2023-2024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級下冊章節(jié)真題匯編檢測卷（中等）

第27章相似

考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：100分難度：中等

一.選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）

1.（本題2分）（2023?重慶沙坪壩?重慶一中?？级＃┤鐖D，..ABC與，DEF是位似圖形，點(diǎn)。為位似

中心，位似比為2:3.若ABC的面積為8,貝匸DEF的面積是（）

【答案】D

【分析】根據(jù)位似比等于三角形的相似比，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)一面積之比等于相似比的平方計(jì)算即可.

【詳解】解：解：：ABC與，。印位似，點(diǎn)。為位似中心，相似比為2:3,

:.ABC馬.DEF的面積之比為4:9,

?/的面積為8,

二,DEF的面積是18,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，熟練掌握面積之比等于位似比的平方是解題的關(guān)鍵.

2.（本題2分）（2023?河南駐馬店?駐馬店市第二初級中學(xué)?？级＃┤鐖D，矩形A3CD的頂點(diǎn)48分

別在x軸、y軸上，03=4,OA=3,AD=10,將矩形ABCD繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90。，則第2023

次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)，的坐標(biāo)為（)

C.(—6,—5)D.(-5,-6)

【答案】C

【分析】過點(diǎn)。作OT丄X軸于點(diǎn)T.首先證明△ATTJsABCM,利用相似三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，再

探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題即可.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)。作DT丄x軸于點(diǎn)T.

:.AB=S尺+OB?=,32+42=5,

ZATD=ZAOB=ZBAD=90°,

.\ZDAT+ZBAO=90°,ZBAO-^-ZABO=90°,

:.ZDAT=ZABO,

..AATD^ABOA,

.ADATDT

.10_ATDT

,,=一，

543

:.AT=8,DT=6,

:.OT=AT-OA=8-3=5,

.'.￡>(-5,6),

矩形ABCD繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90。,

則第1次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(6,5)；

則第2次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(5,-6)；

則第3次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-6,-5)；

則第4次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-5,6)；

發(fā)現(xiàn)規(guī)律：旋轉(zhuǎn)4次一個(gè)循環(huán),

.?.2023+4=505…3,

則第2021次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-6,-5）.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)、規(guī)律型一點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)規(guī)

律，總結(jié)規(guī)律.

3.（本題2分）（2021春?福建龍巖?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖,ABC中，DE//BC,BE與CD相交

于點(diǎn)尸.如果Db:bC=l:3,那么SA°E：SMC等于（）

A.1:9B.1:3C.2:3D.1:8

【答案】A

DFDF1

【分析】根據(jù)。E〃3C,。尸：/C=l：3得到巖===：,乙ADEs乙ABC,結(jié)合面積比等于相似比平

BCCF3

方即可得到答案；

【詳解】解：；DE〃3C，DF:FC=1:3,

AADEsAABC,

BCCF3

???SME：5ABe=（1:3）2=1:9,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握相似三角形面積比等

于相似比的平方.

4.（本題2分）（2020秋?安徽蚌埠?九年級統(tǒng)考期中）如圖，各正方形的邊長均為1,則四個(gè)陰影三角形

中，一定相似的一對是:

①

③④

A.①②B.①③C.②③D.②④

【答案】A

【分析】分別求出4個(gè)圖形中的每個(gè)三角形的邊長，通過三角形三邊的比是否相等就可以判斷出結(jié)論，從

而得出正確答案.

【詳解】解：①三邊長為：1,0,5

②三邊長為：0,2,V10；

③三邊長為：1,有，2拒；

④三邊長為：2,非,岳;

則可得①和②三邊成比例，故一定相似的是①和②.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，解答本題需要我們熟練運(yùn)用勾股定理，掌握相似三角形的判定定

理，難度一般.

5.（本題2分）（2023秋?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，ABC和，DEF是位似三角形，點(diǎn)。是位似中心，

且AC=9,DF=3,OA=6,則OD=（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】A

【分析】根據(jù)位似圖象的性質(zhì)得出位似比，進(jìn)而得出的長.

【詳解】解：AC=9,DF=3,

AC:DF=3:1,

ABC與位似，點(diǎn)。是它們的位似中心，

:.OA:OD=3A,

OA=6,

二。尸的長為2,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換，正確掌握位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.（本題2分）（2023?海南儈州?海南華僑中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在2ABe中，AC=9,BC=6,

以點(diǎn)方為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)0,交BC于點(diǎn)￡,分別以點(diǎn)〃￡為圓心，大于的長為

半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)凡連接所并延長交AC于點(diǎn)只若AP=BP,則線段CP的長為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】先判斷出3P為，ABC的角平分線，再證明△BPCs/vwc,問題即可得解.

【詳解】由圖可知為，ABC的角平分線，

:.ZCBP=ZABP.

;AP=BP,

：.ZA=ZABP.

：.ZA=ZCBP,

又zc=zc,

:.^BPC^AABC.

.BC_CP

**AC-BC'

設(shè)CP=x,

VAC=9,BC=6,

6_x

?u?.

96

解得x=4,即：CP=4.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明△BPCs/vmc是

解答本題的關(guān)鍵.

7.（本題2分）（2023春?天津和平?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在aABC中，D、E、尸分別是邊AB、

AC.3C上的點(diǎn)，連接石下，8相交于點(diǎn)G,若四邊形BDE戶是平行四邊形，則下列說法不正確的是

)

ADEGADBFADDE

C.

DBCGDB-GFDBBCDB-FC

【答案】C

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出。石=3尸，EF//AB,DE//BCff根據(jù)相似三角形的判定得出

DGES.CGF，再根據(jù)平行線分線段成比例定理和相似三角形的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可.

【詳解】解：A..四邊形5。石廠是平行四邊形,

:.DE=BF,EF〃AB,DE〃BC,

ADAEBF

DGEsCGF,

DB~EC~~FC

.DGDEBF

*CG-CF-CF

ADDG

故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

CG

B.四邊形BD￡尸是平行四邊形,

:.DE=BF,EF//AB,DE//BC,

ADAEBF八

——，DGEs一CGF,

DB-~EC~FC

EGDE_BF

~GF~~CF~~CFf

ADEG

故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

DB~GF

C.DE//BC,DE=BF,

ADDE_BFAD

花一拓一拓DB,故本選項(xiàng)正確;

D.QEF〃AB,DE〃BCDE=BF,

ADAEBFDE

故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

DB~EC~FC~FC

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用，能

靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.

8.（本題2分）（2023秋?重慶?九年級重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校?？奸_學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，

k

及△ABC的頂點(diǎn)/在函數(shù)y=—（k/0,x>0）,ZACB=90°,邊CB在y軸上，，為AB的中點(diǎn)，連接DC并

x

延長交X軸于點(diǎn)￡,連接防，若SBEC=3,則"的值為（）

【答案】C

【分析】先利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到8D=DC,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和對頂角相等得到

ZECO=ZABC,證明得到BCxOE-COxAC,再根據(jù)三角形的面積公式和反比例函數(shù)的

系數(shù)"的幾何意義得到BCxOE=6=COxAC=\k\,進(jìn)而可求解.

【詳解】解：為Rt^ABC的斜邊AB上的中線，

ABD=DC,則〃CB=/ABC,

又ZDCB=NECO,

：.ZECO=ZABC,

又Z.COE=ZBCA=90°,

，ACOEsABCA,

COOE

---=---,即anBCxOE=COxAC.

BCAC

又,S^BEC=3,

：.-BCE0=3,

2

即3cxOE=6=COxAC=|札

?.?反比例函數(shù)圖象在第一象限，k>0.

：.k=6.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、反比例函數(shù)系數(shù)4的幾何意義、直角三角形斜邊上的中線性

質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的知識(shí)與運(yùn)用，利用相似三角形的判定與性質(zhì)得到線段間的關(guān)系是

解答的關(guān)鍵.

9.（本題2分）（2023?河南洛陽?統(tǒng)考二模）如圖，RtA4BC中，ZACB=90°,頂點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)C,

8分別在x,y軸上，OC=3,03=4,AC=10.將一ABC繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90。，若旋轉(zhuǎn)后

點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（5,6）,則旋轉(zhuǎn)的次數(shù)可能是（）

【答案】C

【分析】過點(diǎn)A作AT丄x軸于點(diǎn)T.首先利用相似三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再探究規(guī)律，利用規(guī)律

解決問題即可.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AT丄x軸于點(diǎn)7,連接Q4.

OC=3,OB=4,ZAOB=90°,

BC=5,

ZATC=ZACB=90°,

:.ZCAT+ZACT=90°,ZACT+ZBCO=90°,

:.ZCAT=ZBCO,

:.ATCs-COB,

:.AT:OC=CT:OB=AC:BC,即AT:3=CT:4=10:5,

:.AT=6,CT=8,

:.OT=CT-OC=8-3=5,

A(5,6),

.矩形ABCD繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90。，

則第1次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6,-5)；

則第2次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-5,-6)；

則第3次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-6,5)；

則第4次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5,6)；

發(fā)現(xiàn)規(guī)律：旋轉(zhuǎn)4次一個(gè)循環(huán)，

.12024+4=56,

則第2024次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)4的坐標(biāo)是(5,6),

故選：C.

方法二：.點(diǎn)4的坐標(biāo)是(5,6),

.??點(diǎn)4在第一象限，

每次旋轉(zhuǎn)90。，

，旋轉(zhuǎn)4次一個(gè)循環(huán)，

二點(diǎn)A的坐標(biāo)是(5,6),

二.2024+4=56,

則第2024次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A的坐標(biāo)是(5,6),

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)、規(guī)律型一點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)規(guī)

律，總結(jié)規(guī)律.

10.(本題2分)(2022?河北石家莊??？寄M預(yù)測)如圖，矩形A3CD中，BC=2AB,對角線相交于。，

過C點(diǎn)作CE丄8Z）交BO于E點(diǎn)，H為BC中點(diǎn)，連接A“交3。于G點(diǎn)，交EC的延長線于尸點(diǎn)，下列5個(gè)

結(jié)論：①EH=AB；②ZABG=NHEC；③^ABG纟AHEC；④SGAD=S四邊形GHCE;?CF=BD.正確的有

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】解：根據(jù)斜邊的中線等于斜邊的一半即可判斷①正確；結(jié)合①以及角度互余的關(guān)系可判斷②正確；

③連接先證明N54G=45。，同理：NDHC=45。,可得NEHC>NDHC=45。=NBAG,根據(jù)對應(yīng)角

不相等可判斷③錯(cuò)誤；④設(shè)AB=CD=1,gpAD=BC=2,證明-ADGs_HGB,可得型=些=處=2,

BGGHBH

224119

分別求出SAG°=4SBS=TSmHCE=SBCE-SBGH可判斷④錯(cuò)誤；⑤利用角的和差關(guān)系

證明/F=NH4C,結(jié)合矩形的性質(zhì)即有CF=AC=5。，可判斷⑤正確.

【詳解】解：①在aBCE中，

?:CE丄BD,〃為BC中點(diǎn)，

：.-BC=EH=BH^HC,

2

又：BC=2AB,

：.EH=AB,①正確；

②由①可知，BH=HE,

：.NEBH=NBEH,

又：ZABG+NEBH=NBEH+NHEC=90°,

/.ZABG=ZHEC,②正確；

③連接DH,

VAB=BH,ZABH=90°,

：.ZBAG=45°,

同理：ZDHC=45°,

:.ZEHC>ZDHC=45°=/BAG,

???根據(jù)對應(yīng)角不相等可知一ABG纟一HEC不成立，③錯(cuò)誤;

④設(shè)AB=CD=1,即AD=BC=2,

1c一

,,BD=VAS2+AD2=，S=S=—x2xl=l,

ABDBCD2

?.?AD〃BC,

:?jADGsHGB,

.DGAGAD0

一=——

BGGHBH

2

——2c1_1

SAGO=]SBCD3'°BGH0AG。=一,

26

,?q=—xBCxCD=—xBDxCE,

,2.BCD22

BCxCD2

：.CE=

BD一百

??.BE=yjBC2-CE2=^=,

244

/.S=—xBExCE=—x

BCE225

4119

?q—v—v

?,。四邊形GHCE——BCE°BGH56-30,

艮卩SGADWS四邊形GHCE，

???④錯(cuò)誤;

@ZECH=ZCHF+ZF=45°+ZF,

又ZECH=NCDE=NBAO,NBAO=NBAH+ZHAC=45°+AHAC,

：.ZF^ZHAC,

：.CF=AC=BD,⑤正確.

正確的有3個(gè).

故選：C.

【點(diǎn)睛】考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的

判定.解答該題的關(guān)鍵是證明等腰三角形，全等三角形.

二.填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）

11.（本題2分）（2020秋?福建漳州?九年級福建省漳州第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在一ABC中，點(diǎn)〃為

CD1

ZC上一點(diǎn)，且K=7過點(diǎn)〃作。石〃交A5于點(diǎn)區(qū)連接CE,過點(diǎn)〃作正〃。石交AS于點(diǎn)反若AB=15,

AD2

貝L=..

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例即可求解.

【詳解】解：石〃5C

.ADAE

**AC-

?AD~2

?AD_2-E

**AC-3-AB

'：AB=15

AAE=1O

DF//CE

.AFADAF_2

??瓦一五'五一§

解得：AF=—

：.EF=AE-AF=—

3

故答案為：—

【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例.找準(zhǔn)比例是解題關(guān)鍵.

12.（本題2分）（2020秋?上海嘉定?九年級統(tǒng)考期中）如圖，在，ABC中，點(diǎn)以少分別在邊A3、AC上,

且NAED=NABC,如果AT>=4,BD=AE=6,那么AC的長.

E

【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：：厶ED=N/RC，NA=/4,

:.AAED^AABC,

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

13.（本題2分）（2023秋?黑龍江哈爾濱?九年級哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）如圖，點(diǎn)A

S

￡分別是,ABC邊AB、AC上的點(diǎn)，且。石〃3C,BD=2AD,那么三巫=_________.

DARC

【答案】I

【分析】根據(jù)6D=2AD推出4黑D=：1,根據(jù)。石〃5C推出最后根據(jù)相似三角形面積比等

AB3

于相似比的平方，即可解答.

【詳解】解：：BD=24),

.AD_AD_AD1

"AB~AD+BD~3AD-3

DE//BC,

：.ZADE=ZB,ZAED=ZC,

AADEsAABC,

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形面積比等于相似比的平方.

14.（本題2分）（2023春?陜西榆林?九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)。為位

似中心，將ABC放大后得到已知點(diǎn)A（2,O）,B（6,。），貝/ABC與的面積比是

【分析】根據(jù)題意求得位似比，根據(jù)相似比等于位似比，面積比等于相似比的平方即可求解.

【詳解】解：???將，ASC放大后得到aBDE.點(diǎn)A（2Q）,B（6,O'）,

21

??...ABC與，瓦織的相似比為:二彳,

63

則_ABC與BDE的面積比是=

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，求得位似比是解題的關(guān)鍵.

15.（本題2分）（2023秋?陜西榆林?九年級校考期末）已知,AD與HD是它們的對

應(yīng)中線，如果，ABC與,的面積比是1：9,那么為

【答案】|/1：3

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】?.?△ABCS2XAEC',ABC與‘AB'C'的面積比是1：9,AD與477是它們的對應(yīng)中線，

??/段丄

丿1=9

.AD1

**^F-3>

故答案為：;.

【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵.

16.（本題2分）（2023?安徽滁州??？家荒＃┰诘冗吶切蜛BC中，AB=6,D、E是BC上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)

是A3上的動(dòng)點(diǎn)，且BF=BD=EC=2,連接FE,手典=；

【分析】證明&%獷S&3C4,利用相似三角形的面積等于相似比的平方求解即可.

【詳解】解：ABC是等邊三角形，AB=6,

.-.AB=BC=AC=6,ZB=ZC=ZA=60°,

BD=BF=2,2B=60°,

BDE是等邊三角形，ZBDF=ZBFD=60°,

\/jBDF=C=60?,

DF//AC,

BDFsBCA,

\SBDF=（些了=丄

SBCABC9'

BD=EC=2,DE=BC-BD-EC=6-2-2=2,

:.BD=DE=2,

…?2QBDF-=2QDEF，

qi

\uDEF_

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

17.（本題2分）（2023春?江蘇蘇州?八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，8和石廠是兩等高的路燈，相距27m,

身高1.5m的小明（M）站在兩路燈之間（小氏尸共線）,被兩路燈同時(shí)照射留在地面的影長BQ=4m,BP=5mf

則路燈高度為.

【答案】6機(jī)/6米

【分析】證得那么可得票=黑，同理可得笑=寫，根據(jù)CD=E尸，可求出3D,再

3QDEFPF

代入相關(guān)數(shù)值，計(jì)算可得路燈高度.

【詳解】解：設(shè)￡>5=xni,

■:AB//CD,

：.ZQBA=ZQDC,ZQAB=ZQCD,

4QABS.QCD,

.AB_BQ

??五一9'

?.?CD=EF,

.BQBP

?,瓦一而，

4_5

'x+廠5+(27-力

:.x=n,

即BD=12m,

ABBQ1.54

由xCL>-QDe面-4+12，

，8=6,

即路燈高6m.

故答案為：6m.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用；利用線段相等得到相關(guān)比例式是解決本題的突破點(diǎn).

18.（本題2分）（2020秋?上海青浦?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，平行四邊形ABCD,E是C￡）的中點(diǎn),

BE,AE相交于點(diǎn)O,若,COE的面積為1,則平行四邊形A3。的面積為

【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)可證明&COEs厶AOB,根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方可求得AOB

的面積，又由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得O太P=1根據(jù)等高三角形的面積比等于對應(yīng)底的比，即可

OB2

求得出OC的面積，繼而求得答案.

【詳解】解：四邊形ABCD為平行四邊形，

..AB〃CD且AB=CD,

:.一COES-AOB,

,SC0EJEC^OE=EC

"SAOBIAB丿'OBAB'

E是CO的中點(diǎn)，

,ECEC1OE_1

,CD-AB-2'~OB~2'

S.COE=1,

,??0qAOB-—4，

OP1

Q?C和.COE為等高三角形，—

OB2

…?0qBOC--厶?'

SABC=SAOB+SBOC=4+2=6,

SABCD=2S詆=2x6=12,

故答案為：12.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解答

本題的關(guān)鍵.

19.（本題2分）（2023秋?四川成都?八年級統(tǒng)考期末）如圖，AE和AO分別為.ABC的角平分線和高線,

已知AD=3,且=BD=4DE,則AC的長為

【分析】在">上截取AG,使AG=EG,則=設(shè)AG=EG=m,DE=a,則3D=4a,

DG^AD-AG=3-m.在Rt-EGD中，由勾股定理，得EG2=DE?+DG。即”=4+(3)？，得

2

證明—即G'可得薪學(xué)’哈",即有病=9-3%聯(lián)立a—6m—9

4a2=9-3m'

5

m=-_________

解得彳3,即可得DE=1,BD=4,BE=BD—DE=3.在RtAAB。中，AB=^AD2+BD2=5-設(shè)點(diǎn)￡到

a2=1

直線A3的距離為力，則5働郎=:8￡-4。=(48丿7,可得/?=.根據(jù)AE是，ABC的角平

22AB55

g

分線，可得點(diǎn)￡到直線AC的距離為彳.設(shè)CO=〃，則*=dAD?+5=7^7.利用

S&AEC=^EC-AD=^AC-h,可得(l+〃)x3=59+〃Y，問題隨之得解.

【詳解】如圖，在上截取AG,使AG=EG,則NA￡G=NZM石,

???/EGD=ZAEG+/DAE=2/DAE.

9：ZB=2ZDAE,

：.ZB=ZEGD.

^AG=EG=m,DE=a,貝1」亜=4，，DG=AD-AG=3-m.

在Rt_￡GQ中，由勾股定理，得EG?=DE?+DG?,

IPm2=a2+（3—m）2,

化簡，得/=69.

由AO是,ABC的高線，即有NAZM=90o=/EDG,

有?；ZB=NEGD,

；..ADBsEDG,

***4a2=9-3m?

聯(lián)立丿,

〔44=9-3m

一5

,,m=—

解得3,

a2=1

??Q=1,

ADE=1,BD=4,

/.BE=BD-DE=3.

在RtZXABD中，AB=y/AD2+BD2=5-

設(shè)點(diǎn)￡到直線AB的距離為h,則S^E=^BEAD=^ABh,

7BEAD3x39

n=---------=------=—.

AB55

???A石是二ABC的角平分線，

9

???點(diǎn)￡到直線AC的距離為:.

設(shè)8=九，則AC=，4￡）2+0。2=，9+〃2.

*,^AAEC=2EC.AD=—AC-h,

（l+n）x3=79+n2x-|,解得或〃=—4（舍去），

58

【點(diǎn)睛】本題是一道三角形的綜合題，主要考查了勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，

一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)，構(gòu)造合理的輔助線，靈活利用三角形的面積，是解答本題的關(guān)鍵.

20.（本題2分）（2023?山西忻州?校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，AC為矩形ABCD的對角線，AE平分/3AC

交BC于點(diǎn)、E,尸為8邊的中點(diǎn)，連接8尸分別交AE,AC于點(diǎn)G,H.若AB=6,BC=8,則線段GH的

長為.

57

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)由勾股定理求出AC,即的長，證明，CFF/S,ABH,求出A8,BH,過點(diǎn)G作

GQ1AB,GW丄4/于點(diǎn)Q,W,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得GQ=GW,然后利用三角形的面積即可解決問

題.

【詳解】解：四邊形ABCD是矩形，

:.CD=AB=6,AD=BC=8,ZABC=ZBCD^90°,AB1/CD,

:.AC=y/AB2+BC2=10-

尸為CO邊的中點(diǎn)，

:.CF=DF=3,

BF=A/BC2+CF2=A/82+32=773，

AB//CD,

CFHsABH,

.CH_FH_CF_1

:.CH=-AH,FH=-BH,

22

亦1,773

CH=-AC=—,rn=—tO5Er=-----,

3333

20_2A/73

AH=-AC=BH=-BF=

333

如圖，過點(diǎn)G作GQ丄AB,GW丄47于點(diǎn)。，W,

AE平分/BAC,

.-.GQ=GW,

_9

AH10

SAHG-AHGW-'

23

SABG=BG

S.一GH'

,BG_9

''GH=ld'

9

/.BG=—GH,

10

:.BH=BG+GH=—GH+GH=^^~,

103

,20月

..VJL1一,

57

線段GH的長為辿亙.

57

故答案為：型運(yùn).

57

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到

CFHs,ABH.

三.解答題（共8小題，滿分60分）

21.（本題6分）（2022秋?福建莆田?九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，在網(wǎng)格圖中，每格是邊長為1的正方

形，四邊形A3C。的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.

⑴請以點(diǎn)。為位似中心，在網(wǎng)格圖中作出四邊形A'B'C'D',使四邊形AB'C'D與四邊形ABCD位似，且

OCc

---二2；

OC

（2）填空：線段82的長為」一ADO的面積為一.

【答案】（1）見解析；

⑵BB'=672;A'D'O的面積為10.

【分析】（1）利用位似變換的性質(zhì)分別作出4B、C、。的對應(yīng)點(diǎn)A'、B'、C'、D即可;

（2）利用勾股定理求得8?的長，用矩形的面積減去周圍三個(gè)直角三角形的面積即可.

【詳解】（1）解：如圖，四邊形AB'C'D'即為所求,

（2）線段班'的長=&2+6?=6亞；

【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換（作圖），勾股定理以及三角形面積的求解，解題的關(guān)鍵是掌握位似變換的性

質(zhì)，正確作出圖形.

22.（本題6分）（2022?陜西西安??？寄M預(yù)測）如圖1,在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，四邊形ABCD的

四個(gè)頂點(diǎn)都落在格點(diǎn)上，小明發(fā)現(xiàn)：兩條分割線DE,CE將四邊形A3CD分割成的三個(gè)三角形都彼此相似（

含全等）.請?jiān)趫D2和圖3中，各畫一個(gè)四邊形，滿足有兩條分割線且將四邊形分割成三個(gè)彼此相似的三角形

（含全等），并在圖中畫出分割線的位置（所畫的兩個(gè)四邊形不全等）.

「—―〒—―丁—―F——r——r——r—f——丁—―丁—-"r——"r——r「――T——"r——丁—--r-

IIIIIIIIIIIIIIIIII

IIIIIIIIIIIIIIIIII

r--t--t----r---r-------1—1r--t-----r----1-----r--1--ir--t---t--r--------------r-

i）'>'"（?'

-------■，）1,1r-----十----十------1----1-----?------1I------+-----+----+.....-t-

\111----------------------------------------------------------------------

\????..............................................................................................

-二+-+IH++-+——-?H卜——+——+1--+-

\'IIIII..........................................................

。一一U_一-L——，——-L——-1_一一——JL——亠一—_L——_L——_L_

AEEBgE

圖1圖2圖3

【答案】見解析

【分析】根據(jù)相似三角形的定義作圖即可.

【詳解】解：如圖2、3所示.

【點(diǎn)睛】本題主要考查作圖-相似變換，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的概念，注意全等三角形是相似三角

形的特殊情形.

23.（本題8分）（2023秋?陜西西安?九年級?？奸_學(xué)考試）尺規(guī)作圖：如圖，已知」IBC,NBAC=2/B,

請用尺規(guī)作圖的方法在BC上確定一點(diǎn)。，使得△ABCS4D4c.（保留作圖痕跡，不寫作法）.

【答案】作圖見詳解

【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法，作/54C的角平分線即可.

【詳解】解：如圖所示，作N54C的角平分線交8C于點(diǎn)￡）,

A

①以點(diǎn)A為圓心，以任意長為半徑畫弧交A2,AC于點(diǎn)M,N,連接MN；

②分別以點(diǎn)〃，N為圓心，以大于為半徑畫弧交于點(diǎn)尸，連接AP交BC于點(diǎn)。，則AO即為/BAC的

角平分線；

,；NBAC=2/B,AD平分/3AC,

；./BAD=NDAC=/B,且NC=NC,

/.△ADCs^BAC,即△ABCs^DAC.

【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的作圖方法，相似三角形的判定方法，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

24.(本題8分)(2022秋?福建福州?九年級?？计谀?如圖，已知A(T,2),8(-2,6),C(0,4)是直角坐標(biāo)

系平面上三點(diǎn).

⑴以原點(diǎn)。為位似中心，在第四象限內(nèi)畫出將ABC縮小為原來的一半后的與G；

Z

(2)畫出ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后的△4BC2,并求出線段8C所掃過的圖形面積.

【答案】(1)見解析

(2)見解析，線段BC所掃過的面積為2萬

【分析】（1）根據(jù)位似的性質(zhì)，得到Me各點(diǎn)在第四象限內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)A、耳、G,依次連接即可得到44用G；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到ABC各點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)&、邑、c2；依次連接即可得到△4鳥q,根據(jù)坐標(biāo)兩點(diǎn)

的距離公式，求得BC=2虛，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，ZBCB2=90°,再利用扇形面積公式，即可求出線段BC

所掃過的圖形面積.

【詳解】（1）解：如圖所示，△A4G即為所求；

（2）解：如圖所示，△人da即為所求，

B（-2,6）,C（0,4）,

BC=J（-2-Op+（6-4）2=2屈,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，/BCB?=90°,BC=B2C2=2y/2,

則線段BC所掃過的圖形是圓心角為90°,半徑為2灰的扇形，

所以，線段3c所掃過的面積為：905?生21=2兀，

360

即線段BC所掃過的面積為2%.

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖一一位似變換以及旋轉(zhuǎn)的變換，坐標(biāo)兩點(diǎn)的距離公式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，扇形面積公

式，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決問題是解題關(guān)鍵.

25.（本題8分）（2022秋?福建莆田?九年級校考開學(xué)考試）若ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。后，與VADE構(gòu)

成位似圖形，則我們稱ABC與7ADE互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”.

如圖①，ABC與VADE互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”.

①若a=25°,ZD=100°,NC=28°,則NBAE=_；

②若A￡>=6,DE=1,AB=4,貝|3C=_；

(2)知識(shí)運(yùn)用:

如圖②，在四邊形ABCD中，ZADC=90°,AE丄BD于點(diǎn)E,NDAC=NDBC,求證：ACD與二ABE互

為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”；

(3)拓展提高：

如圖③，ABC為等邊三角形，點(diǎn)G為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是A3邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)。為GF延長線上的一點(diǎn)，

np

點(diǎn)E在線段GF上，AE1DG,且與“AGE互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”.若AB=6,4)=4,求一.

GE

【答案】(1)①27°；②?14

(2)見解析

⑶並

5

【分析】(1)①依據(jù)ABC和VADE互為''旋轉(zhuǎn)位似圖形”，可得依據(jù)相似三角形的對應(yīng)

角相等，即可得到ZBAE=180°-100°-28°-25°=27°；

AD

②依據(jù)△ABCs^ADE,可得一=一,根據(jù)AD=6,DE=1,AB=4,即可得出BC=：

DEAD3

(2)依據(jù).AO￡)s_3oc,即可得到需=鬻，進(jìn)而得到△AOBSAQOC,再根據(jù)NOC4=NEBA,

ZADC=ZAEB,即可得到△ABESA4CD,進(jìn)而得出AC。和亠相“互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”;

(3)利用直角三角形的性質(zhì)和勾股定理解答即可.

【詳解】(1)①；ABC和V4)E互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”，

-,^ABC^AADE,

.?.ZD=ZB=100°,

又二a=25。，ZC=ZE=28°,

/.ZBAE=180°-100°-25°-28°=27°；

②QVABCsVADE,

BCAB

DEAD

AD=6,DE=7,AB=4,

BC4

~T~6"

(2)ZDOA=ZCOBfZDAC=NDBC,

,DOA^COB,

AODOAOBO

——=——，即nn——=——，

BOCODOCO

又?.NDOC=ZAOB,

：.AAOB^ADOC,

：.ZDCA=ZEBA,

又?.ZADC=90°,AE1,BD,

:.ZADC=ZAEB=90。,

ABEs,ACD,

:"DAC=NEAB,

繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，AAE的度數(shù)后與△ADC構(gòu)成位似圖形,

.、ACD和，ABE互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”；

(3)「點(diǎn)G為A