2021-2022學(xué)年遼寧省渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)高一下學(xué)期第二次階段性考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．下列說法正確的是（

）A．直四棱柱是正四棱柱B．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線都是母線C．兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺D．以直角三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐【答案】B【分析】根據(jù)簡單幾何、多面體的幾何特征一一判斷即可.【詳解】對于，直四棱柱的底面不一定是正方形，故不正確；對于B，圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線都是母線，說法正確，故B正確；對于C，將兩個相同的棱柱的底面重合得到的多面體不是棱臺，故C不正確；對于D，以直角三角形的斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體是兩個圓錐的組合體，故D不正確.故選：B2．歐拉公式（）被稱為“上帝公式”、“最偉大的數(shù)學(xué)公式”、“數(shù)學(xué)家的寶藏”．尤其是當(dāng)時，得到，將數(shù)學(xué)中幾個重要的數(shù)字0，1，i，e，聯(lián)系在一起，美妙的無與倫比．利用歐拉公式化簡，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】先利用歐拉公式得，然后利用的運(yùn)算性質(zhì)求解出復(fù)數(shù)，從而可求出復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)位于的象限【詳解】由題意得，所以復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故選：D3．如圖，平面平面，直線，過三點(diǎn)確定的平面為，則平面的交線必過（

）A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn)，但不過點(diǎn) D．點(diǎn)和點(diǎn)【答案】D【分析】根據(jù)平面的基本性質(zhì)及推論推導(dǎo)即可【詳解】由題意知，，，∴，又，∴，即在平面與平面的交線上，又，，∴點(diǎn)C在平面與平面的交線上，即平面的交線必過點(diǎn)和點(diǎn)故選：D.4．已知角的大小如圖所示，則（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】由終邊上的點(diǎn)坐標(biāo)及和角正切公式求得，再將目標(biāo)式由弦化切求值即可.【詳解】由題圖知：，則，而.故選：C5．一個三角形的水平直觀圖在是等腰三角形，底角為，腰長為2，如圖，那么它在原平面圖形中，頂點(diǎn)到軸距離是（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】過點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，利用正弦定理求出，再結(jié)合斜二測畫法規(guī)則求解作答.【詳解】過點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，如圖，在中，，由正弦定理得，，于是得，由斜二測畫法規(guī)則知，在原平面圖形中，頂點(diǎn)到軸距離是.故選：D6．已知一個圓錐的母線長為2，側(cè)面積為.若圓錐內(nèi)部有一個球，當(dāng)球的半徑最大時，球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題可知球內(nèi)切于圓錐，利用圖形關(guān)系求得球的半徑，即可得解.【詳解】由題可知，母線，若內(nèi)部有一個球，半徑最大時，球內(nèi)切于圓錐，如圖所示，O為球心，M為球O與母線PB的切點(diǎn)，E為底面圓心，設(shè)球O的半徑為R，底面圓E的半徑為r因?yàn)閳A錐側(cè)面積為，所以，解得.由勾股定理，所以.又因?yàn)榕c相似，，解得，所以球的體積.故選：D7．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美?寓意獨(dú)特的幾何體，“等腰四面體”就是其中之一，所謂等腰四面體，就是指三組對棱分別相等的四面體.關(guān)于“等腰四面體”，以下結(jié)論不正確的是（

）A．長方體中含有兩個相同的等腰四面體B．“等腰四面體”各面的面積相等，且為全等的銳角三角形C．“等腰四面體”可由銳角三角形沿著它的三條中位線折疊得到D．三組對棱長度分別為，，的“等腰四面體”的外接球直徑為【答案】D【分析】作出長方體，根據(jù)等腰四面體的定義得出圖形，根據(jù)長方體的性質(zhì)對選項一一判斷即可得出答案.【詳解】如圖，長方體有兩個相同的等腰四面體：和，A正確；如等腰四面體中，每個面可能看作是從長方體截一個角得出的，如圖，設(shè)的長分別為，不妨設(shè)，則，，，最大，其所對角的余弦值為，最大角為銳角，三角形為銳角三角形，同理其它三個面都是銳角三角形，各個面的三條邊分別相等，為全等三角形，面積相等，B正確；把一個等腰四面體沿一個頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱剪開攤平，則得一個銳角三角形，還有三條棱是這個三角形的三條中位線，如等腰四面體，沿剪開攤平，共線，同理可得共線，共線，為銳角三角形（與等腰四面體的面相似），且是這個三角形的中位線，因此C正確；如上等腰四面體中三條棱長分別是長方體的三條面對角線長，由長方體性質(zhì)知長方體對角線是其外接球直徑，因此直徑長為，D錯.故選：D.8．一半徑為的水輪如圖所示，水輪圓心距離水面，已知水輪每逆時針轉(zhuǎn)動一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)從水中浮現(xiàn)時（圖中點(diǎn)）開始計時，則（

）A．點(diǎn)第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要B．在水輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，點(diǎn)距離水面的高度不低于共有的時間C．點(diǎn)距離水面的距離（單位：）與時間（單位：）的函數(shù)解析式為D．當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動時，點(diǎn)在水面下方，距離水面【答案】D【分析】根據(jù)所給條件求出點(diǎn)距離水面的高度與時間的函數(shù)關(guān)系式，再逐項進(jìn)行計算并判斷作答.【詳解】顯然點(diǎn)距離水面的高度(米)與(秒)的關(guān)系成周期性，符合正弦型函數(shù)關(guān)系，設(shè)其解析式為，依題意，，，由，解得，即，當(dāng)時，，得，，，于是得所求的函數(shù)關(guān)系式是，所以點(diǎn)距離水面的距離(單位：)與時間(單位：)的函數(shù)解析式為，C錯誤；由得：，即，解得，點(diǎn)第一次到達(dá)最高點(diǎn)要時間，A錯誤；由，即在水輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，有20秒的時間，點(diǎn)距離水面的高度不低于4.8米，B錯誤；時，，D正確.故選：D二、多選題9．已知，是兩個不同的平面，，是兩條不同的直線，則下列命題中真命題是（

）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則【答案】AC【分析】AC選項，可以從線面垂直的性質(zhì)或判定或面面平行的性質(zhì)即判定進(jìn)行說明；BD選項可以在題干條件下舉出反例．【詳解】解：選項，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，，是兩個不同的平面，所以，選項正確；選項，若，，，則與可能平行，可能異面，可能相交，選項錯誤；選項，若，，則，又因?yàn)椋莾蓚€不同的平面，，是兩條不同的直線，則，選項正確；若，，，可能在內(nèi)，可能與平行，，故選項錯誤．故選：AC．10．下列命題為真命題的是（

）A．函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)B．函數(shù)的表達(dá)式可以改寫為C．是最小正周期為的偶函數(shù)D．若，則為鈍角三角形【答案】BD【分析】利用正切函數(shù)的單調(diào)性可判斷A選項；利用誘導(dǎo)公式可判斷B選項；利用特殊值法可判斷C選項；利用向量的數(shù)量積運(yùn)算可判斷D選項.【詳解】解：A選項，函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)，故A不正確；對于B選項，，故B正確；對于C選項，設(shè)，因?yàn)椋?，則，所以，函數(shù)不是最小正周期為的函數(shù)，故C不正確；對于D選項：若，則，則，則與所成的角為銳角，則為鈍角，故為鈍角三角形，故D正確；故選：BD.11．如圖，在正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，為線段上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論中正確的是（

）A．直線與是異面直線B．不存在點(diǎn)使得C．當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時，過??三點(diǎn)的平面截正方體所得截面為四邊形D．三棱錐的體積為定值【答案】AD【分析】由圖可判斷A，設(shè)中點(diǎn)為，若為中點(diǎn)，此時可得，即可判斷B，作出截面，即可判斷C，根據(jù)錐體的體積公式判斷D；【詳解】解：由圖可知直線與是異面直線，故A正確；設(shè)中點(diǎn)為，若為中點(diǎn)，則有，，，平面，所以平面，平面，所以，因?yàn)椋?，故B不正確；取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接、、、、，此時過、?三點(diǎn)的平面截正方體所得截面為六邊形，故C錯誤；設(shè)正方體的棱長為，易知點(diǎn)到平面的距離為為定值，又，所以，即棱錐的體積為定值，故D正確.故選：AD12．已知函數(shù)．則下列說法正確的是（

）A．若，則B．的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱C．，使成立D．對，，，有成立【答案】ACD【分析】利用三角函數(shù)的二倍角公式及正弦函數(shù)的兩角和公式對原式進(jìn)行化簡，利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷正誤.【詳解】解：因?yàn)?，故；A項中，的單調(diào)遞增區(qū)間為，故，故當(dāng)時，單調(diào)遞增，故A項正確；B項中，，故的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故B項錯誤；C項中，因?yàn)椋瑒t的值域?yàn)?，的周期為，若，則，故C項正確；D項中，因?yàn)?，所以，則，又，故，即所以，恒成立，故D項正確.故選：ACD.三、填空題13．若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的虛部為___________.【答案】-2【分析】將化成的形式即可.【詳解】解：由題得.所以z的虛部為.故答案為：-2.14．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，若有兩解，寫出a的一個可能的值為__________．【答案】（滿足均可，答案不唯一）【分析】根據(jù)題意可得，解之即可得解.【詳解】解：由于滿足條件的有兩個，則，即.故答案為：（滿足均可，答案不唯一）．15．若正三棱臺的上?下底面的面積分別是和，體積為，則其側(cè)棱長為___________.【答案】【分析】根據(jù)棱臺的體積公式可得高，再設(shè)O′?O分別是上?下底面的中心，連接OO′?O′B′?OB，根據(jù)幾何圖形中的關(guān)系求解即可【詳解】因?yàn)槔馀_體積公式V（SS′）h，所以，所以高，又因?yàn)檎馀_上?下底面的面積分別是和，所以上下底面邊長分別是2和4，如圖所示，O′?O分別是上?下底面的中心，連接OO′?O′B′?OB，在平面BOO′B′內(nèi)作B′E⊥OB于E，∵是邊長為2的等邊三角形，O′是中心，∴O′B′，OB，∴在中，，BE，∴B′B，∴該三棱臺的側(cè)棱長為.故答案為：16．的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，，則的外接圓半徑為___________.【答案】5【分析】由條件結(jié)合余弦定理可得，結(jié)合正弦函數(shù)的范圍和基本不等式可求，再由正弦定理求的外接圓半徑.【詳解】由余弦定理可得，又，所以，所以，所以，所以，其中，，又，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，又，所以，所以，時等號成立，所以，所以的外接圓半徑，故答案為：5.四、解答題17．已知，，且．(1)求與的夾角；(2)求．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，利用數(shù)量積的運(yùn)算律和定義可求得，進(jìn)而得到；（2）由數(shù)量積的定義和運(yùn)算律可求得，由此可得結(jié)果.【詳解】(1)，，又，.(2)，.18．我國擁有世界上已知最深的海洋藍(lán)洞，在海南省三沙市，名為“三沙永樂龍洞”．海洋藍(lán)洞被譽(yù)為“地球給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”．若要測量如圖所示的海洋藍(lán)洞的口徑（即兩點(diǎn)間的距離），現(xiàn)取兩點(diǎn)，測得，則圖中海洋藍(lán)洞的口徑為多少．【答案】【分析】在中由正弦定理可求出AC，在中由角的關(guān)系求出BC，在中由余弦定理求解即可.【詳解】由已知得，在中，，所以，由正弦定理得，在中，，所以，在三角形中，由余弦定理：，故圖中海洋藍(lán)洞的口徑為.19．如圖，四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，E是PD上的點(diǎn)．(1)若E、F分別是PD和BC中點(diǎn)，求證：平面PAB；(2)若平面AEC，求證：E是PD中點(diǎn)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，，證明四邊形為平行四邊形，可知，利用線面平行的判定定理可證平面；（2）連接，交于，連接，因?yàn)槠矫?，利用線面平行的性質(zhì)定理可得，且為中點(diǎn)，可證E是PD中點(diǎn)．【詳解】(1)證明：取中點(diǎn)，連接，，在中，因?yàn)?，分別為所在邊的中點(diǎn)，所以，且，又因?yàn)榈酌鍭BCD為平行四邊形，為的中點(diǎn)，所以，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?2)連接，交于，連接，因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所以，在中，為中點(diǎn)，所以為中點(diǎn).20．已知為銳角，(1)求；(2)求.【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出，再利用求解即可；（2）直接通過計算出正弦值，再通過角的范圍求出答案.【詳解】(1).為銳角，，又在上單調(diào)遞減，，，

.(2)，為銳角，，.21．已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，向量，，.(1)若，，為邊的中點(diǎn)，求中線的長度；(2)若為邊上一點(diǎn)，且，，求的最小值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用向量垂直的坐標(biāo)表示可得，然后利用余弦定理可得，利用向量的表示可得，進(jìn)而可得，即得；（2）利用向量的線性表示可得，結(jié)合條件可得，即，再利用基本不等式即得.【詳解】(1)∵向量，，，∴，即，∴，∴，∵為邊的中點(diǎn)，，，∴，∴，又，，，∴，∴，即，∴中線的長度為；(2)∵為邊上一點(diǎn)，，∴，∴，∴，即，∴，又，∴，∴，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號，故的最小值為.22．如圖1，直角梯形中，，，，，，邊上一點(diǎn)滿足．現(xiàn)在沿著將折起到位置，得到如圖2所示的四棱錐．(1)證明：．(2)若為棱的中點(diǎn)，試問線段上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出此時的長；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，且【分析】（1）在梯形中，連接，證明出為菱形，在四棱錐中，取的中點(diǎn)，連接、、，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得出，，利用線面垂直的判定和性質(zhì)定理可證得結(jié)論成立；（2）取線段的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)在平面內(nèi)作交于點(diǎn)，證明出，過點(diǎn)在平面內(nèi)作交于點(diǎn)，計算出的長，可計算出的長，分析出為的中點(diǎn)，即可求得的長.【詳解】(1)證明：在梯形中，連