安徽省普通高中高三春季階段性檢測(cè)數(shù)學(xué)考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合和，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合，根據(jù)集合的交補(bǔ)運(yùn)算求解.【詳解】，所以，所以.故選：C2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得得答案.【詳解】，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選：B3.已知非零向量，滿足，設(shè)甲：，乙：，則（）A.甲是乙的充要條件B.甲是乙的充分條件但不是必要條件C.甲是乙的必要條件但不是充分條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】A【解析】【分析】將平方轉(zhuǎn)化為數(shù)量積，根據(jù)可得乙等價(jià)于，即甲、乙互為充要條件.【詳解】乙:等價(jià)于，即，因?yàn)?，所以，所以乙等價(jià)于，即，所以甲、乙互為充要條件.故選：A4.某研究機(jī)構(gòu)通過(guò)統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)，教師的工作效率E與工作年數(shù)、勞累程度有關(guān)，并建立了數(shù)學(xué)模型，已知李老師工作了20年，根據(jù)上述公式，與工作10年時(shí)相比，如果他的工作效率不變，則他現(xiàn)在的勞累程度是工作10年時(shí)勞累程度的（）A.倍 B.倍 C.倍 D.倍【答案】B【解析】【分析】設(shè)現(xiàn)在的勞累程度是，工作10年時(shí)的勞累程度是，根據(jù)給定信息列出等式計(jì)算即得.【詳解】設(shè)李老師現(xiàn)在的勞累程度是，工作10年時(shí)的勞累程度是，依題意，，所以.故選：B5.已知數(shù)列中，，，且當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】利用，得出數(shù)列為周期數(shù)列，且周期為，從而得到，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)棰?，所以②，①②得，即有，所以，即?shù)列為周期數(shù)列，且周期為，又，，所以，得到，故選：D.6.設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，D為邊BC上一點(diǎn)，，，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，在與中，由余弦定理求出，根據(jù)求出，進(jìn)而求得的面積.【詳解】設(shè)，在中，，在中，，所以，解得，因?yàn)?，所以，所以的面積為.故選：C7.已知拋物線，過(guò)C的焦點(diǎn)F且傾斜角為的直線交C于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為W，，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】設(shè)，代入拋物線方程兩式相減可得，進(jìn)而求得，由求得值.【詳解】設(shè)，則兩式相減，可得，所以，即，所以，所以，代入直線，得，所以，所以，解得.故選：B8.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，，，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性間的關(guān)系，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用單調(diào)性即可比較出函數(shù)值的大小，從而求出結(jié)果.【詳解】令，則在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，所以，令，則在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，所以，所以，令，則在區(qū)間上恒成立，即在在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，所以，綜上，，故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，，，將比較大小轉(zhuǎn)化成函數(shù)值的大小，再對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用單調(diào)性即可解決問(wèn)題.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某專業(yè)飼料市場(chǎng)研究機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)得到2023年19月和2022年同期的豆粕價(jià)格走勢(shì)圖如圖所示，則（）A.2023年19月的豆粕價(jià)格僅有4個(gè)月低于2022年同期B.從極差來(lái)看，2022年19月的豆粕價(jià)格比2023年同期波動(dòng)范圍更大C.2023年19月的豆粕價(jià)格的中位數(shù)為2.30D.2022年19月的豆粕價(jià)格的平均數(shù)低于2.30【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)給定的折線圖，結(jié)合極差、中位數(shù)、平均數(shù)的意義逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】對(duì)于A，2023年3月、4月、5月、6月、7月的豆粕價(jià)格低于2022年同期，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，2022年的極差約為0.6，2023年的極差約為0.4，B正確；對(duì)于C，2023年19月的豆粕價(jià)格的中位數(shù)是3月的數(shù)據(jù)，小于2.30，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，2022年3月、4月、9月的豆粕價(jià)格均高于2.30，且與2.30的差不大于0.2，而其余月份豆粕價(jià)格均低于2.30，且1月、2月的豆粕價(jià)格與2.30的差分別大于0.4，0.2，因此2022年19月的豆粕價(jià)格的平均數(shù)低于2.30，D正確.故選：BD10.如圖，在平行六面體中，底面為正方形，平面平面，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，分別是線段，的中點(diǎn)，則（）A. B.平面C.與所成角的余弦值為 D.與平面所成角的正弦值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法對(duì)選項(xiàng)A、C和D逐一分析判斷即可得出結(jié)果，對(duì)于選項(xiàng)B，通過(guò)條件得到，再利用線面平行的判定定理即可得出結(jié)果.【詳解】如圖，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的等邊三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，易知，故可建立如圖所示的空間直角坐系，又棱長(zhǎng)均為，，則，所以，又，所以，對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，得，所以，即有，故選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，又是與的交點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，所以，又面，面，所以平面，故選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，，設(shè)與所成的角為，則，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，易知平面的一個(gè)法向量為，又，設(shè)與平面所成的角為，則，故選項(xiàng)D正確，故選：ABD.11.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，上頂點(diǎn)為D，P是E上異于A，B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則（）A.E的離心率為 B.直線PA與PB的斜率之積為C.滿足的點(diǎn)P有4個(gè) D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)求得離心率，根據(jù)關(guān)系求得判斷B，根據(jù)關(guān)系判斷C，設(shè)，計(jì)算的范圍判斷D.【詳解】對(duì)于A，設(shè)橢圓的半焦距為，離心率為，因?yàn)?，所以，左邊分子分母同時(shí)除以，得，解得，故A正確;對(duì)于B，設(shè)，因?yàn)?，所以，則，故B錯(cuò)誤;對(duì)于C，因?yàn)?，所以的上、下頂點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)，故該圓與E有4個(gè)交點(diǎn)，因此滿足的點(diǎn)有4個(gè)，故C正確;對(duì)于的方程可寫(xiě)為，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，P是E上異于A，B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若為奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件得到，從而有，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，且定義域?yàn)?，所以，得到，?dāng)時(shí)，，，所以滿足意義，故，所以，故，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，故答案為：.13.某商場(chǎng)搞抽獎(jiǎng)活動(dòng)，將30副甲品牌耳機(jī)和20副乙品牌耳機(jī)放入抽獎(jiǎng)箱中，讓顧客從中隨機(jī)抽1副，兩個(gè)品牌的耳機(jī)外包裝相同，耳機(jī)的顏色都只有黑色和白色，記事件“抽到白色耳機(jī)”，“抽到乙品牌耳機(jī)”，若，，則抽獎(jiǎng)箱中甲品牌的黑色耳機(jī)有__________副.【答案】10【解析】【分析】根據(jù)求出乙品牌耳機(jī)中白色耳機(jī)的數(shù)目，通過(guò)設(shè)出甲品牌的黑色耳機(jī)副，根據(jù)表示出副白色耳機(jī)中15副乙品牌耳機(jī)所占的比例，求解方程即得.【詳解】設(shè)抽獎(jiǎng)箱中甲品牌的黑色耳機(jī)有副，則白色耳機(jī)有副.因，而乙品牌耳機(jī)共有20副，故乙品牌耳機(jī)中白色耳機(jī)有副，于是抽獎(jiǎng)箱里共有白色耳機(jī)副，又，則，解得：.故答案為：10.14.若正四面體的頂點(diǎn)都在一個(gè)表面積為的球面上，過(guò)點(diǎn)且與平行的平面分別與棱交于點(diǎn)，則空間四邊形的四條邊長(zhǎng)之和的最小值為_(kāi)_________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)條件求出正四面體的棱長(zhǎng)為，設(shè)，利用幾何關(guān)系得到空間四邊形的四條邊長(zhǎng)之和，即可求出結(jié)果.【詳解】如圖，將正四面體放置到正方體中，易知正四面體外接球即正方體的外接球，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，所以正方體的邊長(zhǎng)為，易知正方體的外接球直徑為體對(duì)角線的長(zhǎng)，又，所以正四面體的半徑，依題有，得到，即正四面體的棱長(zhǎng)為，因?yàn)槊?，面面，面，所以，設(shè)因?yàn)?，則，，在中，因?yàn)?，所以，在中，，，則，所以空間四邊形的四條邊長(zhǎng)之和，又，當(dāng)時(shí)，，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于設(shè)出后，利用幾何關(guān)系得出，，，從而得出空間四邊形的四條邊長(zhǎng)之和，轉(zhuǎn)化成求的最小值來(lái)解決問(wèn)題.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.某大棚種植戶通過(guò)長(zhǎng)期觀察統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)去年本地市場(chǎng)中黃瓜每天的收購(gòu)價(jià)格X（元）服從正態(tài)分布，規(guī)定收購(gòu)價(jià)格在內(nèi)的為“合理價(jià)格”.（1）從去年隨機(jī)抽取10天，記這10天中黃瓜的收購(gòu)價(jià)格是“合理價(jià)格”的天數(shù)為Y，求；（2）該大棚種植戶為家鄉(xiāng)的農(nóng)產(chǎn)品做了5次直播帶貨，成交額y（萬(wàn)元）如下表所示：第x次直播帶貨12345成交額y（萬(wàn)元）912172127若用最小二乘法得到的y關(guān)于x的線性回歸方程為，預(yù)計(jì)該大棚種植戶第7次直播帶貨的成交額為多少萬(wàn)元.附：若，則，.【答案】（1）8.186；（2）35.2萬(wàn)元.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正態(tài)分布求出收購(gòu)價(jià)格是“合理價(jià)格”概率，再利用二項(xiàng)分布的期望公式計(jì)算即得.（2）根據(jù)給定的數(shù)表，求出樣本點(diǎn)中心，求出回歸直線方程，再進(jìn)行數(shù)據(jù)估計(jì)即可.【小問(wèn)1詳解】由，得，則收購(gòu)價(jià)格是“合理價(jià)格”的概率，依題意，，所以.【小問(wèn)2詳解】依題意，，于是，解得，則線性回歸方程為，當(dāng)時(shí)，，所以預(yù)計(jì)該大棚種植戶第7次直播帶貨的成交額為35.2萬(wàn)元.16.如圖，等邊三角形與正方形所在平面垂直，且，，與的交點(diǎn)為D，平面.（1）求線段的長(zhǎng)度；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）取線段的中點(diǎn)，連接，由線面平行性質(zhì)得，求得的長(zhǎng)度；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量進(jìn)而求得夾角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】取線段的中點(diǎn)，連接，則，又，所以.所以四點(diǎn)共面.由平面平面平面，平面，可得，所以四邊形為平行四邊形，故.小問(wèn)2詳解】取的中點(diǎn)，連接，，在等邊三角形中，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，，以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則取.設(shè)平面的法向量為，則取.設(shè)平面與平面的夾角為，所以，平面與平面夾角的余弦值.17.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，且.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系求的通項(xiàng)公式；根據(jù)等比數(shù)列基本量計(jì)算求的通項(xiàng)公式；（2）用裂項(xiàng)求和法求奇數(shù)項(xiàng)和，用錯(cuò)位相減求和法求偶數(shù)項(xiàng)和，證得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】設(shè)的公差為.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，兩式相減，得，因?yàn)?，所以，所以，又，得，所?設(shè)的公比為，由條件知，得，又，所以.【小問(wèn)2詳解】根據(jù)題意，在前項(xiàng)中，奇數(shù)項(xiàng)之和偶數(shù)項(xiàng)之和，，所以，所以，故.18.已知雙曲線（，）的左頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線l交C于P，Q兩點(diǎn)（均不與A重合），當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，.（1）求C的方程；（2）若直線AP和AQ分別與直線交于點(diǎn)M和N，證明：為定值.【答案】（1）（2）為定值63，證明過(guò)程見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由題意得，并代入求出，根據(jù)求出，得到答案；（2）直線l的方程，聯(lián)立雙曲線方程，得到兩根之和，兩根之積，得到直線，求出，同理得到，結(jié)合平面向量數(shù)量積公式，代入兩根之和，兩根之積得到.【小問(wèn)1詳解】由題意得，故，令得，解得，由于，故，解得，所以C方程為；【小問(wèn)2詳解】直線l交C于P，Q兩點(diǎn)（均不與A重合），故直線l的斜率不為0，設(shè)直線l方程為，聯(lián)立得，設(shè)，則且，解得，，直線，令得，同理可得，故，則.為定值.【點(diǎn)睛】定值問(wèn)題常見(jiàn)方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；（2）直接推理計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.19.已知函數(shù).（1）若，分析的單調(diào)性；（2）若，證明：在，內(nèi)各恰有一個(gè)零點(diǎn)，并且這兩個(gè)零點(diǎn)互為相反數(shù).【答案】（1）在上單調(diào)遞增（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）判斷的符號(hào)得的單調(diào)性；（2）分析的單調(diào)性得在，內(nèi)各恰有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)，證明也是的零點(diǎn)即可.【小問(wèn)1詳解】若，則.設(shè)，則，令，得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】.設(shè)，則，令，解得