第九章DIJIUZHANG

9平面解析幾何

第1節(jié)直線的方程

考綱要求1.在平面直角坐標系中，結(jié)合具體圖形，確定直線位置的幾何要素；2.理解直線

的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式；3.掌握確定直線位置的幾何要

素，掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.

、知識分類落實回扣知識?夯實基礎(chǔ)

知識梳理

1.直線的傾斜角

⑴定義：當(dāng)直線/與X軸相交時，我們?nèi)軸作為基準，尤軸正向與直線/向上方向之間所

成的角ɑ叫做直線/的傾斜角；

(2)規(guī)定：當(dāng)直線/與X軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為。；

(3)范圍：直線的傾斜角ɑ的取值范圍是［O,π).

2.直線的斜率

(1)定義：當(dāng)直線/的傾斜角αW1時，其傾斜角α的正切值tana叫做這條直線的斜率，斜率

通常用小寫字母女表示，即*=tanα.

(2)計算公式

①經(jīng)過兩點P(?,yι),P2(x2,刈)3#及)的直線的斜率Z=藍三￡.

②若直線的方向向量為α=(x,y)(x≠0),則直線的斜率《與

3.直線方程的五種形式

名稱幾何條件方程適用條件

斜截式縱截距、斜率y=kx+b

與X軸不垂直的直線

點斜式過一點、斜率y-yn=k(χ-χo)

VlX-X?

兩點式過兩點與兩坐標軸均不垂直的直線

yz-y?Xz-χ?

不過原點且與兩坐標軸均不

截距式縱、橫截距i+b=1

垂直的直線

1.直線的傾斜角α和斜率k之間的對應(yīng)關(guān)系:

Cπππ

a02<a<π

0<a<22

k0QO不存在k<0

2.截距和距離的不同之處

“截距”是直線與坐標軸交點的坐標值，它可正，可負，也可以是零，而“距離”是一個非

負數(shù).

診斷自測

?■思考辨析

1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“或“X”)

(1)直線的傾斜角越大，其斜率就越大.()

(2)直線的斜率為tana,則其傾斜角為a.()

(3)斜率相等的兩直線的傾斜角不一定相等.()

(4)經(jīng)過任意兩個不同的點Pι(χ∣,yι),P2(χ2,y2)的直線都可以用方程Cy-yι)(χ2—Xl)=(X-XI)Cy2

一%)表示?()

答案(1)×(2)×(3)×(4)√

解析(1)當(dāng)直線的傾斜角內(nèi)=135。，ct2=45。時，al>a2,但其對應(yīng)斜率由=—1,依=1,h

Vk?.

⑵當(dāng)直線斜率為tan(—45。)時，其傾斜角為135°.

(3)兩直線的斜率相等，則其傾斜角一定相等.

〉教材衍化

2.若過兩點&一風(fēng)6),8(1,3M的直線的斜率為12,則直線的方程為.

答案⑵一y—18=0

377?—6

解析由題意得丁一=12,解得小=-2,.?.4(2,6),

1-rm

直線AB的方程為y-6-12(χ-2),

整理得12X—y—18=0.

3.若方程Ar+gy+C=O表示與兩條坐標軸都相交的直線(不與坐標軸重合)，則應(yīng)滿足的條

件是.

答案AWO且8≠0

解析由題意知，直線斜率存在且斜率不為零，所以A≠0且B≠0.

>考題體驗

4.（2020?衡水模擬）直線x+√5y+l=0的傾斜角是（）

πC兀—2兀C5兀

aBc

A?6-3?Td-~6

答案D

解析由直線的方程得直線的斜率為k=一坐，設(shè)傾斜角為α,貝Utana=一坐，又α∈[0,

π),所以ɑ=^.

5.（2021?西安模擬）已知兩點A（T,2）,B（∕n,3）,且〃∈7[-號一1,√3~1J,則直線AB的傾

斜角α的取值范圍是（）

A「四吟R但2π^

AL6,2）B-<2,3J

「兀πλ（R2π^l「兀2π^∣

c?L6*2JulrτjD?位,yj

答案D

解析①當(dāng)，〃=-1時，a=]；

綜合①②知直線AB的傾斜角α的取值范圍是低，y.

6.（2021?合肥調(diào)研）過點（一3,4）,在X軸上的截距為負數(shù)，且在兩坐標軸上的截距之和為12

的直線方程為.

答案4χ-y+16=0

解析由題設(shè)知，橫、縱截距均不為0,設(shè)直線的方程為\+石匕=1,又直線過點（一3,4）,

從而W—3+l?4Σ=l'解得”=-4或。=9（舍）.故所求直線的方程為4x—y+16=0.

考點分層突破，考點聚焦?題型剖析

考點一直線的傾斜角與斜率典例遷移

【例1】（經(jīng)典母題）直線/過點P（LO）,且與以A（2,1）,B（0,√5）為端點的線段有公共點,

則直線I斜率的取值范圍為.

答案（一8,-y∣3>?U[1,÷∞）

解析法一設(shè)與P8的傾斜角分別為α,夕，直線山的斜率是心P=1,直線PB的斜率

是依戶=一小，當(dāng)直線/由BI變化到與y軸平行的位置PC時，它的傾斜角由α增至90。，

斜率的取值范圍為[1,+∞）.

當(dāng)直線/由PC變化到PB的位置時，它的傾斜角由90。增至夕，斜率的變化范圍是(-8,

-

故斜率的取值范圍是(一8,-√3]U[1,+∞).

法二設(shè)直線/的斜率為K則直線/的方程為

y=k(χ-1),即kχ-y-k=Q.

VA,8兩點在直線/的兩側(cè)或其中一點在直線/上，

Λ(2?-1-Λ)(-√3-?)≤0,

即(/一1)伙+小)》0,解得火或Jl≤-√5.

即直線/的斜率左的取值范圍是(一8,-√3]U[1,+∞).

【遷移】若將例1中P(l,0)改為尸(一1,0),其他條件不變，求直線/斜率的取值范圍.

解設(shè)直線/的斜率為K則直線/的方程為

y=k(x+1),即kχ-y+k=O.

VA,B兩點在直線/的兩側(cè)或其中一點在直線/上，

，(2k—1+?)(-*?∕3+Λ)≤0,

≡P(3?-l)(?-√3)≤0,解得:WkW√l

一]一

即直線/的斜率的取值范圍是E，√3.

感悟升華1.由直線傾斜角的取值范圍求斜率的取值范圍或由斜率的取值范圍求直線傾斜

角的取值范圍時，常借助正切函數(shù)y=tanx在[θ,f)u(j,π)上的單調(diào)性求解，這里特別要

注意，正切函數(shù)在0,號U停，Tt)上并不是單調(diào)的.

2.過一定點作直線與已知線段相交，求直線斜率取值范圍時，應(yīng)注意傾斜角為冷TT時，直線斜

率不存在.

【訓(xùn)練I】過函數(shù)y(χ)=5j-f圖象上一個動點作函數(shù)圖象的切線，則切線傾斜角的取值

范圍為()

A?[θ,?]

B.0,,U

(TI3π^l

πd?6Tj

答案B

解析??/(X)=X2—2x=0—I)2-1≥-1,

J斜率女=tan心一1,解得傾斜角0,I)U竽，π),故選B.

考點二直線方程的求法師生共研

【例2】⑴已知C的三個頂點分別為A(-3,0),8(2,1),C(-2,3).求BC邊上的中線

AD所在直線的方程.

(2)經(jīng)過點P(2,3),并且在兩坐標軸上截距相等；

⑶經(jīng)過兩條直線?x+y=29∕2:2χ-y=l的交點，且直線的一個方向向量。=(一3,2).

解(1)由題意得線段BC的中點D(0,2),可得BC邊上的中線AD所在直線的方程為M+]=

1,即2χ-3y+6=0.

(2)法一①當(dāng)截距為0時，直線/過點(0,0),(2,3),

則直線/的斜率為仁F3—=0去3

2—0Z

3

因此，直線/的方程為y=∣r,即3χ-2y=0.

②當(dāng)截距不為0時，可設(shè)直線/的方程為5+2=i?

23

因為直線/過點P(2,3),所以[+%=1,所以〃=5.

所以直線/的方程為x+y-5=0.

綜上可知，直線/的方程為3x—2y=0或x+y—5=0.

法二由題意可知所求直線斜率存在，

則可設(shè)y—3=Z(χ-2),且k≠0.

3

得%

令x=0,得y=-2k+3.令y=0,

33

于是一2Z+3=一兄+2,解得A=]或Z=-L

3

則直線/的方程為y—3=](χ-2)或?-3=—(X—2),

即直線/的方程為3x一2y=0或χ-?-y—5—0.

x+y=2,

(3)聯(lián)立J得x=l,y=l,

,2χ-y=l,

???直線過點(IJ)

二直線的方向向量o=(—3,2),

2

???直線的斜率％=一3

2

則直線的方程為廠1=一余L1),

即2x+3y-5=0.

感悟升華(1)求直線方程一般有以下兩種方法：

①直接法：由題意確定出直線方程的適當(dāng)形式，然后直接寫出其方程.

②待定系數(shù)法：先由直線滿足的條件設(shè)出直線方程，方程中含有待定的系數(shù)，再由題設(shè)條件

求出待定系數(shù)，即得所求直線方程.

(2)對于點斜式、截距式方程使用時要注意分類討論思想的運用(若采用點斜式，應(yīng)先考慮斜

率不存在的情況；若采用截距式，應(yīng)判斷截距是否為零).

【訓(xùn)練2】(1)已知點M是直線/：2χ-y-4=0與X軸的交點，將直線/繞點M按逆時針

方向旋轉(zhuǎn)45。，得到的直線方程是()

A.x+y—3=0B.x~3y~2=0

C.3x-),+6=0D.3x+y—6=0

(2)過點(2,1)且在無軸上截距與在＞?軸上截距之和為6的直線方程為.

答案(I)D(2)x+y-3=0或x+2y-4=0

解析⑴設(shè)直線/的傾斜角為α,則tanα=k=2,

2+1

直線/繞點M按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45。，所得直線的斜率A'=tan(α+450)=—-=-3,

1-Z^1

又點M(2,0),

所以y=—3(%—2),即3x+y-6=0.

⑵由題意可設(shè)直線方程為"A1.

a+b—6,

則“21解得”=∕>=3,或a=4,?=2.

~+τ=l,

lab

故所求直線方程為尤+y—3=0或x+2y-4=0.

考點三直線方程的綜合應(yīng)用師生共研

【例3】已知直線/：履一y+l+2A=0伙GR).

(1)證明：直線/過定點；

(2)若直線不經(jīng)過第四象限，求Z的取值范圍；

(3)若直線/交X軸負半軸于點4交y軸正半軸于點8,ZVlOB的面積為S(O為坐標原點),

求S的最小值并求此時直線/的方程.

⑴證明直線/的方程可化為k(x+2)+(l-y)=0,

x一+2尸=0。,，解得IX=-2,

y=i?

，無論我取何值，直線總經(jīng)過定點(-2,1).

解由方程知，當(dāng)左時，直線在軸上的截距為一r—,在軸上的截距為

(2)WoXKyl+2k,

?1+2憶

要使直線不經(jīng)過第四象限，則必須有，―k'―2,解得40;

.1+2JI>1,

當(dāng)Z=O時，直線為y=l,符合題意，故人的取值范圍是［0,+∞).

(3)解由題意可知kW0,再由/的方程，

得A(一0),B(0,l+2fc).

rι+2?

——；—<0,

依題意得Jk解得《>0.

.l+2fc>0,

'：S=^?OA??OB?^--∣1+2?∣

1(1+2無A?(1,?

=2?^r^=≡tt+l?+4J

≥^×(2×2+4)=4,

“=”成立的條件是Qo且必=；,即k=；,

K乙

???Smin=4,此時直線/的方程為χ-2y+4=0.

感悟升華1.含有參數(shù)的直線方程可看作直線系方程，這時要能夠整理成過定點的直線系，

能夠看出“動中有定”.若直線的方程為),=k(χ-l)+2,則直線過定點(1,2).

2.求解與直線方程有關(guān)的面積問題，應(yīng)根據(jù)直線方程求解相應(yīng)坐標或者相關(guān)長度，進而求

得多邊形面積.

3,求參數(shù)值或范圍.注意點在直線上，則點的坐標適合直線的方程，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性

或基本不等式求解.

【訓(xùn)練3】(1)已知ZGR,寫出以下動直線所過的定點坐標：

①若直線方程為y=H+3,則直線過定點；

②若直線方程為y=fcc+3A,則直線過定點；

③若直線方程為x=6+3,則直線過定點.

(2)(2021?武威模擬)若直線0x+6y=α6(α>0,匕>0)過點(1,1),則該直線在X軸、)，軸上的截

距之和的最小值為()

A.IB.4C.2D.8

答案(1)①(0,3)②(一3,0)③(3,0)(2)B

解析(1)①當(dāng)X=O時，y=3,所以直線過定點(0,3).

②直線方程可化為y=A(x+3),故直線過定點(-3,0).

③當(dāng)y=0時，x=3,所以直線過定點(3,0).

(2)；直線ax+by=ab(a>0,(>0)過點(1,1),

所以α+Q",∣+∣-1,因為直線在X軸的截距為6,在y軸上的截距為“，所以直線在X

軸、y軸上的截距之和為a+b,α+b=(α+M?+!)=2+2+注2+2'限=4,所以當(dāng)a

vɑUJClU?∣ClU

=匕=2時取最小值，最小值為4,故選B.

課后鞏固作業(yè)分層訓(xùn)練?提升能力

A級基礎(chǔ)鞏固

一、選擇題

1.如圖中的直線∕∣,/2，/3的斜率分別為心，h，ki,則(

A.k?<k2<k3B.k3<k↑<k2

C.k3<k2<k1D.k?<k3<k2

答案D

解析直線∕∣的傾斜角Ctl是鈍角,故?l<0,直線/2與&的傾斜角c<2與013均為銳角且Ct2>α3,

所以0<?3<?2,因此k—

2.(2021?安陽模擬)若平面內(nèi)三點A(l,-a),B(2,a2),C(3,03)共線,則α=()

2—^?∣5?

A.或OB.—或0

r2±√5

口.2

答案A

∩^?∩∩?,—∣-∩

解析由題意知心B=Mc,即2—]=3一]，即”(。2—2a—1)=0,解得α=0或a=l±√∑

3.如果A?β>O,8?C<0,那么直線Ar-By-C=O不經(jīng)過的象限是()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案D

解析因為直線在X軸、y軸上的截距分別為彳<0,-f>0,所以直線Ar-B)LC=O不經(jīng)過

的象限是第四象限.故選D.

4.（2020?成都診斷）過點（2,1）,且傾斜角比直線y=-x—l的傾斜角小:的直線方程是（）

A.x=2B.y=1C.x=lD.y=2

答案A

解析直線y=-x—1的傾斜角為芋，則所求直線的傾斜角為冬故所求直線斜率不存在，

又直線過點（2,1）,所以所求直線方程為x=2.

5.（2021?福建六校聯(lián)考）在同一平面直角坐標系中，直線/1：cιx+y+b=0和直線h：bx+y

+α=0有可能是（）

答案B

解析當(dāng)O>0時，一〃<0,-/X0,結(jié)合選項知B符合，其他均不符合.

6.已知直線/：M+），-2—。=0在X軸和y軸上的截距相等，則。的值是（）

A.1B.-1

C.一2或一1D.—2或1

答案D

解析令X=0,y=2+a,

.2+αLl-2+〃

令y=0,x=—~—,則2+。=~~一.

即（α+2）（α-1）=0,.9.a=-2或a=?.

7.直線2%cosa-廠3=θ（α∈的傾斜角的取值范圍是（）

「兀ππππππ2π

AI不

3B.4,3C.4,2D.4,3

答案B

解析直線2xcosa—y—3=0的斜率攵=2CoS

ππ

因為

因此￠=2CoSa∈[1,√3].

設(shè)直線的傾斜角為仇則有tan0∈[l,√3].

Γ71TT

又e∈[0,π）,所以J∈∣j,?j,

兀Tr

即傾斜角的取值范圍是不5.

8.(2021?安陽模擬)已知點A(l,3),B(-2,-1).若直線/：y=k(,x-2)+1與線段4B恒相交,

則上的取值范圍是()

A.嗎B.?≤-2

C.A:2/或無W-2D.-2≤?≤∣

答案D

解析直線/：y=k(χ-2)+l經(jīng)過定點P(2,l),

3-1-1-11

?kpΛ~γz^~~2,kpB—_2_2~2,

又直線/：y=-χ-2)+l與線段AB恒相交，

二-2≤?≤∣.

二、填空題

9.把直線χ-y+√5f=0繞點(1,小)逆時針旋轉(zhuǎn)15。后，所得直線/的方程是.

答案y->βχ

解析已知直線的斜率為1,則其傾斜角為45。，繞點逆時針旋轉(zhuǎn)15。后，得到的直線/的傾

斜角。=45。+15。=60。，直線/的斜率為tanα=tan6(Γ=√5,直線/的方程為y-√5=√5

(X—1),即y=小乂

10.(2020.沈陽模擬)過點(1,且在兩坐標軸上的截距互為倒數(shù)的直線方程為.

答案x+4y-2=0

解析因為兩坐標軸上的截距互為倒數(shù)，所以截距不為零，

可設(shè)直線方程為5+即=1,

因為、+即=1過點°，")，

所以H=I,解得4=2,

所以，所求直線方程為5+2y=l,化為x+4y-2=0.

11.(2021?廣州質(zhì)檢)若直線/與直線y=l,x=7分別交于點P,Q,且線段P。的中點坐標

為(1,-1),則直線/的斜率為.

套案―?

口滎3

解析依題意，設(shè)點尸3,1),2(7,份，

。+7=2,ftz=-5,

則有一—、解得」?

?+1=—2,[b=-3,

從而可知直線/的斜率為葺U=-/

12.在平面直角坐標系xθy中，經(jīng)過點尸(1,1)的直線/與X軸交于點A,與y軸交于點8.若兩

=—2而，則直線/的方程是.

答案x+2>-3=0

解析設(shè)A("0),8(0,b),由麗=一2而，可得α-1=-2X(0-l),0—1=-2S-1),則

α=3,6=點由截距式可得直線/的方程為5+1=1,即x+2y—3=0.

2

B級能力提升

13.(2020?東北三省三校調(diào)研)設(shè)尸為曲線C：y=Λ2+2r+3上的點，且曲線C在點P處的

切線傾斜角的取值范圍為[o,牛則點P橫坐標的取值范圍為()

A[-1,B.[-1,0]

「1^l

C.[0,1]D.叵1

答案A

解析由題意知，y'=2x+2,

設(shè)P(M,州)，則在點尸處的切線的斜率k=2x?+2.

因為曲線C在點P處的切線傾斜角的取值范圍為[o,則OWZWl,即OW2xo+2Wl,

故一1WXoW一2.

14.己知A,B是X軸上的不同兩點，點P的橫坐標為2,且∣∕?∣=∣PB∣,若直線心的方程

為X—y+l=O,則直線PB的方程是()

A.2x+y~7=0B.x+y-5=0

C.2y-χ~4=0D.2χ-y-1=O

答案B

解析因為點P的橫坐標為2,且點P在直線χ-y+l=O上，所以點P的縱坐標為3,所

以尸(2,3).又因為∣∕?∣=∣PB∣,所以直線∕?,PB的斜率互為相反數(shù)，所以直線PB的斜率為

-1,則直線PB的方程是y-3=—(χ-2),即x+y-5=0.故選B.

15.已知直線∕∣:aχ-2y-2a~4,/2：2Λ÷α2γ=2cr÷4>當(dāng)0<〃<2時，直線∕∣,/2與兩坐標

軸圍成一個四邊形，當(dāng)四邊形的面積最小時，則α=.

答案I

2

解析由題意知直線∕l,/2恒過定點P(2,2),直線∕∣的縱截距為2—a,直線/2的橫截距為a

+*又0<α<2,

+2,

所以當(dāng)時，面積最小.

16.在aABC中，NAC8=90。，BC=3,AC=4,P是線段AB上的點，則P至IJAC,BC的

距離的乘積的最大值為.

答案3

解析以C為坐標原點，CB所在直線為X軸建立直角坐標系(如圖所示)，則A(0,4),B(3,0),

直線AB的方程為:+g=l.

設(shè)P(x,y)(0WxW3),所以P到AC,8C的距離的乘積為研因為科江2

當(dāng)且僅當(dāng)尹AT時取等號，所以孫≤3,

所以D的最大值為3.

第2節(jié)兩直線的位置關(guān)系

考綱要求1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直；2.能用解方程組的方法求

兩條相交直線的交點坐標；3.掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行

直線間的距離.

知識分類落實回扣知識?夯實基礎(chǔ)

知識梳理

1.兩條直線平行與垂直的判定

(1)兩條直線平行

對于兩條不重合的直線/1，/2,其斜率分別為如法則有/|〃/2=也三拉特別地，當(dāng)直線億

Il的斜率都不存在時，∕l與/2平行.

(2)兩條直線垂直

如果兩條直線∕∣,/2斜率都存在，設(shè)為左，k2,則Koh座=-1,當(dāng)一條直線斜率為零,

另一條直線斜率不存在時，兩條直線垂直.

2.兩直線相交

直線∕∣:A∣x+5y+G=O和/2：A2X+B2y+C2=0的公共點的坐標與方程組

AX+B∣y+G=0,

的解一一對應(yīng).

.A2x+B2y+C2=O

相交o方程組有唯一解,交點坐標就是方程組的解；

平行O方程組無解;

重合臺方程組有無數(shù)個解.

3.距離公式

(1)兩點間的距離公式

平面上任意兩點PI(X1，y∣)>P2(x2>竺)間的距離公式為IPIP2l=Λ∕(X2—汨)2+&2-

特別地，原點O(0,0)與任一點P(x,y)的距離IoPI=Vr2+與.

(2)點到直線的距離公式

IAro+gyp+C∣

平面上任意一點PO(X0,州)到直線/：Ar+出+C=O的距離d=

√Λ2+B2

(3)兩條平行線間的距離公式

一般地，兩條平行直線∕ι:AΛ+B}+C∣=O,/2：Ar+By+C2=O間的距離"=手"；L

4.對稱問題

⑴點P(X0,州)關(guān)于點A(4,6)的對稱點為P'(2a-xo.2Z>—y<1)?

⑵設(shè)點P(X0,州)關(guān)于直線y=丘+b的對稱點為P'(x'，y'),則有

yyo.,

-.........-k--?,

X-XO

可求出x',y'.

y'+)'()x'+Λ?

2=k-?2Vb,

?----常用結(jié)論與微點提醒

1.兩直線平行的充要條件

直線∕ι:4x+Bιy+C∣=0與直線/2：42x+B2y+C2=O平行的充要條件是-AzBi=O且

SC2-&GW0(或A1C2-A2C∣≠O).

2.兩直線垂直的充要條件

直線/1：AIx+8ιy+C∣=0與直線￡：A2x+B2y+C2=O垂直的充要條件是A1A2+B∣82=O.

3.點到直線、兩平行線間的距離公式的使用條件

(1)求點到直線的距離時，應(yīng)先化直線方程為一般式.

(2)求兩平行線之間的距離時，應(yīng)先將方程化為一般式且X,y的系數(shù)對應(yīng)相等.

診斷自測

〉思考辨析

1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“或“X”)

(1)當(dāng)直線/l和/2的斜率都存在時，一定有由=42今/|〃/2.()

(2)如果兩條直線/1與/2垂直，則它們的斜率之積一定等于-1.()

(3)若兩直線的方程組成的方程組有唯一解，則兩直線相交.()

(4)直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距離.()

答案(1)×(2)×(3)√(4)√

解析(1)兩直線/1,，2有可能重合.

(2)如果1JJ2,若/l的斜率h=0,則，2的斜率不存在.

〉教材衍化

2.兩條平行直線3x+4y—12=0與4x+8y+11=0之間的距離為()

A.yB.γ∣C.7D.1

答案D

解析由題意知”=6,直線3x+4y-12=0可化為6x+8y-24=0,所以兩平行直線之間的

111+24∣7

距離為

√36+64^2?

3.若三條直線y=2x,x+y=3,∕wx+2y+5=0相交于同一點，則，*的值為

答案一9

y=2x,

解析由得

.χ+y=3,

/.點(1,2)滿足方程mx+2y+5=0,

即％X1+2X2+5=O,；.〃1=-9.

?■考題體驗

4.(2021?銀川聯(lián)考)若直線4x+4y-2=0與直線2x—5y+匕=O垂直，垂足為(1,c),則4+%

+c=()

A.一2B.—4C.-6D.-8

答案B

解析：直線0x+4y-2=0與直線2χ-5y+6=0垂直，：.一點X∣=-l,

.?.4=10,直線Or+4y—2=0的方程即為5x+2y-1=0.

將點(1,C)的坐標代入上式可得5+2C-I=0,

解得c=-2.

將點(1,一2)的坐標代入方程2%—5)，+6=0得2—5乂(-2)+6=0,解得6=-12.

.?.n+〃+c=10-12-2=-4.故選B.

5.(2020?淮南二模)設(shè)2CR,則“2=—3”是“直線2Λx+(7—1))，=I與直線6x+(l-√)y=4

平行”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

答案A

解析當(dāng)％=—3時，兩條直線的方程分別為6x+4y+l=0,3x+2y-2=0,此時兩條直線平

行；若兩條直線平行，則22X(1一力=-6(1—力，所以2=-3或2=1,經(jīng)檢驗，兩者均符

合，綜上，"a=—3"是"直線2λr+(7-l)y=l與直線6x+(l—2)y=4平行”的充分不必

要條件，故選A.

4

6.(2019?江蘇卷)在平面直角坐標系XO)，中，P是曲線y=x+1(x>O)上的一個動點，則點P

到直線x+y=O的距離的最小值是.

答案4

解析法一由題意可設(shè)尸(xo,M)+(?(XO>0),

44/4

xo+xo+72JC0+-2?2X0--

則點P到直線x+y=O的距離d=-√2^°√2=41當(dāng)且僅當(dāng)2λ°=

r-

\4即XO=也時取等號.

-?o

故所求最小值是4.

法二設(shè)P(X0,(+Xo)(XO>0),則曲線在點尸處的切線的斜率為A=L去令一6=—1，結(jié)

合xo>O得XO=啦，."(啦，3√2),曲線y=x+:(x>O)上的點P到直線x+y=O的最短距離

故…嗎普4

即為此時點P到直線x+y=O的距離,

考點分層突破考點聚焦?題型剖析

考點一兩直線的平行與垂直師生共研

【例1】已知直線∕κ“x+2y+6=0和直線'x+(α-^Dy+序-1=0.

(1)試判斷八與/2是否平行；

(2)當(dāng)/I_L/2時，求α的值.

解(1)法一當(dāng)a=l時，/1：x÷2y+6=0,/2：X=0,/1不平行于/2;

當(dāng)α=0時，∕∣:y=-3,/2：χ-y-1=0,/1不平行于/2;

當(dāng)α≠l且α≠0時，兩直線方程可化為∕∣:y=-^χ-3,

/2：y=yτ~r-(?+1)>

a_1

5=^Γ7?

l?∕∕l2^>?

l-3≠-(α+l),

解得a=-1,綜上可知，當(dāng)a=-1時，I1//12.

法二由AIB2—AzBi=O,得a(a—1)一1×2=0,

a(a-l)-l×2=0,

由AiC-ΛC∣≠0,得a(a2-1)-l×6≠0,二/1〃/20《，0

22a(a2-l)-l×6≠0

a2—a—2=0,

可得a=一

a(a2-l)≠6,

故當(dāng)。=一1時，l↑//I2.

(2)法一當(dāng)a=l時，∕∣:x+2y+6=0,∕2：X=0,

/1與/2不垂直，故”=1不成立；

當(dāng)a=0時，∕ι:y=-3,∕2:x—y—1=0,∕ι不垂直于自故a=0不成立;

當(dāng)a≠i且a≠0時，

/?:y-—^χ~3,/2：y=]_/_(〃+1),

由(一9?±=f得

2

法二由A1A2+B山2=0,得a+2(a—1)=0,可得a=g.

感悟升華1.當(dāng)含參數(shù)的直線方程為一般式時，若要表示出直線的斜率，不僅要考慮到斜率

存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時還要注意X,)，的系數(shù)不能同時

為零這一隱含條件.

2.在判斷兩直線的平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.

【訓(xùn)I練1](1)(2020?寧波期中)經(jīng)過拋物線V=2χ的焦點且平行于直線3χ-2y+5=0的直

線/的方程是()

A.6χ-4γ-3=0B.3χ-2y—3=0

C.2x+3y—2=0D.2x+3y—1=0

(2)已知P(—2,m)，Q(m,4),且直線PQ垂直于直線x+y+1=0,則加=.

答案(I)A(2)1

解析⑴因為拋物線γ2=2x的焦點坐標為(},0),直線3χ-2y+5=0的斜率為點所以所

求直線/的方程為)=茅一號，化為一般式，得6Λ—4y-3=0.

m—4

(2)由題意知---=1,所以加一4=—2—m，所以機=1.

-λ~m

考點二兩直線的交點與距離問題師生共研

【例2】(1)(2020?淮南模擬)已知直線入一y+2A+l=0與直線2x+y-2=0的交點在第一

象限，則實數(shù)%的取值范圍為()

(2)(2021?廣州模擬)已知點P(4,α)到直線4L3廠1=0的距離不大于3,則a的取值范圍是

答案(I)D⑵[0,10]

fcv-y+2?+l=0,

解析(1)聯(lián)立

2x+y-2=0,

I-2A2+6*

解得X=2+&'尸2+∕~2)?

：直線kx~y+2k+1=0與直線2x+y-2=0的交點在第一象限,

.?-2k-2+6A

??2+k>°'且2+k>0?

解得一鏟k<,故選D.

(2)由題意得，點尸到直線的距離為.X4―；Xa_H=吟冽

又115,34^3,gp∣i5-3a∣≤15,解之得OWa≤10,

所以a的取值范圍是［0,10］?

感悟升華1.求過兩直線交點的直線方程的方法

求過兩直線交點的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點坐標，再結(jié)合其他條件寫出直線

方程.

2.利用距離公式應(yīng)注意：(I)點P(M),泗)到直線x=α的距離d=∣x<)-“I,到直線y=b的距

離d=?y0-b?-,(2)應(yīng)用兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中X,y的系數(shù)分別化為對應(yīng)相

等.

√5

【訓(xùn)練2】(1)(2021?貴陽診斷)與直線2x+y—1=0的距離等于竽的直線方程為()

A.2x+y=0

B.Zr+y—2=0

C.2x+y=0或2x+y-2=0

D.2x+y=0或2x+y+2=0

(2)求經(jīng)過直線∕∣:3x+2y-l=0和/2：5x+2y+1=0的交點，且垂直于直線A：3x—5y+6

=0的直線/的方程為.

答案(I)C⑵5x+3廠1=0

解析(1)設(shè)與直線2x+y—1=0的距離等于坐的直線方程為2x+y+機=0(∕n≠—1),

.?.?==^,解得，"=O或加=-2.

√22+l25

√5.

與直線2x+y—1=0的距離等于§的直線方1程為2r+y=0或2x+y—2=0.

3x+2y-l=0,

(2)先解方程組

5x÷2y÷l=0,

得/1,/2的交點坐標為(一1,2),

再由/3的斜率］3求出/的斜率為一15,

于是由直線的點斜式方程求出h

y-2=-∣(x+l),即5x+3y-l=0.

考點三對稱問題多維探究

角度1點關(guān)于點對稱

【例3】過點P(O,1)作直線/,使它被直線62%+y—8=0和/2：X—3y+10=0截得的線

段被點P平分，則直線/的方程為.

答案x+4廠4=0

解析設(shè)/1與/的交點為A(a,8—2a),則由題意知，點A關(guān)于點P的對稱點8(—α,2a—6)在

/2上，代入/2的方程得一。一3(2°—6)+10=0,解得。=4,即點A(4,0)在直線/上，所以直

線1的方程為x+4y-4=0.

感悟升華L點關(guān)于點的對稱：點P(χ,y)關(guān)于M(a,力對稱的點P'(x',y')滿足

x'=2a-x,

y'=2b-y.

2.直線關(guān)于點的對稱：直線關(guān)于點的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點的對稱問題來解決，也可考慮

利用兩條對稱直線是相互平行的，并利用對稱中心到兩條直線的距離相等求解.

角度2點關(guān)于線對稱

【例4】一束光線經(jīng)過點P(2,3)射在直線/：x+y+l=0上，反射后經(jīng)過點Q(l,l),則入

射光線所在直線的方程為.

答案5x—4y+2=0

解析設(shè)點關(guān)于直線I的對稱點為Q1(x',y'),由已知得

即Q'(—2,-2),由光學(xué)知識可知，點Q'在入射光線所在的直線上，又依Q=2_；_2/

5

4,

入射光線所在直線的方程為y一3=永χ-2),即5χ-4y+2=0.

感悟升華1.若點44，b)與點、B(Jn,〃)關(guān)于直線Ar+By+C=0(AW0,BWo)對稱，則直線

n-b(A?

a+m,b+n,

{A?-2-^+B?^-+C=0.

2.幾個常用結(jié)論

(l)Λ(x,y)關(guān)于無軸的對稱點為(x,-y)9關(guān)于y軸的對稱點為(—x,y).

(2)點α,y)關(guān)于直線y=x的對稱點為(?,x),關(guān)于直線y=-x的對稱點為(一y,—x).

(3)點(尢，y)關(guān)于直線X=〃的對稱點為(2〃一］，y)9關(guān)于直線y=Z?的對稱點為(x,2〃-y).

角度3線關(guān)于線對稱

【例5】(1)(2021?成都診斷)與直線3χ-4y+5=0關(guān)于X軸對稱的直線的方程是()

A.3χ-4y+5=0B.3χ-4y—5=0

C.3%+4γ-5=0D.3x+4y+5=0

(2)直線2χ-y+3=0關(guān)于直線x-y+2=0對稱的直線方程是.

答案(I)D(2)x—2y+3=0

解析(1)設(shè)所求直線上點的坐標(x,y),則關(guān)于X軸的對稱點(X,—y)在已知的直線3尤一4y

+5=0上，所以所求對稱直線方程為3x+4y+5=0,故選D.

(2)設(shè)所求直線上任意一點P{x,y),

則P關(guān)于Ly+2=0的對稱點為P'(?o,州)，

空—守+2=0,

xo=y-2,

由得.

.yo=x+2,

Λ-A?--Cv-?o）.

由點P'(沖，泗)在直線2x—y+3=0上，

2(y—2)—(x+2)+3=0,即X—2y+3=0.

感悟升華求直線∣l關(guān)于直線/對稱的直線/2有兩種處理方法：

(1)在直線∕∣上取兩點(一般取特殊點)，利用點關(guān)于直線的對稱的方法求出這兩點關(guān)于直線/

的對稱點，再用兩點式寫出直線/2的方程.

(2)設(shè)點P(x,y)是直線C上任意一點,其關(guān)于直線/的對稱點為PI(X1,yt)(P∣在直線/i上),

根據(jù)點關(guān)于直線對稱建立方程組，用X,y表示出.，y∣,再代入直線∕∣的方程，即得直線

/2的方程.

【訓(xùn)練3】已知直線/：2χ-3y+l=0,點A(-l,-2).求:

(1)點A關(guān)于直線/的對稱點A'的坐標；

(2)直線機：3x—2>-6=0關(guān)于直線/的對稱直線機'的方程；

(3)直線/關(guān)于點A對稱的直線/'的方程.

fv+22

x+?3l,

解（1）設(shè)A'（x,>?）則〈