2019年湖南省張家界市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共8個小題，每小題3分，滿分24分，在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的）

1.（3分）（2019?張家界）2019的相反數(shù)是（）

A.2019B.-2019C.」一D.-二一

20192019

【考點】14：相反數(shù).

【專題】511：實數(shù).

【分析】由相反數(shù)的定義即可得到答案.

【解答】解:2019的相反數(shù)是-2019.

故選：B.

【點評】本題運用了相反數(shù)的知識點，準(zhǔn)確掌握定義是解題的關(guān)鍵.

2.（3分）（2019?張家界）為了有力回擊美方單邊主義貿(mào)易政策的霸凌行為，維護我國正當(dāng)

權(quán)益和世界多邊貿(mào)易正常秩序，經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)，決定于2019年6月1日起，對原產(chǎn)于美

國的600億美元進口商品加征關(guān)稅，其中600億美元用科學(xué)記數(shù)法表示為（）美元.

A.6X1O10B.O.6X1O10C.6X109D.0.6X109

【考點】II：科學(xué)記數(shù)法一表示較大的數(shù).

【專題】511：實數(shù).

【分析】運用科學(xué)記數(shù)法的知識可解.

【解答】解：600億=6X101°.

故選：A.

【點評】本題運用了科學(xué)記數(shù)法的知識點，掌握好n與數(shù)位之間的關(guān)系是解此題的關(guān)鍵.

3.（3分）（2019?張家界）下列四個立體圖形中，其主視圖是軸對稱圖形但不是中心對稱圖

C.D.

【考點】P3：軸對稱圖形；R5：中心對稱圖形；U1：簡單幾何體的三視圖.

【專題】558：平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；55F：投影與視圖.

【分析】根據(jù)從正面看得到的圖形是主視圖以及軸對稱圖形、中心對稱圖形的概念，可

得答案.

【解答】解：A、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形.故錯誤；

是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形.故錯誤；

C>是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形.故正確；

。、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形.故錯誤.

故選：C.

【點評】本題考查了幾何體的三視圖以及中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖

形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對

稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合.

4.（3分）（2019?張家界）下列運算正確的是（）

A.a2,a3=cz6B.a^+a3—a5

C.（a+b）2=a2+Z>2D.（cz3）2=cz6

【考點】35：合并同類項；46：同底數(shù)幕的乘法；47：暴的乘方與積的乘方；4C：完全

平方公式.

【專題】512：整式.

【分析】根據(jù)同底數(shù)塞的乘法法則，完全平方公式，幕的乘方公式進行運算即可；

【解答】解：/./=/+3=/；人錯誤；

/+/=/+/.B錯誤;

（a+b）2=a^+b~+2ab；C錯誤;

（a3）2=a3X2=a6；。正確；

故選：D.

【點評】本題考查整式的運算；熟練掌握同底數(shù)幕的乘法，幕的乘方和積的乘方，完全

平方公式是解題的關(guān)鍵.

5.（3分）（2019?張家界）下列說法正確的是（）

A.打開電視機，正在播放“張家界新聞”是必然事件

B.天氣預(yù)報說“明天的降水概率為65%”，意味著明天一定下雨

C.兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)相同，則方差大的更穩(wěn)定

D.數(shù)據(jù)5,6,7,7,8的中位數(shù)與眾數(shù)均為7

【考點】W1：算術(shù)平均數(shù)；W4：中位數(shù)；W5：眾數(shù)；W7：方差；XI：隨機事件；X3：

概率的意義.

【專題】542：統(tǒng)計的應(yīng)用.

【分析】事件發(fā)生的可能性越大，概率越接近與1,事件發(fā)生的可能性越小，概率越接近

于0.事件發(fā)生的可能性越大，概率越接近與1,事件發(fā)生的可能性越小，概率越接近于

0.

【解答】解：4打開電視機，正在播放“張家界新聞”是隨機事件，故A錯誤;

B.天氣預(yù)報說“明天的降水概率為65%”，意味著明天可能下雨，故B錯誤；

C.兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)相同，則方差大的更不穩(wěn)定，故C錯誤；

D,數(shù)據(jù)5,6,7,7,8的中位數(shù)與眾數(shù)均為7,正確.

故選：D.

【點評】本題考查了概率及其應(yīng)用，正確理解概率的意義是解題的關(guān)鍵.

6.（3分）（2019?張家界）不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（）

Ix>-1

A.-2-10123"B.

A\l/7777\

C.-2-10123D.

【考點】C4：在數(shù)軸上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式組.

【專題】524：一元一次不等式（組）及應(yīng)用.

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中

間找、大大小小無解了確定不等式組的解集.

【解答】解：解不等式2x-2W0,得：xWl,

則不等式組的解集為-

故選:B.

【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知

“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

7.（3分）（2019?張家界）如圖，在△ABC中，NC=90°,AC=8,DC=^-AD,2。平分

3

ZABC,則點D到AB的距離等于（)

B

CDA

A.4B.3C.2D.1

【考點】KF：角平分線的性質(zhì).

【專題】554：等腰三角形與直角三角形.

【分析】過點。作于E,求出8,再根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離

相等解答.

【解答】解：如圖，過點。作DELAB于E,

VAC=8,DC=—AD,

3

.?.CD=8X」^=2,

1+3

：/C=90°,8。平分/ABC,

:.DE=CD=2,

即點D到AB的距離為2.

故選：C.

CDA

【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

8.（3分）（2019?張家界）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將邊長為1的正方形048c繞點。

順時針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形OA1B1G,依此方式，繞點。連續(xù)旋轉(zhuǎn)2019次得到正方

形。42019比019c2019,那么點A2019的坐標(biāo)是（）

A.(返，-足)B.(1,0)C.(-返，-四)D.(0,-1)

2222

【考點】D2：規(guī)律型：點的坐標(biāo)；R7：坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn).

【專題】558：平移、旋轉(zhuǎn)與對稱.

【分析】探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題即可.

【解答】解：：四邊形OA8C是正方形，且OA=1,

:.A(0,1),

:將正方形042c繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形OAiBiCi,

發(fā)現(xiàn)是8次一循環(huán)，所以2019+8=252…余3,

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所

連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.也考查了坐標(biāo)與圖形的變化、規(guī)律型：點的坐標(biāo)等知識，解

題的關(guān)鍵是學(xué)會從特殊到一般的探究規(guī)律的方法，屬于中考常考題型.

二、填空題(本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分)

9.(3分)(2019?張家界)因式分解：/y-y=y(尤+1)(xT).

【考點】55：提公因式法與公式法的綜合運用.

【分析】首先提公因式y(tǒng),再利用平方差進行二次分解即可.

【解答】解：原式=y(x2-1)=y(x+1)(x-1),

故答案為:y(x+1)(x-1).

【點評】此題主要考查了提公因式法和公式法分解因式，關(guān)鍵是掌握提取公因式后利用

平方差公式進行二次分解，注意分解要徹底.

10.(3分)(2019?張家界)已知直線a〃6,將一塊含30°角的直角三角板A8C按如圖所

示方式放置(NBAC=30°),并且頂點A,C分別落在直線a,b上，若/1=18°,則

Z2的度數(shù)是48°.

a

【考點】JA：平行線的性質(zhì).

【專題】551：線段、角、相交線與平行線.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)解答即可.

【解答】'：a//b,

：.Z2=Z]+ZCAB=IS°+30°=48°,

故答案為：48°

【點評】此題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)解答.

11.（3分）（2019?張家界）為了建設(shè)“書香校園”，某校七年級的同學(xué)積極捐書，下表統(tǒng)計

了七（1）班40名學(xué)生的捐書情況：

捐書（本）345710

人數(shù)5710117

該班學(xué)生平均每人捐書6本.

【考點】W2：加權(quán)平均數(shù).

【專題】542：統(tǒng)計的應(yīng)用.

【分析】根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的定義計算可得.

【解答】解：該班學(xué)生平均每人捐書3X5+4X7+5X10+7X11+10X7=6（本），

40

故答案為：6.

【點評】本題主要考查加權(quán)平均數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握加權(quán)平均數(shù)的定義.

12.（3分）（2019?張家界）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形048c的頂點。為坐標(biāo)原點,

頂點A在x軸的正半軸上，頂點C在反比例函數(shù)y=K的圖象上，已知菱形的周長是8,

X

ZCOA=60°,則左的值是一

【考點】G6：反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；KM：等邊三角形的判定與性質(zhì)；L8：

菱形的性質(zhì).

【專題】31：數(shù)形結(jié)合；33：函數(shù)思想；556：矩形菱形正方形.

【分析】菱形0A8C的周長為8,可得邊長為2,過C作無軸的垂線，構(gòu)造直角三角形，

利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半和勾股定理，可以求出表示C點坐標(biāo)的線段的

長，從而確定點C的坐標(biāo)，再依據(jù)點C在反比例函數(shù)的圖象上，代入關(guān)系式可以求出k

的值.

【解答】解：過點C作。垂足為。，

'：ZCOA=60°

：.ZOCD^90°-60°=30°

又：菱形0ABe的周長是8,

：.OC=OA=AB=BC=2,

在RtZiCO。中，OD=L(9C=1,

2

皿=正_心二相,

：.c(1,M),

把C(1,?)代入反比例函數(shù)y=X■得：

X

故答案為：V3-

【點評】此題綜合利用直角三角形中30。角所對的直角邊等于斜邊的一半，勾股定理、

菱形的性質(zhì)以及反比例函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特征等知識，難度不大，但考查的知識較

多.

13.（3分）（2019?張家界）《田畝比類乘除捷法》是我國古代數(shù)學(xué)家楊輝的著作，其中有一

個數(shù)學(xué)問題：“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，問長多闊幾何”.意思是：一

塊矩形田地的面積為864平方步，只知道它的長與寬共60步，問它的長比寬多多少步？

根據(jù)題意得，長比寬多12步.

【考點】1O：數(shù)學(xué)常識；AD：一元二次方程的應(yīng)用.

【專題】523：一元二次方程及應(yīng)用.

【分析】根據(jù)題意，可以列出相應(yīng)的一元二次方程，從而可以解答本題.

【解答】解：設(shè)長為x步，寬為（60-x）步，

x（60-%）=864,

解得，xi=36,無2=24（舍去），

...當(dāng)尤=36時，60-x=24,

，長比寬多：36-24=12（步），

故答案為：12.

【點評】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程,

利用方程的知識解答，注意長比寬要長.

14.（3分）（2019?張家界）如圖：正方形A8CD的邊長為1,點E,尸分別為BC,C。邊的

中點，連接AE,BF交于點、P,連接尸￡）,則tan/AP￡>=2.

【考點】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；LE：正方形的性質(zhì)；T7：解直角三角形.

【專題】556：矩形菱形正方形.

【分析】首先證明△ABE0△3CR再利用角的關(guān)系求得/BPE=90°,證明A、尸、F、

。四點共圓，^ZAFD=ZAPD,可得結(jié)論.

【解答】解：連接4凡

,:E,尸分別是正方形ABC。邊8C,C￡?的中點，

在△ABE和△85中，

rAB=BC

<NABE=NC，

tBE=CF

.'.RtAABE^RtABCF(SAS),

：.ZBAE=ZCBF,

XVZBAE+ZBEA^9Q°,

：.ZCBF+ZBEA=90°,

；.NBPE=NAPF=90°,

VZADF=9Q°,

ZA￡)F+ZAPF=180°,

...A、P、F、。四點共圓，

ZAFD=ZAPD,

tanNAP。=tanZAFD--^--2,

DF

故答案為：2.

【點評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、四點共圓的性質(zhì)、

三角函數(shù)的定義，解決的關(guān)鍵是證明NAPF=90°.

三、解答題(本大題共9個小題，滿分58分.請考生用黑色碳素筆在答題卡相應(yīng)的題號后

的答題區(qū)域內(nèi)作答，必須寫出運算步驟、推理過程或文字說明，超出答題區(qū)域的作答無效)

15.(5分)(2019?張家界)計算：(3.14-n)0+|-/2-1|-2cos45°+(-1)2019.

【考點】2C：實數(shù)的運算；6E：零指數(shù)幕；T5：特殊角的三角函數(shù)值.

【專題】511：實數(shù).

【分析】分別計算出(3.14-it)0=1,|-/2-1|=V2-1>2cos450=2X*_=a，+(-

1)2019=1即可求解；

【解答】解：(3.14-TT)°+lV2-11-2cos45°+(-1)2019

=1+M-1-2xl±L-1

2

=_1;

【點評】本題考查實數(shù)的運算；熟練掌握零指數(shù)累的運算，特殊三角函數(shù)值是解題的關(guān)

鍵.

2

16.（5分）（2019?張家界）先化簡，再求值：（生蟲-1）+*-2x+l,然后從0,1,2

x-2x-2

三個數(shù)中選擇一個恰當(dāng)?shù)臄?shù)代入求值.

【考點】6D：分式的化簡求值.

【專題】513：分式.

【分析】先根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再選取使分式有意義的x的

值代入計算可得.

【解答】解：原式=（區(qū)心-三2）.31）「

x-2x-2x-2

=xT.x-2

x-2（x-1）2

=1

x-1,

當(dāng)尤=0時,原式=-1.

【點評】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的混合運算順序和

運算法則.

17.（5分）（2019?張家界）如圖，在平行四邊形中，連接對角線AC,延長A8至點

E,使連接?！?分別交8C,AC交于點RG.

（1）求證：BF=CF-,

（2）若BC=6,DG=4,求PG的長.

【考點】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；L5：平行四邊形的性質(zhì)；S9：相似三角形的判

定與性質(zhì).

【專題】55D：圖形的相似.

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AO〃C。，AD=BC,得到△EBFS/XEA。，根

據(jù)相似三角形的性質(zhì)證明即可；

（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式計算即可.

【解答】（1）證明：???四邊形ABC。是平行四邊形，

J.AD//CD,AD=BC,

.,.△EBFs^EAD,

.BF=EB=1

"ADEA2，

:.BF=^AD=LBC,

22

：.BF=CF；

（2）解：：四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AD//CD,

:AFGCsADGA,

.FG=FC即電呈

"DGW~TT

解得，F(xiàn)G=2.

【點評】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，掌握相似三角形

的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

18.（6分）（2019?張家界）某社區(qū)購買甲、乙兩種樹苗進行綠化，已知甲種樹苗每棵30元,

乙種樹苗每棵20元，且乙種樹苗棵數(shù)比甲種樹苗棵數(shù)的2倍少40棵，購買兩種樹苗的

總金額為9000元.

（1）求購買甲、乙兩種樹苗各多少棵？

（2）為保證綠化效果，社區(qū)決定再購買甲、乙兩種樹苗共10棵，總費用不超過230元，

求可能的購買方案？

【考點】9A：二元一次方程組的應(yīng)用；C9：一元一次不等式的應(yīng)用.

【專題】521：一次方程（組）及應(yīng)用；524：一元一次不等式（組）及應(yīng)用.

【分析】（1）設(shè)購買甲種樹苗x棵，購買乙種樹苗（2尤-40）棵，由題意可得，30x+20

（2x-40）=9000；

（2）設(shè)購買甲樹苗y棵，乙樹苗（10-y）棵，根據(jù)題意可得，30y+20（10-y）W230,

根據(jù)y的范圍確定購買方案即可；

【解答】解：（1）設(shè)購買甲種樹苗X棵，購買乙種樹苗（2X-40）棵，

由題意可得，30x+20（2x-40）=9000,

70x=9800,

x=140,

購買甲種樹苗140棵，乙種樹苗240棵；

（2）設(shè)購買甲樹苗y棵，乙樹苗（10-y）棵，

根據(jù)題意可得，30v+20（10-y）W230,

10yW30,

；.yW3；

購買方案1：購買甲樹苗3棵，乙樹苗7棵；

購買方案2：購買甲樹苗2棵，乙樹苗8棵；

購買方案3：購買甲樹苗1棵，乙樹苗9棵；

購買方案4：購買甲樹苗?？?，乙樹苗10棵；

【點評】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用；能夠準(zhǔn)確列出方程，

根據(jù)題意確定不等式是解題的關(guān)鍵.

19.（6分）（2019?張家界）閱讀下面的材料：

按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.排在第

一位的數(shù)稱為第一項，記為小，排在第二位的數(shù)稱為第二項，記為。2,依此類推，排在

第〃位的數(shù)稱為第W項，記為許.所以，數(shù)列的一般形式可以寫成：ai,。2,。3,…，

an，….

一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個

數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用d表示.如：數(shù)列1,3,

5,7,…為等差數(shù)列，其中。1=1,42=3,公差為d=2.

根據(jù)以上材料，解答下列問題：

（1）等差數(shù)列5,10,15,…的公差d為5,第5項是25.

（2）如果一個數(shù)列。2,。3,…，an-,是等差數(shù)列，且公差為d,那么根據(jù)定義可

至:ci2~。1=d,a3~a2=d,U4~a3=d,,,,,cin***.

所以

ai—ai+d

a3=a2+d=(m+d)+d=m+2d,

O4=a3+d=(fli+2c?)+d=a\+3dt

由此，請你填空完成等差數(shù)列的通項公式：an=a\+（n-\）d.

（3）-4041是不是等差數(shù)列-5,-7,-9…的項？如果是，是第幾項？

【考點】37：規(guī)律型：數(shù)字的變化類.

【專題】2A：規(guī)律型.

【分析】（1）根據(jù)公差定義進行計算得d，再推算第5項便可；

（2）由a2=m+d,。3=。1+2","4=ai+3d…可知:序列號”比d的系數(shù)小1,故：an—

<71+（n-1）d.

（3）先根據(jù)樣例求出通項公式，再將-4041代入通項公式求出力若w為正整數(shù)就可以

斷定-4041是此等差數(shù)列的某一項，反之則不是.

【解答】解：（1）根據(jù)題意得，1=10-5=5；

Va3=15,

cz4=a3+d—15+5=20,

ci5=aA+d—20+5=25,

故答案為：5；25.

(2)Vai=a\+d

a3—a2+d—(ai+d)+d—a1+2d,

a4=a3+d=(m+2d)+d=a\+3d)

.".an=ai+(w-1)d

故答案為：n-1.

（3）根據(jù)題意得，

等差數(shù)列-5,-7,-9…的項的通項公式為：礪=-5-2（〃-1）,

則-5-21）=-4041,

解之得：71=2019

-4041是等差數(shù)列-5,-7,-9…的項，它是此數(shù)列的第2019項.

【點評】本題考查了學(xué)生的分析、閱讀等自學(xué)能力，解題的關(guān)鍵是要認真閱讀題目，理

解題目呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想及數(shù)學(xué)方法.

20.（6分）（2019?張家界）天門山索道是世界最長的高山客運索道，位于張家界天門山景

區(qū).在一次檢修維護中，檢修人員從索道A處開始，沿AC路線對索道進行檢修維

護.如圖：已知A8=500米，8C=800米，與水平線A41的夾角是30°,8C與水平

線的夾角是60°.求：本次檢修中，檢修人員上升的垂直高度CA1是多少米？（結(jié)

果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：73^1,732）

【考點】T8：解直角三角形的應(yīng)用.

【專題】55E：解直角三角形及其應(yīng)用.

【分析】測不易直接測量的物體的高度、測河寬等，關(guān)鍵在于構(gòu)造出直角三角形，通過

測量角的度數(shù)和測量邊的長度，計算出所要求的物體的高度或長度.根據(jù)題目已知特點

選用適當(dāng)銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學(xué)問題的答案，再轉(zhuǎn)化得到

實際問題的答案.

【解答】解：如圖，過點2作于點"

在RtZkABH中，A8=500,NBAH=30°,

500=250（米），

：.AiBi=BH=250（米），

在RtZXBBiC中，BC=800,ZCBBi=60°,

.B,CV3

??--,~--sinz^CBB.=sinGO0=—^~,

Dp/U1N

???8IC=^BC=4'X800=40075（米），

檢修人員上升的垂直高度CAi=CBi+AiBi=40073+250^943（米）

答：檢修人員上升的垂直高度CAi為943米.

【點評】本題考查了解直角三角形，熟練應(yīng)用銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵.

21.（7分）（2019?張家界）如圖，A3為。。的直徑，且42=4/5，點C是窟上的一動點

（不與A,B重合），過點8作O。的切線交AC的延長線于點。，點E是3。的中點,

連接EC

（1）求證：EC是O。的切線；

（2）當(dāng)/。=30°時，求陰影部分面積.

【考點】ME：切線的判定與性質(zhì)；MO：扇形面積的計算.

【專題】11：計算題；14：證明題；55A：與圓有關(guān)的位置關(guān)系；55C：與圓有關(guān)的計算.

【分析】（1）連接BC,OC,OE,由E是2。的中點，可得CE=BE,證明

OBE,得/OCE=/OBE=90°,則結(jié)論得證；

（2）陰影部分的面積即為四邊形OBED的面積減去扇形COB的面積.

【解答】解：（1）如圖，連接BC,OC,OE,

,：AB為OO的直徑，

AZACB=9Q°,

在RtZXBDC中，?:BE=ED,

：?DE=EC=BE,

VOC=OB,OE=OE,

???△OCE咨LOBE(SSS),

：.ZOCE=ZOBE,

???5。是。。的切線，

ZABZ)=90°,

：.ZOCE=ZABD=90°,

???0C為半徑，

???EC是OO的切線；

(2)?：OA=OB,BE=DE,

J.AD//OE,

：.ND=NOEB,

???/O=30°,

：.ZOEB=30°,ZEOB=60°,

：.ZBOC=120°,

-：AB=4^

：.OB=2M，

???BE=2娟?我二6.

???四邊形OBEC的面積為2SAOBE=2X1-X6X2乃=葭愿，

7T

陰影部分面積為S四邊形QBEC-S扇形BOC=1273-120“x(2a)—=1273-4TT.

360

【點評】此題綜合考查了直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、切線的判定方法、扇

形的面積計算方法.

22.（8分）（2019?張家界）為了響應(yīng)市政府號召，某校開展了“六城同創(chuàng)與我同行”活動

周，活動周設(shè)置了“4文明禮儀，B：生態(tài)環(huán)境，C：交通安全，D：衛(wèi)生保潔”四個主

題，每個學(xué)生選一個主題參與.為了解活動開展情況，學(xué)校隨機抽取了部分學(xué)生進行調(diào)

查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖.

（1）本次隨機調(diào)查的學(xué)生人數(shù)是60人;

（2）請你補全條形統(tǒng)計圖；

（3）在扇形統(tǒng)計圖中，“8”所在扇形的圓心角等于108度;

（4）小明和小華各自隨機參加其中的一個主題活動，請用畫樹狀圖或列表的方式求他們

恰好選中同一個主題活動的概率.

【考點】VB：扇形統(tǒng)計圖；VC：條形統(tǒng)計圖；X6：列表法與樹狀圖法.

【專題】542：統(tǒng)計的應(yīng)用；543：概率及其應(yīng)用.

【分析】（1）用“A”的頻數(shù)除以所占比例即可得出答案；

（2）求出“C”的頻數(shù)，補全條形統(tǒng)計圖即可；

（3）用360°乘以“B”所占的比例即可；

（4）畫出樹狀圖，由概率公式即可得出結(jié)果.

【解答】解：（1）本次隨機調(diào)查的學(xué)生人數(shù)=15+25%=60人；

故答案為：60；

（2）60-15-18-9=18（人），補全條形統(tǒng)計圖如圖1所示：

（3）在扇形統(tǒng)計圖中，“8”所在扇形的圓心角=360°xW=108°,

60

故答案為：108；

（4）畫樹狀圖如圖2所示：

共有16個等可能的結(jié)果，

小明和小華恰好選中同一個主題活動的結(jié)果有4個，

.?.小明和小華恰好選中同一個主題活動的概率=_￡=!

164

【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法、扇形統(tǒng)計圖、條形統(tǒng)計圖；讀懂題意，畫出樹

狀圖是解題的關(guān)鍵.

23.(10分)(2019?張家界)已知拋物線y=o?+6x+c(aWO)過點A(1,0),B(3,0)

兩點，與y軸交于點C,OC=3.

(1)求拋物線的解析式及頂點。的坐標(biāo)；

(2)過點垂足為求證：四邊形AD8M為正方形；

(3)點尸為拋物線在直線BC下方圖形上的一動點，當(dāng)APBC面積最大時，求點P的坐

標(biāo)；

(4)若點Q為線段OC上的一動點，問：AQ+^QC是否存在最小值？若存在，求出這

個最小值；若不存在，請說明理由.

【考點】HF：二次函數(shù)綜合題.

【專題】16：壓軸題；31：數(shù)形結(jié)合；48：構(gòu)造法；67：推理能力.

【分析】(1)函數(shù)的表達式為：y=a(x-1)(x-3)=a(/-4x+3),即可求解；

(2)AM=MB=ABsm45°=y[2=AD=BD,則四邊形為菱形，而/AMB=90°,

即可求解；

(3)S?BC=LPHXOB,即可求解；

2

(4)過點C作與v軸夾角為30°的直線過點A作垂足為則WQ=LC。,

2

AQ+LQC最小值=AQ+HQ=A8,即可求解.

2

【解答】解：(1)函數(shù)的表達式為：y=a(x-1)(x-3)=a(/-4x+3),

即：3。=3,解得：a=l,

故拋物線的表達式為：y=/-4x+3,

則頂點。(2,-1)；

(2)：OB=OC=4,：.ZOBC^ZOCB=45°,

AM=MB=ABsin450=yf2=AD=BD,

則四邊形AOBM為菱形，而乙4MB=90°,

四邊形ADBM為正方形；

(3)將點8、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達式：并解得:

直線BC的表達式為：y=-x+3,

過點P作y軸的平行線交BC于點H,

設(shè)點尸(x,J?-4.r+3),則點H(x,-尤+3),

則S?BC=LPHXOB=3(-X+3-?+4x-3)=3(-x2+3x),

222

v-2<o,故S#BC有最大值，此時尤=W,

22

故點尸(鼻，-3)；

24

(4)存在，理由：

如上圖，過點C作與y軸夾角為30°的直線CH過點A作AHLCH,垂足為X,

則HQ^CQ,

AQ+LQC最小值

2

直線HC所在表達式中的左值為直線HC的表達式為：y=心+3…①

則直線AH所在表達式中的左值為-

3

則直線AH的表達式為：y=-1+s,將點A的坐標(biāo)代入上式并解得：

-3

則直線AH的表達式為：尸-叵c+Y3…②，

-33

聯(lián)立①②并解得：x=IT遮,

4

故點”（1-3M,過巨），而點A（1,0）,

44

貝I]AH=3&+遍,

4_

即：AQ+LQC的最小值為孑&返.

24

【點評】本題是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、特殊四邊形性質(zhì)、圖形的面積計

算等，其中（4）,過點C作與y軸夾角為30°的直線CH,則“。=去（?。是本題的難

點.

考點卡片

1.相反數(shù)

（1）相反數(shù)的概念：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù).

（2）相反數(shù)的意義：掌握相反數(shù)是成對出現(xiàn)的，不能單獨存在，從數(shù)軸上看，除0外，互

為相反數(shù)的兩個數(shù)，它們分別在原點兩旁且到原點距離相等.

（3）多重符號的化簡：與“+”個數(shù)無關(guān)，有奇數(shù)個“-”號結(jié)果為負，有偶數(shù)個“-”

號，結(jié)果為正.

（4）規(guī)律方法總結(jié)：求一個數(shù)的相反數(shù)的方法就是在這個數(shù)的前邊添加“-如。的相反

數(shù)是-a,的相反數(shù)是-（m+n）,這時機+〃是一個整體，在整體前面添負號時，要用

小括號.

2.科學(xué)記數(shù)法一表示較大的數(shù)

（1）科學(xué)記數(shù)法：把一個大于10的數(shù)記成。義10"的形式，其中。是整數(shù)數(shù)位只有一位的

數(shù)，〃是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法.【科學(xué)記數(shù)法形式：oXIO",其中l(wèi)Wa<10,

〃為正整數(shù)

（2）規(guī)律方法總結(jié)：

①科學(xué)記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)

位數(shù)少1；按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)加

②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學(xué)記數(shù)法表示，實質(zhì)上絕對值大于10的負數(shù)同樣可用

此法表示，只是前面多一個負號.

3.數(shù)學(xué)常識

數(shù)學(xué)常識

此類問題要結(jié)合實際問題來解決，生活中的一些數(shù)學(xué)常識要了解.比如給出一個物體的高度

要會選擇它合適的單位長度等等.

平時要注意多觀察，留意身邊的小知識.

4.實數(shù)的運算

（1）實數(shù)的運算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實數(shù)既可以進行加、減、乘、除、

乘方運算，又可以進行開方運算，其中正實數(shù)可以開平方.

（2）在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算

乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到有的順序進行.

另外，有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

【規(guī)律方法】實數(shù)運算的“三個關(guān)鍵”

I.運算法則：乘方和開方運算、幕的運算、指數(shù)（特別是負整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運算、根

式運算、特殊三角函數(shù)值的計算以及絕對值的化簡等.

2.運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從

左到右依次運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算.

3.運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準(zhǔn)確度.

5.合并同類項

（1）定義：把多項式中同類項合成一項，叫做合并同類項.

（2）合并同類項的法則：把同類項的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不

變.

（3）合并同類項時要注意以下三點：

①要掌握同類項的概念，會辨別同類項，并準(zhǔn)確地掌握判斷同類項的兩條標(biāo)準(zhǔn)：帶有相同

系數(shù)的代數(shù)項；字母和字母指數(shù)；

②明確合并同類項的含義是把多項式中的同類項合并成一項，經(jīng)過合并同類項，式的項數(shù)

會減少，達到化簡多項式的目的；

③“合并”是指同類項的系數(shù)的相加，并把得到的結(jié)果作為新的系數(shù)，要保持同類項的字

母和字母的指數(shù)不變.

6.規(guī)律型：數(shù)字的變化類

探究題是近幾年中考命題的亮點，尤其是與數(shù)列有關(guān)的命題更是層出不窮，形式多樣，它要

求在已有知識的基礎(chǔ)上去探究，觀察思考發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

（1）探尋數(shù)列規(guī)律：認真觀察、仔細思考，善用聯(lián)想是解決這類問題的方法.

（2）利用方程解決問題.當(dāng)問題中有多個未知數(shù)時，可先設(shè)出其中一個為無，再利用它們

之間的關(guān)系，設(shè)出其他未知數(shù)，然后列方程.

7.同底數(shù)塞的乘法

（1）同底數(shù)累的乘法法則：同底數(shù)塞相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.

1m+n（m,"是正整數(shù)）

（2）推廣：am-an-aP=am+n+P",n,p都是正整數(shù)）

在應(yīng)用同底數(shù)累的乘法法則時，應(yīng)注意：①底數(shù)必須相同，如23與25,（/.）3與（°2.）

4,（x-y）2與（尤-y）3等；②0可以是單項式，也可以是多項式；③按照運算性質(zhì)，只

有相乘時才是底數(shù)不變，指數(shù)相加.

（3）概括整合：同底數(shù)幕的乘法，是學(xué)習(xí)整式乘除運算的基礎(chǔ)，是學(xué)好整式運算的關(guān)鍵.在

運用時要抓住“同底數(shù)”這一關(guān)鍵點，同時注意，有的底數(shù)可能并不相同，這時可以適當(dāng)變

形為同底數(shù)幕.

8.暴的乘方與積的乘方

（1）幕的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

（/）"=*（1,a是正整數(shù)）

注意：①幕的乘方的底數(shù)指的是幕的底數(shù)；②性質(zhì)中“指數(shù)相乘”指的是幕的指數(shù)與乘方

的指數(shù)相乘，這里注意與同底數(shù)塞的乘法中“指數(shù)相加”的區(qū)別.

（2）積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的累相乘.

Cab）n=anbn（〃是正整數(shù)）

注意：①因式是三個或三個以上積的乘方，法則仍適用；②運用時數(shù)字因數(shù)的乘方應(yīng)根據(jù)

乘方的意義，計算出最后的結(jié)果.

9.完全平方公式

（1）完全平方公式：（。±6）2=。2±2而+廬.

可巧記為：“首平方，末平方，首末兩倍中間放”.

（2）完全平方公式有以下幾個特征：①左邊是兩個數(shù)的和的平方；②右邊是一個三項式，

其中首末兩項分別是兩項的平方，都為正，中間一項是兩項積的2倍；其符號與左邊的運算

符號相同.

（3）應(yīng)用完全平方公式時，要注意：①公式中的°,6可是單項式，也可以是多項式；②

對形如兩數(shù)和（或差）的平方的計算，都可以用這個公式；③對于三項的可以把其中的兩

項看做一項后，也可以用完全平方公式.

10.提公因式法與公式法的綜合運用

提公因式法與公式法的綜合運用.

11.分式的化簡求值

先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應(yīng)的值代入求出分式的值.

在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡.化簡的最后結(jié)果分子、分母要進行約分，注

意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式.

【規(guī)律方法】分式化簡求值時需注意的問題

1.化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值.化簡時不能跨度太大，而缺

少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當(dāng)…時，原式=

2.代入求值時，有直接代入法，整體代入法等常用方法.解題時可根據(jù)題目的具體條件選

擇合適的方法.當(dāng)未知數(shù)的值沒有明確給出時，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式

都有意義，且除數(shù)不能為0.

12.零指數(shù)幕

零指數(shù)塞：a°=l（。。0）

由a皿+。m=a"L'"=a°可推出a°=l（aWO）

注意：00WL

13.二元一次方程組的應(yīng)用

（一）、列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟：

（1）審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系.

（2）設(shè)元：找出題中的兩個關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來.

（3）列方程組：挖掘題目中的關(guān)系，找出兩個等量關(guān)系，列出方程組.

（4）求解.

（5）檢驗作答：檢驗所求解是否符合實際意義，并作答.

（二）、設(shè)元的方法：直接設(shè)元與間接設(shè)元.

當(dāng)問題較復(fù)雜時，有時設(shè)與要求的未知量相關(guān)的另一些量為未知數(shù)，即為間接設(shè)元.無論怎

樣設(shè)元，設(shè)幾個未知數(shù)，就要列幾個方程.

14.一元二次方程的應(yīng)用

1、列方程解決實際問題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列

方程的解，檢驗和作答.

2、列一元二次方程解應(yīng)用題中常見問題：

（1）數(shù)字問題：個位數(shù)為a,十位數(shù)是b,則這個兩位數(shù)表示為106+a.

（2）增長率問題：增長率=增長數(shù)量/原數(shù)量X100%.如：若原數(shù)是a,每次增長的百分率

為x,則第一次增長后為a（1+尤）；第二次增長后為a（1+x）2,即原數(shù)X（1+增長百分率）

2=后來數(shù).

（3）形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長.②利用三角形、

矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程.③利用

相似三角形的對應(yīng)比例關(guān)系，列比例式，通過兩內(nèi)項之積等于兩外項之積，得到一元二次方

程.

（4）運動點問題：物體運動將會沿著一條路線或形成一條痕跡，運行的路線與其他條件會

構(gòu)成直角三角形，可運用直角三角形的性質(zhì)列方程求解.

【規(guī)律方法】列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”

1.審：理解題意，明確未知量、己知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系.

2.設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù).

3.歹！J：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程.

4.解：準(zhǔn)確求出方程的解.

5.驗：檢驗所求出的根是否符合所列方程和實際問題.

6.答：寫出答案.

15.在數(shù)軸上表示不等式的解集

用數(shù)軸表示不等式的解集時，要注意“兩定”：

一是定界點，一般在數(shù)軸上只標(biāo)出原點和界點即可.定邊界點時要注意，點是實心還是空心,

若邊界點含于解集為實心點，不含于解集即為空心點；

二是定方向，定方向的原則是：''小于向左，大于向右”.

【規(guī)律方法】不等式解集的驗證方法

某不等式求得的解集為x>a,其驗證方法可以先將a代入原不等式，則兩邊相等，其

次在無>。的范圍內(nèi)取一個數(shù)代入原不等式，則原不等式成立.

16.一元一次不等式的應(yīng)用

（1）由實際問題中的不等關(guān)系列出不等式，建立解決問題的數(shù)學(xué)模型，通過解不等式可以

得到實際問題的答案.

（2）列不等式解應(yīng)用題需要以“至少”、“最多”、“不超過”、“不低于”等詞來體現(xiàn)問題中

的不等關(guān)系.因此，建立不等式要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵.

（3）列一元一次不等式解決實際問題的方法和步驟：

①弄清題中數(shù)量關(guān)系，用字母表示未知數(shù).

②根據(jù)題中的不等關(guān)系列出不等式.

③解不等式，求出解集.

④寫出符合題意的解.

17.解一元一次不等式組

(1)一元一次不等式組的解集：幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組

成的不等式組的解集.

(2)解不等式組：求不等式組的解集的過程叫解不等式組.

(3)一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集,

再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集.

方法與步驟：①求不等式組中每個不等式的解集；②利用數(shù)軸求公共部分.

解集的規(guī)律：同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到.

18.規(guī)律型：點的坐標(biāo)

規(guī)律型：點的坐標(biāo).

19.反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征

反比例函數(shù)y=g(左為常數(shù)，k手0)的圖象是雙曲線，

①圖象上的點(尤，y)的橫縱坐標(biāo)的積是定值上即孫=心

②雙曲線是關(guān)于原點對稱的，兩個分支上的點也是關(guān)于原點對稱；

③在y=klx圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形

的面積是定值I川.

20.二次函數(shù)綜合題

(1)二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合問題

解決此類問題時，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號，然后判斷新的函數(shù)關(guān)系

式中系數(shù)的符號，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即

為正確選項.

(2)二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應(yīng)用

將函數(shù)知識與方程、幾何知識有機地結(jié)合在一起.這類試題一般難度較大.解這類問題關(guān)鍵

是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識,

并注意挖掘題目中的一些隱含條件.

(3)二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用題

從實際問題中分析變量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型.關(guān)鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立

直角坐標(biāo)系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的

取值范圍要使實際問題有意義.

21.平行線的性質(zhì)

1、平行線性質(zhì)定理

定理1:兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.簡單說成：兩直線平行，同位角

相等.

定理2：兩條平行線被地三條直線所截，同旁內(nèi)角互補..簡單說成：兩直線平行，同旁

內(nèi)角互補.

定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等.簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角

相等.

2、兩條平行線之間的距離處處相等.

22.全等三角形的判定與性質(zhì)

（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三

角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔

助線構(gòu)造三角形.

23.角平分線的性質(zhì)

角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

注意：①這里的距離是指點到角的兩邊垂線段的長；②該性質(zhì)可以獨立作為證明兩條線段

相等的依據(jù)，有時不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角

平分線的性質(zhì)語言：如圖，在/A08的平分線上，CD±OA,CE1OB：.CD=CE

24.等邊三角形的判定與性質(zhì)

（1）等邊三角形是一個非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計算奠定了基礎(chǔ),

它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件.同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形,

同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用.

（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成

含有30°角的直角三角形、連接三邊中點可以把等邊三角形分成四個全等的小等邊三角形

等.

（3）等邊三角形判定最復(fù)雜，在應(yīng)用時要抓住已知條件的特點，選取恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒ǎ?/p>

般地，若從一般三角形出發(fā)可以通過三條邊相等判定、通過三個角相等判定；若從等腰三角

形出發(fā)，則想法獲取一個60°的角判定.

25.平行四邊形的性質(zhì)

（1）平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.

（2）平行四邊形的性質(zhì)：

①邊：平行四邊形的對邊相等.

②角：平行四邊形的對角相等.

③對角線：平行四邊形的對角線互相平分.

（3）平行線間的距離處處相等.

（4）平行四邊形的面積：

①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積.

②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等.

26.菱形的性質(zhì)

（1）菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

（2）菱形的性質(zhì)

①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；

②菱形的四條邊都相等；

③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；

④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線.

（3）菱形的面積計算

①利用平行四邊形的面積公式.

②菱形面積=專湖.（。、6是兩條對角線的長度）

27.正方形的性質(zhì)

（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.

（2）正方形的性質(zhì)

①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；

②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；

③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).

④兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形,

有四條對稱軸.

28.切線的判定與性質(zhì)

（1）切線的性質(zhì)

①圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.

②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點.

③經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.

（2）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

（3）常見的輔助線的：

①判定切線時“連圓心和直線與圓的公共點”或“過圓心作這條直線的垂線”；

②有切線時，常?！坝龅角悬c連圓心得半徑”.

29.扇形面積的計算

（1）圓面積公式：S=TTJ

（2）扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形.

（3）扇形面積計算公式：設(shè)圓心角是,圓的半徑為R的扇形面積為S,則

s扇形=—^―冗網(wǎng)或S扇形（其中/為扇形的弧長）

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（4）求陰影面積常用的方法：

①直接用公式法；

②和差法；

③割補法.

（5）求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積.

30.軸對稱圖形

（1）軸對稱圖形的概念：

如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形,

這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱.

（2）軸對稱圖形是針對一個圖形而言的，是一種具有特殊性質(zhì)圖形，被一條直線分割成的

兩部分沿著對稱軸折疊時，互相重合；軸對稱圖形的對稱軸可以是一條，也可以是多條甚至

無數(shù)條.

（3）常見的軸對稱圖形：

等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等.

31.中心對稱圖形

(1)定