高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2山西省運(yùn)城市教育發(fā)展聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所?故選：C.2.如圖，是水平放置的的斜二測直觀圖，為等腰直角三角形，其中與重合，，則的面積是（）A.2 B. C.4 D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)闉榈妊苯侨切危?，，根?jù)斜二測畫法可得，所以.故選：B.3.某同學(xué)為表達(dá)對“新冠疫情”抗疫一線醫(yī)護(hù)人員的感激之情，親手為他們制作了一份禮物，用正方體紙盒包裝，并在正方體六個(gè)面上分別寫了“致敬最美逆行”六個(gè)字，該正方體紙盒水平放置的六個(gè)面分別用“前面?后面?上面?下面?左面?右面”表示.如圖是該正方體的展開圖.若圖中“行”在正方體的左面，那么在正方體右面的字是（）A.最 B.美 C.逆 D.敬〖答案〗A〖解析〗把正方體的表面展開圖再折成正方體，如圖，“行”在正方體的左面，那么在正方體右面的字是“最”．故選：A．4.已知向量，不共線，且向量與方向相同，則實(shí)數(shù)的值為（）A.1 B. C.1或 D.1或〖答案〗A〖解析〗因?yàn)橄蛄颗c方向相同，所以存在唯一實(shí)數(shù)，使，因?yàn)橄蛄?，不共線，所以，解得或（舍去）.故選：A.5.在長方體中，直線與平面的交點(diǎn)為，與交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.，，三點(diǎn)確定一個(gè)平面 B.，，三點(diǎn)共線C.，，，四點(diǎn)共面 D.，，，四點(diǎn)共面〖答案〗B〖解析〗如下圖所示：根據(jù)題意，連接，則，所以四點(diǎn)共面，所以面，又，所以面，又面，所以點(diǎn)在面與面的交線上面，同理可得點(diǎn)在面與面的交線上面，所以，，三點(diǎn)共線，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確；由異面直線判定定理可知C選項(xiàng)中為異面直線，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；由異面直線判定定理可知D選項(xiàng)中為異面直線，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B.6.如圖，四邊形四點(diǎn)共圓，其中為直徑，，，，則的長度為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，則，故，，中，中，又，故，所以，即，所以外接圓直徑，則.故選：B.7.已知中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為邊上一動點(diǎn)，則的最小值為（）A.27 B.0 C. D.〖答案〗D〖解析〗以所在直線為軸，線段的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，由題意可知，，，，設(shè)，其中，則，，故，所以當(dāng)時(shí)，有最小值.故選：D.8.已知四棱錐中，底面為平行四邊形，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且滿足平面，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如下圖，四棱錐中，連接AC交BQ，BD分別于點(diǎn)N，O，連接MN，因底面ABCD為平行四邊形，則O是AC中點(diǎn)，也是BD中點(diǎn)，而點(diǎn)Q是AD中點(diǎn)，于是得點(diǎn)N是重心，從而得，因平面，平面，平面平面，因此得，于得，所以.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分．9.設(shè)，，為三個(gè)不同的平面，，，為三條不同的直線，則下列說法正確的是（）A.若，，∥，∥，則∥B.若上有兩點(diǎn)到的距離相等，則∥C.，，兩兩相交于三條直線，，，若∥，則∥D.與互為異面直線，∥，∥，∥，∥，則∥〖答案〗CD〖解析〗若，，∥，∥，當(dāng)m與n相交時(shí)，有∥，否則，∥不一定平行，故A錯(cuò)誤；若上有兩點(diǎn)到的距離相等，與可能平行，也可能相交，故B錯(cuò)誤；，，兩兩相交于三條直線，，，不妨設(shè)，易知，否則，，交于同一條直線，不滿足題意，因?yàn)椋瑒t，又，則，故C正確；因?yàn)榕c互為異面直線，∥，∥，則內(nèi)存在，且直線、會相交，因?yàn)椋瑒t易得，所以，故D正確．故選：CD.10.已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則為等腰三角形D.若，，，則只有一解〖答案〗AB〖解析〗對于A，因，所以，所以由正弦定理得，所以A正確；對于B，因?yàn)?，所以由正弦定理得（為三角形外接圓半徑），所以，所以B正確；對于C，因?yàn)?，所以由余弦定理得，所以，化簡得，所以或，所以為等腰三角形或直角三角形，所以C錯(cuò)誤；對于D，設(shè)邊上的高為，則，因?yàn)?，，所以，所以有兩解，所以D錯(cuò)誤.故選：AB.11.已知平面向量，下列說法正確的是（）A.與的夾角的余弦值為B.若，則C.在上的投影向量為D.若向量與向量夾角為銳角，則且〖答案〗ACD〖解析〗因?yàn)?，所以，設(shè)與的夾角為，則，故A正確；由A選項(xiàng)知，因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)B不正確；在上的投影向量為，故選項(xiàng)C正確；由，如果向量與向量夾角為銳角，則：即，當(dāng)時(shí)，向量與向量同向，此時(shí)夾角為0，所以若向量與向量夾角為銳角，則且，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.12.已知正四棱柱的底面邊長為2，側(cè)棱，為上底面上的動點(diǎn)（包括邊界），則下列結(jié)論中正確的是（）A.若，則滿足條件的點(diǎn)不唯一B.若，則點(diǎn)的軌跡是一段圓弧C.若∥平面，則的最大值為D.若∥平面，且，則平面截正四棱柱的外接球所得平面圖形的面積為〖答案〗BCD〖解析〗由題意上底面內(nèi)，與上底面垂直，因此有，選項(xiàng)A，，則，但上底面矩形中，對角線，因此不存在符合條件的點(diǎn)，A錯(cuò)；選項(xiàng)B，由上可知，因此點(diǎn)軌跡是一段圓弧，B正確；選項(xiàng)C，連接，由與平行且相等得是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，平面，所以平面平面，∥平面，所以平面，從而，在中，，因此的最大值是，C正確；選項(xiàng)D，連接，交于點(diǎn)，連接，由正四棱柱性質(zhì)可得，取中點(diǎn)，由與平行且相等可得是平行四邊形，即，且，而平面，平面，因此平面，所以該點(diǎn)為滿足條件的點(diǎn)，平面即正四棱柱的對角面，它截正四棱柱的外接球的截面即為該球的大圓，由正四棱柱性質(zhì)知其外接球直徑等于四棱柱對角線長，因此截面面積為，D正確．故選：BCD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.設(shè)，為單位向量，且，的夾角為，若，，則__________．〖答案〗5〖解析〗由已知，．故〖答案〗為：5.14.紫砂壺是中國特有的手工陶土工藝品，經(jīng)典的有西施壺?石瓢壺?潘壺等，其中石瓢壺的壺體可以近似看成一個(gè)圓臺（其他因素忽略不計(jì)），如圖給了一個(gè)石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：），那么該壺的側(cè)面積約為__________.〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，石瓢壺的壺體可以近似看成一個(gè)圓臺，如圖為該圓臺的軸截面，上底面半徑為下底面半徑高則該圓臺的母線長為故圓臺的側(cè)面積故〖答案〗為：.15.已知三棱錐的三條側(cè)棱，，兩兩互相垂直，且該三棱錐外接球的表面積為，且，，則三棱錐的體積為__________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)槿忮F的三條側(cè)棱，，兩兩互相垂直，所以將三棱錐補(bǔ)成如圖所示的長方體，則長方體的體對角線等于三棱錐外接球的直徑，因?yàn)槿忮F外接球的表面積為，所以，得，所以，，得，所以.故〖答案〗為：.16.在銳角中，角所對的邊為，若，且，則的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗由得：，，又，，，又，，則由得：，，解得：；由正弦定理得：，；，，，，，即的取值范圍為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位，），且是純虛數(shù).（1）求復(fù)數(shù)；（2）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）因?yàn)?，且純虛?shù)，所以是純虛數(shù)，則，即，所以.（2），由題意可得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.18.在一個(gè)如圖所示的直角梯形內(nèi)挖去一個(gè)扇形，是梯形的下底邊上的一點(diǎn)，將所得平面圖形繞直線旋轉(zhuǎn)一圈．（1）說明所得幾何體的結(jié)構(gòu)特征；（2）求所得幾何體的表面積和體積．解：（1）該幾何體為上半部分為圓錐，下半部分為圓柱體挖去一個(gè)半球體的組合體．（2）由圖中的數(shù)據(jù)可知圓錐的底面半徑為2，母線長為4，高為，圓柱的底面半徑為2，高為2，球的半徑為2，所以，該幾何體的體積為：．19.如圖，直三棱柱中，，，，為線段上的動點(diǎn)．（1）當(dāng)為線段中點(diǎn)時(shí)，求三棱錐的體積；（2）當(dāng)在線段上移動時(shí)，求的最小值．解：（1）在中，由，可得，所以，在直三棱柱中，可得底面，即點(diǎn)到底面的距離，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，可得點(diǎn)到底面的距離等于點(diǎn)到底面的距離的，所以．（2）將繞旋轉(zhuǎn)到與在同一平面，如圖所示，連接交于點(diǎn)，當(dāng)與重合時(shí)，取得最小值，最小值即長，在中，，可得，故，所以，又在中，，，，所以，所以，故的最小值為．20.在①；②；③；這三個(gè)條件中任選一個(gè)（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）補(bǔ)充在下面問題中，并作答．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且______．（1）求角的大??；（2）若點(diǎn)滿足，，，求的面積．解：（1）若選①，因?yàn)?，由正弦定理得，，即?若選②，因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼?，則，故，.若選③，因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼?，，即，整理得，故?（2）因?yàn)?，所以，則，故，因?yàn)?，，即，故，則，所以的面積為.21.如圖，正三棱柱中，E、F、G分別為棱、、的中點(diǎn)．（1）證明：∥平面；（2）在線段是否存在一點(diǎn)，使得平面∥平面？若存在，請指出并證明；若不存在，請說明理由．解：（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，在中，因?yàn)镋、M分別為、的中點(diǎn)，所以且，又為的中點(diǎn)，，所以且，即且，故四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）當(dāng)N為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面，證明：連接，，因?yàn)镹，F(xiàn)分別是和的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，平面，，所以平面平面?2.重慶是我國著名的“火爐”城市之一，如圖，重慶某避暑山莊O為吸引游客，準(zhǔn)備在門前兩條小路OA和OB之間修建一處弓形花園，使之有著類似“冰淇淋”般的涼爽感，已知，弓形花園的弦長，記弓形花園的頂點(diǎn)為，設(shè).（1）將用含有的關(guān)系式表示出來；（2）該山莊準(zhǔn)備在點(diǎn)處修建噴泉，為獲取更好的觀景視野，如何設(shè)計(jì)的長度，才使得噴泉與山莊的距離的值最大？解：（1）因?yàn)?，，所以?（2）因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理易得，，因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，取最大值取最大值，此時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，取最大值.山西省運(yùn)城市教育發(fā)展聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋?故選：C.2.如圖，是水平放置的的斜二測直觀圖，為等腰直角三角形，其中與重合，，則的面積是（）A.2 B. C.4 D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)闉榈妊苯侨切?，所以，，根?jù)斜二測畫法可得，所以.故選：B.3.某同學(xué)為表達(dá)對“新冠疫情”抗疫一線醫(yī)護(hù)人員的感激之情，親手為他們制作了一份禮物，用正方體紙盒包裝，并在正方體六個(gè)面上分別寫了“致敬最美逆行”六個(gè)字，該正方體紙盒水平放置的六個(gè)面分別用“前面?后面?上面?下面?左面?右面”表示.如圖是該正方體的展開圖.若圖中“行”在正方體的左面，那么在正方體右面的字是（）A.最 B.美 C.逆 D.敬〖答案〗A〖解析〗把正方體的表面展開圖再折成正方體，如圖，“行”在正方體的左面，那么在正方體右面的字是“最”．故選：A．4.已知向量，不共線，且向量與方向相同，則實(shí)數(shù)的值為（）A.1 B. C.1或 D.1或〖答案〗A〖解析〗因?yàn)橄蛄颗c方向相同，所以存在唯一實(shí)數(shù)，使，因?yàn)橄蛄?，不共線，所以，解得或（舍去）.故選：A.5.在長方體中，直線與平面的交點(diǎn)為，與交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.，，三點(diǎn)確定一個(gè)平面 B.，，三點(diǎn)共線C.，，，四點(diǎn)共面 D.，，，四點(diǎn)共面〖答案〗B〖解析〗如下圖所示：根據(jù)題意，連接，則，所以四點(diǎn)共面，所以面，又，所以面，又面，所以點(diǎn)在面與面的交線上面，同理可得點(diǎn)在面與面的交線上面，所以，，三點(diǎn)共線，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確；由異面直線判定定理可知C選項(xiàng)中為異面直線，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；由異面直線判定定理可知D選項(xiàng)中為異面直線，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B.6.如圖，四邊形四點(diǎn)共圓，其中為直徑，，，，則的長度為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，則，故，，中，中，又，故，所以，即，所以外接圓直徑，則.故選：B.7.已知中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為邊上一動點(diǎn)，則的最小值為（）A.27 B.0 C. D.〖答案〗D〖解析〗以所在直線為軸，線段的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，由題意可知，，，，設(shè)，其中，則，，故，所以當(dāng)時(shí)，有最小值.故選：D.8.已知四棱錐中，底面為平行四邊形，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且滿足平面，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如下圖，四棱錐中，連接AC交BQ，BD分別于點(diǎn)N，O，連接MN，因底面ABCD為平行四邊形，則O是AC中點(diǎn)，也是BD中點(diǎn)，而點(diǎn)Q是AD中點(diǎn)，于是得點(diǎn)N是重心，從而得，因平面，平面，平面平面，因此得，于得，所以.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分．9.設(shè)，，為三個(gè)不同的平面，，，為三條不同的直線，則下列說法正確的是（）A.若，，∥，∥，則∥B.若上有兩點(diǎn)到的距離相等，則∥C.，，兩兩相交于三條直線，，，若∥，則∥D.與互為異面直線，∥，∥，∥，∥，則∥〖答案〗CD〖解析〗若，，∥，∥，當(dāng)m與n相交時(shí)，有∥，否則，∥不一定平行，故A錯(cuò)誤；若上有兩點(diǎn)到的距離相等，與可能平行，也可能相交，故B錯(cuò)誤；，，兩兩相交于三條直線，，，不妨設(shè)，易知，否則，，交于同一條直線，不滿足題意，因?yàn)椋瑒t，又，則，故C正確；因?yàn)榕c互為異面直線，∥，∥，則內(nèi)存在，且直線、會相交，因?yàn)?，則易得，所以，故D正確．故選：CD.10.已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則為等腰三角形D.若，，，則只有一解〖答案〗AB〖解析〗對于A，因，所以，所以由正弦定理得，所以A正確；對于B，因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼茫槿切瓮饨訄A半徑），所以，所以B正確；對于C，因?yàn)?，所以由余弦定理得，所以，化簡得，所以或，所以為等腰三角形或直角三角形，所以C錯(cuò)誤；對于D，設(shè)邊上的高為，則，因?yàn)?，，所以，所以有兩解，所以D錯(cuò)誤.故選：AB.11.已知平面向量，下列說法正確的是（）A.與的夾角的余弦值為B.若，則C.在上的投影向量為D.若向量與向量夾角為銳角，則且〖答案〗ACD〖解析〗因?yàn)?，所以，設(shè)與的夾角為，則，故A正確；由A選項(xiàng)知，因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)B不正確；在上的投影向量為，故選項(xiàng)C正確；由，如果向量與向量夾角為銳角，則：即，當(dāng)時(shí)，向量與向量同向，此時(shí)夾角為0，所以若向量與向量夾角為銳角，則且，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.12.已知正四棱柱的底面邊長為2，側(cè)棱，為上底面上的動點(diǎn)（包括邊界），則下列結(jié)論中正確的是（）A.若，則滿足條件的點(diǎn)不唯一B.若，則點(diǎn)的軌跡是一段圓弧C.若∥平面，則的最大值為D.若∥平面，且，則平面截正四棱柱的外接球所得平面圖形的面積為〖答案〗BCD〖解析〗由題意上底面內(nèi)，與上底面垂直，因此有，選項(xiàng)A，，則，但上底面矩形中，對角線，因此不存在符合條件的點(diǎn)，A錯(cuò)；選項(xiàng)B，由上可知，因此點(diǎn)軌跡是一段圓弧，B正確；選項(xiàng)C，連接，由與平行且相等得是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，平面，所以平面平面，∥平面，所以平面，從而，在中，，因此的最大值是，C正確；選項(xiàng)D，連接，交于點(diǎn)，連接，由正四棱柱性質(zhì)可得，取中點(diǎn)，由與平行且相等可得是平行四邊形，即，且，而平面，平面，因此平面，所以該點(diǎn)為滿足條件的點(diǎn)，平面即正四棱柱的對角面，它截正四棱柱的外接球的截面即為該球的大圓，由正四棱柱性質(zhì)知其外接球直徑等于四棱柱對角線長，因此截面面積為，D正確．故選：BCD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.設(shè)，為單位向量，且，的夾角為，若，，則__________．〖答案〗5〖解析〗由已知，．故〖答案〗為：5.14.紫砂壺是中國特有的手工陶土工藝品，經(jīng)典的有西施壺?石瓢壺?潘壺等，其中石瓢壺的壺體可以近似看成一個(gè)圓臺（其他因素忽略不計(jì)），如圖給了一個(gè)石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：），那么該壺的側(cè)面積約為__________.〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，石瓢壺的壺體可以近似看成一個(gè)圓臺，如圖為該圓臺的軸截面，上底面半徑為下底面半徑高則該圓臺的母線長為故圓臺的側(cè)面積故〖答案〗為：.15.已知三棱錐的三條側(cè)棱，，兩兩互相垂直，且該三棱錐外接球的表面積為，且，，則三棱錐的體積為__________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)槿忮F的三條側(cè)棱，，兩兩互相垂直，所以將三棱錐補(bǔ)成如圖所示的長方體，則長方體的體對角線等于三棱錐外接球的直徑，因?yàn)槿忮F外接球的表面積為，所以，得，所以，，得，所以.故〖答案〗為：.16.在銳角中，角所對的邊為，若，且，則的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗由得：，，又，，，又，，則由得：，，解得：；由正弦定理得：，；，，，，，即的取值范圍為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位，），且是純虛數(shù).（1）求復(fù)數(shù)；（2）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）因?yàn)椋壹兲摂?shù)，所以是純虛數(shù)，則，即，所以.（2），由題意可得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.18.在一個(gè)如圖所示的直角梯形內(nèi)挖去一個(gè)扇形，是梯形的下底邊上的一點(diǎn)，將所得平面圖形繞直線旋轉(zhuǎn)一圈．（1）說明所得幾何體的結(jié)構(gòu)特征；（2）求所得幾何體的表面積和體積．解：（1）該幾何體為上半部分為圓錐，下半部分為圓柱體挖去一個(gè)半球體的組合體．（2）由圖中的數(shù)據(jù)可知圓錐的底面半徑為2，母線長為4，高為，圓柱的底面半徑為2，高為2，球的半徑為2，所以，該幾何體的體積為：．19.如圖，直三棱柱中，，，，為線段上的動點(diǎn)．（1）當(dāng)為線段中點(diǎn)時(shí)，求三棱錐的體積；（2