2023-2024學年安徽省宣城市高一上冊期末數(shù)學試題

一、單選題

1.已知集合A={-1,0,1},集合8={1,2},則集合Au8=()

A.{1}B.{1,2}C.{-1,0,1}D.{-1,0,1,2)

【正確答案】D

【分析】直接利用并集的定義運算.

【詳解】集合A={-1,0,1},B={1,2},則集合Au8=1,2}.

故選：D

2.已知扇形的半徑為2,圓心角為45,則扇形的弧長是()

兀7C

A.45B.-C.-D.90

42

【正確答案】C

【分析】由弧長公式求解即可.

【詳解】因為圓心角的弧度數(shù)為所以扇形的弧長是?x2=1.

442

故選：C

3.己知函數(shù)/(2'+l)=log3X,則〃9)=()

A.-2B.-1C.1D.2

【正確答案】C

【分析】取x=3結合對數(shù)和指數(shù)的運算求解即可.

【詳解】取x=3得出/(23+l)=〃9)=log33=l.

故選：C

4.設4>0,則函數(shù)y=|X(x-q)的圖象的大致形狀是()

【正確答案】B

【分析】確定分段函數(shù)的解析式，與x軸的交點坐標為(a,0),(0,0),及對稱性即可得

到結論.

【詳解】函數(shù)y=|x|(x-a),Va>0,

[-x(x-a),x<0

當xNO,函數(shù)y=x(x-a)的圖象為開口向上的拋物線的一部分，與x軸的交點坐標為(0,

0),(a,0)

當x<0時，圖象為y=-x(x-a)的圖象為開口先向下的拋物線的一部分.

故選B.

本題考查分段函數(shù)，考查函數(shù)的化簡，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想，屬于中檔題.

5.下列選項中，能使“。>〃’成立的一個必要不充分條件是()

A.a2>b2B.?>|/?|

C.a>b+2D.a>h-2

【正確答案】D

【分析】欲求成立的必要而不充分的條件，即選擇一個能推出的選項，但不能推

出a>6,對選項逐一分析即可

【詳解】a=l>匕=-2不能推出/>〃，故選項A不是。的必要條件，不滿足題意；A

不正確；

a=l>6=_2不能推出。>同，故選項B不是的必要條件，不滿足題意；B不正確；

a=l>6=-l不能推出a>〃+2,故選項C不是a>厶的必要條件，不滿足題意；C不正確；

”>萬能推出a>b-2,但。>6-2不能推出。>6,。>6-2是。>6的一個必要不充分條件，

滿足題意，D選項正確.

故選：D.

InyP

6.方程-----+1=0的根所在的區(qū)間是()(參考數(shù)據1。2。0.69,ln3?1.10)

XX

A.(1,2)B.(2,e)C.(e,3)D.(3,4)

【正確答案】B

【分析】由g-￡+1=0可得x+lnx-e=O,利用零點存在定理可得出結論.

XX

Inre

【詳解】對于方程屮-￡+1=0,有x>0,可得x+lnx-e=0,

xx

令/(x)=x+lnx-e,其中x>0,

因為函數(shù)'=*-6、y=lnx在(0,+8)上為增函數(shù)，故函數(shù)/(x)在(0,y)上為增函數(shù)，

因為〃l)=l-e<0,/(2)=2+ln2-e<0,/(e)=l>0,

由零點存在定理可知，函數(shù)/(X)的零點在區(qū)間(2,e)內.

故選：B.

7.已知/(*)=《2“一1)*：34"<1是定義在R上的減函數(shù)，則0的取值范圍是()

[\ogax,x>l

A-H)B.(0曰C.鬪D./

【正確答案】D

【分析】分段函數(shù)為減函數(shù)需滿足三個條件，一是上支為減函數(shù)，二是下支為減函數(shù)，三是

下支的最大值小于或等于上支的下界，列不等式組即可解得.

【詳解】要使函數(shù)/(力=產-1)：：3。，》<1在R上為減函數(shù)，

\ogax,x>\

2a-l<0

需滿足2a-l+3a>log?l,解得

0<a<l'

故選：D.

8.已知函數(shù)/(x)=2Gsinr+acosx圖象的一條對稱軸為x=(,/(xl)+/(x2)=0,且函數(shù)

“可在區(qū)間伝,馬)上具有單調性，則歸+目的最小值是()

A.工B.工C.*D.二

6363

【正確答案】B

【分析】根據輔助角公式得出〃x)=2僞im:+acosx=VE/sin(x+9),即可根據對稱軸

列式得出。的值，即可得出〃x)=4sin(x+?J,根據已知得出(xj(xJ)與(々，〃切)關于

1T

對稱中心對稱，即可列式得出內+*2=24萬-彳水€2,即可得出答案.

【詳解】f(x)=2gsinx+acosx=Jl2+/sin(x+6),其中tan0=,

函數(shù)/(x)圖象的一條對稱軸為X=y,

則/"0=2"siny4-aCOSy=±71277,解得：。=2,

則朮2+a2=4>tan。=與,即。=看，

故〃x)=4sin[x+V),

/(芭)+/5)=0,且函數(shù)〃x)在區(qū)間(步①)上具有單調性，

(西，/(內))與(々，/(%))關于對稱中心對稱,

471

.-+6+%+6=",厶wz，解得芭+々=2&萬一爭％eZ,

則％=0時，ki+x2L,?],

故選：B.

二、多選題

9.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在(兀,2勸上單調遞增的是()

A.f(x)-cosxB./(x)=x3

C.〃x)=3*D./(x)=lg|x|

【正確答案】AD

【分析】根據基本初等函數(shù)的單調性、奇偶性檢驗各選項即可判斷.

【詳解】函數(shù)〃x)=co屮是偶函數(shù)，在(兀,2兀)上單調遞增，A選項正確;

函數(shù)f(x)=V是奇函數(shù)，B選項錯誤；

函數(shù)/(x)=3*非奇非偶，C選項錯誤；

函數(shù)/(x)=lg|H是偶函數(shù)，在(兀,2可上單調遞增，D選項正確；

故選：AD.

10.已知〃,b,ceR,則下列結論正確的是()

A.若a>b>0,則丄

ab

B.若ac?>be?,則aV，

C.若。>0/>0,2“+3a=2"+4b,則

D.若a>Z?>0,則〃+!</?+丄

ba

【正確答案】AC

【分析】對A,直接作差比較即可證明，對B,首先得。2>0,再根據不等式性質即可判斷,

對C,首先放縮得2"+3〃>28+3。，構造函數(shù)f3=2*+3x即可判斷C,對D,舉反例即可.

【詳解】對A,---=^—,?>Z?>0,:.ab>0,b-a<0,

abab

.?.?<0,即丄-：<o,即丄故A正確，

ababab

對B,若a/〉加2,則<?>0,則a>b,故B錯誤，

對C,若2"+3a=2"+46=2%+3b+b,若a>0,b>0,則2"+3a>2〃+3。，

函數(shù)/(x)=2，+3x,根據增函數(shù)加增函數(shù)為增函數(shù)的結論得/(x)在R上單調遞增，

.f(a)>f(b),則”>6,故C正確，

對D,若a=2,6=1,則a+丄=2+丄=*,Z>+—=1+—=—,貝ija+丄>。+丄，故D錯誤，

b22a22ba

故選：AC.

21

IL已知以==18%,c=log43,d=logsd，則下列大小關系正確的是()

A.a>bB.a>dC.c<dD.b<c

【正確答案】ABC

【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質確定各數(shù)的范圍，再進行比較即可

2||

【詳解】33=8在>18%>1，所以

34

51og43=log4243,3=log464<log4243<log4256=4,3<51og43<4,

4

510g54=logs1024,4=log5625<log51024<log53125=5,4<51og54<5,1<J<1；

4

所以

故選：ABC

1,x>0

12.已知符號函數(shù)sgn(x)=,O,x=0,則下列說法正確的是()

—1,x<0

A.函數(shù)y=sgn(x)的圖象關于y軸對稱

B.對任意xeR.sgn(e")=l

C.對任意的xeR，W=rsgn(-x)

D.函數(shù)y=xsgn(-lnx)的值域為{y|y<-l或04y<1}

【正確答案】BCD

【分析】舉反例判斷A；由e*>0判斷B；討論x<0、x=0、x>0三種情況，確定

y=fsgn(-x)的解析式，從而判斷C；由-Inr的范圍得出其值域.

【詳解】對于A,若丫=$811(刈的圖象關于)，軸對稱，則〉=$811(同為偶函數(shù)，應該滿足

sgn(-l)=sgn⑴，但sgn(-1)=一l,sgn⑴=1,即sgn(-l)xsgn⑴，故A錯誤；

對于B,因為e*>0,所以對任意xeR,sgn(e')=1,故B正確；

對于C,當x<0時，sgn(-x)=l；當x=0時，sgn(-x)=0；

-x,x<0

當x>0時，sgn(-x)=-l,即一xsgn(-%)=<0,x=0,=>-xsgn(-x)=|x|,故C正確;

x,x>0

對于D,當xe(0,l)時，-lnx>0,y=ASgn(-lnx)=xw(O,l)；

當x=l時，-lnx=0,y=ASgn(-lnY)=0；

當XE(1,+OO)時，-lnx<0,y=ASgn(-Inx)=-xe(^o,-1),

即函數(shù)y=xsgn(Tm)的值域為{yly<-l或0<y<l},故D正確；

故選：BCD

三、填空題

13.命題3>0,2*<x+]“的否定是.

【正確答案】“Vr>0,2*Nx+l”

【分析】存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.

【詳解】命題“3%>0,2,<x+1”的否定是“Vx>022x+1”。

故Vx>0,2*2x+l

14.已知函數(shù)/3=(裙一2根-2b3"+3是鼎函數(shù)，且在(0,+8)上單調遞增，則實數(shù)

【正確答案】-1或3

【分析】由題意利用事函數(shù)的定義和性質，求得機的值.

【詳解】函數(shù)/(x)=(>-2"-2卜"""3是事函數(shù)，且在(0,+8)上單調遞增,

m~-2m-2=\亠

則有，2，解得機=3或m=一1.

m+〃z+3>0

故-1或3

15.已知角a的終邊經過點尸(x,2),且cosa=-g,則實數(shù)x=

【正確答案】-三Q

【分析】由三角函數(shù)的定義得出x.

x4

【詳解】由三角函數(shù)的定義可得cos”—二-歹則x<°'整理得9/=64'解得

8

X-——

3

砧

故-§8

16./(X)是定義在R上的奇函數(shù)，當x<0時，f(x)=4x+g-3a+5,若/(x)—a+2N0對

一切x20成立，則實數(shù)〃的取值范圍是

【正確答案】-p2

【分析】由奇偶性得出xWO的解析式，當x=0時，得出“42,當x>0時，令

g(x)=4x+g(x>0),求出其最小值，得出實數(shù)”的取值范圍.

【詳解】y=/(x)為定義在R上的奇函數(shù)，二/⑼二。,

當x=0時，/(O)—Q+220對一切工=0成立，得出QW2.

當x>0,-x<0J(-x)=-4x--3〃+5=-f(x),

x

/(工)=4工+丄+3。-520-2對一切1>0成立，

即4x+丄2—2〃+3對一切x>0成立，

x

令g(x)=4x+$x>0),由對勾函數(shù)的單調性知：g(x)在(0，；)上單調遞減，在(；，+，(上

單調遞增，

即g(x)mm=g(g)=4，故42-2a+3,a2-g.

綜上，“e一于2

故答案為：-［，2.

四、解答題

17.(1)計算：3喝4+27$+lg5+lg20；

71“亠2sina+cosa…上

(2)若tan—+a=3,求-------；—的值.

2cosa-sina

【正確答案】⑴%(2)1

【分析】利用指數(shù)對數(shù)的運算性質化簡即可得到結果;

首先對匕川,+aJ=3化簡求出tana,再將2sina+cosa利用齊次式分子分母同時除以

cosa-sina

cosa,將tana的值代入即可求得.

【詳解】(1)原式=4+3"3+坨100=4+3+2=9；

所以tana=--

3

18.已知集合A={x|Iog5(x+1)K1},8=Wx2-(a\)2x+2a(^a2+1)<o1.

⑴若a=2,求AuB；

(2)若Ac8=0,求實數(shù)”的取值范圍.

【正確答案】⑴

(2){ala=1或2}

【分析】(1)由對數(shù)的運算性質及對數(shù)函數(shù)的性質計算出集合A,再將a=2代入集合8中，

解出集合8,再由并集的定義即可求得AuB.

(2)由(1)求得集合A,再對集合B化簡，由題意知Ac3=0,則對集合B中的。分類討論

即可求得滿足條件的實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】(1)若a=2,則3={削/-9》+20<0}={》|4<彳<5},A={x|-l<x<4},

則Au8={dT<x<5}

(2)B=卜|(x-2a)[x-(“2+川<o}={x[2a<x<a2+ij,

當8=0時，2a=a2+i,即a=l,Ac8=0,符合題意；

當3x0時，即awl,若Ac3=0,貝！]2aN4或/+14一1,^a>2

綜上，實數(shù)。的取值范圍為伍I。=1或422}

19.已知函數(shù)f(x)=Gcos(2x-1)-sin2x.

jrSjr

⑴求函數(shù)f(x)在上的單調遞增區(qū)間；

(2)若/(￡|=g,求cos(2￡_?的值.

【正確答案】⑴和

o12JL"6

【分析】(1)利用三角恒等變換化簡函數(shù)解析式為f(x)=sin(2x+如，由xe苧可求

得2x+1的取值范圍，結合正弦型函數(shù)的單調性可求得函數(shù)/(x)在上的單調遞增

區(qū)間；

(2)由已知可得出sin[,+：)=；,利用誘導公式結合二倍角的余弦公式可求得

COSQY)的直

【詳解】（1）解：由題意得

—cos2x+-sin2x-sin2x=—cos2x+-sin2x=sin(2x+0

/(x)=

2222I3

因為xe,所以2x+1e[0,2兀],

_66J3

令解得—^4x4^,

32o12

令當42》+弓42兀，解得準x冷,

2312o

所以函數(shù)/a）在「J,當上的單調遞增區(qū)間為曰和得￥

L66」1612J|_126

（2）解：由（1）知/（f）=sin（夕+今）=：.

20.宣城市旅游資源豐富，知名景區(qū)眾多，如宣州區(qū)的敬亭山風景區(qū)、績溪縣的龍川景區(qū)、

旌德縣的江村景區(qū)、寧國市的青龍灣景區(qū)、廣德市的太極洞景區(qū)、郎溪縣的觀天下景區(qū)、涇縣

的查濟景區(qū)等等.近年來的新冠疫情對旅游業(yè)影響很大，但隨著防疫政策優(yōu)化，旅游業(yè)將迎

來復蘇.某旅游開發(fā)公司計劃2023年在某地質大峽谷開發(fā)新的游玩項目，全年需投入固定成

本300萬元，若該項目在2023年有游客x萬人，則需另投入成本R（x）萬元，且

25,0<%,5

R（x）=，V+20x700,5<%,20,該游玩項目的每張門票售價為100元.為吸引游客，該

61XH---------565,x>20

.%

公司實行門票五折優(yōu)惠活動.當?shù)卣疄楣膭钇髽I(yè)更好發(fā)展，每年給該游玩項目財政補貼10x

萬元.

（1）求2023年該項目的利潤W（x）（萬元）關于人數(shù)x（萬人）的函數(shù)關系式（利潤=收入-

成本）；

（2）當2023年的游客人數(shù)為多少時，該項目所獲利潤最大？最大利潤是多少？

60x-325,0<x<5

【正確答案】（l）W（x）=—x~+40x—200,5<xK20

900…“

—x----F265,x>20

x

（2）游客人數(shù)為30萬時利潤最大，最大利潤為205萬元

【分析】（1）根據利潤等于總收入減去總成本，分段寫出其解析式即可；

（2）分段求出利潤最大值及對應的人數(shù)，最后比較得出利潤最大值即可.

【詳解】（1）該項目的門票收入為50x萬元，財政補貼收入10x萬元，共60X萬元收入,

60x-300-25,0<x<5

貝lj利潤W(x)=,60x-300—(/+20x-100),5<X420

60x-300-f61x+--5651x>20

60x-325,0<x<5

化簡得卬3H-丁+40x-200,5<x<20；

900…”

—x-----F265,x>20

（2）當0<x45時，此時W（x）單調遞增，

卬（*）3=卬（5）=-25,

40.

當5<xW20時，二次函數(shù)開口向下，對稱軸為》=-又帀=20,

則W（x）a=W（20）=200,

當x>2（）時，x+—>60,當且僅當x=?也，即x=30時等號成立，

XX

???W（x）3=卬（30）=-30一箸+265=205，

綜上，游客人數(shù)為30萬時利潤最大，最大利潤為205萬元.

21.如圖，矩形ABC。中，AB=6,BC=2,點M,N分別在線段（含端點）上，P

為AO的中點，PMLPN,設NAPM=a.

AD

(1)求角a的取值范圍；

⑵求出，PMN的周長/關于角a的函數(shù)解析式/(a),并求的周長/的最小值及此時

a的值.

7T7T

【正確答案】(1)

03_

⑵/(a)J+sma+cosa,aJgH；當a=J時，.PMN的周長/取得最小值為2啦+2

sinacosa634

【分析】(1)由圖形可知當點M位于點B時，角a取最大值，當點N位于點C時，角a取

最小值，求解即可.

(2)結合圖形中的直角三角形，利用三角函數(shù)和勾股定理，把PMV的三條邊用角口表示,

可求出了(。)，再利用換元法，通過函數(shù)單調性求最小值.

【詳解】(1)由題意，當點M位于點8時，角口取最大值，此時tana=G，

7T7T

因為所以a=3,

當點N位于點C時，由對稱性知NDPN取最大值角a取最小值=

3236

兀71

所以角a的取值范圍是T-T

o3

(2)在直角△弘〃中，|PM|=——，

cosa

在直角中，cos/OPN=cos徑-a]=sina=維且儼￡)|=1,所以|PN|=」一

12丿PN''sina

在直角PMN中,由勾股定理得，|仞N『=|PM『+|PN|2=—^+——]

11cosasmacos2asin2a

因為aw，所以sina>0,cosa>0,所以|M/V|=------；—

63cosasina

所以f(0)=」一+」一+—-——1+sina+cosan兀

-------------------,aw—，一

sm。coscrsmcrcoscrsinacosa63

因為ae，所以r=+

63I4丿2

▽宀?r2-l

H3sinacosa—,

2

m=f+i=2

可得以‘尸戸'=口，且g(r