型FMS皿B-%,.=3"1一"5卻=g-*,

所以S=￡一鼠…汨［D=*

3兀

故答案為：—.

8

17.(1)(X-1)2+/1

(2)A(1,O),對稱的點的坐標(biāo)為I一

【分析】(1)設(shè)圓的標(biāo)準方程為。-1)2+丁二/，再根據(jù)直線與圓相切列式可得廠=1,進而可得方程；

x-v-1=0,一

(2)解方程組1.即可得A(l,0),設(shè)點A(l,0)關(guān)于直線3x—4y+2=0的對稱的點的坐標(biāo)為

2x+y—2=0,

(見⑶，根據(jù)A(l,0)與對稱點的連線中點在直線3x-4y+2=0上，且與3x-4y+2=0垂直列式求解即可.

【詳解】(1)設(shè)圓的標(biāo)準方程為(尤一l)2+y2=，，

由題意可知r="x3-0+2]=].所求圓的標(biāo)準方程為(》-1)2+y2=].

F+(-4)2

x—y-1=0,,x=1,

(2)解方程組《■得

2x+y—2-O,y=o,

所以直線x—y—l=0與22x+y-2=0的交點為A(l,0).

設(shè)點4(1,0)關(guān)于直線3x—4y+2=0的對稱的點的坐標(biāo)為(〃?,〃),

m=——

,解得《

n-Q3

----X—=-1n=—

.???-14

]_8

所以點A(I,0)關(guān)于直線3x—4)，+2=0的對稱的點的坐標(biāo)為

5；5

V2

4

(2)證明見解析，1

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進行求解即可；

(2)根據(jù)中位線定理證明線線平行，進而得線面平行，利用空間向量點到面距離公式進行求解即可.

【詳解】(1)由題意，PO,OC,。8兩兩互相垂直，以。為坐標(biāo)原點，射線OB、OC、。尸分別為x軸、

y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

菱形ABC。中，NR4B=60。，所以BO=2OB=2,

在RtAAOB中。4=y/AB2-OB2=,

因為PO_L底面ABC。，所以尸3與底面A8CD所成的角為/尸8。=60。，所以P。=O8-tan60°=6,

則點A、B、D、尸的坐標(biāo)分別是A(0,—g,0),8(1,0,0),0(—1,0,0),P(0,0,G卜

fi1,0,^,"=僅,百,百)

E是P3的中點，則E-,0,—,于是DE

(22J

7

3

也.???異面直線。E與2所成角的余弦值為也;

設(shè)OE,AP的夾角為氏則有cos。2

44

(2)連接。E,E,。分別是P3,BD的中點、，；.EO〃PD,

EO仁平面PAD,PDu平面PAD,EOH平面PAD.

因為AP=(0,G,G)，A￡>=(-1,百,0),設(shè)平面R4D的法向量”=(x,y,z),

n-AD=-x+^3y=0r

Lr-，令x=則y=lz=—1,所以〃=,

n-AP=v3y+V3z=0

3>/3V3?

3226_叵

又DE=—,,則點石到平面PAO的距離d

2\n\V3+1+1石5

7

19.(1)XJ

3627

(2)存在，該直線方程為x+2y—4=0

【分析】(D根據(jù)圓與圓外切、內(nèi)切列式得|PM|+|PN|=12,結(jié)合橢圓的定義可求出結(jié)果;

(2)根據(jù)點差法求出斜率，再根據(jù)點斜式可求出結(jié)果.

【詳解】(1)設(shè)動圓尸的半徑為，

依題意得《，所以|PM|+|PN|=12為定值，且12〉|MN|=6,

|P7V|=10-r

所以動點P的軌跡。是以M,N為焦點，長軸長為12的橢圓，2。=12,2c=6,a=6,c=3,

22

所以。2=/_c2=36—9=27,所以橢圓C的方程為土+匕=1.

(2)假設(shè)存在過點的直線交曲線。于A3兩點，使得。為A8中點,

%22

+y

一-

326227,兩式相減得工

設(shè)則＜%%

一

一+-

3627

組乂一%一27%+赴_32x1_1

即％,

玉-馬36y+必42

2X2

2

31

由點斜式得直線A3方程為y—L(x—1),即x+2y-4=0.

所以存在過點。的直線交曲線。于A5兩點，使得。為AB中點，且該直線方程為x+2y—4=0.

20.(1)游客在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)

(2)8.75米

【分析】(1)建立坐標(biāo)系，利用直線和圓的位置關(guān)系可以判斷；

(2)根據(jù)直線和圓相切求出切線，利用切線和觀景直道所在直線的交點可得范圍.

【詳解】(1)設(shè)。為原點，正東方向為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，0(0,0),

因為。4=10五，NAQx=45°,則A(10,10),依題意得，游客所在位置為6(T,0),

12012020

則直線AB的方程為5x—7y+20=0,所以圓心。到直線AB的距離d=''-=——〉=2,

-725+49V74J100

所以直線與圓。相離，所以游客在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi).

(2)由圖知，過4的直線與圓。相切或相離時，攝像頭監(jiān)控不會被建筑物擋住,

所以設(shè)直線/過點A且和圓相切，

①若直線/垂直于x軸，則直線/不會和圓相切；

②若直線/不垂直于x軸，設(shè)/:y-10=攵（x—10）,整理得/:"―y+10—10k=0,

所以圓心0到直線I的距離為“尸=2,解得后=3或％=3,

VF7734

34

所以/:y—10=j(x—10)或y—10=§(x—10),

即3x—4y+10=0或4x—3y—10=0,觀景直道所在直線方程為y=-5,

設(shè)兩條直線與y=—5的交點為O,E,

3x-4y+10=04x—3y—10=05

由，解得x=T0,由＜,解得x=

y=-5y=-54

所以。E=---(-10)—=8.75,

44

答：觀景直道不在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)的長度為&75米.

2734

(2)——

17

【分析】（1）利用線面垂直的判定證明A6J?平面P/0N,再利用線面垂的性質(zhì)即可：

（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)法向量，則可計算出二面角余弦值.

【詳解】（1）因為M,N分別為AC,A3的中點，所以NM//BC,

因為所以因為AZ?J_PA/,PMMN=M,PM,MNu平面PMN,

所以4?，平面「也改,又因為PNu平面PMN,所以ABLPN；

(2)因為AB=8C=2,BP=PM=3,則NM=NB=1,所以公PNB盤&PNM,

因為ABLP/V,所以PNLNM,因為NBNM