2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)突破復(fù)習(xí)切線放縮切線放縮思想一直是導(dǎo)數(shù)中重要的思想之一，某些求函數(shù)的最小值或證明不等式的問題，巧用切線放縮，會有意想不到的效果.一般試題難度較大.考情分析思維導(dǎo)圖內(nèi)容索引典型例題熱點突破典例1

已知函數(shù)f(x)＝lnx－xex＋ax(a∈R).(1)若f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍；考點一利用切線放縮求最值所以g(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，故g(x)min＝g(1)＝2e－1，因為a≤g(x)恒成立，所以a≤2e－1，故實數(shù)a的取值范圍為(－∞，2e－1].(2)若a＝1，求f(x)的最大值.方法一設(shè)φ(x)＝ex－x－1，則φ′(x)＝ex－1，令φ′(x)>0，則x>0，令φ′(x)<0，則x<0，所以φ(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故φ(x)min＝φ(0)＝0，所以φ(x)≥0，故ex≥x＋1.當(dāng)a＝1時，f(x)＝lnx－xex＋x＝lnx－elnx·ex＋x＝lnx－ex＋lnx＋x≤lnx－(x＋lnx＋1)＋x＝－1，當(dāng)且僅當(dāng)x＋lnx＝0時等號成立，即方程x＋lnx＝0有實根，所以f(x)max＝－1.所以h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以h(x)在(0，＋∞)上有唯一的零點x0，當(dāng)x∈(0，x0)時，h(x)>0，所以f′(x)>0，故f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(x0，＋∞)時，h(x)<0，所以f′(x)<0，故f(x)在(x0，＋∞)上單調(diào)遞減，從而f(x)max＝f(x0)＝lnx0－

＋x0，即f(x)的最大值為－1.跟蹤訓(xùn)練1

已知函數(shù)

f(x)＝ax＋lnx＋1，若對任意的

x>0，f(x)≤xe2x

恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.方法一(切線放縮，利用ex≥x＋1)對任意的x>0，f(x)≤xe2x

恒成立，因為xe2x－(lnx＋1)＝e2x＋lnx－(lnx＋1)≥(2x＋lnx＋1)－(lnx＋1)＝2x，當(dāng)且僅當(dāng)2x＋lnx＝0時等號成立(方程顯然有解)，所以a≤2.方法二(隱零點)因為f(x)＝ax＋lnx＋1，所以對任意的x>0，f(x)≤xe2x恒成立，等價于則只需a≤m(x)min

即可，再令g(x)＝2x2e2x＋lnx(x>0)，所以當(dāng)0<x<x0

時，m′(x)<0，當(dāng)x>x0時，m′(x)>0，所以m(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，＋∞)上單調(diào)遞增，因為

＋lnx0＝0，所以ln2＋2lnx0＋2x0＝ln(－lnx0)，即ln(2x0)＋2x0＝ln(－lnx0)＋(－lnx0)，因為s(2x0)＝s(－lnx0)，所以2x0＝－lnx0，所以實數(shù)a的取值范圍為(－∞，2].典例2

已知函數(shù)f(x)＝ex－ln(x＋m).(1)設(shè)x＝0是f(x)的極值點，求m的值，并討論f(x)的單調(diào)性；考點二利用切線放縮證明不等式因為x＝0是f(x)的極值點，令u(x)＝(x＋1)ex－1(x>－1)，則u′(x)＝(x＋2)ex>0，所以u(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，又u(0)＝0，所以當(dāng)－1<x<0時，u(x)<0，故f′(x)<0；當(dāng)x>0時，u(x)>0，故f′(x)>0，從而f(x)在(－1,0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.(2)當(dāng)m≤2時，證明：f(x)>0.方法一當(dāng)m≤2時，f(x)＝ex－ln(x＋m)≥ex－ln(x＋2)，下面先證ex≥x＋1，令g(x)＝ex－x－1(x∈R)，則g′(x)＝ex－1，所以g′(x)<0?x<0，g′(x)>0?x>0，從而g(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故g(x)min＝g(0)＝0，所以g(x)≥0，從而ex≥x＋1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時等號成立，再證ln(x＋2)≤x＋1，令h(x)＝ln(x＋2)－x－1(x>－2)，所以h′(x)>0?－2<x<－1，h′(x)<0?x>－1，從而h(x)在(－2，－1)上單調(diào)遞增，在(－1，＋∞)上單調(diào)遞減，故h(x)max＝h(－1)＝0，所以h(x)≤0，故ln(x＋2)≤x＋1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝－1時等號成立，綜上所述，有l(wèi)n(x＋2)≤x＋1≤ex，且兩個等號不能同時成立，所以ln(x＋2)<ex，故ex－ln(x＋2)>0，因為當(dāng)m≤2時，f(x)＝ex－ln(x＋m)≥ex－ln(x＋2)，所以f(x)>0.方法二當(dāng)m≤2時，f(x)＝ex－ln(x＋m)≥ex－ln(x＋2)，令g(x)＝ex－ln(x＋2)，x>－2，令h(x)＝(x＋2)ex－1(x>－2)，則h′(x)＝(x＋3)ex>0，所以h(x)在(－2，＋∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)－2<x<x0時，h(x)<0，所以g′(x)<0，當(dāng)x>x0時，h(x)>0，所以g′(x)>0，從而g(x)在(－2，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，＋∞)上單調(diào)遞增，故g(x)min＝g(x0)＝

－ln(x0＋2)，

①因為h(x0)＝(x0＋2)－1＝0，兩邊取對數(shù)得x0＝－ln(x0＋2)，所以g(x)>0，即ex－ln(x＋2)>0，因為當(dāng)m≤2時，f(x)≥ex－ln(x＋2)，所以f(x)>0.跟蹤訓(xùn)練2

已知函數(shù)f(x)＝lnx－a2x2＋ax.(1)試討論f(x)的單調(diào)性；f(x)的定義域為(0，＋∞)，當(dāng)a＝0時，f(x)＝lnx在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；(2)若a＝1，求證：當(dāng)x>0時，f(x)<e2x－x2－2.當(dāng)a＝1時，f(x)＝lnx－x2＋x，要證當(dāng)x>0時，f(x)<e2x－x2－2，只需證lnx<e2x－x－2.令g(x)＝e2x－2x－1，則g′(x)＝2e2x－2＝2(e2x－1)，當(dāng)x>0時，g′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)>g(0)＝0，所以當(dāng)x>0時，e2x>2x＋1，所以e2x－x－2>x－1.所以h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以h(x)min＝h(1)＝0，所以當(dāng)x>0時，h(x)≥h(1)＝0，即當(dāng)x>0時，x－1≥lnx，所以當(dāng)x>0時，e2x－x－2>x－1≥lnx，即lnx<e2x－x－2，所以當(dāng)x>0時，f(x)<e2x－x2－2.當(dāng)要證明的不等式中既含有ex，又含有l(wèi)nx時，一般我們形象地稱之為指對共生式，這類問題直接構(gòu)造差函數(shù)進(jìn)行研究可能會較為困難，突破這一困難一般采用指對放縮、分離雙函數(shù)、同構(gòu)等技巧.常用的切線放縮有：總結(jié)提升在證明不等式的過程中，可通過上述常見的切線放縮，將ex或lnx放縮掉，再來證明不等式，這是指對共生式一種可以考慮的方向.注意：解題中若要用不等式ex≥x＋1，ex≥ex,1－

≤lnx≤x－1等進(jìn)行放縮，需要先給出證明.總結(jié)提升1231.(2023·武漢模擬)已知函數(shù)f(x)＝ex－1－a(x＋1)(x≥1)，g(x)＝(x－1)lnx，其中e為自然對數(shù)的底數(shù).(1)若f(x)≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；123易證ex≥x＋1，所以ex－1≥x，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取等號，123123(2)若a取(1)中的最大值，證明：f(x)≥g(x).易證lnx≤x－1，所以當(dāng)x≥1時，(x－1)lnx≤(x－1)2，123123因為(x－1)2≥(x－1)lnx，123故f(x)≥g(x)成立.2.已知函數(shù)f(x)＝ex＋2x2－3x.(1)求函數(shù)f′(x)在區(qū)間[0,1]上的零點個數(shù)；(其中f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù))123函數(shù)f(x)＝ex＋2x2－3x的導(dǎo)數(shù)f′(x)＝ex＋4x－3，則f′(x)＝ex＋4x－3在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞增，又f′(0)＝1－3＝－2<0，f′(1)＝e＋4－3＝e＋1>0，則函數(shù)f′(x)在區(qū)間[0,1]上只有一個零點.123由y＝ex－x－1，得y′＝ex－1，可得當(dāng)x>0時，y′>0，函數(shù)y＝ex－x－1單調(diào)遞增，當(dāng)x<0時，函數(shù)y＝ex－x－1單調(diào)遞減，則ex－x－1≥0，即ex≥x＋1，1231233.設(shè)函數(shù)f(x)＝aex－xlnx，其中a∈R.(1)若f(x)在定義域上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；123方法一由題意知，f′(x)＝aex－lnx－1(x>0)，且f′(x)≥0恒成立，123故g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，故g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，123方法二由題意，f′(x)＝aex－lnx－1(x>0)，且f′(x)≥0恒成立，易證lnx≤x－1，ex≥ex，123123123下面證明當(dāng)x>1時該不等式也成立，123令r(x