課時跟蹤檢測(二十一)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應用(習題課)

A級——學考合格性考試達標練

1.下列判斷正確的是()

A.2.52-s>2.53B.0.82<0.83

35

C.n2Vli也D.0.9°->0.9°-

解析：選D是減函數(shù)，且0.5>0.3,

.，.0.9°-3>0.9°-5.

2.若函數(shù)/(x)=(l-2a尸在實數(shù)集R上是減函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.Q,+8)B.(0,3

aSI)D.(V，§

解析：選B由已知，得0V1—2aVl,解得OVaV；,即實數(shù)a的取值范圍是(0,￡).

3.函數(shù)*的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.(一8,0]B.[0,+~)

C.(-8,y[j,]D.框+8)

解析：選B函數(shù)y=Q)”在R上為減函數(shù)，欲求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，只

需求函數(shù)u=x2-2的單調(diào)遞增區(qū)間，而函數(shù)u=x2-2的單調(diào)遞增區(qū)間為[0,+8),故所

求單調(diào)遞減區(qū)間為[0,+8).

4.設函數(shù)八%)=/陽3>0,且。。1),若42)=4,貝！)()

A.71-2)>A-DB.

C.11)>八2)D.

解析：選A/(2)=a-2=4,a/,/(x)=Q)=2M,則八一2)>,/(-1).

2X—2~x

5.函數(shù),/(x)=2是()

A.偶函數(shù)，在(0,+8)是增函數(shù)

B.奇函數(shù)，在(0,+8)是增函數(shù)

C.偶函數(shù)，在(0,+8)是減函數(shù)

D.奇函數(shù)，在(0,+8)是減函數(shù)

解析：選B因為八一x)=-/U),

所以1x)為奇函數(shù)，

又因為y=2*是增函數(shù)，/=2一*為減函數(shù)，

2X—2~x

故式x)=-2—為增函數(shù).

故選B.

6.不等式5〃2>5*+1的解集是.

解析：由52x2>5x+i得2*2>*+1,

解得x<一；或X>1.

答案：(一8,一§u(L+°°)

7.已知指數(shù)函數(shù)y=3?^在S，2]上的最大值與最小值的和為6,則。=.

解析：由指數(shù)函數(shù)定義知，b=l.

故0+。2=6.解得a=2,或a——3,

又人>(),：.a=l.

答案：2

8.春天來了，某池塘中的荷花枝繁葉茂，已知每一天新長出荷葉覆蓋水面面積是前一

天的2倍，若荷葉20天可以完全長滿池塘水面，當荷葉剛好覆蓋水面面積一半時，荷葉已

生長了天.

解析：假設第一天荷葉覆蓋水面面積為1,則荷葉覆蓋水面面積y與生長時間的函數(shù)關(guān)

系為^=2廣1,因為荷葉20天可以完全長滿池塘水面，故當荷葉剛好覆蓋水面面積一半時，

]x22『i=2Li,解得X=19,所以生長19天時，荷葉布滿水面一半.

答案：19

9.(2019?度門高一檢測)已知一IWXWL求函數(shù)y=4?3,一2寸的最大值.

解：因為￥=4?3，-2?夕=4?3*—2?(3*)2

令t=y,則y=4t-2t2=-2(t-l)2+2,

因為一IWxWl,

所以;W3*W3,即/，3.

-1-

又因為對稱軸3J,

所以當f=l,即x=0時，ymax=2.

10.已知指數(shù)函數(shù)八x)的圖象過點(2,1).

⑴求函數(shù)兀0的解析式；

⑵已知/(|x|)>/U),求X的取值范圍.

解：⑴設而0=/(0>0,且aWl).

將點(2,3代入得3=°2.

解得”=；.故於)=0).

(2)由(1)知犬用=住)，顯然Ax)在R上是減函數(shù)，又八M)?U),所以僅|<1,解得一

即x的取值范圍為(一1,1).

B級——面向全國卷高考高分練

1.已知/(*)=/*3>0,且aKl),且/(-2)>八一3),則a的取值范圍是()

A.a>0B.a>l

C.a<lD.0<a<l

解析：選DV—2>—3,/(—2)>/(—3),

?,JU)為增函數(shù).

又於)=“-*=(￡),

.-n>1,1AO<a<l.

2.函數(shù)y=a，在［0,1］上的最大值與最小值的和為3,則函數(shù)7=2女一1在［0,1］上的

最大值是（）

A.6B.1

C.3D.1

解析：選C函數(shù)丁=砂在［0,1］上是單調(diào)的，最大值與最小值都在端點處取到，故有

0。+〃1=3,解得〃=2,因此函數(shù)y=2or—l=4x—1在［0,1］上是單調(diào)遞增函數(shù)，當x=l

時，ymar=3.

3.若函數(shù)於尸產(chǎn)圖他〉。，且狂1）滿足大1得，則大幻的單調(diào)遞減區(qū)間是（）

A.（-8,2］B.［2,+8）

C.［-2,+8）D.（-oo,-2］

解析：選B由式1）=/，得。2=/，于是

因此加礦.

令f=|2x—4|,.?./??）=《）為減函數(shù).

因為g（x）=|2x-4|在［2,+8）上單調(diào)遞增，所以4x）的單調(diào)遞減區(qū)間是［2,+~）.故

選B.

—x+3a,x<0,

4.函數(shù)（a>0,且aWl）是R上的減函數(shù)，則。的取值范圍是

個，xNO

AC.(Go

解析：選B由單調(diào)性定義，人》）為減函數(shù)應滿足:

0<?<1,1

,、0即彳W〃V1,故選B.

[3心即3

ri

：x<0,

5.若函數(shù)/u）=〈八”則不等式的解集為______.

1（3…

'Q0,卜<0,

解析：或...o<xWi,

⑸為\?y

故不等式/（X）》：的解集是｛x|0WxWl｝?

答案：｛x|0WxWl｝

6.若函數(shù)y=|2*—1|在（一8,詞上單調(diào)遞減，則，”的取值范圍是.

解析：在平面直角坐標系中作出y=2'的圖象，把圖象沿y軸向下平移1個單位得到y(tǒng)

=2'—1的圖象，再把y=2*—1的圖象在x軸下方的部分關(guān)于x軸翻折，其余部分不變.如

圖，得到y(tǒng)=|2，一1|的圖象，由圖可知>=0—1|在（一8,0]上單調(diào)遞減，.?.,”￡（一8,0].

答案：（一8,0]

7.若函數(shù)Ax）=（A+3）a*+3一伙a>0,且"W1）是指數(shù)函數(shù).

⑴求A,匕的值；

⑵求解不等式式2*—7）寸4*-3）.

解：（1）：人工）=（?+39+3一伏”>0,且aWl）是指數(shù)函數(shù)，

.,.*+3=1JL3-6=0,解得《=-2且8=3.

（2）由⑴得且“W1）,因為小2^—7）次4*-3）,所以田丁摘射衛(wèi)

①當”>1時，兀0=砂單調(diào)遞增，則不等式等價于2*—7>4x—3,解得x<—2;

②當0<a<l時，<單調(diào)遞減，則不等式等價于2x—7<4x—3,解得x>一2.

綜上，當a>l時，原不等式的解集為｛x|x<-2｝;當0<。<1時，原不等式的解集為｛x|x>

-2}.

8.某地下車庫在排氣扇發(fā)生故障的情況下，測得空氣中一氧化碳的含量達到了危險狀

態(tài)，經(jīng)搶修后恢復正常.排氣4分鐘后測得車庫內(nèi)一氧化碳濃度為64ppm（ppm為濃度單

位，1ppm表示百萬分之一），再過4分鐘又測得濃度為32ppm.經(jīng)檢驗知，該地下車庫一

氧化碳濃度y（PPm）與排氣時間”分鐘）之間存在函數(shù)關(guān)系j=cQ）m/（c,m為常數(shù)）.

（1）求c,，〃的值；

（2）若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5ppm為正常，問至少排氣多少分鐘才能使這個地

下車庫中一氧化碳含量達到正常狀態(tài)？

f期=64,尸28,

解：⑴由題意可得〈八、8,“解得《1

1<=32,上r

故c,機的值分別為128,彳.

（2）由⑴知尸128><0）4',令128X0）/4，即解得/，32,即至少

排氣32分鐘才能使這個地下車庫中一氧化碳含量達到正常狀態(tài).

C級——拓展探索性題目應用練

2

對于函數(shù)兀r）=a-m（xGR）.

（1）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性;

⑵是否存在實數(shù)a,使函數(shù)_/U）為奇函數(shù)