4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用

對(duì)點(diǎn)練

知識(shí)點(diǎn)一指數(shù)型函數(shù)模型

1.我國古代著名的思想家莊子在《莊子?天下篇》中說：“一尺之梗，日取其半，萬世

不竭.”用現(xiàn)代語言敘述為：一尺長的木棒，每天取其一半，永遠(yuǎn)也取不完.這樣，每天剩

下的部分都是前一天的一半.如果把“一尺之趣”看成單位“1”，那么X天后剩下的部分y

與x的函數(shù)關(guān)系式為()

1、2,、

A.y=gx(x￡N+)B.y=x(x￡N+)

C.尸2"(x￡N+)D.p=/(x￡N+)

答案D

解析由題意可得，剩下的部分依次為〈，P(，…，因此X天后剩下的部分了與X的函

Z4o

數(shù)關(guān)系式為y=，(xWN+),故選D.

2.某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)獎(jiǎng)金投入.若該公司2016年全年投入研發(fā)獎(jiǎng)

金130萬元.在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)獎(jiǎng)金比上一年增長12%,則該公司全年投入的研

發(fā)獎(jiǎng)金開始超過200萬元的年份是(參考數(shù)據(jù)：1g1.12-0.05,1g1.3-0.11,lg

2-0.30)()

A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年

答案C

解析設(shè)第x年的研發(fā)獎(jiǎng)金為200萬元，則由題意可得130X(l+12%)'=200,1.12'

2020lg20lg13

x=10gi.i2—logi.I20

132lg1.12lg1.12

lg2+lg10lg1.3+lg100.3+1-0.11-1

------------------------y--------------二---------=3.8.即3年后不到200萬元，第

lg1.12

4年超過200萬元，即2020年超過200萬元.

3.某食品的保鮮時(shí)間y(單位：小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度x(單位：。C)滿足函數(shù)關(guān)系y=e**+〃(e

=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k,6為常數(shù)).若該食品在0℃的保鮮時(shí)間是192小時(shí)，在

22℃的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，則該食品在33℃的保鮮時(shí)間是小時(shí).

答案24

48,

解析由已知條件得e〃=192.又48=6.+〃=1926次=192(小乍，?■

192

1

21

~=5.設(shè)該食品在33℃的保鮮時(shí)間是2小時(shí)，則t=e3k+b=192e33A=192(e11A)3=192X1)

=24.

4.物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來描述：設(shè)物體的初始溫度是幾經(jīng)

過一定時(shí)間［后的溫度是T,則？一北=(4—北)?《J2,其中，表示環(huán)境溫度，人稱為半衰

期.現(xiàn)有一杯用88℃熱水沖的速溶咖啡，放在24℃的房間中，如果咖啡降溫到40℃需要

20min,那么降溫到35°C時(shí)，需要多少時(shí)間？

20

解由題意知40—24=(88—24)?自'，

20

故7—24=(88—24)?⑸.

將7=35代入上式，得

tt

35-24=(88-24)-Id，即團(tuán)=而

兩邊取對(duì)數(shù)，用計(jì)算器求得t?25.

因此，約需要25min,可降溫到35℃.

5.某地區(qū)為響應(yīng)上級(jí)號(hào)召，在2015年初，新建了一批有200萬平方米的廉價(jià)住房，供

困難的城市居民居住.由于下半年受物價(jià)的影響，根據(jù)本地區(qū)的實(shí)際情況，估計(jì)今后住房的

年平均增長率只能達(dá)到5%.

(1)經(jīng)過x年后，該地區(qū)的廉價(jià)住房為y萬平方米，求了=『(工)的表達(dá)式，并求此函數(shù)的

定義域；

(2)作出函數(shù)尸/<x)的圖象，并結(jié)合圖象求：經(jīng)過多少年后，該地區(qū)的廉價(jià)住房能達(dá)到

300萬平方米？

解(1)經(jīng)過1年后，廉價(jià)住房面積為200+200X5%=200(l+5%)；

經(jīng)過2年后為200(1+5%)?；

經(jīng)過x年后，廉價(jià)住房面積為200(1+5%)*,

所以y=f(x)=200(l+5%)，(xGN*).

（2）作函數(shù)尸f（x）=200（l+5%）"（xeN）的圖象，如圖所示.

萬平方米

3

200

250

100

150

00

50

0123456789”年

作直線y=300,與函數(shù)y=200（l+5%），的圖象交于/點(diǎn)，則/（劉，300）,4點(diǎn)的橫坐標(biāo)

益的值就是函數(shù)值y=300時(shí)所經(jīng)過的時(shí)間x的值.因?yàn)?〈劉〈9,則取劉=9,即經(jīng)過9年后,

該地區(qū)的廉價(jià)住房能達(dá)到300萬平方米.

知識(shí)點(diǎn)二對(duì)數(shù)型函數(shù)模型

6.據(jù)統(tǒng)計(jì)，每年到鄱陽湖國家濕地公園越冬的白鶴數(shù)量y（只）與時(shí)間x（年）近似滿足關(guān)

系y=alog3（x+2）,觀測發(fā)現(xiàn)2014年冬（作為第1年）有越冬白鶴3000只，估計(jì)到2020年

冬有越冬白鶴（）

A.4000只B.5000只C.6000只D.7000只

答案C

解析當(dāng)x=l時(shí)，y=alog33=a=3000,...y=30001og3（x+2）.當(dāng)x=7時(shí)，y=30001og39

=6000,即2020年冬有越冬白鶴6000只.

7.某公司對(duì)營銷人員有如下規(guī)定：①年銷售額x（萬元）在8萬元以下，沒有獎(jiǎng)金；②年

銷售額x（萬元），xe[8,64]時(shí)，獎(jiǎng)金為y萬元，且尸log,[3,6],且年銷售額越大，

獎(jiǎng)金越多；③年銷售額x（萬元）超過64萬元，按年銷售額的10%發(fā)獎(jiǎng)金.

（1）求獎(jiǎng)金y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（2）某營銷人員爭取年獎(jiǎng)金昨[4,10]（萬元），求年銷售額x在什么范圍內(nèi).

解（1）依題意知y=log，在xe[8,64]上為增函數(shù)，

[loga8=3,

由題意得，…「所以a=2,

〔log464=6,

~0,0Wx〈8,

「一，logzx,8Wx<64,

所以

1

x>64-

（2）易知x28.

當(dāng)8WV64時(shí)，要使ye[4,10],

貝U4Wlog2；s<10,所以16WH024,所以16Wx（64.

當(dāng)x〉64時(shí)，要使昨[4,10],則泵^[4,10],

即40Wx(100,

所以64<^<100.

綜上，當(dāng)年銷售額x在［16,100］（萬元）內(nèi)時(shí)，年獎(jiǎng)金ye［4,10］（萬元）.

知識(shí)點(diǎn)三建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問題

8.某商場在銷售空調(diào)旺季的4天內(nèi)的利潤如下表所示.

時(shí)間1234

利潤（千元）23.988.0115.99

現(xiàn)構(gòu)建一個(gè)銷售這種空調(diào)的函數(shù)模型，應(yīng)是下列函數(shù)中的（）

A.y=log2XB.尸2"C.y^xD.y—2x

答案B

解析把x=l,2,3,4代入，只有y=2'的值最接近表格中的對(duì)應(yīng)值.

9.為了估計(jì)山上積雪融化后對(duì)下游灌溉的影響，在山上建立了一個(gè)觀察站，測量最大積

雪深度x與當(dāng)年灌溉面積y.現(xiàn)有連續(xù)10年的實(shí)測資料，如表所示.

年序最大積雪深度x（cm）灌溉面積y（公頃）

115.228.6

210.421.1

321.240.5

418.636.6

526.449.8

623.445.0

713.529.2

816.734.1

924.045.8

1019.136.9

（1）描點(diǎn)畫出灌溉面積隨積雪深度變化的圖象；

（2）建立一個(gè)能基本反映灌溉面積變化的函數(shù)模型，并畫出圖象；

（3）根據(jù)所建立的函數(shù)模型，估計(jì)若今年最大積雪深度為25cm,則可以灌溉土地多少公

頃？

解（1）描點(diǎn)、作圖，如圖甲所示：

50/

40...

30[..

20f-

0|1020

甲乙

（2）從圖甲中可以看到，數(shù)據(jù)點(diǎn)大致落在一條直線附近，由此，我們假設(shè)灌溉面積y與最

大積雪深度x滿足一次函數(shù)模型y=a+bx（a,b為常數(shù)且6W0）.取其中的兩組數(shù)據(jù)

(10.4,21.1),(24.0,45.8),代入尸a+法,得[扁21.&li=a+10.4一6,用計(jì)算器可得.2,

gl.8.這樣，得到一個(gè)函數(shù)模型：y=2.2+1.8x,作出函數(shù)圖象如圖乙，可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)函

數(shù)模型與已知數(shù)據(jù)的擬合程度較好,這說明它能較好地反映最大積雪深度與灌溉面積的關(guān)系.

⑶由⑵得到的函數(shù)模型為尸2.2+1.8右則由尸2.2+1.8X25,求得尸47.2,即

當(dāng)最大積雪深度為25cm時(shí)，可以灌溉土地約為47.2公頃.

易錯(cuò)

易錯(cuò)點(diǎn)函數(shù)模型選擇不當(dāng)致誤

某城市出租車起步價(jià)為10元，最遠(yuǎn)可租乘3km（含3km）,以后每1km增加1.6元（不

足1km按1km計(jì)費(fèi)），則出租車的費(fèi)用y（元）與行駛的里程x（km）之間的函數(shù)圖象大致為

易錯(cuò)分析本題中，當(dāng)乘坐里程x>3時(shí)，極易選擇一次函數(shù)模型導(dǎo)致錯(cuò)選了D.

答案C

正解出租車起步價(jià)為10元（最遠(yuǎn)3km的行程），即在（0,3］內(nèi)對(duì)應(yīng)y值為10,以后每1

km增加1.6元，故選C.

課時(shí)

一、單項(xiàng)選擇題

1.某種動(dòng)物繁殖數(shù)量y（只）與時(shí)間x（年）的關(guān)系為y=Rog2（x+l）,設(shè)這種動(dòng)物第一年

有200只，到第7年它們發(fā)展到（）

A.300只B.400只

C.500只D.600只

答案D

解析由已知第一年有200只，得〃=200.將0=200,x=7代入尸血og2（x+l）,得y

=600.

2.某種產(chǎn)品今年的產(chǎn)量是a,如果保持5%的年增長率，那么經(jīng)過x年（xGN*）,該產(chǎn)品

的產(chǎn)量y滿足（）

A.尸a（l+5%x）B.y=a+5%

C.y=a（l+5%）iD.y=a（l+5%）*

答案D

解析經(jīng)過1年，y=a（l+5%）,經(jīng)過2y=a（l+5%）2,-??,經(jīng)過x年，y=a（l+5%）\

3.某研究小組在一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)中獲得一組關(guān)于y,大的數(shù)據(jù)，將其整理得到如圖所示的圖形,

下列函數(shù)中，最能近似刻畫y與力之間關(guān)系的是（

23456789101112131415161718

A.y=2fB.y=2/

3

C.y—tD.y=log2t

答案D

解析由題圖知可能是尸10g2力

4.若鐳經(jīng)過100年后剩留原來質(zhì)量的95.76%,設(shè)質(zhì)量為1的鐳經(jīng)過x年后剩留量為y,

則x,y的函數(shù)關(guān)系是（）

A.y=(0.9576)B.尸(0.9576產(chǎn)

29576'

C.尸D.y=l-(0.0424)

100

答案A

解析設(shè)鐳一年放射掉其質(zhì)量的設(shè)，則有95.76%=1?（1—設(shè)）加，1—設(shè)=（0.9576）

5.已知函數(shù)t=-1441g（1一擊）的圖象可表示打字任務(wù)的“學(xué)習(xí)曲線”，其中大表示

達(dá)到打字水平M字/分）所需的學(xué)習(xí)時(shí)間（時(shí)），”表示每分鐘打出的字?jǐn)?shù)（字/分），則按此曲線

要達(dá)到90字/分的水平，所需的學(xué)習(xí)時(shí)間是（）

A.12小時(shí)B.90小時(shí)C.100小時(shí)D.144小時(shí)

答案D

（90、

解析當(dāng)代90時(shí)，t=—1441g11—扁=144.

6.某品牌電視機(jī)投放市場后，第一個(gè)月銷售100臺(tái)，第二月銷售200臺(tái)，第三個(gè)月銷售

400臺(tái)，第四個(gè)月銷售790臺(tái)，則下列函數(shù)模型中能較好反映銷量y（臺(tái)）與投放市場的月數(shù)x

之間的關(guān)系的是（）

A.y=100xB.y=500/—50x+100

C.y=50X2'D.y=1001og2^+100

答案C

解析對(duì)于A中的函數(shù)，當(dāng)x=3或4時(shí)，誤差較大；對(duì)于B中的函數(shù)，當(dāng)x=3或4時(shí)

誤差也較大；對(duì)于C中的函數(shù)，當(dāng)x=l,2,3時(shí)，誤差為0,當(dāng)x=4時(shí)，誤差為10,誤差很

??；對(duì)于D中的函數(shù)，當(dāng)x=4時(shí)，據(jù)函數(shù)式得到的結(jié)果為300,與實(shí)際值790相差很遠(yuǎn)，故

選C.

7.某個(gè)體企業(yè)的一個(gè)車間去年有8名工人，每人年薪為1萬元，從今年起，計(jì)劃每人的

年薪比上一年增加20%；另外，每年新招3名工人，每名新工人第一年的年薪為8千元，第

二年起與老工人的年薪相同.若以今年為第一年，那么，將第〃年企業(yè)付給工人的工資總額

y(單位：萬元)表示成〃的函數(shù)，其表達(dá)式為()

A.y=(3〃+5)X1.2"+2.4

B.y=8X1.2"+2.4〃

C.y=(377+8)XI.2n+2.4

D.y=(3z2+5)Xl.2^+2.4

答案A

解析第一年企業(yè)付給工人的工資總額為1X1.2X8+0.8X3=9.6+2.4=12(萬元)，

而對(duì)于4個(gè)選項(xiàng)而言，當(dāng)〃=1時(shí)，C,D相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值均不為12,故可排除C,D.再考慮

第二年企業(yè)付給工人的工資總額，第二年有11個(gè)老工人，3個(gè)新工人，工資總額為(11X1.2?

+2.4)萬元,故選A.

8.衣柜里的樟腦丸，隨著時(shí)間會(huì)揮發(fā)而體積縮小，剛放進(jìn)去的新丸體積為a,經(jīng)過C天

4

后體積，與天數(shù)t的關(guān)系式為：-a-e..已知新丸經(jīng)過50天后，體積變?yōu)榕F.若一個(gè)新丸

體積變?yōu)榱頰,則需經(jīng)過的天數(shù)為()

A.125B.100C.75D.50

答案C

1

4，4、50QQ

解析依題意，薩丁?"叫.,一=匕.設(shè)經(jīng)過G天后，新丸體積變?yōu)榉絘,則方a

13口口

=a,e—ktl,??而在=亍即575.

二、多項(xiàng)選擇題

9.化學(xué)上常用pH值來表示溶液酸堿性的強(qiáng)弱，pH=—lg(c(H+)),其中c(H+)表示溶

液中H+的濃度，下列說法中正確的是()

A.pH隨著溶液中H+濃度的增加而增大

B.純凈水的C(H+)=1X10Tmol/L,則純凈水的pH值為7

C.若一杯胡蘿卜汁的c(H+)moi/L,則這杯胡蘿卜汁的pH值為5

D.pH值為3的溶液的C(H+)=1X1C)Tmoi/L

答案BCD

解析VpH=-lg(c(H+))為減函數(shù)，；.pH隨著溶液中酎濃度的增加而減小，故A錯(cuò)

誤；當(dāng)c(H+)=1X10一］mol/L時(shí)，pH=7,當(dāng)c(H*)=1XICP'mol/L時(shí)，pH=5,故B,C正

確；當(dāng)pH=3時(shí)，c(H+)=1X1()Tmol/L,故D正確.故選BCD.

10.放射性物質(zhì)衰變過程中其剩余質(zhì)量隨時(shí)間按指數(shù)函數(shù)關(guān)系變化.常把它的剩余質(zhì)量

變?yōu)樵瓉淼囊话胨?jīng)歷的時(shí)間稱為它的半衰期，記為T,現(xiàn)測得某種放射性元素的剩余質(zhì)

1

量A隨時(shí)間t變化的6次數(shù)據(jù)如下:

公單位時(shí)間)

則下列結(jié)論正確的是()

A.這種元素的半衰期為4個(gè)單位時(shí)間

B.剩余質(zhì)量隨時(shí)間變化的衰變公式為A(t)=320-2,

C.t—12時(shí)，A(t)=45

D.t=16時(shí)，/(力=20

答案AD

解析從題表中數(shù)據(jù)易知半衰期為4個(gè)單位時(shí)間，故A正確；由初始質(zhì)量為4=320,

則經(jīng)過時(shí)間t的剩余質(zhì)量為40=4?0-=320?2*》0),故B錯(cuò)誤；當(dāng)t=12

時(shí)，/(。=40,故C錯(cuò)誤；當(dāng)2=16時(shí)，A(t)—20,故D正確.故選AD.

11.如圖所示是某受污染的湖泊在自然凈化過程中某種有害物質(zhì)的剩留量y與凈化時(shí)間

乂月)的近似函數(shù)關(guān)系：尸a'(t20,a>0且aWl)的圖象，則()

4"月

2

A.第3個(gè)月有害物質(zhì)的剩留量是二

B-第4個(gè)月時(shí),剩留量就會(huì)低于g

C.每月減少的有害物質(zhì)質(zhì)量都相等

D.當(dāng)剩留量為上，（，（時(shí)，所經(jīng)過的時(shí)間分別是3tz,t3,則tl+tz=tz

答案BD

解析由于函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,胃，故函數(shù)的關(guān)系式為尸仔）?當(dāng)2=3時(shí)，

8[6]2]

=而，故A錯(cuò)誤；當(dāng)方=4時(shí)，y=—<-,故B正確；當(dāng)力=1時(shí)，7=29減少于當(dāng)Z=2時(shí),

11

491解得

y=a，減少I故每月減少的有害物質(zhì)質(zhì)量不相等，故c錯(cuò)誤；分別令尸5，4-8-

yyz

=10g力2=10g13=10g所以方1+力2=方3,故D正確.故選BD.

222428

333

12.某地下車庫在排氣扇發(fā)生故障的情況下，測得空氣中一氧化碳的含量達(dá)到了危險(xiǎn)狀

態(tài)，經(jīng)搶修后恢復(fù)正常.排氣4分鐘后測得車庫內(nèi)一氧化碳濃度為64ppm（ppm為濃度單位,

1ppm表示百萬分之一），再過4分鐘又測得濃度為32ppm.經(jīng)檢驗(yàn)知，該地下車庫一氧化碳

濃度y（ppm）與排氣時(shí)間公分鐘）之間存在函數(shù)關(guān)系y=（""（c’/為常數(shù)）.貝U（）

A.c=128

1

C.排氣16分鐘后，一氧化碳濃度為8Ppm

D.若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5ppm為正常，至少排氣32分鐘才能使這個(gè)地下車

庫中一氧化碳的含量達(dá)到正常狀態(tài)

答案ACD

d2I=64,c=128,

解析由題意可得1解得《1

A正確，B錯(cuò)誤；y=128義

加餐32,

1

-

41

,當(dāng)力=16時(shí)，7=128><（目"=8,C正確；令128義解

2-

得t^32,即至少排氣32分鐘才能使這個(gè)地下車庫中一氧化碳的含量達(dá)到正常狀態(tài),D正確.故

選ACD.

三、填空題

13.在一次數(shù)學(xué)試驗(yàn)中，應(yīng)用圖形計(jì)算器采集到如下一組數(shù)據(jù):

給出下列幾個(gè)函數(shù)：

@y=a+bx-,?y=a+（§）y=ax+Z）；@y=a+A

其中可以近似表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律的是.

答案②

解析明顯不是一次函數(shù)，排除①；③是二次函數(shù)，且對(duì)稱軸為x=0,y值不關(guān)于x=0

對(duì)稱，故排除③；④中函數(shù)的定義域?yàn)椋?8,0）U（0,+8）,x/o,故排除④.

14.家用電器（如冰箱）使用的氟化物的釋放破壞了大氣上層的臭氧層，臭氧量0呈指數(shù)

函數(shù)型變化，滿足關(guān)系0=^°m25t,其中《是臭氧的初始量，則年以后將會(huì)有一

半的臭氧消失.（參考數(shù)據(jù)：6處=看結(jié)果保留整數(shù)）

答案277

解析令3"，即e—a。吟-o.0025（fe—tj）=-0.6932,解得

Mi/乙乙

t2-t釣217,即277年后臭氧減少一半.

15.人們通常以分貝（符號(hào)是dB）為單位來表示聲音強(qiáng)度的等級(jí)，其中OdB是人能聽到

的等級(jí)最低的聲音，一般地，如果強(qiáng)度為x的聲音對(duì)應(yīng)的等級(jí)為f（x）dB,則有/■（x）=101g

x

i等級(jí)為0dB的聲音強(qiáng)度是________,90dB與60dB的聲音強(qiáng)度之比是________.

1A1U

答案1（）T1000:1

解析當(dāng)廣（才）=0時(shí)，*=10-12；當(dāng)_f（x）=90時(shí)，^=10-3；當(dāng)廣（才）=60時(shí)，x=l。-6,

10-3

y^6=103.所以等級(jí)為0dB的聲音強(qiáng)度是10-12'90dB與60dB的聲音強(qiáng)度之比是1000：1.

16.如圖所示，由桶1向桶2倒水，開始時(shí)，桶1中有aL水，桶2中無水，力分鐘后,

桶1中剩余水為KL,滿足函數(shù)關(guān)系式K=ae-%假設(shè)經(jīng)過5分鐘，桶1和桶2中的水一樣

多，則再過分鐘，桶1中的水只有5L.

O

答案10